第3章 圆 名校试题套卷（1） 2021-2022学年北师大版数学九年级下册（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 第3章 圆 名校试题套卷（1） 2021-2022学年北师大版数学九年级下册（word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 790.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-08 08:14:36 | ||
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文档简介
2021年北师大新版九年级（下）《第3章 圆》名校试题套卷（1）
一、选择题（共10小题）
1．如图，一圆外切四边形ABCD，且BC＝10，AD＝7，则四边形的周长为（ ）
A．32 B．34 C．36 D．38
2．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列说法不正确的是（ ）
A．为了解全市中小学生对网络直播课的满意程度，应采用抽样调查
B．数据3，4，5，6，7的方差为2
C．三角形的的内心到三角形三边距离相等
D．顺次连接对角线垂直的四边形的中点，所形成的四边形为菱形
4．如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O于点A，若PC＝2，BC＝6，则PA的长为（ ）
A．无限长 B． C．4 D．
5．已知点P在圆O内，且OP＝4，则圆O的半径可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，点C是弧DB的中点，若∠DAB＝72°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．49° B．54° C．59° D．72°
7．在平面直角坐标系中，以点（2，1）为圆心，1为半径的圆必定（ ）
A．与x轴相切、与y轴相离 B．与x轴、y轴都相离
C．与x轴相离、与y轴相切 D．与x轴、y轴都相切
8．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．如图△ABC为圆O的内接三角形，D为BC中点，E为OA中点，∠ABC＝40°，∠BCA＝80°，则∠OED的大小为（ ）
A．15° B．18° C．20° D．22°
10．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（ ）
A． B． C．3 D．2
二、填空题（共10小题）
11．已知扇形的半径为5cm，圆心角等于120°，则该扇形的弧长等于 ．
12．如图，正方形MNOK和正六边形ABCDEF的边长相等，边OK与边AB重合．将正方形在正六边形内绕点B顺时针旋转，使边KM与边BC重合，则KM旋转的度数是 °．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，求AB的长是 ．
14．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，刚好过点O，以点D为圆心，DO的长为半径画弧，交AD于点E，若AC＝2，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
15．如图，在直径为6的半圆上有两动点M、N，弦AM、BN相交于点P，则AP AM+BP BN的值为 ．
16．平面直角坐标系内的三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
17．如图，圆弧形拱桥的跨径AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为 米．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是BC边上一个动点，过点P作PQ∥BD交CD于Q，现将△PCQ沿直线PQ折叠，使得C落在C′处，以PC′为直径作⊙O，若⊙O与矩形的边相切时，CP的长度为 ．
19．如图，半圆O的半径为1，C是半圆O上一点，且∠AOC＝45°，D是上的一动点，则四边形AODC的面积S的取值范围是 ．
20．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，P为AC的中点，连接PD，BC＝6，DP＝4．O为边BA上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，当⊙O与△PDC的一边所在直线相切时，⊙O的半径等于 ．
三、解答题（共10小题）
21．如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC＝1：2．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为，求AE的长．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作 GDEC．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若点B是的中点，⊙O的半径为2，求的长．
23．如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．
（1）求证：FC＝FB；
（2）求证：CG是⊙O的切线；
（3）若FB＝FE＝2，求⊙O的半径．
24．如图所示，射线AM交一圆于点B，C，射线AN交该圆于点D，F，且BC＝DE，求证：AC＝AE．
25．十一期间，小明一家一起去旅游，如图是小明设计的某旅游景点的图纸（网格是由相同的小正方形组成的，且小正方形的边长代表实际长度100m，在该图纸上可看到两个标志性景点A，B．若建立适当的平面直角坐标系，则点A（﹣3，1），B（﹣3，﹣3），第三个景点C（1，3）的位置已破损．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，并标出景点C的位置；
（2）平面直角坐标系的坐标原点为点O，△ACO是直角三角形吗？请判断并说明理由．
26．如图所示，AB、CD是⊙O的两条直径，CE∥AB，求证：＝．
27．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠D＝30°，求∠A的度数．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若AB＝6，∠BAC＝54°，求劣弧的长．
