期中复习训练 1.2矩形的性质与判定 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》期中复习训练（附答案）
1．如图，矩形ABCD的对角线的交点为O，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（　　）
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
3．如图，矩形ABCD，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于E、F点，连接CE，若OC＝cm，CD＝4cm，则DE的长为（　　）
A．cm B．5cm C．3cm D．2cm
4．已知矩形的对角线为1，面积为m，则矩形的周长为（　　）
A． B． C．2 D．2
5．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　）
A． B． C． D．
6．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，要使四边形ABCD为矩形，需添加的条件是（　　）
A．∠A＝∠C B．AB＝BC C．AC⊥BD D．AC＝BD
7．下列说法中，错误的是（　　）
A．矩形的对角线相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．菱形的四条边相等 D．四个内角都相等的四边形是矩形
8．如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，∠DCE＝4∠BCE，则∠ACE的度数为（　　）
A．52° B．54° C．56° D．58°
9．若O是四边形ABCD对角线的交点且OA＝OB＝OC＝OD，则四边形ABCD是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
10．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（　　）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
11．如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
12．下列关于平行四边形ABCD的叙述，一定正确的是（　　）
A．若AB＝AD，则平行四边形ABCD是矩形
B．若AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形
C．若AB⊥BC，则平行四边形ABCD是菱形
D．若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是矩形
13．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（　　）
①平行四边形； ②菱形； ③等腰梯形； ④对角线互相垂直的四边形．
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
14．如图O点是矩形ABCD的对角线AC的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC＝　 　．
15．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点．若AB＝8，OM＝3，则线段OB的长为　 　．
16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，要使它变为矩形，需要添加的条件　 　（写出一种情况即可）
17．如图，已知 ABCD中对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使 ABCD成为一个矩形．你添加的条件是　 　．
18．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，E是BC中点，连接OE并延长到F，使EF＝OE．
（1）求证：四边形OBFC是矩形．
（2）如果作BG∥OF，FG∥BC，四边形BGFE是何特殊四边形？并说明理由．
19．如图，在平行四边形ABCD中，点O是AB的中点，且OC＝OD．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）若AD＝3，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
20．如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．
（1）求证：四边形AGPH是矩形；
（2）在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
21．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB＝4，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积．
22．如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若AC＝6，求AB的长．
23．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，且∠1＝∠2．求证：四边形ABCD是矩形．
24．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．
求证：四边形BECD是矩形．
25．已知，如图，E、F分别为△ABC的边BC、CA的中点，延长EF到D，使得DF＝EF，连接DA，DC，AE．
（1）求证：四边形ABED是平行四边形；
（2）若AB＝AC，试证明四边形AECD是矩形．
26．如图，已知DB∥AC，E是AC的中点，DB＝AE，连接AD、BE．
（1）求证：四边形DBCE是平行四边形；
（2）若要使四边形ADBE是矩形，则△ABC应满足什么条件？说明你的理由．
参考答案
1．解：∵矩形ABCD的边AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
在矩形ABCD中，OB＝OD，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴S△BOE＝S△DOF，
∴阴影部分的面积＝S△AOB＝S矩形ABCD．
故选：B．
2．解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF＝CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP＝EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，
∴CM＝＝＝2.4，
∴CP＝EF＝CM＝1.2，
故选：A．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，OA＝OC，AC＝2OC＝4，
∴AD＝＝＝8，
∵EF⊥AC，
∴AE＝CE，
设AE＝CE＝x，则DE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴DE＝8﹣5＝3（cm）；
故选：C．
4．解：设矩形的长、宽分别为a、b，
∵矩形的对角线为1，面积为m，
∴a +b ＝1，ab＝m，
∴a+b＝＝＝，
∴矩形的周长为2（a+b）＝2，
故选：C．
5．解：∵AB＝6，BC＝8，
∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，
∴AO＝DO＝AC＝5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，
∴12＝×5×EO+×5×EF，
∴5（EO+EF）＝24，
∴EO+EF＝，
故选：C．
6．解：可添加AC＝BD，理由如下：
∵四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
故选：D．
7．解：A、∵矩形的对角线相等，
∴选项A不符合题意；
B、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项B符合题意；
C、∵菱形的四条边相等，
∴选项C不符合题意；
