分类求解以特殊四边形为载体的几何图形证明题

分类求解以特殊四边形为载体的几何图形证明题
几何图形的证明问题是中考热点问题．常以证明三角形全等以及以三角形的全等为手段，解决诸如线段、角、面积等相等的问题．证明时应抓住题目的已知条件和所求证的结论，认真分析，建立起从已知到未知的关联，找到所要证明的全等三角形，然后找出全等所必备的边和角等条件．而以特殊四边形为载体的问题，求解时首先要找出这些特殊四边形所隐含的诸多性质，其次要看证明的问题是需要图形中边还是角等条件．下面分类加以说明．
一、证明线段的相等
例题1　如图，是正方形的对角线上一点，，，垂足分别是F、G．求证：．
分析：直接证明，很难建立起两者的关系，考虑添加辅助线，连结EC．先证四边形EFCG为矩形，利用矩形的对角线相等这一性质，然后再证三角形的全等即可．
证明：连结EC．
∵EF⊥BC，EG⊥CD，∴四边形EFCG为矩形．
∴FG=CE．
又BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABE=∠CBE．
又BE=BE，AB=CB，
∴△ABE≌△CBE．
∴AE=EC．
∴AE=FG．
例题2　如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F．
求证：BE=CF．
分析：可用矩形的性质充当证明全等的条件即可．
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，则BO=CO．
∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
∴∠BEO=∠CFO=90°．
又∵∠BOE=∠COF，
∴△BOE≌△COF．
∴BE=CF．
二、证明角的相等
例题3　已知：如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE＝∠CBP，BE＝BP，求证：∠PCB＝∠EAB；
分析：只须证明这两个角所在的两个三角形全等即可．
证明：∵ 四边形ABCD是正方形
∴ BC＝AB
∵ ∠CBP＝∠ABE BP＝BE
∴ △CBP≌△ABE
∴ ∠PCB＝∠EAB
三、证明三角形的全等　
例题4　如图，用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q，观察图形，是否有三角形与ΔACQ全等？并证明你的结论，
分析：只须利用菱形的有关性质首先找出与ΔACQ全等的三角形，可从边着手，不难看出ΔEGP与之全等，再证明即可．
解：图中的ΔEGP与ΔACQ全等
证明：因为菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等的菱形
即AC=EG
又AD//HE
∵BG∥CF
ΔEGP≌ΔACQ
例题5　如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，P为梯形ABCD外一点，PA、PD分别交线段BC于点E、F，且PA＝PD．
（1）写出图中三对你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；
（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．
分析：可利用已知等腰梯形的有关性质，特别是其对称性，再加之PA＝PD这样的条件，易找出所要找出的全等的三角形的对数．再证明其中一对即可．
解：①△ABP≌△DCP；②△ABE≌△DCF；③△BEP≌△CFP；④△BFP≌△CEP；（答对三对即可）
（2）以△ABP≌△DCP全等为例：
证明：∵AD∥BC，AB＝DC，
∴梯形ABCD为等腰梯形，∴∠BAD＝∠CDA，
又∵PA＝PD，∴∠PAD＝∠PDA，∴∠BAP＝∠CDP，
在△ABP和△DCP中，
∵，
∴△ABP≌△DCP．
评注：在证明有关的含特殊的四边形的问题时，熟练掌握其性质是解好这些题目的关键；其次掌握好判定三角形全等的方法也不可或缺，只要同学们不断总结，定会解决好这类问题的．
A
D
C
B
E
G
F