一元二次方程解题常见误区
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一元二次方程解题常见误区
误区之一：对一元二次方程的定义的理解错
例 1． 已知方程 是一元二次方程, 则 m=_____。
错解：要让是一元二次方程, 则未知数x的系数m2+1=2，解得m=±1。
分析：判断一个方程是否一元二次方程，关键是将整式方程化简后只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，特别地，当二次项的系数用字母表示时，二次项系数不为零不能漏掉．
造成这个错误的原因主要是学生将注意力集中在“一元二次方程的最高次数为 2 ” 上（ ），而忽略了二次项系数不为 0 。
正解：要让是一元二次方程, 则未知数x的系数m2+1=2，同时二次项系数m－1≠0，解得m=±1，m=－1。所以这里的m=－1。
误区之二：对一元二次方程的一般形式的错误理解
例2．方程的一次项的系数是 ．
错解：方程的一次项是5x，因此一次项系数为5。
分析：在确定一元二次方程的二次项、一次项及常数项时，一定要将一元二次方程化为一般形式．这里的错误是没有把一元二次方程化为一般形式．
正解：将一元二次方程方程化为一般形式－x2－5x＋1=0或者x2＋5x－1=0。因此方程的一次项是5或－5。
误区之三：解形如“”的方程时出现漏解现象
例3．解方程：（x－1）2＝2(x－1)
错解：原方程两边都除以（x－1）得到：x－1＝2，解得：x=3。
分析：在解形如“”的方程时，千万不能在方程左右两边都除以，否则会造成方程漏解的情况。正确地解法是化为一般式或者应用其他方法进行解答。
正解：原方程即（x－1）2－2(x－1)＝0，
即 （x－1）（x－3）＝0
∴ （x－1）＝0或（x－3）＝0
∴ x1＝1， x2＝3
误区之四：忽略一元二次方程实际应用中的增根
例4.据报道，我国农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2008年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我国每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2010年的利用率提高到60%，求每年的增长率。(取≈1.41)
错解：设我国每年产出的农作物秸杆总量为a，合理利用量的增长率是x，由题意得：
30%a（1＋x）2=60%a，即（1＋x）2=2
∴x1≈0.41，x2≈－2.41。
即我国每年秸秆合理利用量的增长率约为41%或者－241％。
分析：在用一元二次方程解决有关实际问题时，一元二次方程的两个解，一定要会判断检验其是否符合实际意义，不能想当然地认为只要是解都有意义。
正解：设我国每年产出的农作物秸杆总量为a，合理利用量的增长率是x，由题意得：
30%a（1＋x）2=60%a，即（1＋x）2=2
∴x1≈0.41，x2≈－2.41(不合题意舍去)。
∴x≈0.41。 即我国每年秸秆合理利用量的增长率约为41%。
例5．今年4月18日，我国铁路实现了第六次大提速，这给旅客的出行带来了更大的方便．例如，京沪线全长约1500公里，第六次提速后，特快列车运行全程所用时间比第五次提速后少用小时．已知第六次提速后比第五次提速后的平均时速快了40公里，求第五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多少．
错解：根据行程问题的等量关系，不难发现本例的等量关系是：第五次提速后特快列车运行全程所用时间－第六次提速后特快列车运行全程所用时间＝小时．
设第五次提速后的平均速度是x公里/时，则第六次提速后的平均速度是（x+40）公里/时．根据题意，得
－=．
去分母，整理得x2+40x－32000=0．
解得x1=160，x2=－200．x1＋40＝200，x2＋40＝－160
所以第五次提速后的平均时速为160公里/时或者－200公里/时，第六次提速后的平均时速为200公里/时或者－160公里/时．
分析：速度不应该出现负值，因此速度的负值应该舍去。
正解：设第五次提速后的平均速度是x公里/时，则第六次提速后的平均速度是（x+40）公里/时．根据题意，得
－=．
去分母，整理得x2+40x－32000=0．
解得x1=160，x2=－200．
经检验，x1=160，x2=－200都是原方程的解，但x2=－200＜0，不合题意，舍去．
∴ x=160，x+40=200．
所以第五次提速后的平均时速为160公里/时，第六次提速后的平均时速为200公里/时．
谨防一元二次方程中的“陷阱”
一元二次方程问题是初中数学的重点，也是中考的热点，许多同学在解题时，由于对题中隐含条件的忽视，往往出现错解，掉入命题者设计的“陷阱”中.现将一元二次方程中常见的“陷阱”列举出来，以期对同学们的学习有所帮助.
陷阱一：忽视二次项系数不为0.
例1 当为何值时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根？
错解：因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以△＞0，即＞0，所以.
剖析：此题仍忽视了二次项的系数不能为0， ，即.
正解：当且时，方程有两个不相等的实数根.
陷阱二：约去方程两边的未知数
例2 解方程.
错解：方程两边同时除以未知数，得，所以.
剖析：错在方程两边同时除以未知数，因为的值不能确定，所以当时，相当于方程两边同时除以0.
正解：，，所以或，所以或，所以原方程的解为或.
陷阱三：忽视题中的隐含条件
例3 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根.
（1）用含有的代数式表示；（2）当时，求的值.
错解：（1）由根与系数的关系知，，所以 .
（2）因为，所以，解得.
剖析：错解忽略了方程有两个实数根，即△＞0这一条件.
正解：当时，方程为.此时△=＜0，方程无实数根，不合题意舍去.
当时，方程为.此时△=＞0，方程有两个实数根.所以当时，.
