全等三角形的判定HL
图片预览
文档简介
(共25张PPT)
旧知回顾
判断两个三角形全等的方法
我们已经学了哪些呢？
SSS
SAS
ASA
AAS
三边对应相等的两个三角形全等。(简写成
“边边边”或“SSS”）
D
E
F
A
B
C
“边角边”或“SAS”）
两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等。(简写成
D
E
F
A
B
C
“角边角”或“ASA”）
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(简写成
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（简写成
“角角边”或“AAS”）
如图，△ABC中，∠ C =90°，直角边是_____、_____，斜边是______。
我们把直角△ABC记作Rt△ABC。
AC
BC
AB
C
B
A
思考：
F
E
D
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件外，还要满足几个条件，这两个三角形就全等了？
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
（1）你能帮他想个办法吗？
方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS)
方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角. (ASA)或(AAS)
情境问题1:
∠B=∠F=Rt ∠
①若AB=DF，∠A=∠D，则利用 可判定全等；
ASA
②若AB=DF，∠C=∠E，则利用 可判定全等；
AAS
③若AC=DE，∠C=∠E，则利用 可判定全等；
AAS
④若AC=DE，∠A=∠D，则利用 可判定全等；
AAS
⑤若AC=DE，∠A=∠D，AB=DE，
则利用 可判定全等；
SAS
A
B
D
F
C
E
工作人员是这样做的，他测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”。你相信他的结论吗？
对于两个直角三角形，若满足一条直角边和一条斜边对应相等时，这两个直角三角形全等吗？
A
B
D
F
C
E
如果工作人员只带了一条尺，能完成这项任务吗？
任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。
∟
B
C
A
B
A
按照下面的步骤画Rt△A B C
⑴ 作∠MC N=90°;
⑵ 在射线C M上取段B C =BC;
⑶ 以B 为圆心,AB为半径画弧，交
射线C N于点A ;
⑷ 连接A B .
∟
C
M
N
请你动手画一画
再画一个Rt△A B C ，使得∠C = 90°， B C =BC，A B = AB。
任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。再画一个Rt△A B C ，使得∠C = 90°， B C =BC，A B = AB。
B
A
按照下面的步骤画一画
⑴ 作∠MC N=90°;
⑵ 在射线C M上取段B C =BC;
⑶ 以B 为圆心,AB为半径画弧，交
射线C N于点A ;
⑷ 连接A B .
∟
C
M
N
请你动手画一画
∟
B
C
A
∟
B
C
A
现象：
两个直角三角形能重合。
说明：
当一个直角三角形的一条直角边和
斜边确定后，那么它的形状和大小
也被确定
斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等，
数学语言：
AB=A B
∵在Rt△ABC和Rt△A B C 中
Rt△ABC≌ Rt△A B C
∴
∟
B
C
A
∟
B
C
A
（HL）
BC=B C
简写为“斜边、直角边”或“HL”。
直角三角形的判定方法
通过刚才的探索，发现工作人员的做法
是完全正确的。
想一想
你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.
例4 如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.
求证：BC=AD.
A
B
C
D
证明： ∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C和∠D都是直角。
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=BA
AC=BD
∴Rt△ABC≌ Rt △BAD
∴BC=AD
（HL）
（全等三角形对应边相等）
例题讲解
议一议
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
∠ABC+∠DFE=90°.
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,
则
BC=EF,
AC=DF .
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠ABC=∠DEF
(全等三角形对应角相等).
∵ ∠DEF+∠DFE=90°,
∴∠ABC+∠DFE=90°.
如图， ∠ACB =∠ADB=90，要证明△ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由。
（1） （ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
（4） （ ）
A
B
D
C
AD=BC
∠ DAB= ∠ CBA
BD=AC
∠ DBA= ∠ CAB
HL
HL
AAS
AAS
判断两个直角三角形全等的方法有：
(1)： ；
(2)： ；
(3)： ；
(4)： ；
SSS
SAS
ASA
AAS
(5)： ；
HL
1、如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，此时，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E与路段AB的距离相等吗？为什么？
B
D
A
C
E
实际问题
数学问题
求证：ＤＡ＝ＥＢ。
①ＡＣ＝ＢＣ
②ＣＤ＝ＣＥ
CD 与CE 相等吗？
练习：
证明： ∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A和∠B都是直角。
AC=BC
DC=EC
∴Rt△ACD≌ Rt △BCE（HL）
∴ DA=EB
在Rt△ACD和Rt△BCE中，
又∵C是AB的中点，
∴AC=BC
∵C到D、E的速度、时间相同，
∴DC=EC
B
D
A
C
E
（全等三角形对应边相等）
2、如图，AB=CD，AE ⊥BC，DF ⊥BC，
CE=BF. 求证：AE=DF.
A
B
C
D
E
F
∵ＣＥ=ＢF
∴ＣＥ－ＥＦ=ＢＦ－ＥＦ
即ＣＦ=ＢＥ。
2、如图，AB=CD，AE ⊥BC，DF ⊥BC，
CE=BF. 求证：AE=DF.
A
B
C
D
E
F
证明：∵ AE⊥BC，DF⊥BC
∴△ＡＢＥ和△ＤＣＦ都是直角三角形。
又∵ＣＥ=ＢF
∴ＣＥ－ＥＦ=ＢＦ－ＥＦ
即ＣＦ=ＢＥ。
在Ｒｔ△ＡＢＥ和Ｒｔ△ＤＣＦ中
ＣＥ＝ＢＦ
ＡＢ＝ＤＣ
∴Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＤＣＦ（ＨＬ）
∴ＡＥ＝ＤＦ
4. 如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.
求证：OA=OB.
