第3章 圆 名校试题套卷（4） 2021-2022学年北师大版数学九年级下册（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 第3章 圆 名校试题套卷（4） 2021-2022学年北师大版数学九年级下册（word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 978.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-08 08:15:33 | ||
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文档简介
2021年北师大新版九年级（下）《第3章 圆》名校试题套卷（4）
一、选择题（共10小题）
1．如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠ABO＝50°，则∠ACB等于（ ）
A．100° B．80° C．50° D．40°
2．如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（ ）
A．50° B．60° C．100° D．120°
3．已知圆O的半径是4，圆心O到直线L的距离d＝6，则直线L与圆O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
4．如图，把一个宽度为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么光盘的直径是（ ）
A．5 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
5．如图⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，AC与DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（ ）
A．CE CD＝BE BA B．CE AE＝BE DE
C．PC CA＝PB BD D．PC PA＝PB PD
6．如图，在4×4的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，O、A、B分别是小正方形的顶点，则的长度为（ ）
A．π B． C．2π D．4π
7．已知a，b，c是△ABC三边的长，外接圆的圆心在△ABC一条边上的是（ ）
A．a＝15，b＝12，c＝1 B．a＝5，b＝12，c＝12
C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a＝5，b＝12，c＝14
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE＝（ ）
A． B． C． D．
9．已知圆O的半径为5，P为圆O内一点，且OP＝3，则过点P的所有弦中，弦长是整数的共有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
10．如图以正五边形ABCDE的顶点A为圆心，AE为半径作圆弧交BA的延长线于点A'，再以点B为圆心，BA'为半径作圆弧交CB的延长线于B'，依次进行．得到螺旋线，再顺次连接EA'，AB'，BC'，CD'，DE'，得到5块阴影区域，若记它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，且满足S5﹣S2＝1，则S4﹣S3的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共10小题）
11．平面上一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为 ．
12．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AP＝5，BP＝4，CP＝3，则DP为 ．
13．已知AC与AB切⊙O于C、B两点，过上一点D作⊙O切线交AC于E、交AB于F，若EF⊥AB，AE＝5，EF＝4，则AO＝ ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是 ．
15．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝ 度．
16．如图，⊙O的半径为6cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB＝OA，动点P从点A出发，以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为 时，BP与⊙O相切．
17．如图，A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O（A与O点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是 ．
18．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，⊙O是△ABC的内切圆，则⊙O的半径为 ．
19．如图，⊙O1与⊙O2交于点A，B，延长⊙O2的直径CA交⊙O1于点D，延长⊙O2的弦CB交⊙O1于点E．已知AC＝6，AD：BC：BE＝1：1：5，则DE的长是 ．
20．如图，已知⊙O的半径为2，正方形ABCD的边长为2，过点O作OM⊥AB，垂足为M，AM＝BM，若阴影部分的面积为2，则OM长为 ．
三、解答题（共10小题）
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°．以AB为直径的⊙O交BC于点E，D为AC的中点．连接DE，BD与OE相交于点F
（1）求证：DE所在的直线为⊙O的切线．
（2）若AB＝10，BE＝5，求OF的长．
22．如图，已知在⊙O中，弦AB＝CD，延长AB到E，延长CD到F，使BE＝DF，求证：EF的垂直平分线经过点O．
23．如图．△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D点，DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE交⊙O于F，连接DF，若tan∠EDF＝，求cos∠DEF的值．
24．如图，已知EF过圆O的圆心O，且弦AB⊥EF，连接AE交⊙O于点C，连接BC交EF于点
D，连接OB、OC．
（1）若∠E＝24°，求∠BOC的度数；
（2）若OB＝2，OD＝1，求DE的长．
25．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且＝，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）连接OE，若OE＝2，求DE的长．
