2021-2022学年安徽省淮南市东部地区九年级（上）第一次联考数学试卷（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年安徽省淮南市东部地区九年级（上）第一次联考数学试卷（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 450.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-08 07:24:00 | ||
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文档简介
2021-2022学年安徽省淮南市东部地区九年级第一学期第一次联考数学试卷
一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共计40分）
1．下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+1﹣x2＝0 C．x2+＝2 D．x2﹣x﹣2＝0
2．如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
3．一元二次方程x2＝2x的根为（ ）
A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝0或x＝﹣2
4．下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．在对称轴右侧y随x的增大而减小
5．在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝﹣2的是（ ）
A．y＝（x+2）2 B．y＝2x2﹣2 C．y＝﹣2x2﹣2 D．y＝2（x﹣2）2
6．如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（ ）
A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0
C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0
7．关于抛物线y＝x2﹣2x﹣3，下列结论中正确的是（ ）
A．y有最小值﹣3
B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．与y轴交于点（0，3）
D．与x轴交于点（3，0）、（1，0）
8．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
9．若一个二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过五个点A（﹣1，n），B（3，n），C（2，y1），D（﹣2，y2）和E（1，y3），则下列关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＞y1＞y2
10．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6
二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）
11．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为 ．
12．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是 ．（请用“＞”连接排序）
13．已知m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则代数式的值为 ．
14．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b＝0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1，有两个不相等的实数根；⑤8a+c＜0．其中正确结论的编号数是 ．
三、计算题（本题共4小题，每小题8分，共32分）
15．解方程：（x﹣1）2＝4．
16．已知抛物线的顶点坐标是（3，﹣1），且经过点（4，1），求二次函数的表达式．
17．某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在空地中修两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行甬道，求人行甬道的宽度．
18．已知：关于x的方程x2+kx﹣2＝0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
四、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法求顶点坐标，对称轴；
（2）x取何值时，y随x的增大而减小？
20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的坐标是（1，0）．
（1）求A，C两点的坐标．
（2）根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
21．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C运动．设运动时间为xs．
（1）BP＝ cm，CQ＝ cm；（用含x的式子表示）
（2）若△DPQ的面积为31cm2，求x的值．
六、解答题（本大题14分）
23．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB＝90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共计40分）
1．下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+1﹣x2＝0 C．x2+＝2 D．x2﹣x﹣2＝0
【分析】一元二次方程必须满足下面几个条件：（1）整式方程；（2）只有一个未知数，且未知数的最高次是2；（3）二次项系数不为0．
解：A、当a＝0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意．
B、由已知方程得到1＝0，该等式不成立，且不含有未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
C、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意．
D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
2．如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【分析】把x＝2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．
解：∵2是一元二次方程x2﹣3x+k＝0的一个根，
∴22﹣3×2+k＝0，
解得，k＝2．
故选：B．
3．一元二次方程x2＝2x的根为（ ）
A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝0或x＝﹣2
【分析】移项后利用因式分解法求解可得．
解：∵x2＝2x，
∴x2﹣2x＝0，
则x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
故选：C．
4．下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．在对称轴右侧y随x的增大而减小