29．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠B＝45°，AC＝4，求图中阴影部分的面积．
30．如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）求证：∠ACD＝∠AEB．
2021年北师大新版九年级（下）《第3章 圆》名校试题套卷（1）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．如图，一圆外切四边形ABCD，且BC＝10，AD＝7，则四边形的周长为（ ）
A．32 B．34 C．36 D．38
【解答】解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，
所以四边形的周长＝2×（7+10）＝34．
故选：B．
2．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵直线MN切⊙O于C点，
∴∠BCN＝∠BAC，∠ACM＝∠D＝∠B，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCN+∠ACM＝90°，∠B+∠BCN＝90°，∠D+∠BCN＝90°．
故选：C．
3．下列说法不正确的是（ ）
A．为了解全市中小学生对网络直播课的满意程度，应采用抽样调查
B．数据3，4，5，6，7的方差为2
C．三角形的的内心到三角形三边距离相等
D．顺次连接对角线垂直的四边形的中点，所形成的四边形为菱形
【解答】解：A．为了解全市中小学生对网络直播课的满意程度，应采用抽样调查，故A选项不符合题意；
B．数据3，4，5，6，7的方差为s2＝＝2，故B选项不符合题意；
C．三角形的的内心到三角形三边距离相等，为内切圆半径，故C选项不符合题意；
D．顺次连接对角线垂直的四边形的中点，所形成的四边形不一定为菱形，有可能是平行四边形，故D选项符合题意；
故选：D．
4．如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O于点A，若PC＝2，BC＝6，则PA的长为（ ）
A．无限长 B． C．4 D．
【解答】解：∵PC＝2，BC＝6，
∴PB＝8，
∵PA2＝PC PB＝16，
∴PA＝4．
故选：C．
5．已知点P在圆O内，且OP＝4，则圆O的半径可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵点P在圆O内，且OP＝4，
∴圆O的半径＞4，
则圆O的半径可以，5．
故选：D．
6．如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，点C是弧DB的中点，若∠DAB＝72°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．49° B．54° C．59° D．72°
【解答】解：连接OD，
∵∠DAB＝72°，OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAB＝72°，
∴∠AOD＝180°﹣∠DAB﹣∠ADO＝36°，
∴∠DOB＝180°﹣∠DOA＝144°，的度数是36°，
∴的度数是144°，
∵点C是弧DB的中点，
∴的度数是144°＝72°，
∴的度数是36°+72°＝108°，
∴∠ABC的度数是108°＝54°，
故选：B．
7．在平面直角坐标系中，以点（2，1）为圆心，1为半径的圆必定（ ）
A．与x轴相切、与y轴相离 B．与x轴、y轴都相离
C．与x轴相离、与y轴相切 D．与x轴、y轴都相切
【解答】解：∵点（2，1）到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，
∴在平面直角坐标系中，以点（2，1）为圆心，1为半径的圆必定与x轴相切，与y轴相离，
故选：A．
8．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝12，
BM＝＝＝13，
∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．
故选：D．
9．如图△ABC为圆O的内接三角形，D为BC中点，E为OA中点，∠ABC＝40°，∠BCA＝80°，则∠OED的大小为（ ）
A．15° B．18° C．20° D．22°
【解答】解：如图，连接OC，取OC中点F，连接EF、DF，
∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，OE＝OF，
∴∠OEF＝∠OFE＝（180°﹣80°）＝50°，
连接OB，
∵D为BC中点，
∴BD＝CD，OD⊥BC，
∴∠DOC＝，
∵∠BAC＝BOC，
∴∠DOC＝∠BAC，
∴∠DOC＝∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵F为OC中点，
∴OF＝FD，
∴△OFD为等边三角形，
∴OD＝OF＝OE，
∴点O是△EFD外接圆的圆心，
∴，
∴∠OED＝50°﹣30°＝20°．
故选：C．
10．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（ ）
A． B． C．3 D．2
【解答】解：如图所示：∵OA、OP是定值，
∴PA⊥OA时，∠OPA最大，
在直角三角形OPA中，OA＝，OP＝3，
∴PA＝＝．
故选：B．
二、填空题（共10小题）
11．已知扇形的半径为5cm，圆心角等于120°，则该扇形的弧长等于 ．
【解答】解：扇形的弧长是＝．
故答案是：．
12．如图，正方形MNOK和正六边形ABCDEF的边长相等，边OK与边AB重合．将正方形在正六边形内绕点B顺时针旋转，使边KM与边BC重合，则KM旋转的度数是 30 °．
【解答】解：∵∠ABC＝120°，∠OKM＝90°，
∴∠MBC＝120°﹣90°＝30°，
故答案为：30；
13．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，求AB的长是 10 ．
【解答】解：连接OC，
∵CD＝4，OD＝3，
在Rt△ODC中，
∴OC＝＝＝5，
∴AB＝2OC＝10，
故答案为：10．
14．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，刚好过点O，以点D为圆心，DO的长为半径画弧，交AD于点E，若AC＝2，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵AB＝AO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO＝60°，