26．如图，已知，BE是⊙O的直径，BC切⊙O于B，弦DE∥OC，连接CD并延长交BE的延长线于点A．
（1）证明：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，AE＝1，求CD的长．
27．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
28．每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）将菱形OABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到菱形OA1B1C1，请画出菱形OA1B1C1，并直接写出点B1的坐标；
（2）将菱形OABC绕原点O顺时针旋转90°，得到菱形OA2B2C2，请画出菱形OA2B2C2，并求出点B旋转到B2的路径长．
29．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连接OC，OC⊥BD．
（1）求证：AB＝CD．
（2）若∠A等于66°，求∠ADB的度数．
30．如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度数．
2021年北师大新版九年级（下）《第3章 圆》名校试题套卷（4）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠ABO＝50°，则∠ACB等于（ ）
A．100° B．80° C．50° D．40°
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠ACB＝∠AOB＝40°．
故选：D．
2．如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（ ）
A．50° B．60° C．100° D．120°
【解答】解：∵∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠C＝50°．
∵此圆与直线BC相切于C点，
∴的度数＝2∠C＝100°．
故选：C．
3．已知圆O的半径是4，圆心O到直线L的距离d＝6，则直线L与圆O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
【解答】解：根据圆心到直线的距离6大于圆的半径4，则直线和圆相离．
故选：A．
4．如图，把一个宽度为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么光盘的直径是（ ）
A．5 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
【解答】解：设光盘的圆心为O，如图所示：
过点O作OA垂直直尺于点A，连接OB，设OB＝x，
∵一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”，
∴AB＝×（10﹣2）＝4，
∵刻度尺宽2cm，
∴OA＝x﹣2，
在Rt△OAB中，
OA2+AB2＝OB2，即（x﹣2）2+42＝x2，
解得：x＝5．
∴该光盘的直径是10cm．
故选：C．
5．如图⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，AC与DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（ ）
A．CE CD＝BE BA B．CE AE＝BE DE
C．PC CA＝PB BD D．PC PA＝PB PD
【解答】解：由相交弦定理知，CE ED＝BE AE，由切割线定理知，PC PA＝PB PD，只有D正确．
故选：D．
6．如图，在4×4的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，O、A、B分别是小正方形的顶点，则的长度为（ ）
A．π B． C．2π D．4π
【解答】解：
∵AC＝OC＝OD＝BD＝2，
∠C＝∠D＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD＝45°，
∴∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AO＝BO＝2，
的长度为＝，
故选：B．
7．已知a，b，c是△ABC三边的长，外接圆的圆心在△ABC一条边上的是（ ）
A．a＝15，b＝12，c＝1 B．a＝5，b＝12，c＝12
C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a＝5，b＝12，c＝14
【解答】解：∵外接圆的圆心在△ABC一条边上，
∴△ABC是直角三角形．
∴当a＝5，b＝12，c＝13时，a2+b2＝c2，
则△ABC是直角三角形．
故选：C．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE的交点是F
∵AB，AE都为圆的切线
∴AE＝AB
∵OB＝OE，AO＝AO
∴△ABO≌△AEO（SSS）
∴∠OAB＝∠OAE
∴AO⊥BE
在直角△AOB里AO2＝OB2+AB2
∵OB＝1，AB＝3
∴AO＝
易证明△BOF∽△AOB
∴BO：AO＝OF：OB
∴1：＝OF：1
∴OF＝
sin∠CBE＝＝
故选：D．
9．已知圆O的半径为5，P为圆O内一点，且OP＝3，则过点P的所有弦中，弦长是整数的共有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【解答】解：如图，过P作弦AB⊥OP，交⊙O于A、B，连接OA，
Rt△OAP中，OP＝3，OA＝5，
根据勾股定理，得AP＝＝4，
即由垂径定理得：AB＝2AP＝8，
∵最长的弦是直径，长度是10，
∴过点P的弦的长度都在8～10之间，
∴弦长为8、9、10，
当弦长为8、10时，过P点的弦分别为弦AB和过P点的直径，分别有一条；
当弦长为9时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条；
故弦长为整数的弦共有4条，
故选：A．
10．如图以正五边形ABCDE的顶点A为圆心，AE为半径作圆弧交BA的延长线于点A'，再以点B为圆心，BA'为半径作圆弧交CB的延长线于B'，依次进行．得到螺旋线，再顺次连接EA'，AB'，BC'，CD'，DE'，得到5块阴影区域，若记它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，且满足S5﹣S2＝1，则S4﹣S3的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设五边形的边长为a．则S1＝﹣ a2 sin72°，