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：∵二次函数y＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣，a＝1，
∴该函数图象开口向上，故选项A错误；
对称轴值直线x＝，故选项B错误；
当x＝0时，y＝0，即该函数图象过原点，故选项C正确；
在对称轴右侧y随x的增大而增大，故选项D错误；
故选：C．
5．在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝﹣2的是（ ）
A．y＝（x+2）2 B．y＝2x2﹣2 C．y＝﹣2x2﹣2 D．y＝2（x﹣2）2
【分析】根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项．
解：y＝（x+2）2的对称轴为x＝﹣2，A正确；
y＝2x2﹣2的对称轴为x＝0，B错误；
y＝﹣2x2﹣2的对称轴为x＝0，C错误；
y＝2（x﹣2）2的对称轴为x＝2，D错误．
故选：A．
6．如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（ ）
A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0
C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0
【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x＝﹣＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0．
故选：A．
7．关于抛物线y＝x2﹣2x﹣3，下列结论中正确的是（ ）
A．y有最小值﹣3
B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．与y轴交于点（0，3）
D．与x轴交于点（3，0）、（1，0）
【分析】配方成顶点式之后即可确定正确的结论．
解：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∵a＝1＞0，
∴开口向上，有最小值﹣4，
故A错误；
∵对称轴为x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
故B正确；
与y轴交于点（0，﹣3），
故C错误；
与x轴交于点（3，0）、（﹣1，0），
故D错误，
故选：B．
8．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛110场，可列出方程．
解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝110．
故选：D．
9．若一个二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过五个点A（﹣1，n），B（3，n），C（2，y1），D（﹣2，y2）和E（1，y3），则下列关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＞y1＞y2
【分析】由A，B两点的纵坐标相同，可得A，B两点关于对称轴对称，可求对称轴为直线x＝1，则x＝1时y3值最小，根据二次函数的图象性质：离对称轴越近，函数值y越小．
解：∵A（﹣1，n）、B（3，n），
∴对称轴为直线x＝1；
∵a＞0，
∴x＝1时，y3是最小值，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小．
∵C（2，y1）关于对称轴的对称点为（0，y1），且﹣2＜0＜1，
∴y2＞y1＞y3．
故选：B．
10．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6
【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝x2﹣2x+3，将一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的图象有交点，再由﹣1＜x＜4的范围确定y的取值范围即可求解．
解：∵y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3，
∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的图象有交点，
∵方程在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，
当x＝﹣1时，y＝6；
当x＝4时，y＝11；
函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2；
∴2≤t＜11．
故选：A．
二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）
11．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为 （1，8） ．
【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式，
∴顶点坐标是（1，8）．
故答案为：（1，8）．
12．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是 a1＞a2＞a3＞a4 ．（请用“＞”连接排序）
【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，
③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，
故a1＞a2＞a3＞a4．
故答案为：a1＞a2＞a3＞a4
13．已知m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则代数式的值为 ﹣ ．
【分析】利用意元二次方程根的定义得到m2＝3m+5，然后把m2＝3m+5代入中进行整式的运算即可．
解：∵m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，
∴m2﹣3m﹣5＝0，
∴m2＝3m+5，
＝m﹣（3m+5）
＝m﹣m﹣
＝﹣．
故答案为﹣．
14．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b＝0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1，有两个不相等的实数根；⑤8a+c＜0．其中正确结论的编号数是 ①③④⑤ ．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，
∴当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，即﹣＝1，
∴2a+b＝0，
∵a≠0，
∴3a+b≠0，故②错误；
∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝n有唯一一个交点，
即方程ax2+bx+c＝n有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，
∴b2＝4a（c﹣n），故③正确；
∵抛物线的开口向下，
∴y最大＝n，
∴直线y＝n﹣1与抛物线有两个交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，故④正确；
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，
而b＝﹣2a，
∴4a+4a+c＜0，即8a+c＜0，
故⑤正确；
故答案为：①③④⑤．
三、计算题（本题共4小题，每小题8分，共32分）
15．解方程：（x﹣1）2＝4．