∴∠EDO＝30°，
∵AC＝2，
∴OA＝OD＝1，
∴图中阴影部分的面积为：＝，
故答案为：．
15．如图，在直径为6的半圆上有两动点M、N，弦AM、BN相交于点P，则AP AM+BP BN的值为 36 ．
【解答】解：连接AN、BM，
∵AB是直径，
∴∠AMB＝90°．
∴BP2＝MP2+BM2
∵AP PM＝BP PN
原式＝AP（AP+PM）+BP（BP+PN）＝AP2+AP PM+BP2+BP PN
＝AP2+BP2+2AP PM
＝AP2+MP2+BM2+2AP PM
＝BM2+（AP+PM）2＝BM2+AM2＝AB2＝36．
16．平面直角坐标系内的三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）， 不能 确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），A（1，﹣3），
∴点A、B、C共线，
∴三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）不能确定一个圆．
故答案为：不能．
17．如图，圆弧形拱桥的跨径AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为 6.5 米．
【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O
连接OA．根据垂径定理，得AD＝6米，
设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2＝36+（r﹣4）2，解得r＝6.5
故答案为：6.5
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是BC边上一个动点，过点P作PQ∥BD交CD于Q，现将△PCQ沿直线PQ折叠，使得C落在C′处，以PC′为直径作⊙O，若⊙O与矩形的边相切时，CP的长度为 或 ．
【解答】解：如图，设⊙O与矩形的边AB相切于点F，与边BC交于另一点E，连接C′E，作直线OF交C′E于点K，作QH⊥C′E于H，
∴∠OFB＝90°，
∵PC′为⊙O的直径，
∴∠C′EB＝90°，
∵矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形BEKF为矩形，
∵O为PC′中点，
∴K为C′E的中点，
∵∠C′PE＝∠90°﹣∠PC′E＝∠QC′H，
∵∠C′EP＝∠QHC′，
∴△C′HQ∽△PEC′，
∵PQ∥BD，
∴∠C′PQ＝∠CPQ＝∠CBD，
∴tan∠C′PQ＝＝，
∴，
设C′H＝3a，HQ＝3b，则PE＝4a，C′E＝4b，
∵四边形HECQ为矩形，
∴QC＝HK＝4b﹣3a，PC＝3b+4a，
∵QC：PC＝3：4，
∴a：b＝7：24，即tan∠C′PE＝，
设BP＝x，则PC′＝PC＝8﹣x，
∴PE＝（8﹣x），OK＝（8﹣x），
∵KF＝BE，
∴（8﹣x）+（8﹣x）＝x+（8﹣x），解得x＝，
∴PC＝8﹣＝．
当⊙O与AD相切时，可得EC′＝CD＝6，PE＝，
∴PC＝CP′＝＝
故答案为：或．
19．如图，半圆O的半径为1，C是半圆O上一点，且∠AOC＝45°，D是上的一动点，则四边形AODC的面积S的取值范围是 ＜S≤ ．
【解答】解：如图，过点C作CF垂直AO于点F，过点D作DE垂直CO于点E，
∵CO＝AO＝1，∠COA＝45°，
∴CF＝FO＝，
∴S△AOC＝×1×＝，
则面积最小的四边形面积为D无限接近点C，所以最小面积无限接近但是不能取到，
∵△AOC面积确定，
∴要使四边形AODC面积最大，则要使△COD面积最大．
以CO为底DE为高．要使△COD面积最大，则DE最长．
当∠COD＝90°时DE最长为半径，
S四边形AODC＝S△AOC+S△COE＝+×1×1＝．
∴＜S≤，
故答案为：＜S≤．
20．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，P为AC的中点，连接PD，BC＝6，DP＝4．O为边BA上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，当⊙O与△PDC的一边所在直线相切时，⊙O的半径等于 或或 ．
【解答】解：∵∠ADC＝90°，P是AC中点，
∴AC＝2DP＝8，
又∵BC＝6，
∴AB＝10，
则CD＝＝＝，
∴BD＝＝，
如图1，若⊙O与CD相切，
则⊙O的半径r＝BD＝；
如图2，若⊙O与CP相切，
则BO＝OE＝r，AO＝10﹣r，
由OE⊥AC知OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得r＝；
如图3，若⊙O与DP所在直线相切，切点F，
则OF⊥DP，即∠OFD＝∠ACB＝90°，OB＝OF＝r，
∴OD＝BD﹣BO＝﹣r，
∵∠ODF＝∠ADP＝∠A，
∴△ODF∽△BAC，
∴＝，即＝，
解得r＝；
综上，当⊙O与△PDC的一边所在直线相切时，⊙O的半径等于或或，
故答案为：或或．
三、解答题（共10小题）
21．如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC＝1：2．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为，求AE的长．
【解答】解：（1）连接OC，
∵AC平分∠EAP，
∴∠DAC＝∠OAC，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AE∥OC，
∴∠E＝∠OCP＝90°，
∴PE是⊙O的切线；
（2）∵PB：PC＝1：2，
∴设PB＝x，PC＝2x，
∵OC2+PC2＝OP2，即（）2+（2x）2＝（+x）2，
∴x＝，
∴PC＝，PB＝，
∴AP＝，
∵OC∥AE，
∴△PCO∽△PEA，
∴，
∴AE＝4．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作 GDEC．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若点B是的中点，⊙O的半径为2，求的长．
【解答】解：（1）DE是⊙O的切线；
理由：连接OD，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠ABC＝45°，
∴∠COD＝2∠ABC＝90°，
