第2章一元二次方程 期中复习测评 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》期中复习测评（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac＞0；
②若方程两根为﹣1和2，则2a+c＝0；
③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
④若b＝2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
2．已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，则ab﹣mn的值为（　　）
A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1
3．如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点B出发沿BC边以2cm/秒的速度向点C匀速移动，当P、Q两点中有一个点到达终点时另一个点也停止运动．运动（　　）秒后，△PBQ面积为5cm2．
A．0.5 B．1 C．5 D．1或5
4．若a+b+c＝0，4a﹣2b+c＝0，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+bx＝b﹣c的解为（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝﹣1或x＝2 D．x＝﹣2或x＝0
5．元旦来临前，某商场将一件原价为a元的衬衫以一个给定的百分比提升价格，元旦那天商场又按照新的价格以相同的百分比降低了这件衬衫的价格，最终，衬衫的价格比原价降低了0.16a元，则这个给定的百分比为（　　）
A．16% B．36% C．40% D．50%
6．如图，学校课外小组的试验园地的形状是长30米宽15米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为392平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　）
A．（30+2x）（15+x）＝392 B．（30﹣2x）（15﹣x）＝392
C．（30+x）（15+2x）＝392 D．（30﹣x）（15﹣2x）＝392
7．定义运算：m n＝mn2﹣mn+1．例如：1 2＝1×22﹣1×2+1＝3．则方程1 x＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，DE＝，则CD+EF的最小值为（　　）
A．﹣ B．3﹣ C．1+ D．3
二．填空题（共5小题，满分25分）
9．若关于x的方程（a+3）x|a|﹣1﹣3x+2＝0是一元二次方程，则a的值为　 　．
10．若a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式﹣2a2+4a+2020的值为　 　．
11．如果关于x的方程x2+2（a+1）x+2a+1＝0有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是　 　．
12．2019年12月6日，某市举行了2020年商品订货交流会，参加会议的每两家公司之间都签订了一份合同，所有参会公司共签订了28份合同，则共有　 　家公司参加了这次会议．
13．已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2，若+＝3，则k＝　 　．
三．解答题（共7小题，满分55分）
14．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”；
①x2﹣x﹣6＝0；
②2x2﹣2x+1＝0．
（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝12a﹣b2，试求t的最大值．
15．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝11，求k的值．
17．已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么 ABCD的周长是多少？
18．某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
19．某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元．
（1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润；
（2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？
20．某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？
（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：
小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程：　 　．
小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程：　 　．
（2）请写出一种完整的解答过程．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：①若a+b+c＝0，那么x＝1为一个实数根．
如果原方程另一个实数根也是1，那么b2﹣4ac＝0，
因此①错误；
②把x＝﹣1代入方程得到：a﹣b+c＝0 （1）
把x＝2代入方程得到：4a+2b+c＝0 （2）
把（2）式加（1）式×2得到：6a+3c＝0，
即：2a+c＝0，故正确；
③方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，
则它的Δ＝﹣4ac＞0，
∴b2﹣4ac＞0而方程ax2+bx+c＝0的Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴必有两个不相等的实数根．故正确；
④若b＝2a+c则Δ＝b2﹣4ac＝（2a+c）2﹣4ac＝4a2+c2，
∵a≠0，
∴4a2+c2＞0故正确．
②③④都正确，
故选：C．
2．解：∵（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，
∴a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，
而a、b、m、n为互不相等的实数，
∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根，
∴ab＝mn﹣2，
∴ab﹣mn＝﹣2．
故选：C．
3．解：设经过x秒钟，使△PBQ的面积为5cm2，
BP＝6﹣x，BQ＝2x，
∵∠B＝90°，
∴BP×BQ＝5，
∴×（6﹣x）×2x＝5，
∴x1＝1，x2＝5（舍去），
答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过1秒钟，使△PBQ的面积为5cm2．
故选：B．
4．解：∵a+b+c＝0且4a﹣2b+c＝0，
∴在方程a（x﹣1）2+bx＝b﹣c中，当x＝2时，a+2b＝b﹣c，即a+b+c＝0，
当x＝﹣1时，4a﹣b＝b﹣c，即4a﹣2b+c＝0，
∴方程的解为x＝﹣1或x＝2，故选：C．
5．解：设这个给定的百分比为x，根据题意得，
a（1+x）（1﹣x）＝a﹣0.16a，
解得x1＝0.4，x2＝﹣0.4（舍去），
即这个给定的百分比为40%．故选：C．
6．解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为（30﹣2x）米、宽为（15﹣x）米的大矩形，