【分析】利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．
解：两边直接开平方得：x﹣1＝±2，
∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
解得：x1＝3，x2＝﹣1．
16．已知抛物线的顶点坐标是（3，﹣1），且经过点（4，1），求二次函数的表达式．
【分析】设顶点式y＝a（x﹣3）2﹣1，然后把（4，1）代入求出a即可．
解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2﹣1，
把（4，1）代入得a﹣1＝1，解得a＝2，
所以抛物线解析式为y＝2（x﹣3）2﹣1．
17．某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在空地中修两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行甬道，求人行甬道的宽度．
【分析】设人行甬道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米2，列出一元二次方程．
解：设人行道的宽度为x米（0＜x＜3），根据题意得：
（18﹣3x）（6﹣2x）＝60，
整理得，（x﹣1）（x﹣8）＝0．
解得：x1＝1，x2＝8（不合题意，舍去）．
答：人行通道的宽度是1米．
18．已知：关于x的方程x2+kx﹣2＝0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝k2+8＞0，由此即可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）代入x＝﹣1即可求出k值，再根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根．
【解答】（1）证明：∵Δ＝k2﹣4×1×（﹣2）＝k2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：将x＝﹣1代入原方程，得：1﹣k﹣2＝0，
∴k＝﹣1．
设方程的另一个根为x1，
根据题意得：﹣1 x1＝﹣2，
∴x1＝2．
∴方程的另一个根为2，k值为﹣1．
四、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法求顶点坐标，对称轴；
（2）x取何值时，y随x的增大而减小？
【分析】（1）利用配方法化成顶点式的形式即可确定；
（2）根据二次函数的性质即可确定．
解：（1）y＝x2﹣4x+3
＝（x2﹣4x+4﹣4）+3
＝（x﹣2）2﹣4+3
＝（x﹣2）2﹣1，
则顶点坐标是（2，﹣1），对称轴是直线x＝2；
（2）∵a＝1＞0，
∴当x＜2时，y随x的增大而减小．
20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的坐标是（1，0）．
（1）求A，C两点的坐标．
（2）根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
【分析】（1）把B点坐标代入y＝ax2+4x﹣3中可求出a的值，再把二次函数的一般形式化为顶点式得到A的坐标为（2，1），再解方程﹣x2+4x﹣3＝0得C点坐标；
（2）利用函数图形，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围．
解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3得a+4﹣3＝0，解得a＝﹣1；
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴顶点A的坐标为（2，1），
当y＝0时，﹣x2+4x﹣3＝0，解得x1＝1，x2＝3，则C点坐标为（3，0），
（2）由函数图象开口向下可知，当y＞0时x的取值范围为1＜x＜3．
五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
21．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【分析】（1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解；
（2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可．
解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
128+128（1+x）+128（1+x）2＝608
化简得：4x2+12x﹣7＝0
∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，
∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
（2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，
∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128×＝432＜500
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C运动．设运动时间为xs．
（1）BP＝ （6﹣x） cm，CQ＝ （12﹣2x） cm；（用含x的式子表示）
（2）若△DPQ的面积为31cm2，求x的值．
【分析】（1）直接利用P，Q点运动方向和运动速度表示出答案；
（2）直接利用S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△CDQ﹣S△BPQ，代入求出答案．
解：（1）由题意可得：BP＝AB﹣AP＝（6﹣x）cm，CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣2x）cm，
故答案为：（6﹣x），（12﹣2x）；
（2）由题意可得：S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△CDQ﹣S△BPQ
＝AB BC﹣AD AP﹣CD CQ﹣BP BQ
＝6×12﹣×12x﹣×6（12﹣2x）﹣（6﹣x） 2x
＝x2﹣6x+36＝31，
解得：x1＝1，x2＝5，
当△DPQ的面积为31cm2，则x的值为1或5．
六、解答题（本大题14分）
23．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB＝90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，也就得出了抛物线的解析式．
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可．
（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，可先求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积．
解：①∵函数的图象与x轴相交于O，
∴0＝k+1，
∴k＝﹣1，
∴y＝x2﹣3x，
②假设存在点B，过点B做BD⊥x轴于点D，
∵△AOB的面积等于6，
∴AO BD＝6，
当0＝x2﹣3x，
x（x﹣3）＝0，
解得：x＝0或3，
∴AO＝3，
∴BD＝4
即4＝x2﹣3x，
解得：x＝4或x＝﹣1（舍去）．
又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25）．
∵2.25＜4，
∴x轴下方不存在B点，
∴点B的坐标为：（4，4）；
③∵点B的坐标为：（4，4），