∵四边形GDEC是平行四边形，
∴DE∥CG，
∴∠EDO+∠COD＝180°，
∴∠EDO＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接OB，
∵点B是的中点，
∴＝，
∴∠BOC＝∠BOD，
∵∠BOC+∠BOD+∠COD＝360°，
∴∠COB＝∠BOD＝135°，
∴的长＝＝π．
23．如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．
（1）求证：FC＝FB；
（2）求证：CG是⊙O的切线；
（3）若FB＝FE＝2，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OC，BC，
∵CH∥BD，
∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，
∴＝，＝，
∴＝，
∵CE＝EH（E为CH中点），
∴BF＝DF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠DCB＝90°，
∵BF＝DF，
∴CF＝DF＝BF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
即CF＝BF．
（2）证明∵BF切⊙O于B，
∴∠FBC＝∠CAB，
∵OC＝OA，CF＝BF，
∴∠FCB＝∠FBC，∠OCA＝∠OAC，
∴∠FCB＝∠CAB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，
∴∠FCB+∠BCO＝90°，
即OC⊥CG，
∴CG是⊙O切线，
（3）解：∵BF＝CF＝DF（已证），EF＝BF＝2，
∴EF＝FC，
∴∠FCE＝∠FEC，
∵∠AHE＝∠CHG＝90°，
∴∠FAH+∠AEH＝90°，∠G+∠GCH＝90°，
∵∠AEH＝∠CEF，
∴∠G＝∠FAG，
∴AF＝FG，
∵FB⊥AG，
∴AB＝BG，
∵GBA是⊙O割线，AB＝BG，FB＝FE＝2，
∴由切割线定理得：（2+FG）2＝BG×AG＝2BG2，
在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2＝FG2﹣BF2，
∴FG2﹣4FG﹣12＝0，
解得：FG＝6，FG＝﹣2（舍去），
由勾股定理得：
AB＝BG＝＝4，
∴⊙O的半径是2．
解法二：过点F作FJ⊥CE于J．
∵FC＝FE，FJ⊥CE，
∴CJ＝JE，
∵CE＝EH，
∴EH＝2JE，
∵FJ∥AH，
∴△FJE∽△AHE，
∴＝＝，
∴AE＝2EF＝4，
∴AF＝AE+EF＝6，
∵BF＝2，∠ABF＝90°，
∴AB＝＝＝4，
∴⊙O的半径为2．
24．如图所示，射线AM交一圆于点B，C，射线AN交该圆于点D，F，且BC＝DE，求证：AC＝AE．
【解答】证明：作OP⊥AC于P，OQ⊥AE于Q，连接OB、OD、OA，则PB＝BC，DQ＝DE，
∵BC＝DE，
∴PB＝DQ，PC＝QE，
在RT△OPB和RT△OQD中，
，
∴RT△OPB≌RT△OQD（HL），
∴OP＝OQ，
在RT△OPA和RT△OQA中，
，
∴RT△OPA≌RT△OQA（HL），
∴AP＝AQ，
∴AP+PC＝AQ+QE，
即AC＝AE．
25．十一期间，小明一家一起去旅游，如图是小明设计的某旅游景点的图纸（网格是由相同的小正方形组成的，且小正方形的边长代表实际长度100m，在该图纸上可看到两个标志性景点A，B．若建立适当的平面直角坐标系，则点A（﹣3，1），B（﹣3，﹣3），第三个景点C（1，3）的位置已破损．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，并标出景点C的位置；
（2）平面直角坐标系的坐标原点为点O，△ACO是直角三角形吗？请判断并说明理由．
【解答】解：（1）如图；
（2）△ACO是直角三角．
理由如下：
∵A（﹣3，1），C（1，3），
∴OA＝＝，OC＝＝，AC＝＝2，
∵OA2+OC2＝AC2，
∴△AOC是直角三角形，∠AOC＝90°．
26．如图所示，AB、CD是⊙O的两条直径，CE∥AB，求证：＝．
【解答】证明：连接OE，
∵CE∥AB，
∴∠BOC＝∠C，∠AOE＝∠E，
∵OC＝OE，
∴∠C＝∠E，
∴∠BOC＝∠AOE，
∴＝．
27．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠D＝30°，求∠A的度数．
【解答】解：连接OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
而∠D＝30°，
∴∠COD＝60°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠COD＝∠A+∠ACO＝2∠A，
∴∠A＝×60°＝30°．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若AB＝6，∠BAC＝54°，求劣弧的长．
【解答】（1）证明：如图，连接AE．
∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB＝90°，
即AE⊥BC．
又∵AB＝AC，
∴AE是边BC上的中线，
∴BE＝CE；
（2）解：∵AB＝6，
∴OA＝3．
又∵OA＝OD，∠BAC＝54°，
∴∠AOD＝180°﹣2×54°＝72°，
∴的长为：＝．
29．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠B＝45°，AC＝4，求图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）如图，连接AD，OD
∵AB是直径
∴∠ADB＝90°
∴∠OAD＝∠ODA，∠ODB＝∠OBD
∠ADE＝∠EAD，∠EDC＝∠ECD
∵∠EAD+∠OAD＝90°
∴∠ADE+∠ODA＝90°，即∠EDO＝90°，
∴直线DE与⊙O相切
（2）由（1）可知△ACD与△ADB是直角三角形
若∠B＝45°，则AC＝AB＝4，AE＝EC＝AO＝DO＝BO＝2
∴四边形AEDO为正方形
阴影面积＝正方形AEDO﹣扇形AOD＝4﹣π．
30．如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）求证：∠ACD＝∠AEB．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠CDE＝∠ABC，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，又∠ADB＝∠FDE，
