动态几何型综合题例析

动态几何型综合题例析
　　动态几何问题是近几年各地中考试题常见的压轴试题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能，估计这一趋势在今后几年的中考中不会削弱，这类试题往往综合性较强，涉及到函数、相似三角形、圆等知识，复习应加大训练的力度．
　　例1　（2006河北）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．
　　（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；
　　（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？
　　（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
　　（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．
　　析解：（1）由题意知 CQ＝4t，PC＝12－3t，
　　∴S△PCQ=PC·CQ＝－6t2+24t．
　　∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称，
　　∴y=2S△PCQ＝－12t2+48t．
　　（2）当时，有PQ∥AB，而AP与BQ不平行，这时四边形PQBA是梯形，
　　 ∵CA=12，CB=16，CQ＝4t，CP＝12－3t，
　　∴，解得t＝2．
　　∴当t＝2秒时，四边形PQBA是梯形．
　　（3）设存在时刻t，使得PD∥AB，延长PD交BC于点M，如图2，
　　若PD∥AB，则∠QMD=∠B．
　　又∵∠QDM=∠C=90°，
　　∴Rt△QMD∽Rt△ABC．
　　从而．
　　∵QD=CQ=4t，AC＝12，，
　　∴．
　　若PD∥AB，则，得．
　　解得．
　　∴当秒时，PD∥AB．
　　（4）存在时刻t，使得PD⊥AB． 时间段为：2＜t≤3．
　　点评：本题考查了三角形、四边形、轴对称的概念、一元一次方程、相似三角形、二次函数等知识，是一道综合性较强的试题．
　　例2　（2006山东济南）如图3，已知Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=5．过点A作AE⊥AB，且AE=15，连接BE交AC于点P．
　　（1）求PA的长；
　　（2）以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断BE与⊙A是否相切，并说明理由；
　　（3）如图4，过点C作CD⊥AE，垂足为D．以点A为圆心，r为半径作⊙A；以点C为圆心，R为半径作⊙C．若r和R的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切，且使D点在⊙A的内部，B点在⊙A的外部，求r和R的变化范围．
　　析解：（1）∵在Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=5，
　　∴AC＝2BC＝10．
　　∵AE∥BC，∴易得△APE∽△CPB．
　　∴PA∶PC＝AE∶BC＝3∶1．
　　∴PA∶AC＝3∶4，．
　　（2）BE与⊙A相切．
　　在Rt△ABE中，，AE＝15，
　　∴．∴∠ABE=60°
　　又∵∠PAB=30°，∴∠ABE＋∠PAB＝90°．
　　∴∠APB＝90°．∴BE与⊙A相切．
　　（3）因为AD＝5，，
　　所以r的变化范围为．
　　当⊙A与⊙C外切时，R＋r＝10，所以R的变化范围为；
　　当⊙A与⊙C内切时，R-r=10，所以R的变化范围为．
　　点评：本题考查相似三角形、三角函数、圆的切线的判定等有关知识，是初中数学中考的重点知识，试题本身比较富有创新，是一道很不错的试题，令人耳目一新．
PAGE