S2＝﹣ a 2a sin72°，
S3＝﹣ a 3a sin72°，
S4＝﹣ a 4a sin72°，
S5＝﹣ a 5a sin72°，
∵S5﹣S2＝1，
∴5πa2﹣πa2﹣a2 sin72°＝1，
∴ π a2﹣a2 sin72°＝1，
∴S4﹣S3＝πa2﹣πa2﹣a2sin72°＝π a2﹣a2sin72°＝，
故选：D．
二、填空题（共10小题）
11．平面上一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为 4cm或2cm ．
【解答】解：当点P在圆内时，则直径＝6+2＝8cm，因而半径是4cm；当点P在圆外时，直径＝6﹣2＝4cm，因而半径是2cm．
所以⊙O的半径为4或2cm．
12．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AP＝5，BP＝4，CP＝3，则DP为 ．
【解答】解：由相交弦定理得，PA PB＝PC PD，
∴5×4＝3×DP，
解得，DP＝，
故答案为：．
13．已知AC与AB切⊙O于C、B两点，过上一点D作⊙O切线交AC于E、交AB于F，若EF⊥AB，AE＝5，EF＝4，则AO＝ ．
【解答】解：如图，
∵EF⊥AB，AE＝5，EF＝4，
∴AF2＝52﹣42＝9，
∴AF＝3；
∵ABACEF分别是⊙O的切线，
∴AB＝AC，EG＝EC，FG＝FB；
OC⊥EC，OG⊥GE，OB⊥FB；
∴AE+EF+AF＝AC+AB＝2AC＝12，
∴AC＝6；
在RT△EOC与RT△EOG中，
，
∴RT△EOC≌RT△EOG（HL），
同理可证：△GOF≌△BOF，
∴＝4R（R为⊙O的半径），
∵，
，
∴4R+6＝6R，
∴R＝3，
由勾股定理得：
AO2＝62+32，
∴AO＝，
股改答案为．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是 （2，1） ．
【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为：（2，1）．
15．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝ 60 度．
【解答】解：如图，连接OA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝20°，
∴∠OAB＝60°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB＝60°，
故答案为：60．
16．如图，⊙O的半径为6cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB＝OA，动点P从点A出发，以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为 2秒或10秒 时，BP与⊙O相切．
【解答】解：连接OP
∵当OP⊥PB时，BP与⊙O相切，
∵AB＝OA，OA＝OP，
∴OB＝2OP，∠OPB＝90°；
∴∠B＝30°；
∴∠O＝60°；
∵OA＝6cm，
弧AP＝＝2π，
∵圆的周长为：12π，
∴点P运动的距离为2π或12π﹣2π＝10π；
∴当t＝2秒或10秒时，有BP与⊙O相切．
故答案为：2秒或10秒．
17．如图，A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O（A与O点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是 π ．
【解答】解：将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A'重合，则转过的距离是圆的周长是π，因而点A'对应的实数是π．
故答案为：π．
18．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，⊙O是△ABC的内切圆，则⊙O的半径为 ．
【解答】解：设切点分别为点D，E，F，连接AO，BO，CO，OD，OF，OE，过点A作AH⊥BC于点H，
设BH＝x，则CH＝BC﹣x＝5﹣x，
∵AH2＝AB2﹣BH2，AH2＝AC2﹣CE2，
∴AB2﹣BH2＝AC2﹣CE2，
即16﹣x2＝36﹣（5﹣x）2，
解得：x＝，
∴AH＝，
∴S△ABC＝BC AH＝，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，OE⊥BC，OF＝OD＝OE，
∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，
∴＝×（AB+BC+AC）×OD，
解得：OD＝，
∴⊙O的半径为，
故答案为：．
19．如图，⊙O1与⊙O2交于点A，B，延长⊙O2的直径CA交⊙O1于点D，延长⊙O2的弦CB交⊙O1于点E．已知AC＝6，AD：BC：BE＝1：1：5，则DE的长是 9 ．
【解答】解：连接AB，在圆内接四边形ABED中，∠BAC＝∠E，∠ABC＝∠EDC，
因为AC为⊙O2直径，则∠ABC＝90°，于是△ABC∽△EDC，
因为AD：BC：BE＝1：1：5，
所以，设AD＝x，BC＝x，BE＝5x；
于是：＝，即6x2＝36+6x，x2﹣x﹣6＝0，
解得x＝3，x＝﹣2（负值舍去），
在Rt△EDC中，ED＝＝9．
20．如图，已知⊙O的半径为2，正方形ABCD的边长为2，过点O作OM⊥AB，垂足为M，AM＝BM，若阴影部分的面积为2，则OM长为 ﹣1+ ．
【解答】解：设AD交⊙O于E，BC交⊙O于F，连接EF，OE，OF，延长OM交EF于H．
由题意EF∥AB，EF＝AB＝2，
∵OM⊥AB，
∴OH⊥EF，
∴EH＝FH＝1，
∴sin∠FOH＝＝，
∴∠FOH＝30°，
∵OE＝OF，OH⊥EF，
∴∠EOH＝∠FOH＝30°，
∴∠EOF＝60°，
∴OH＝FH＝，
∵阴影部分的面积为2，设AE＝BF＝MH＝x，
∴2（2﹣x）﹣（﹣×22）＝2，
解得x＝1﹣+，
∴OM＝OH﹣MH＝﹣（1﹣+）＝﹣1+，
故答案为﹣1+．
三、解答题（共10小题）
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°．以AB为直径的⊙O交BC于点E，D为AC的中点．连接DE，BD与OE相交于点F
（1）求证：DE所在的直线为⊙O的切线．
（2）若AB＝10，BE＝5，求OF的长．
【解答】（1）证明：连接OD；如图1所示：
∵O、D分别是AB、AC的中点，
∴OD∥BC，
∴∠AOD＝∠ABC，∠DOE＝∠BEO；
∵OB＝OE，
∴∠AOD＝∠DOE，
在△OAD和△OED中，，
∴△OAD≌△OED（SAS），
∴∠OED＝∠OAD＝90°，DE＝AD，