∴∠ACB＝∠FDE，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠FDE＝∠CDE，即DE平分∠CDF；
（2）∵∠ACB＝∠ABC，
∴∠CAE+∠E＝∠ABD+∠DBC，
又∠CAE＝∠DBC，
∴∠E＝∠ABD，
∴∠ACD＝∠AEB．
一、选择题（共10小题）
1．如图，一圆外切四边形ABCD，且BC＝10，AD＝7，则四边形的周长为（ ）
A．32 B．34 C．36 D．38
2．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列说法不正确的是（ ）
A．为了解全市中小学生对网络直播课的满意程度，应采用抽样调查
B．数据3，4，5，6，7的方差为2
C．三角形的的内心到三角形三边距离相等
D．顺次连接对角线垂直的四边形的中点，所形成的四边形为菱形
4．如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O于点A，若PC＝2，BC＝6，则PA的长为（ ）
A．无限长 B． C．4 D．
5．已知点P在圆O内，且OP＝4，则圆O的半径可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，点C是弧DB的中点，若∠DAB＝72°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．49° B．54° C．59° D．72°
7．在平面直角坐标系中，以点（2，1）为圆心，1为半径的圆必定（ ）
A．与x轴相切、与y轴相离 B．与x轴、y轴都相离
C．与x轴相离、与y轴相切 D．与x轴、y轴都相切
8．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．如图△ABC为圆O的内接三角形，D为BC中点，E为OA中点，∠ABC＝40°，∠BCA＝80°，则∠OED的大小为（ ）
A．15° B．18° C．20° D．22°
10．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（ ）
A． B． C．3 D．2
二、填空题（共10小题）
11．已知扇形的半径为5cm，圆心角等于120°，则该扇形的弧长等于 ．
12．如图，正方形MNOK和正六边形ABCDEF的边长相等，边OK与边AB重合．将正方形在正六边形内绕点B顺时针旋转，使边KM与边BC重合，则KM旋转的度数是 °．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，求AB的长是 ．
14．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，刚好过点O，以点D为圆心，DO的长为半径画弧，交AD于点E，若AC＝2，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
15．如图，在直径为6的半圆上有两动点M、N，弦AM、BN相交于点P，则AP AM+BP BN的值为 ．
16．平面直角坐标系内的三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
17．如图，圆弧形拱桥的跨径AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为 米．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是BC边上一个动点，过点P作PQ∥BD交CD于Q，现将△PCQ沿直线PQ折叠，使得C落在C′处，以PC′为直径作⊙O，若⊙O与矩形的边相切时，CP的长度为 ．
19．如图，半圆O的半径为1，C是半圆O上一点，且∠AOC＝45°，D是上的一动点，则四边形AODC的面积S的取值范围是 ．
20．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，P为AC的中点，连接PD，BC＝6，DP＝4．O为边BA上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，当⊙O与△PDC的一边所在直线相切时，⊙O的半径等于 ．
三、解答题（共10小题）
21．如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC＝1：2．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为，求AE的长．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作 GDEC．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若点B是的中点，⊙O的半径为2，求的长．
23．如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．
（1）求证：FC＝FB；
（2）求证：CG是⊙O的切线；
（3）若FB＝FE＝2，求⊙O的半径．
24．如图所示，射线AM交一圆于点B，C，射线AN交该圆于点D，F，且BC＝DE，求证：AC＝AE．
25．十一期间，小明一家一起去旅游，如图是小明设计的某旅游景点的图纸（网格是由相同的小正方形组成的，且小正方形的边长代表实际长度100m，在该图纸上可看到两个标志性景点A，B．若建立适当的平面直角坐标系，则点A（﹣3，1），B（﹣3，﹣3），第三个景点C（1，3）的位置已破损．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，并标出景点C的位置；
（2）平面直角坐标系的坐标原点为点O，△ACO是直角三角形吗？请判断并说明理由．
26．如图所示，AB、CD是⊙O的两条直径，CE∥AB，求证：＝．
27．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠D＝30°，求∠A的度数．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若AB＝6，∠BAC＝54°，求劣弧的长．
29．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠B＝45°，AC＝4，求图中阴影部分的面积．
30．如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）求证：∠ACD＝∠AEB．