D、∵四个内角都相等的四边形是矩形，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB＝90°，OC＝OD，
∵∠DCE＝4∠ECB，
∴∠DCE＝×90°＝72°，
∴∠ECB＝18°
∴∠EBC＝∠ACB＝90°﹣∠ECB＝72°
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝72°﹣18°＝54°．
故选：B．
9．解：∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故选：B．
10．解：矩形的性质有：四个角都是直角，对角线相等且平分，对边平行且相等；
平行四边形的性质有：对角相等，对边相等且平行，对角线互相平分；
故矩形具有但平行四边形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：C．
11．解：由题意知，HG∥EF∥AC，EH∥FG∥BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴HG＝EF＝AC，EH＝FG＝BD，
∵矩形的对角线相等，
∴AC＝BD，
∴EH＝HG，
∴平行四边形EFGH是菱形．
故选：C．
12．解：A、错误．若AB＝AD，则平行四边形ABCD是菱形；
B、正确．
C、错误．若AB⊥BC，则平行四边形ABCD是矩形；
D、错误．若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形；
故选：B．
13．解：由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得①是平行四边形；
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形推得②④是矩形；
根据四条边形等的四边形为菱形得③是菱形．
故选：D．
14．解：∵菱形ABEO的边长为2，
∴AB＝AO＝2，
∵O点是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴∠ABC＝90°，AC＝2AO＝4，
∴BC＝＝＝2，
故答案为：2．
15．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点，
∴OM∥AB，
∴OM是△ADC的中位线，
∵OM＝3，
∴AD＝6，
∵CD＝AB＝8，
∴AC＝＝10，
∴BO＝AC＝5．
故答案为：5．
16．解：可添加AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠D＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：AD＝BC（答案不唯一）．
17．解：添加的条件是AC＝BD（答案不唯一），
理由是：∵AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．
18．（1）证明：∵E是BC中点，
∴BE＝CE，
∵EF＝OE，
∴四边形OBFC是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴平行四边形OBFC是矩形；
（2）解：四边形BGFE是菱形，理由如下：
∵BG∥OF，FG∥BC，
∴四边形BGFE是平行四边形，
由（1）得：BE＝CE，EF＝OE，四边形OBFC是矩形，
∴OF＝BC，
∴BE＝EF，
∴四边形BGFE是菱形．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵点O是AB的中点，
∴OA＝OB，
在△AOD和△BOC中，，
∴△AOD≌△BOC（SSS），
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：由（1）得：△AOD≌△BOC，
∴∠AOD＝∠BOC，
∵∠COD＝60°，
∴∠AOD＝∠BOC＝60°，
∵∠A＝90°，
∴∠ADO＝30°，
∴OA＝AD＝，
∴AB＝2OA＝2，
∴矩形ABCD的面积＝AB×AD＝2×3＝6．
20．（1）证明∵AC＝9 AB＝12 BC＝15，
∴AC2＝81，AB2＝144，BC2＝225，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠A＝90°．
∵PG⊥AC，PH⊥AB，
∴∠AGP＝∠AHP＝90°，
∴四边形AGPH是矩形；
（2）存在．理由如下：
连接AP．
∵四边形AGPH是矩形，
∴GH＝AP．
∵当AP⊥BC时AP最短．
∴9×12＝15 AP．
∴AP＝．
21．（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴平行四边形AODE是矩形，
故四边形AODE是矩形；
（2）解：∵∠BCD＝120°，AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
∵AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴OA＝×4＝2，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD
∴由勾股定理OB＝＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB＝2，
∴四边形AODE的面积＝OA OD＝2＝．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CAE＝∠ACF，∠CFO＝∠AEO，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）解：连接OB，如图所示：
∵BF＝BE，OE＝OF，
∴BO⊥EF，
由（1）知，△AOE≌△COF，
∴OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴BO＝AC＝OA，
∴∠BAC＝∠OBA，
又∠BEF＝2∠BAC，
∴∠BEF＝2∠OBE，
而Rt△OBE中，∠BEO+∠OBE＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∴BC＝AC＝3，
∴AB＝＝9．
23．证明：在 ABCD中，AO＝CO，BO＝DO，
∵∠1＝∠2，
∴BO＝CO，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴AC＝BD，
∴ ABCD为矩形．
24．证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD＝CD．
∵四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，BE＝AD，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形．
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴ BECD是矩形．
25．证明：（1）∵E、F分别为△ABC的边BC、CA的中点，
∴EF∥AB，EF＝AB，
∵DF＝EF，
∴EF＝DE，
∴AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形
（2）∵DF＝EF，AF＝CF，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AB＝AC，AB＝DE，
∴AC＝DE，
∴四边形AECD是矩形．
或∵DF＝EF，AF＝CF，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AB＝AC，BE＝EC，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形AECD是矩形．
26．（1）证明：∵E是AC中点，
∴AE＝EC，
∵DB＝AE，
∴EC＝BD
又∵DB∥AC，
∴四边形DECB是平行四边形．
（2）△ABC满足AB＝BC时，四边形DBEA是矩形
理由如下：∵DB＝AE，
又∵DB∥AC，
∴四边形DBEA是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∵AB＝BC，E为AC中点，
∴∠AEB＝90°，
∴平行四边形DBEA是矩形，
即△ABC满足AB＝BC时，四边形DBEA是矩形．