∴DE为⊙O的切线．
（2）解：连接AE，如图2所示：
∵AB＝10，BE＝5，
∴AE＝5，
∴AE＝AB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴BC＝，
∵OD∥BC，OD＝BC＝，
∴OD：BE＝OF：EF＝2：3；
∵OE＝AB＝5，
∴OF＝2．
22．如图，已知在⊙O中，弦AB＝CD，延长AB到E，延长CD到F，使BE＝DF，求证：EF的垂直平分线经过点O．
【解答】解：过点O作OG⊥CF于点G，OH⊥AE于点H，连接OF、OE，
∴由垂径定理可知：BH＝AB，DG＝CD，
∵AB＝CD，
∴BH＝DG，
∵OD＝OB，
∴由勾股定理可知：OG2＝OH2，
∵BE＝DF，
∴BE+BH＝DF+DG，
∴EH＝FG，
∴在Rt△OEH与Rt△OFG中，
由勾股定理可知：OE2＝OF2，
∴OE＝OF，
∴△OFE是等腰三角形，
∴由等腰三角形的三线合一可知：EF的垂直平分线过O点．
23．如图．△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D点，DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE交⊙O于F，连接DF，若tan∠EDF＝，求cos∠DEF的值．
【解答】解：（1）连接OD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴OD为△ABC的中位线
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）作OM⊥DF于M，ON⊥OF于N．
∵OD＝OF，OM⊥DF，
∴DM＝MF，设DM＝MF＝a，
∵∠EDF＝∠DOE，
∴tan∠DOM＝tan∠EDF＝，
∴OM＝2a，AD＝OF＝a，
∵ DF OM＝ OF DN，
∴DN＝a，
∵∠ODN+∠DON＝90°，∠DON+∠OED＝90°，
∴∠ODN＝∠OED，
∴cos∠DEF＝sin∠DON＝＝．
24．如图，已知EF过圆O的圆心O，且弦AB⊥EF，连接AE交⊙O于点C，连接BC交EF于点
D，连接OB、OC．
（1）若∠E＝24°，求∠BOC的度数；
（2）若OB＝2，OD＝1，求DE的长．
【解答】解：（1）∵EF⊥AB，
∴∠A+∠E＝90°，
∵∠E＝24°，
∴∠A＝90°﹣∠E＝66°，
∴∠BOC＝2∠A＝132°；
（2）∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
在△OBC中，∠COB＝，
∵∠E＝90°﹣∠A，∠A＝∠BOC，
∴∠OCB＝∠E，
∵∠COD＝∠EOC，
∴△COD∽△EOC，
∴，
∵OB＝2，OD＝1，
∴，
解得OE＝4，
∴DE＝OE﹣OD＝3．
25．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且＝，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）连接OE，若OE＝2，求DE的长．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴DA＝DC
∵BM是⊙O的切线，
∴AB⊥BE，
∵CD∥BM，
∴CD⊥AB，
∴＝，
∴AD＝AC，
∴AD＝AC＝CD，即△ACD是等边三角形；
（2）连接OE，作OG⊥AD于G，
由（1）得，∠EAB＝30°，
∴AB＝BE，
∴OB＝BE，
由勾股定理得，（BE）2+BE2＝（2）2，
解得，BE＝4，
则AB＝4，AE＝8，
在Rt△AOG中，∠OAG＝30°，OA＝2，
∴AG＝3，
∴AD＝6，
∴DE＝AE﹣AD＝2．
26．如图，已知，BE是⊙O的直径，BC切⊙O于B，弦DE∥OC，连接CD并延长交BE的延长线于点A．
（1）证明：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，AE＝1，求CD的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵ED∥OC，
∴∠COB＝∠DEO，∠COD＝∠EDO，
∵OD＝OE，
∴∠DEO＝∠EDO，
∴∠COB＝∠COD，
在△BCO和△DCO中，
∴△BCO≌△DCO（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO，
∵BC为圆O的切线，
∴BC⊥OB，即∠CBO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
又∵OD为圆的半径，
∴CD为圆O的切线；
（2）解：∵CD，BC分别切⊙O于D，B，
∴CD＝BC，
∵AD2＝AE AB，即22＝1 AB，
∴AB＝4，
设CD＝BC＝x，则AC＝2+x，
∵A2C＝AB2+BC2
∴（2+x）2＝42+x2，
解得：x＝3，
∴CD＝3．
27．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BE＝AB＝×8＝4（m），
在Rt△AEO中，OE＝＝＝3（m），
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
28．每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）将菱形OABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到菱形OA1B1C1，请画出菱形OA1B1C1，并直接写出点B1的坐标；
（2）将菱形OABC绕原点O顺时针旋转90°，得到菱形OA2B2C2，请画出菱形OA2B2C2，并求出点B旋转到B2的路径长．
【解答】解：（1）
根据平移的性质可知B1的坐标：（8，6）
（2）点B旋转到B2的路径就是一段弧长．
根据勾股定理得OB＝
根据弧长公式得：．
29．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连接OC，OC⊥BD．
（1）求证：AB＝CD．
（2）若∠A等于66°，求∠ADB的度数．
【解答】（1）证明：∵DB平分∠ADC，
∴＝，
∵OC⊥BD，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝CD；
（2）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝114°，
∵＝，
∴BC＝CD，
∴∠BDC＝×（180°﹣114°）＝33°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC＝33°．
30．如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度数．