2021年北师大新版九年级（下）《第3章 圆》名校试题套卷（1）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．如图，一圆外切四边形ABCD，且BC＝10，AD＝7，则四边形的周长为（ ）
A．32 B．34 C．36 D．38
【解答】解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，
所以四边形的周长＝2×（7+10）＝34．
故选：B．
2．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵直线MN切⊙O于C点，
∴∠BCN＝∠BAC，∠ACM＝∠D＝∠B，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCN+∠ACM＝90°，∠B+∠BCN＝90°，∠D+∠BCN＝90°．
故选：C．
3．下列说法不正确的是（ ）
A．为了解全市中小学生对网络直播课的满意程度，应采用抽样调查
B．数据3，4，5，6，7的方差为2
C．三角形的的内心到三角形三边距离相等
D．顺次连接对角线垂直的四边形的中点，所形成的四边形为菱形
【解答】解：A．为了解全市中小学生对网络直播课的满意程度，应采用抽样调查，故A选项不符合题意；
B．数据3，4，5，6，7的方差为s2＝＝2，故B选项不符合题意；
C．三角形的的内心到三角形三边距离相等，为内切圆半径，故C选项不符合题意；
D．顺次连接对角线垂直的四边形的中点，所形成的四边形不一定为菱形，有可能是平行四边形，故D选项符合题意；
故选：D．
4．如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O于点A，若PC＝2，BC＝6，则PA的长为（ ）
A．无限长 B． C．4 D．
【解答】解：∵PC＝2，BC＝6，
∴PB＝8，
∵PA2＝PC PB＝16，
∴PA＝4．
故选：C．
5．已知点P在圆O内，且OP＝4，则圆O的半径可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵点P在圆O内，且OP＝4，
∴圆O的半径＞4，
则圆O的半径可以，5．
故选：D．
6．如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，点C是弧DB的中点，若∠DAB＝72°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．49° B．54° C．59° D．72°
【解答】解：连接OD，
∵∠DAB＝72°，OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAB＝72°，
∴∠AOD＝180°﹣∠DAB﹣∠ADO＝36°，
∴∠DOB＝180°﹣∠DOA＝144°，的度数是36°，
∴的度数是144°，
∵点C是弧DB的中点，
∴的度数是144°＝72°，
∴的度数是36°+72°＝108°，
∴∠ABC的度数是108°＝54°，
故选：B．
7．在平面直角坐标系中，以点（2，1）为圆心，1为半径的圆必定（ ）
A．与x轴相切、与y轴相离 B．与x轴、y轴都相离
C．与x轴相离、与y轴相切 D．与x轴、y轴都相切
【解答】解：∵点（2，1）到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，
∴在平面直角坐标系中，以点（2，1）为圆心，1为半径的圆必定与x轴相切，与y轴相离，
故选：A．
8．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝12，
BM＝＝＝13，
∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．
故选：D．
9．如图△ABC为圆O的内接三角形，D为BC中点，E为OA中点，∠ABC＝40°，∠BCA＝80°，则∠OED的大小为（ ）
A．15° B．18° C．20° D．22°
【解答】解：如图，连接OC，取OC中点F，连接EF、DF，
∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，OE＝OF，
∴∠OEF＝∠OFE＝（180°﹣80°）＝50°，
连接OB，
∵D为BC中点，
∴BD＝CD，OD⊥BC，
∴∠DOC＝，
∵∠BAC＝BOC，
∴∠DOC＝∠BAC，
∴∠DOC＝∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵F为OC中点，
∴OF＝FD，
∴△OFD为等边三角形，
∴OD＝OF＝OE，
∴点O是△EFD外接圆的圆心，
∴，
∴∠OED＝50°﹣30°＝20°．
故选：C．
10．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（ ）
A． B． C．3 D．2
【解答】解：如图所示：∵OA、OP是定值，
∴PA⊥OA时，∠OPA最大，
在直角三角形OPA中，OA＝，OP＝3，
∴PA＝＝．
故选：B．
二、填空题（共10小题）
11．已知扇形的半径为5cm，圆心角等于120°，则该扇形的弧长等于 ．
【解答】解：扇形的弧长是＝．
故答案是：．
12．如图，正方形MNOK和正六边形ABCDEF的边长相等，边OK与边AB重合．将正方形在正六边形内绕点B顺时针旋转，使边KM与边BC重合，则KM旋转的度数是 30 °．
【解答】解：∵∠ABC＝120°，∠OKM＝90°，
∴∠MBC＝120°﹣90°＝30°，
故答案为：30；
13．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，求AB的长是 10 ．
【解答】解：连接OC，
∵CD＝4，OD＝3，
在Rt△ODC中，
∴OC＝＝＝5，
∴AB＝2OC＝10，
故答案为：10．
14．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，刚好过点O，以点D为圆心，DO的长为半径画弧，交AD于点E，若AC＝2，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵AB＝AO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO＝60°，
∴∠EDO＝30°，
∵AC＝2，
∴OA＝OD＝1，
∴图中阴影部分的面积为：＝，
故答案为：．
15．如图，在直径为6的半圆上有两动点M、N，弦AM、BN相交于点P，则AP AM+BP BN的值为 36 ．