∴∠BOD＝45°，BO＝＝4，
当∠POB＝90°，
∴∠POD＝45°，
设P点横坐标为：x，则纵坐标为：x2﹣3x，
即﹣x＝x2﹣3x，
解得x＝2 或x＝0，
∴在抛物线上仅存在一点P （2，﹣2）．
∴OP＝＝2，
使∠POB＝90°，
∴△POB的面积为：PO BO＝×4×2＝8．
一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共计40分）
1．下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+1﹣x2＝0 C．x2+＝2 D．x2﹣x﹣2＝0
2．如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
3．一元二次方程x2＝2x的根为（ ）
A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝0或x＝﹣2
4．下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．在对称轴右侧y随x的增大而减小
5．在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝﹣2的是（ ）
A．y＝（x+2）2 B．y＝2x2﹣2 C．y＝﹣2x2﹣2 D．y＝2（x﹣2）2
6．如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（ ）
A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0
C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0
7．关于抛物线y＝x2﹣2x﹣3，下列结论中正确的是（ ）
A．y有最小值﹣3
B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．与y轴交于点（0，3）
D．与x轴交于点（3，0）、（1，0）
8．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
9．若一个二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过五个点A（﹣1，n），B（3，n），C（2，y1），D（﹣2，y2）和E（1，y3），则下列关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＞y1＞y2
10．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6
二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）
11．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为 ．
12．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是 ．（请用“＞”连接排序）
13．已知m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则代数式的值为 ．
14．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b＝0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1，有两个不相等的实数根；⑤8a+c＜0．其中正确结论的编号数是 ．
三、计算题（本题共4小题，每小题8分，共32分）
15．解方程：（x﹣1）2＝4．
16．已知抛物线的顶点坐标是（3，﹣1），且经过点（4，1），求二次函数的表达式．
17．某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在空地中修两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行甬道，求人行甬道的宽度．
18．已知：关于x的方程x2+kx﹣2＝0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
四、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法求顶点坐标，对称轴；
（2）x取何值时，y随x的增大而减小？
20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的坐标是（1，0）．
（1）求A，C两点的坐标．
（2）根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
21．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C运动．设运动时间为xs．
（1）BP＝ cm，CQ＝ cm；（用含x的式子表示）
（2）若△DPQ的面积为31cm2，求x的值．
六、解答题（本大题14分）
23．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB＝90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共计40分）
1．下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+1﹣x2＝0 C．x2+＝2 D．x2﹣x﹣2＝0
【分析】一元二次方程必须满足下面几个条件：（1）整式方程；（2）只有一个未知数，且未知数的最高次是2；（3）二次项系数不为0．
解：A、当a＝0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意．
B、由已知方程得到1＝0，该等式不成立，且不含有未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
C、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意．
D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
2．如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【分析】把x＝2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．
解：∵2是一元二次方程x2﹣3x+k＝0的一个根，
∴22﹣3×2+k＝0，
解得，k＝2．
故选：B．
3．一元二次方程x2＝2x的根为（ ）
A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝0或x＝﹣2
【分析】移项后利用因式分解法求解可得．
解：∵x2＝2x，
∴x2﹣2x＝0，
则x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
故选：C．
4．下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．在对称轴右侧y随x的增大而减小
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：∵二次函数y＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣，a＝1，
∴该函数图象开口向上，故选项A错误；
对称轴值直线x＝，故选项B错误；
当x＝0时，y＝0，即该函数图象过原点，故选项C正确；
在对称轴右侧y随x的增大而增大，故选项D错误；
故选：C．
5．在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝﹣2的是（ ）