【解答】解：连接OD，如图，
∵AB＝2DE，
而AB＝2OD，
∴OD＝DE，
∴∠DOE＝∠E＝20°，
∴∠CDO＝∠DOE+∠E＝40°，
而OC＝OD，
∴∠C＝∠ODC＝40°，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝60°．
一、选择题（共10小题）
1．如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠ABO＝50°，则∠ACB等于（ ）
A．100° B．80° C．50° D．40°
2．如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（ ）
A．50° B．60° C．100° D．120°
3．已知圆O的半径是4，圆心O到直线L的距离d＝6，则直线L与圆O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
4．如图，把一个宽度为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么光盘的直径是（ ）
A．5 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
5．如图⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，AC与DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（ ）
A．CE CD＝BE BA B．CE AE＝BE DE
C．PC CA＝PB BD D．PC PA＝PB PD
6．如图，在4×4的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，O、A、B分别是小正方形的顶点，则的长度为（ ）
A．π B． C．2π D．4π
7．已知a，b，c是△ABC三边的长，外接圆的圆心在△ABC一条边上的是（ ）
A．a＝15，b＝12，c＝1 B．a＝5，b＝12，c＝12
C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a＝5，b＝12，c＝14
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE＝（ ）
A． B． C． D．
9．已知圆O的半径为5，P为圆O内一点，且OP＝3，则过点P的所有弦中，弦长是整数的共有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
10．如图以正五边形ABCDE的顶点A为圆心，AE为半径作圆弧交BA的延长线于点A'，再以点B为圆心，BA'为半径作圆弧交CB的延长线于B'，依次进行．得到螺旋线，再顺次连接EA'，AB'，BC'，CD'，DE'，得到5块阴影区域，若记它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，且满足S5﹣S2＝1，则S4﹣S3的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共10小题）
11．平面上一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为 ．
12．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AP＝5，BP＝4，CP＝3，则DP为 ．
13．已知AC与AB切⊙O于C、B两点，过上一点D作⊙O切线交AC于E、交AB于F，若EF⊥AB，AE＝5，EF＝4，则AO＝ ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是 ．
15．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝ 度．
16．如图，⊙O的半径为6cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB＝OA，动点P从点A出发，以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为 时，BP与⊙O相切．
17．如图，A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O（A与O点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是 ．
18．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，⊙O是△ABC的内切圆，则⊙O的半径为 ．
19．如图，⊙O1与⊙O2交于点A，B，延长⊙O2的直径CA交⊙O1于点D，延长⊙O2的弦CB交⊙O1于点E．已知AC＝6，AD：BC：BE＝1：1：5，则DE的长是 ．
20．如图，已知⊙O的半径为2，正方形ABCD的边长为2，过点O作OM⊥AB，垂足为M，AM＝BM，若阴影部分的面积为2，则OM长为 ．
三、解答题（共10小题）
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°．以AB为直径的⊙O交BC于点E，D为AC的中点．连接DE，BD与OE相交于点F
（1）求证：DE所在的直线为⊙O的切线．
（2）若AB＝10，BE＝5，求OF的长．
22．如图，已知在⊙O中，弦AB＝CD，延长AB到E，延长CD到F，使BE＝DF，求证：EF的垂直平分线经过点O．
23．如图．△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D点，DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE交⊙O于F，连接DF，若tan∠EDF＝，求cos∠DEF的值．
24．如图，已知EF过圆O的圆心O，且弦AB⊥EF，连接AE交⊙O于点C，连接BC交EF于点
D，连接OB、OC．
（1）若∠E＝24°，求∠BOC的度数；
（2）若OB＝2，OD＝1，求DE的长．
25．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且＝，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）连接OE，若OE＝2，求DE的长．
26．如图，已知，BE是⊙O的直径，BC切⊙O于B，弦DE∥OC，连接CD并延长交BE的延长线于点A．
（1）证明：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，AE＝1，求CD的长．