误区之一：对一元二次方程的定义的理解错
例 1． 已知方程 是一元二次方程, 则 m=_____。
错解：要让是一元二次方程, 则未知数x的系数m2+1=2，解得m=±1。
分析：判断一个方程是否一元二次方程，关键是将整式方程化简后只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，特别地，当二次项的系数用字母表示时，二次项系数不为零不能漏掉．
造成这个错误的原因主要是学生将注意力集中在“一元二次方程的最高次数为 2 ” 上（ ），而忽略了二次项系数不为 0 。
正解：要让是一元二次方程, 则未知数x的系数m2+1=2，同时二次项系数m－1≠0，解得m=±1，m=－1。所以这里的m=－1。
误区之二：对一元二次方程的一般形式的错误理解
例2．方程的一次项的系数是 ．
错解：方程的一次项是5x，因此一次项系数为5。
分析：在确定一元二次方程的二次项、一次项及常数项时，一定要将一元二次方程化为一般形式．这里的错误是没有把一元二次方程化为一般形式．
正解：将一元二次方程方程化为一般形式－x2－5x＋1=0或者x2＋5x－1=0。因此方程的一次项是5或－5。
误区之三：解形如“”的方程时出现漏解现象
例3．解方程：（x－1）2＝2(x－1)
错解：原方程两边都除以（x－1）得到：x－1＝2，解得：x=3。
分析：在解形如“”的方程时，千万不能在方程左右两边都除以，否则会造成方程漏解的情况。正确地解法是化为一般式或者应用其他方法进行解答。
正解：原方程即（x－1）2－2(x－1)＝0，
即 （x－1）（x－3）＝0
∴ （x－1）＝0或（x－3）＝0
∴ x1＝1， x2＝3
误区之四：忽略一元二次方程实际应用中的增根
例4.据报道，我国农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2008年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我国每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2010年的利用率提高到60%，求每年的增长率。(取≈1.41)
错解：设我国每年产出的农作物秸杆总量为a，合理利用量的增长率是x，由题意得：
30%a（1＋x）2=60%a，即（1＋x）2=2
∴x1≈0.41，x2≈－2.41。
即我国每年秸秆合理利用量的增长率约为41%或者－241％。
分析：在用一元二次方程解决有关实际问题时，一元二次方程的两个解，一定要会判断检验其是否符合实际意义，不能想当然地认为只要是解都有意义。
正解：设我国每年产出的农作物秸杆总量为a，合理利用量的增长率是x，由题意得：
30%a（1＋x）2=60%a，即（1＋x）2=2
∴x1≈0.41，x2≈－2.41(不合题意舍去)。
∴x≈0.41。 即我国每年秸秆合理利用量的增长率约为41%。
例5．今年4月18日，我国铁路实现了第六次大提速，这给旅客的出行带来了更大的方便．例如，京沪线全长约1500公里，第六次提速后，特快列车运行全程所用时间比第五次提速后少用小时．已知第六次提速后比第五次提速后的平均时速快了40公里，求第五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多少．
错解：根据行程问题的等量关系，不难发现本例的等量关系是：第五次提速后特快列车运行全程所用时间－第六次提速后特快列车运行全程所用时间＝小时．
设第五次提速后的平均速度是x公里/时，则第六次提速后的平均速度是（x+40）公里/时．根据题意，得
－=．
去分母，整理得x2+40x－32000=0．
解得x1=160，x2=－200．x1＋40＝200，x2＋40＝－160
所以第五次提速后的平均时速为160公里/时或者－200公里/时，第六次提速后的平均时速为200公里/时或者－160公里/时．
分析：速度不应该出现负值，因此速度的负值应该舍去。
正解：设第五次提速后的平均速度是x公里/时，则第六次提速后的平均速度是（x+40）公里/时．根据题意，得
－=．
去分母，整理得x2+40x－32000=0．
解得x1=160，x2=－200．
经检验，x1=160，x2=－200都是原方程的解，但x2=－200＜0，不合题意，舍去．
∴ x=160，x+40=200．
所以第五次提速后的平均时速为160公里/时，第六次提速后的平均时速为200公里/时．
谨防一元二次方程中的“陷阱”
一元二次方程问题是初中数学的重点，也是中考的热点，许多同学在解题时，由于对题中隐含条件的忽视，往往出现错解，掉入命题者设计的“陷阱”中.现将一元二次方程中常见的“陷阱”列举出来，以期对同学们的学习有所帮助.
陷阱一：忽视二次项系数不为0.
例1 当为何值时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根？
错解：因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以△＞0，即＞0，所以.
剖析：此题仍忽视了二次项的系数不能为0， ，即.
正解：当且时，方程有两个不相等的实数根.
陷阱二：约去方程两边的未知数
例2 解方程.
错解：方程两边同时除以未知数，得，所以.
剖析：错在方程两边同时除以未知数，因为的值不能确定，所以当时，相当于方程两边同时除以0.
正解：，，所以或，所以或，所以原方程的解为或.
陷阱三：忽视题中的隐含条件
例3 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根.
（1）用含有的代数式表示；（2）当时，求的值.
错解：（1）由根与系数的关系知，，所以 .
（2）因为，所以，解得.
剖析：错解忽略了方程有两个实数根，即△＞0这一条件.
正解：当时，方程为.此时△=＜0，方程无实数根，不合题意舍去.
当时，方程为.此时△=＞0，方程有两个实数根.所以当时，.
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