【解答】解：连接AN、BM，
∵AB是直径，
∴∠AMB＝90°．
∴BP2＝MP2+BM2
∵AP PM＝BP PN
原式＝AP（AP+PM）+BP（BP+PN）＝AP2+AP PM+BP2+BP PN
＝AP2+BP2+2AP PM
＝AP2+MP2+BM2+2AP PM
＝BM2+（AP+PM）2＝BM2+AM2＝AB2＝36．
16．平面直角坐标系内的三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）， 不能 确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），A（1，﹣3），
∴点A、B、C共线，
∴三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）不能确定一个圆．
故答案为：不能．
17．如图，圆弧形拱桥的跨径AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为 6.5 米．
【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O
连接OA．根据垂径定理，得AD＝6米，
设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2＝36+（r﹣4）2，解得r＝6.5
故答案为：6.5
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是BC边上一个动点，过点P作PQ∥BD交CD于Q，现将△PCQ沿直线PQ折叠，使得C落在C′处，以PC′为直径作⊙O，若⊙O与矩形的边相切时，CP的长度为 或 ．
【解答】解：如图，设⊙O与矩形的边AB相切于点F，与边BC交于另一点E，连接C′E，作直线OF交C′E于点K，作QH⊥C′E于H，
∴∠OFB＝90°，
∵PC′为⊙O的直径，
∴∠C′EB＝90°，
∵矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形BEKF为矩形，
∵O为PC′中点，
∴K为C′E的中点，
∵∠C′PE＝∠90°﹣∠PC′E＝∠QC′H，
∵∠C′EP＝∠QHC′，
∴△C′HQ∽△PEC′，
∵PQ∥BD，
∴∠C′PQ＝∠CPQ＝∠CBD，
∴tan∠C′PQ＝＝，
∴，
设C′H＝3a，HQ＝3b，则PE＝4a，C′E＝4b，
∵四边形HECQ为矩形，
∴QC＝HK＝4b﹣3a，PC＝3b+4a，
∵QC：PC＝3：4，
∴a：b＝7：24，即tan∠C′PE＝，
设BP＝x，则PC′＝PC＝8﹣x，
∴PE＝（8﹣x），OK＝（8﹣x），
∵KF＝BE，
∴（8﹣x）+（8﹣x）＝x+（8﹣x），解得x＝，
∴PC＝8﹣＝．
当⊙O与AD相切时，可得EC′＝CD＝6，PE＝，
∴PC＝CP′＝＝
故答案为：或．
19．如图，半圆O的半径为1，C是半圆O上一点，且∠AOC＝45°，D是上的一动点，则四边形AODC的面积S的取值范围是 ＜S≤ ．
【解答】解：如图，过点C作CF垂直AO于点F，过点D作DE垂直CO于点E，
∵CO＝AO＝1，∠COA＝45°，
∴CF＝FO＝，
∴S△AOC＝×1×＝，
则面积最小的四边形面积为D无限接近点C，所以最小面积无限接近但是不能取到，
∵△AOC面积确定，
∴要使四边形AODC面积最大，则要使△COD面积最大．
以CO为底DE为高．要使△COD面积最大，则DE最长．
当∠COD＝90°时DE最长为半径，
S四边形AODC＝S△AOC+S△COE＝+×1×1＝．
∴＜S≤，
故答案为：＜S≤．
20．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，P为AC的中点，连接PD，BC＝6，DP＝4．O为边BA上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，当⊙O与△PDC的一边所在直线相切时，⊙O的半径等于 或或 ．
【解答】解：∵∠ADC＝90°，P是AC中点，
∴AC＝2DP＝8，
又∵BC＝6，
∴AB＝10，
则CD＝＝＝，
∴BD＝＝，
如图1，若⊙O与CD相切，
则⊙O的半径r＝BD＝；
如图2，若⊙O与CP相切，
则BO＝OE＝r，AO＝10﹣r，
由OE⊥AC知OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得r＝；
如图3，若⊙O与DP所在直线相切，切点F，
则OF⊥DP，即∠OFD＝∠ACB＝90°，OB＝OF＝r，
∴OD＝BD﹣BO＝﹣r，
∵∠ODF＝∠ADP＝∠A，
∴△ODF∽△BAC，
∴＝，即＝，
解得r＝；
综上，当⊙O与△PDC的一边所在直线相切时，⊙O的半径等于或或，
故答案为：或或．
三、解答题（共10小题）
21．如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC＝1：2．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为，求AE的长．
【解答】解：（1）连接OC，
∵AC平分∠EAP，
∴∠DAC＝∠OAC，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AE∥OC，
∴∠E＝∠OCP＝90°，
∴PE是⊙O的切线；
（2）∵PB：PC＝1：2，
∴设PB＝x，PC＝2x，
∵OC2+PC2＝OP2，即（）2+（2x）2＝（+x）2，
∴x＝，
∴PC＝，PB＝，
∴AP＝，
∵OC∥AE，
∴△PCO∽△PEA，
∴，
∴AE＝4．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作 GDEC．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若点B是的中点，⊙O的半径为2，求的长．
【解答】解：（1）DE是⊙O的切线；
理由：连接OD，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠ABC＝45°，
∴∠COD＝2∠ABC＝90°，
∵四边形GDEC是平行四边形，
∴DE∥CG，
∴∠EDO+∠COD＝180°，
∴∠EDO＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接OB，
∵点B是的中点，
∴＝，
∴∠BOC＝∠BOD，
∵∠BOC+∠BOD+∠COD＝360°，
∴∠COB＝∠BOD＝135°，
∴的长＝＝π．