27．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
28．每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）将菱形OABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到菱形OA1B1C1，请画出菱形OA1B1C1，并直接写出点B1的坐标；
（2）将菱形OABC绕原点O顺时针旋转90°，得到菱形OA2B2C2，请画出菱形OA2B2C2，并求出点B旋转到B2的路径长．
29．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连接OC，OC⊥BD．
（1）求证：AB＝CD．
（2）若∠A等于66°，求∠ADB的度数．
30．如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度数．
2021年北师大新版九年级（下）《第3章 圆》名校试题套卷（4）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠ABO＝50°，则∠ACB等于（ ）
A．100° B．80° C．50° D．40°
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠ACB＝∠AOB＝40°．
故选：D．
2．如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（ ）
A．50° B．60° C．100° D．120°
【解答】解：∵∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠C＝50°．
∵此圆与直线BC相切于C点，
∴的度数＝2∠C＝100°．
故选：C．
3．已知圆O的半径是4，圆心O到直线L的距离d＝6，则直线L与圆O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
【解答】解：根据圆心到直线的距离6大于圆的半径4，则直线和圆相离．
故选：A．
4．如图，把一个宽度为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么光盘的直径是（ ）
A．5 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
【解答】解：设光盘的圆心为O，如图所示：
过点O作OA垂直直尺于点A，连接OB，设OB＝x，
∵一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”，
∴AB＝×（10﹣2）＝4，
∵刻度尺宽2cm，
∴OA＝x﹣2，
在Rt△OAB中，
OA2+AB2＝OB2，即（x﹣2）2+42＝x2，
解得：x＝5．
∴该光盘的直径是10cm．
故选：C．
5．如图⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，AC与DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（ ）
A．CE CD＝BE BA B．CE AE＝BE DE
C．PC CA＝PB BD D．PC PA＝PB PD
【解答】解：由相交弦定理知，CE ED＝BE AE，由切割线定理知，PC PA＝PB PD，只有D正确．
故选：D．
6．如图，在4×4的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，O、A、B分别是小正方形的顶点，则的长度为（ ）
A．π B． C．2π D．4π
【解答】解：
∵AC＝OC＝OD＝BD＝2，
∠C＝∠D＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD＝45°，
∴∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AO＝BO＝2，
的长度为＝，
故选：B．
7．已知a，b，c是△ABC三边的长，外接圆的圆心在△ABC一条边上的是（ ）
A．a＝15，b＝12，c＝1 B．a＝5，b＝12，c＝12
C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a＝5，b＝12，c＝14
【解答】解：∵外接圆的圆心在△ABC一条边上，
∴△ABC是直角三角形．
∴当a＝5，b＝12，c＝13时，a2+b2＝c2，
则△ABC是直角三角形．
故选：C．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE的交点是F
∵AB，AE都为圆的切线
∴AE＝AB
∵OB＝OE，AO＝AO
∴△ABO≌△AEO（SSS）
∴∠OAB＝∠OAE
∴AO⊥BE
在直角△AOB里AO2＝OB2+AB2
∵OB＝1，AB＝3
∴AO＝
易证明△BOF∽△AOB
∴BO：AO＝OF：OB
∴1：＝OF：1
∴OF＝
sin∠CBE＝＝
故选：D．
9．已知圆O的半径为5，P为圆O内一点，且OP＝3，则过点P的所有弦中，弦长是整数的共有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【解答】解：如图，过P作弦AB⊥OP，交⊙O于A、B，连接OA，
Rt△OAP中，OP＝3，OA＝5，
根据勾股定理，得AP＝＝4，
即由垂径定理得：AB＝2AP＝8，
∵最长的弦是直径，长度是10，
∴过点P的弦的长度都在8～10之间，
∴弦长为8、9、10，
当弦长为8、10时，过P点的弦分别为弦AB和过P点的直径，分别有一条；
当弦长为9时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条；
故弦长为整数的弦共有4条，
故选：A．
10．如图以正五边形ABCDE的顶点A为圆心，AE为半径作圆弧交BA的延长线于点A'，再以点B为圆心，BA'为半径作圆弧交CB的延长线于B'，依次进行．得到螺旋线，再顺次连接EA'，AB'，BC'，CD'，DE'，得到5块阴影区域，若记它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，且满足S5﹣S2＝1，则S4﹣S3的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设五边形的边长为a．则S1＝﹣ a2 sin72°，
S2＝﹣ a 2a sin72°，
S3＝﹣ a 3a sin72°，
S4＝﹣ a 4a sin72°，
S5＝﹣ a 5a sin72°，
∵S5﹣S2＝1，
∴5πa2﹣πa2﹣a2 sin72°＝1，
∴ π a2﹣a2 sin72°＝1，
∴S4﹣S3＝πa2﹣πa2﹣a2sin72°＝π a2﹣a2sin72°＝，