A．y＝（x+2）2 B．y＝2x2﹣2 C．y＝﹣2x2﹣2 D．y＝2（x﹣2）2
【分析】根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项．
解：y＝（x+2）2的对称轴为x＝﹣2，A正确；
y＝2x2﹣2的对称轴为x＝0，B错误；
y＝﹣2x2﹣2的对称轴为x＝0，C错误；
y＝2（x﹣2）2的对称轴为x＝2，D错误．
故选：A．
6．如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（ ）
A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0
C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0
【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x＝﹣＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0．
故选：A．
7．关于抛物线y＝x2﹣2x﹣3，下列结论中正确的是（ ）
A．y有最小值﹣3
B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．与y轴交于点（0，3）
D．与x轴交于点（3，0）、（1，0）
【分析】配方成顶点式之后即可确定正确的结论．
解：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∵a＝1＞0，
∴开口向上，有最小值﹣4，
故A错误；
∵对称轴为x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
故B正确；
与y轴交于点（0，﹣3），
故C错误；
与x轴交于点（3，0）、（﹣1，0），
故D错误，
故选：B．
8．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛110场，可列出方程．
解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝110．
故选：D．
9．若一个二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过五个点A（﹣1，n），B（3，n），C（2，y1），D（﹣2，y2）和E（1，y3），则下列关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＞y1＞y2
【分析】由A，B两点的纵坐标相同，可得A，B两点关于对称轴对称，可求对称轴为直线x＝1，则x＝1时y3值最小，根据二次函数的图象性质：离对称轴越近，函数值y越小．
解：∵A（﹣1，n）、B（3，n），
∴对称轴为直线x＝1；
∵a＞0，
∴x＝1时，y3是最小值，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小．
∵C（2，y1）关于对称轴的对称点为（0，y1），且﹣2＜0＜1，
∴y2＞y1＞y3．
故选：B．
10．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6
【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝x2﹣2x+3，将一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的图象有交点，再由﹣1＜x＜4的范围确定y的取值范围即可求解．
解：∵y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3，
∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的图象有交点，
∵方程在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，
当x＝﹣1时，y＝6；
当x＝4时，y＝11；
函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2；
∴2≤t＜11．
故选：A．
二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）
11．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为 （1，8） ．
【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式，
∴顶点坐标是（1，8）．
故答案为：（1，8）．
12．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是 a1＞a2＞a3＞a4 ．（请用“＞”连接排序）
【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，
③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，
故a1＞a2＞a3＞a4．
故答案为：a1＞a2＞a3＞a4
13．已知m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则代数式的值为 ﹣ ．
【分析】利用意元二次方程根的定义得到m2＝3m+5，然后把m2＝3m+5代入中进行整式的运算即可．
解：∵m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，
∴m2﹣3m﹣5＝0，
∴m2＝3m+5，
＝m﹣（3m+5）
＝m﹣m﹣
＝﹣．
故答案为﹣．
14．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b＝0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1，有两个不相等的实数根；⑤8a+c＜0．其中正确结论的编号数是 ①③④⑤ ．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，
∴当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，即﹣＝1，
∴2a+b＝0，
∵a≠0，
∴3a+b≠0，故②错误；
∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝n有唯一一个交点，
即方程ax2+bx+c＝n有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，
∴b2＝4a（c﹣n），故③正确；
∵抛物线的开口向下，
∴y最大＝n，
∴直线y＝n﹣1与抛物线有两个交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，故④正确；
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，
而b＝﹣2a，
∴4a+4a+c＜0，即8a+c＜0，
故⑤正确；
故答案为：①③④⑤．
三、计算题（本题共4小题，每小题8分，共32分）
15．解方程：（x﹣1）2＝4．
【分析】利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．
解：两边直接开平方得：x﹣1＝±2，
∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
解得：x1＝3，x2＝﹣1．
16．已知抛物线的顶点坐标是（3，﹣1），且经过点（4，1），求二次函数的表达式．