A
B
C
D
O
3. 如图， AB⊥BC，AD⊥DC，且AD=AB ， 求证：BC=DC
C
A
B
D
旧知回顾
判断两个三角形全等的方法
我们已经学了哪些呢？
SSS
SAS
ASA
AAS
三边对应相等的两个三角形全等。(简写成
“边边边”或“SSS”）
D
E
F
A
B
C
“边角边”或“SAS”）
两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等。(简写成
D
E
F
A
B
C
“角边角”或“ASA”）
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(简写成
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（简写成
“角角边”或“AAS”）
如图，△ABC中，∠ C =90°，直角边是_____、_____，斜边是______。
我们把直角△ABC记作Rt△ABC。
AC
BC
AB
C
B
A
思考：
F
E
D
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件外，还要满足几个条件，这两个三角形就全等了？
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
（1）你能帮他想个办法吗？
方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS)
方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角. (ASA)或(AAS)
情境问题1:
∠B=∠F=Rt ∠
①若AB=DF，∠A=∠D，则利用 可判定全等；
ASA
②若AB=DF，∠C=∠E，则利用 可判定全等；
AAS
③若AC=DE，∠C=∠E，则利用 可判定全等；
AAS
④若AC=DE，∠A=∠D，则利用 可判定全等；
AAS
⑤若AC=DE，∠A=∠D，AB=DE，
则利用 可判定全等；
SAS
A
B
D
F
C
E
工作人员是这样做的，他测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”。你相信他的结论吗？
对于两个直角三角形，若满足一条直角边和一条斜边对应相等时，这两个直角三角形全等吗？
A
B
D
F
C
E
如果工作人员只带了一条尺，能完成这项任务吗？
任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。
∟
B
C
A
B
A
按照下面的步骤画Rt△A B C
⑴ 作∠MC N=90°;
⑵ 在射线C M上取段B C =BC;
⑶ 以B 为圆心,AB为半径画弧，交
射线C N于点A ;
⑷ 连接A B .
∟
C
M
N
请你动手画一画
再画一个Rt△A B C ，使得∠C = 90°， B C =BC，A B = AB。
任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。再画一个Rt△A B C ，使得∠C = 90°， B C =BC，A B = AB。
B
A
按照下面的步骤画一画
⑴ 作∠MC N=90°;
⑵ 在射线C M上取段B C =BC;
⑶ 以B 为圆心,AB为半径画弧，交
射线C N于点A ;
⑷ 连接A B .
∟
C
M
N
请你动手画一画
∟
B
C
A
∟
B
C
A
现象：
两个直角三角形能重合。
说明：
当一个直角三角形的一条直角边和
斜边确定后，那么它的形状和大小
也被确定
斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等，
数学语言：
AB=A B
∵在Rt△ABC和Rt△A B C 中
Rt△ABC≌ Rt△A B C
∴
∟
B
C
A
∟
B
C
A
（HL）
BC=B C
简写为“斜边、直角边”或“HL”。
直角三角形的判定方法
通过刚才的探索，发现工作人员的做法
是完全正确的。
想一想
你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.
例4 如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.
求证：BC=AD.
A
B
C
D
证明： ∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C和∠D都是直角。
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=BA
AC=BD
∴Rt△ABC≌ Rt △BAD
∴BC=AD
（HL）
（全等三角形对应边相等）
例题讲解
议一议
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
∠ABC+∠DFE=90°.
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,
则
BC=EF,
AC=DF .
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠ABC=∠DEF
(全等三角形对应角相等).
∵ ∠DEF+∠DFE=90°,
∴∠ABC+∠DFE=90°.
如图， ∠ACB =∠ADB=90，要证明△ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由。
（1） （ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
（4） （ ）
A
B
D
C
AD=BC
∠ DAB= ∠ CBA
BD=AC
∠ DBA= ∠ CAB
HL
HL
AAS
AAS
判断两个直角三角形全等的方法有：
(1)： ；
(2)： ；
(3)： ；
(4)： ；
SSS
SAS
ASA
AAS
(5)： ；
HL
1、如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，此时，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E与路段AB的距离相等吗？为什么？
B
D
A
C
E
实际问题
数学问题
求证：ＤＡ＝ＥＢ。
①ＡＣ＝ＢＣ
②ＣＤ＝ＣＥ
CD 与CE 相等吗？
练习：
证明： ∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A和∠B都是直角。
AC=BC
DC=EC
∴Rt△ACD≌ Rt △BCE（HL）
∴ DA=EB
在Rt△ACD和Rt△BCE中，
又∵C是AB的中点，
∴AC=BC
∵C到D、E的速度、时间相同，
∴DC=EC
B
D
A
C
E
（全等三角形对应边相等）
2、如图，AB=CD，AE ⊥BC，DF ⊥BC，
CE=BF. 求证：AE=DF.
A
B
C
D
E
F
∵ＣＥ=ＢF
∴ＣＥ－ＥＦ=ＢＦ－ＥＦ
即ＣＦ=ＢＥ。
2、如图，AB=CD，AE ⊥BC，DF ⊥BC，
CE=BF. 求证：AE=DF.
A
B
C
D
E
F
证明：∵ AE⊥BC，DF⊥BC
∴△ＡＢＥ和△ＤＣＦ都是直角三角形。
又∵ＣＥ=ＢF
∴ＣＥ－ＥＦ=ＢＦ－ＥＦ
即ＣＦ=ＢＥ。
在Ｒｔ△ＡＢＥ和Ｒｔ△ＤＣＦ中
ＣＥ＝ＢＦ
ＡＢ＝ＤＣ
∴Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＤＣＦ（ＨＬ）
∴ＡＥ＝ＤＦ
4. 如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.
求证：OA=OB.
A
B
C
D
O
3. 如图， AB⊥BC，AD⊥DC，且AD=AB ， 求证：BC=DC
C
A
B
D