故选：D．
二、填空题（共10小题）
11．平面上一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为 4cm或2cm ．
【解答】解：当点P在圆内时，则直径＝6+2＝8cm，因而半径是4cm；当点P在圆外时，直径＝6﹣2＝4cm，因而半径是2cm．
所以⊙O的半径为4或2cm．
12．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AP＝5，BP＝4，CP＝3，则DP为 ．
【解答】解：由相交弦定理得，PA PB＝PC PD，
∴5×4＝3×DP，
解得，DP＝，
故答案为：．
13．已知AC与AB切⊙O于C、B两点，过上一点D作⊙O切线交AC于E、交AB于F，若EF⊥AB，AE＝5，EF＝4，则AO＝ ．
【解答】解：如图，
∵EF⊥AB，AE＝5，EF＝4，
∴AF2＝52﹣42＝9，
∴AF＝3；
∵ABACEF分别是⊙O的切线，
∴AB＝AC，EG＝EC，FG＝FB；
OC⊥EC，OG⊥GE，OB⊥FB；
∴AE+EF+AF＝AC+AB＝2AC＝12，
∴AC＝6；
在RT△EOC与RT△EOG中，
，
∴RT△EOC≌RT△EOG（HL），
同理可证：△GOF≌△BOF，
∴＝4R（R为⊙O的半径），
∵，
，
∴4R+6＝6R，
∴R＝3，
由勾股定理得：
AO2＝62+32，
∴AO＝，
股改答案为．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是 （2，1） ．
【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为：（2，1）．
15．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝ 60 度．
【解答】解：如图，连接OA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝20°，
∴∠OAB＝60°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB＝60°，
故答案为：60．
16．如图，⊙O的半径为6cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB＝OA，动点P从点A出发，以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为 2秒或10秒 时，BP与⊙O相切．
【解答】解：连接OP
∵当OP⊥PB时，BP与⊙O相切，
∵AB＝OA，OA＝OP，
∴OB＝2OP，∠OPB＝90°；
∴∠B＝30°；
∴∠O＝60°；
∵OA＝6cm，
弧AP＝＝2π，
∵圆的周长为：12π，
∴点P运动的距离为2π或12π﹣2π＝10π；
∴当t＝2秒或10秒时，有BP与⊙O相切．
故答案为：2秒或10秒．
17．如图，A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O（A与O点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是 π ．
【解答】解：将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A'重合，则转过的距离是圆的周长是π，因而点A'对应的实数是π．
故答案为：π．
18．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，⊙O是△ABC的内切圆，则⊙O的半径为 ．
【解答】解：设切点分别为点D，E，F，连接AO，BO，CO，OD，OF，OE，过点A作AH⊥BC于点H，
设BH＝x，则CH＝BC﹣x＝5﹣x，
∵AH2＝AB2﹣BH2，AH2＝AC2﹣CE2，
∴AB2﹣BH2＝AC2﹣CE2，
即16﹣x2＝36﹣（5﹣x）2，
解得：x＝，
∴AH＝，
∴S△ABC＝BC AH＝，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，OE⊥BC，OF＝OD＝OE，
∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，
∴＝×（AB+BC+AC）×OD，
解得：OD＝，
∴⊙O的半径为，
故答案为：．
19．如图，⊙O1与⊙O2交于点A，B，延长⊙O2的直径CA交⊙O1于点D，延长⊙O2的弦CB交⊙O1于点E．已知AC＝6，AD：BC：BE＝1：1：5，则DE的长是 9 ．
【解答】解：连接AB，在圆内接四边形ABED中，∠BAC＝∠E，∠ABC＝∠EDC，
因为AC为⊙O2直径，则∠ABC＝90°，于是△ABC∽△EDC，
因为AD：BC：BE＝1：1：5，
所以，设AD＝x，BC＝x，BE＝5x；
于是：＝，即6x2＝36+6x，x2﹣x﹣6＝0，
解得x＝3，x＝﹣2（负值舍去），
在Rt△EDC中，ED＝＝9．
20．如图，已知⊙O的半径为2，正方形ABCD的边长为2，过点O作OM⊥AB，垂足为M，AM＝BM，若阴影部分的面积为2，则OM长为 ﹣1+ ．
【解答】解：设AD交⊙O于E，BC交⊙O于F，连接EF，OE，OF，延长OM交EF于H．
由题意EF∥AB，EF＝AB＝2，
∵OM⊥AB，
∴OH⊥EF，
∴EH＝FH＝1，
∴sin∠FOH＝＝，
∴∠FOH＝30°，
∵OE＝OF，OH⊥EF，
∴∠EOH＝∠FOH＝30°，
∴∠EOF＝60°，
∴OH＝FH＝，
∵阴影部分的面积为2，设AE＝BF＝MH＝x，
∴2（2﹣x）﹣（﹣×22）＝2，
解得x＝1﹣+，
∴OM＝OH﹣MH＝﹣（1﹣+）＝﹣1+，
故答案为﹣1+．
三、解答题（共10小题）
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°．以AB为直径的⊙O交BC于点E，D为AC的中点．连接DE，BD与OE相交于点F
（1）求证：DE所在的直线为⊙O的切线．
（2）若AB＝10，BE＝5，求OF的长．
【解答】（1）证明：连接OD；如图1所示：
∵O、D分别是AB、AC的中点，
∴OD∥BC，
∴∠AOD＝∠ABC，∠DOE＝∠BEO；
∵OB＝OE，
∴∠AOD＝∠DOE，
在△OAD和△OED中，，
∴△OAD≌△OED（SAS），
∴∠OED＝∠OAD＝90°，DE＝AD，
∴DE为⊙O的切线．
（2）解：连接AE，如图2所示：
∵AB＝10，BE＝5，
∴AE＝5，
∴AE＝AB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴BC＝，
∵OD∥BC，OD＝BC＝，
∴OD：BE＝OF：EF＝2：3；
∵OE＝AB＝5，
∴OF＝2．