【分析】设顶点式y＝a（x﹣3）2﹣1，然后把（4，1）代入求出a即可．
解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2﹣1，
把（4，1）代入得a﹣1＝1，解得a＝2，
所以抛物线解析式为y＝2（x﹣3）2﹣1．
17．某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在空地中修两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行甬道，求人行甬道的宽度．
【分析】设人行甬道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米2，列出一元二次方程．
解：设人行道的宽度为x米（0＜x＜3），根据题意得：
（18﹣3x）（6﹣2x）＝60，
整理得，（x﹣1）（x﹣8）＝0．
解得：x1＝1，x2＝8（不合题意，舍去）．
答：人行通道的宽度是1米．
18．已知：关于x的方程x2+kx﹣2＝0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝k2+8＞0，由此即可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）代入x＝﹣1即可求出k值，再根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根．
【解答】（1）证明：∵Δ＝k2﹣4×1×（﹣2）＝k2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：将x＝﹣1代入原方程，得：1﹣k﹣2＝0，
∴k＝﹣1．
设方程的另一个根为x1，
根据题意得：﹣1 x1＝﹣2，
∴x1＝2．
∴方程的另一个根为2，k值为﹣1．
四、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）用配方法求顶点坐标，对称轴；
（2）x取何值时，y随x的增大而减小？
【分析】（1）利用配方法化成顶点式的形式即可确定；
（2）根据二次函数的性质即可确定．
解：（1）y＝x2﹣4x+3
＝（x2﹣4x+4﹣4）+3
＝（x﹣2）2﹣4+3
＝（x﹣2）2﹣1，
则顶点坐标是（2，﹣1），对称轴是直线x＝2；
（2）∵a＝1＞0，
∴当x＜2时，y随x的增大而减小．
20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的坐标是（1，0）．
（1）求A，C两点的坐标．
（2）根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
【分析】（1）把B点坐标代入y＝ax2+4x﹣3中可求出a的值，再把二次函数的一般形式化为顶点式得到A的坐标为（2，1），再解方程﹣x2+4x﹣3＝0得C点坐标；
（2）利用函数图形，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围．
解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3得a+4﹣3＝0，解得a＝﹣1；
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴顶点A的坐标为（2，1），
当y＝0时，﹣x2+4x﹣3＝0，解得x1＝1，x2＝3，则C点坐标为（3，0），
（2）由函数图象开口向下可知，当y＞0时x的取值范围为1＜x＜3．
五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
21．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【分析】（1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解；
（2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可．
解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
128+128（1+x）+128（1+x）2＝608
化简得：4x2+12x﹣7＝0
∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，
∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
（2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，
∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128×＝432＜500
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C运动．设运动时间为xs．
（1）BP＝ （6﹣x） cm，CQ＝ （12﹣2x） cm；（用含x的式子表示）
（2）若△DPQ的面积为31cm2，求x的值．
【分析】（1）直接利用P，Q点运动方向和运动速度表示出答案；
（2）直接利用S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△CDQ﹣S△BPQ，代入求出答案．
解：（1）由题意可得：BP＝AB﹣AP＝（6﹣x）cm，CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣2x）cm，
故答案为：（6﹣x），（12﹣2x）；
（2）由题意可得：S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△CDQ﹣S△BPQ
＝AB BC﹣AD AP﹣CD CQ﹣BP BQ
＝6×12﹣×12x﹣×6（12﹣2x）﹣（6﹣x） 2x
＝x2﹣6x+36＝31，
解得：x1＝1，x2＝5，
当△DPQ的面积为31cm2，则x的值为1或5．
六、解答题（本大题14分）
23．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB＝90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，也就得出了抛物线的解析式．
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可．
（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，可先求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积．
解：①∵函数的图象与x轴相交于O，
∴0＝k+1，
∴k＝﹣1，
∴y＝x2﹣3x，
②假设存在点B，过点B做BD⊥x轴于点D，
∵△AOB的面积等于6，
∴AO BD＝6，
当0＝x2﹣3x，
x（x﹣3）＝0，
解得：x＝0或3，
∴AO＝3，
∴BD＝4
即4＝x2﹣3x，
解得：x＝4或x＝﹣1（舍去）．
又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25）．
∵2.25＜4，
∴x轴下方不存在B点，
∴点B的坐标为：（4，4）；
③∵点B的坐标为：（4，4），
∴∠BOD＝45°，BO＝＝4，
当∠POB＝90°，
∴∠POD＝45°，
设P点横坐标为：x，则纵坐标为：x2﹣3x，
即﹣x＝x2﹣3x，
解得x＝2 或x＝0，
∴在抛物线上仅存在一点P （2，﹣2）．
∴OP＝＝2，
使∠POB＝90°，
∴△POB的面积为：PO BO＝×4×2＝8．
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