依题意得：（30﹣2x）（15﹣x）＝392．
故选：B．
7．解：根据题意得x2﹣x+1＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1＝﹣3＜0，
∴方程无实数根．故选：C．
8．解：如图，过C作AB的对称点C1，连接CC1，交AB于N；过C1作C1C2∥AB，且C1C2＝，过C2作C2F⊥AC于F，交AB于E，C2F的长度即为所求最小值，
∵CC2∥DE，CC2＝DE，
∴四边形C1DEC2是平行四边形，
∴C1D＝C2E，
又∵C、C1关于AB对称，
∴CD＝C1D，
∴CD+EF＝C2F，
∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴CN＝，AN＝3，
过C2作C2M⊥AB，则C2M＝C1N＝CN＝，
∴C2M∥C1N，C1C2∥MN，
∴MN＝C1C2＝，
∵∠MEC2＝∠AEF，∠AFE＝∠C2ME＝90°，
∴∠MC2E＝∠A＝30°，
在Rt△C2ME中，ME＝1，C2M＝，C2E＝2，
∴AE＝AN﹣MN﹣ME＝3﹣﹣1＝2﹣，
∴EF＝1﹣，
∴C2F＝2+1﹣＝3﹣．
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分25分）
9．解：由题意得：|a|﹣1＝2，且a+3≠0，
解得：a＝3，
故答案为：3．
10．解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，
∴a2﹣2a﹣1＝0，
即a2﹣2a＝1，
∴﹣2a2+4a+2020
＝﹣2（a2﹣2a）+2020
＝﹣2×1+2020
＝2018．
故答案为：2018．
11．解：根据方程的求根公式可得：
x＝[（﹣2（a+1）±]÷2＝[（﹣2a﹣2）±2a]÷2＝﹣a﹣1±a，
则方程的两根为﹣1或﹣2a﹣1，
或（x+1）（x+2a+1）＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣2a﹣1，
∵﹣1＜0，
∴小于1的正数根只能为﹣2a﹣1，
即0＜﹣2a﹣1＜1，
解得﹣1＜a＜﹣．
故填空答案为﹣1＜a＜﹣．
12．解：设共有x家公司参加了这次会议，
根据题意，得x（x﹣1）＝28
整理，得 x2﹣x﹣56＝0
解得x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）
答：共有8家公司参加了这次会议．
故答案是：8．
13．解：∵关于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝k+4，x1 x2＝4k，
∴+＝＝＝3．
解得k＝．
经检验，k＝是原方程的解．
故答案为：．
三．解答题（共7小题，满分55分）
14．解：（1）①解方程得：（x﹣3）（x+2）＝0，
x＝3或x＝﹣2，
∵2≠﹣3+1，
∴x2﹣x﹣6＝0不是“邻根方程”；
②x＝＝，
∵＝+1，
∴2x2﹣2x+1＝0是“邻根方程”；
（2）解方程得：（x﹣m）（x+1）＝0，
∴x＝m或x＝﹣1，
∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，
∴m＝﹣1+1或m＝﹣1﹣1，
∴m＝0或﹣2；
（3）解方程得x＝，
∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，
∴﹣＝1，
∴b2＝a2+4a，
∵t＝12a﹣b2，
∴t＝8a﹣a2＝﹣（a﹣4）2+16，
∵a＞0，
∴a＝4时，t的最大值为16．
15．解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形；
理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．
16．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根，
∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）＝﹣8k+5≥0，
解得k≤．
（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+k﹣1，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）＝2k2﹣6k+3，
∵x12+x22＝11，
∴2k2﹣6k+3＝11，解得k＝4，或k＝﹣1，
∵k≤，
∴k＝4（舍去），
∴k＝﹣1．
17．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
又∵AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4×（﹣）＝（m﹣1）2＝0，
∴m＝1，
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
当m＝1时，原方程为x2﹣x+＝0，即（x﹣）2＝0，
解得：x1＝x2＝，
∴菱形ABCD的边长是．
（2）把x＝2代入原方程，得：4﹣2m+﹣＝0，
解得：m＝．
将m＝代入原方程，得：x2﹣x+1＝0，
∴方程的另一根AD＝1÷2＝，
∴ ABCD的周长是2×（2+）＝5．
18．解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5﹣x）万人，
依题意得：7.5﹣x≤2x，
解得x≥2.5．
即A社区居民人口至少有2.5万人；
（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%
设m%＝a，方程可化为：
1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7
化简得：32a2+54a﹣35＝0
解得a＝0.5或a＝﹣（舍）
∴m＝50
答：m的值为50．
19．解：（1）（45﹣30）×[80﹣（45﹣40）×2]＝1050（元）．
答：每天的销售利润为1050元．
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80﹣2（x﹣40）]件，
依题意，得：（x﹣30）[80﹣2（x﹣40）]＝1200，
整理，得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60（不合题意，舍去）．
答：每件工艺品售价应为50元．
20．解：（1）小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为（30+x÷50×10）件，
依题意，得：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；
小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为（30+×10）件，
依题意，得：（y﹣750）（30+）＝12000．
故答案为：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；（y﹣750）（30+）＝12000．
（2）选择小明的的设法，则（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000，
整理，得：x2﹣200x+7500＝0，
解得：x1＝50，x2＝150，
∴1100﹣x＝1050或950．
答：每件皮衣定价为1050元或950元．
选择小红的设法，则（y﹣750）（30+）＝12000，
整理，得：y2﹣2000y+997500＝0，
解得：y1＝1050，y2＝950．
答：每件皮衣定价为1050元或950元．