22．如图，已知在⊙O中，弦AB＝CD，延长AB到E，延长CD到F，使BE＝DF，求证：EF的垂直平分线经过点O．
【解答】解：过点O作OG⊥CF于点G，OH⊥AE于点H，连接OF、OE，
∴由垂径定理可知：BH＝AB，DG＝CD，
∵AB＝CD，
∴BH＝DG，
∵OD＝OB，
∴由勾股定理可知：OG2＝OH2，
∵BE＝DF，
∴BE+BH＝DF+DG，
∴EH＝FG，
∴在Rt△OEH与Rt△OFG中，
由勾股定理可知：OE2＝OF2，
∴OE＝OF，
∴△OFE是等腰三角形，
∴由等腰三角形的三线合一可知：EF的垂直平分线过O点．
23．如图．△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D点，DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE交⊙O于F，连接DF，若tan∠EDF＝，求cos∠DEF的值．
【解答】解：（1）连接OD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴OD为△ABC的中位线
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）作OM⊥DF于M，ON⊥OF于N．
∵OD＝OF，OM⊥DF，
∴DM＝MF，设DM＝MF＝a，
∵∠EDF＝∠DOE，
∴tan∠DOM＝tan∠EDF＝，
∴OM＝2a，AD＝OF＝a，
∵ DF OM＝ OF DN，
∴DN＝a，
∵∠ODN+∠DON＝90°，∠DON+∠OED＝90°，
∴∠ODN＝∠OED，
∴cos∠DEF＝sin∠DON＝＝．
24．如图，已知EF过圆O的圆心O，且弦AB⊥EF，连接AE交⊙O于点C，连接BC交EF于点
D，连接OB、OC．
（1）若∠E＝24°，求∠BOC的度数；
（2）若OB＝2，OD＝1，求DE的长．
【解答】解：（1）∵EF⊥AB，
∴∠A+∠E＝90°，
∵∠E＝24°，
∴∠A＝90°﹣∠E＝66°，
∴∠BOC＝2∠A＝132°；
（2）∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
在△OBC中，∠COB＝，
∵∠E＝90°﹣∠A，∠A＝∠BOC，
∴∠OCB＝∠E，
∵∠COD＝∠EOC，
∴△COD∽△EOC，
∴，
∵OB＝2，OD＝1，
∴，
解得OE＝4，
∴DE＝OE﹣OD＝3．
25．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且＝，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）连接OE，若OE＝2，求DE的长．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴DA＝DC
∵BM是⊙O的切线，
∴AB⊥BE，
∵CD∥BM，
∴CD⊥AB，
∴＝，
∴AD＝AC，
∴AD＝AC＝CD，即△ACD是等边三角形；
（2）连接OE，作OG⊥AD于G，
由（1）得，∠EAB＝30°，
∴AB＝BE，
∴OB＝BE，
由勾股定理得，（BE）2+BE2＝（2）2，
解得，BE＝4，
则AB＝4，AE＝8，
在Rt△AOG中，∠OAG＝30°，OA＝2，
∴AG＝3，
∴AD＝6，
∴DE＝AE﹣AD＝2．
26．如图，已知，BE是⊙O的直径，BC切⊙O于B，弦DE∥OC，连接CD并延长交BE的延长线于点A．
（1）证明：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，AE＝1，求CD的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵ED∥OC，
∴∠COB＝∠DEO，∠COD＝∠EDO，
∵OD＝OE，
∴∠DEO＝∠EDO，
∴∠COB＝∠COD，
在△BCO和△DCO中，
∴△BCO≌△DCO（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO，
∵BC为圆O的切线，
∴BC⊥OB，即∠CBO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
又∵OD为圆的半径，
∴CD为圆O的切线；
（2）解：∵CD，BC分别切⊙O于D，B，
∴CD＝BC，
∵AD2＝AE AB，即22＝1 AB，
∴AB＝4，
设CD＝BC＝x，则AC＝2+x，
∵A2C＝AB2+BC2
∴（2+x）2＝42+x2，
解得：x＝3，
∴CD＝3．
27．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，
∴AE＝BE＝AB＝×8＝4（m），
在Rt△AEO中，OE＝＝＝3（m），
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
28．每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）将菱形OABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到菱形OA1B1C1，请画出菱形OA1B1C1，并直接写出点B1的坐标；
（2）将菱形OABC绕原点O顺时针旋转90°，得到菱形OA2B2C2，请画出菱形OA2B2C2，并求出点B旋转到B2的路径长．
【解答】解：（1）
根据平移的性质可知B1的坐标：（8，6）
（2）点B旋转到B2的路径就是一段弧长．
根据勾股定理得OB＝
根据弧长公式得：．
29．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连接OC，OC⊥BD．
（1）求证：AB＝CD．
（2）若∠A等于66°，求∠ADB的度数．
【解答】（1）证明：∵DB平分∠ADC，
∴＝，
∵OC⊥BD，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝CD；
（2）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝114°，
∵＝，
∴BC＝CD，
∴∠BDC＝×（180°﹣114°）＝33°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC＝33°．
30．如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度数．
【解答】解：连接OD，如图，
∵AB＝2DE，
而AB＝2OD，
∴OD＝DE，
∴∠DOE＝∠E＝20°，
∴∠CDO＝∠DOE+∠E＝40°，
而OC＝OD，
∴∠C＝∠ODC＝40°，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝60°．