23．如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．
（1）求证：FC＝FB；
（2）求证：CG是⊙O的切线；
（3）若FB＝FE＝2，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OC，BC，
∵CH∥BD，
∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，
∴＝，＝，
∴＝，
∵CE＝EH（E为CH中点），
∴BF＝DF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠DCB＝90°，
∵BF＝DF，
∴CF＝DF＝BF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
即CF＝BF．
（2）证明∵BF切⊙O于B，
∴∠FBC＝∠CAB，
∵OC＝OA，CF＝BF，
∴∠FCB＝∠FBC，∠OCA＝∠OAC，
∴∠FCB＝∠CAB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，
∴∠FCB+∠BCO＝90°，
即OC⊥CG，
∴CG是⊙O切线，
（3）解：∵BF＝CF＝DF（已证），EF＝BF＝2，
∴EF＝FC，
∴∠FCE＝∠FEC，
∵∠AHE＝∠CHG＝90°，
∴∠FAH+∠AEH＝90°，∠G+∠GCH＝90°，
∵∠AEH＝∠CEF，
∴∠G＝∠FAG，
∴AF＝FG，
∵FB⊥AG，
∴AB＝BG，
∵GBA是⊙O割线，AB＝BG，FB＝FE＝2，
∴由切割线定理得：（2+FG）2＝BG×AG＝2BG2，
在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2＝FG2﹣BF2，
∴FG2﹣4FG﹣12＝0，
解得：FG＝6，FG＝﹣2（舍去），
由勾股定理得：
AB＝BG＝＝4，
∴⊙O的半径是2．
解法二：过点F作FJ⊥CE于J．
∵FC＝FE，FJ⊥CE，
∴CJ＝JE，
∵CE＝EH，
∴EH＝2JE，
∵FJ∥AH，
∴△FJE∽△AHE，
∴＝＝，
∴AE＝2EF＝4，
∴AF＝AE+EF＝6，
∵BF＝2，∠ABF＝90°，
∴AB＝＝＝4，
∴⊙O的半径为2．
24．如图所示，射线AM交一圆于点B，C，射线AN交该圆于点D，F，且BC＝DE，求证：AC＝AE．
【解答】证明：作OP⊥AC于P，OQ⊥AE于Q，连接OB、OD、OA，则PB＝BC，DQ＝DE，
∵BC＝DE，
∴PB＝DQ，PC＝QE，
在RT△OPB和RT△OQD中，
，
∴RT△OPB≌RT△OQD（HL），
∴OP＝OQ，
在RT△OPA和RT△OQA中，
，
∴RT△OPA≌RT△OQA（HL），
∴AP＝AQ，
∴AP+PC＝AQ+QE，
即AC＝AE．
25．十一期间，小明一家一起去旅游，如图是小明设计的某旅游景点的图纸（网格是由相同的小正方形组成的，且小正方形的边长代表实际长度100m，在该图纸上可看到两个标志性景点A，B．若建立适当的平面直角坐标系，则点A（﹣3，1），B（﹣3，﹣3），第三个景点C（1，3）的位置已破损．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，并标出景点C的位置；
（2）平面直角坐标系的坐标原点为点O，△ACO是直角三角形吗？请判断并说明理由．
【解答】解：（1）如图；
（2）△ACO是直角三角．
理由如下：
∵A（﹣3，1），C（1，3），
∴OA＝＝，OC＝＝，AC＝＝2，
∵OA2+OC2＝AC2，
∴△AOC是直角三角形，∠AOC＝90°．
26．如图所示，AB、CD是⊙O的两条直径，CE∥AB，求证：＝．
【解答】证明：连接OE，
∵CE∥AB，
∴∠BOC＝∠C，∠AOE＝∠E，
∵OC＝OE，
∴∠C＝∠E，
∴∠BOC＝∠AOE，
∴＝．
27．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠D＝30°，求∠A的度数．
【解答】解：连接OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
而∠D＝30°，
∴∠COD＝60°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠COD＝∠A+∠ACO＝2∠A，
∴∠A＝×60°＝30°．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若AB＝6，∠BAC＝54°，求劣弧的长．
【解答】（1）证明：如图，连接AE．
∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB＝90°，
即AE⊥BC．
又∵AB＝AC，
∴AE是边BC上的中线，
∴BE＝CE；
（2）解：∵AB＝6，
∴OA＝3．
又∵OA＝OD，∠BAC＝54°，
∴∠AOD＝180°﹣2×54°＝72°，
∴的长为：＝．
29．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠B＝45°，AC＝4，求图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）如图，连接AD，OD
∵AB是直径
∴∠ADB＝90°
∴∠OAD＝∠ODA，∠ODB＝∠OBD
∠ADE＝∠EAD，∠EDC＝∠ECD
∵∠EAD+∠OAD＝90°
∴∠ADE+∠ODA＝90°，即∠EDO＝90°，
∴直线DE与⊙O相切
（2）由（1）可知△ACD与△ADB是直角三角形
若∠B＝45°，则AC＝AB＝4，AE＝EC＝AO＝DO＝BO＝2
∴四边形AEDO为正方形
阴影面积＝正方形AEDO﹣扇形AOD＝4﹣π．
30．如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）求证：∠ACD＝∠AEB．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠CDE＝∠ABC，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，又∠ADB＝∠FDE，
∴∠ACB＝∠FDE，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠FDE＝∠CDE，即DE平分∠CDF；
（2）∵∠ACB＝∠ABC，
∴∠CAE+∠E＝∠ABD+∠DBC，
又∠CAE＝∠DBC，
∴∠E＝∠ABD，
∴∠ACD＝∠AEB．