A级 基础巩固
1.若斜率为的直线与双曲线-=1(a>0,b>0)恒有两个公共点,则双曲线的离心率的取值范围是 ( )
A.[2,+∞) B.(2,+∞)
C.(1,) D.(,+∞)
解析:因为斜率为的直线与双曲线-=1(a>0,b>0)恒有两个公共点,所以>,所以e==>,所以双曲线离心率的取值范围是(,+∞).
答案:D
2.过双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆C2:x2+y2=a2的切线,设切点为M,延长FM交双曲线C1于点N,若点M为线段FN的中点,则双曲线C1的离心率为 ( )
A.+1 B.
C. D.
解析:设双曲线的右焦点为F1,由题意,
得|FN|=2b,|F1N|=2a,|FN|-|F1N|=2a,
所以b=2a,则e===.
答案:C
3.经过双曲线-y2=1的右焦点的直线与双曲线交于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线的条数为 ( )
A.4 B.3
C.2 D.1
解析:由双曲线方程-y2=1,可得a=2,b=1.若直线AB只与双曲线右支相交,则AB的最小值是=1.因为|AB|=4>1,所以此时有两条直线符合条件.若直线AB与双曲线两支都有交点,则AB的最小距离是2a=4,距离无最大值.因为|AB|=4,所以此时有1条直线符合条件.综上可得,共有3条直线符合条件.
答案:B
4.若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的左、右支各有一个公共点,则k的取值范围是-1
解析:由消去y,得(1-k2)x2+2kx-5=0,依题意,
得解得-15.若直线y=x-4与双曲线-=1相交于A,B两点,则|AB|=2.
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2).
将直线方程y=x-4代入-=1,整理,得2x2-24x+57=0,
则有x1+x2=12,x1x2=.
由弦长公式,
得|AB|=·=×=2.
6.求两条渐近线为x±2y=0且截直线x-y-3=0所得弦长为的双曲线方程.
解:由题意,设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0).
联立方程组,得
消去y,得3x2-24x+(36+λ)=0(λ≠0).
设直线被双曲线截得的弦为AB,
且A(x1,y1),B(x2,y2),
则
所以|AB|==
==.
解得λ=4,经检验,λ=4符合题意,
所以所求双曲线方程是-y2=1.
B级 拓展提高
7.在双曲线-=1中,被点P(2,1)平分的弦所在的直线的方程是
( )
A.8x-9y=7 B.8x+9y=25
C.4x+9y=6 D.不存在
解析:因为点P(2,1)为弦的中点,由双曲线的对称性,知当直线斜率不存在时,不符合题意.假设直线的斜率存在,设直线方程为y-1=k(x-2),将y=k(x-2)+1代入双曲线方程,得(4-9k2)x2+(36k2-18k)x-36k2+36k-45=0,且4-9k2≠0,则Δ=(36k2-18k)2-4×(4-9k2)×(-36k2+36k-45)>0.设弦的两端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2==4,解得k=,代入Δ,得Δ<0,故不存在满足条件的直线.
答案:D
8.如图,已知双曲线C:-=1(b>a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过点F1且与双曲线C的一条渐近线垂直,直线l与两条渐近线分别交于点M,N,若|NF1|=2|MF1|,则双曲线C的渐近线方程为 ( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
解析:因为|NF1|=2|MF1|,所以M为NF1的中点.又因为OM⊥F1N,所以∠F1OM=∠NOM.又因为∠F1OM=∠F2ON,所以∠F2ON=60°,所以双曲线C的一条渐近线的斜率为k=tan 60°=,即双曲线C的渐近线方程为y=±x.
答案:B
9.已知双曲线-=1(a>0,b>0),过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线的左、右两支于P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线的离心率为+1.
解析:设P(x1,y1),Q(x2,y2).由题意,知直线PQ的方程为y=x,代入双曲线方程并化简,得x2=,y2=3x2=.由对称性,可知x1+x2=0,x1·x2=,y1·y2=3x1·x2=.设F(c,0),由于以线段PQ为直径的圆经过点F,故·=0,即(x1-c,y1)·(x2-c,y2)=0,即4x1x2+c2=0,即b4-6a2b2-3a4=0,两边同除以a4,得-6-3=0,解得=3+2或=3-2(舍去).故离心率e===+1.
10.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过点F2且与该双曲线的右支交于A,B两点,△ABF1的周长为7a,则该双曲线的离心率的取值范围是.
解析:设|AF2|=m,|BF2|=n.
由双曲线的定义可得|AF1|=2a+m,|BF1|=2a+n,
则△ABF1的周长为m+n+2a+m+2a+n=4a+2(m+n)=4a+2|AB|=7a,
所以|AB|=a.
由x=c,可得y=±b=±,则|AB|的最小值为,即有a≥,
可得≤,则e==≤ =.
又因为e>1,所以111.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与双曲线-=1的渐近线相同,且经过点(2,3).
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,直线l经过点F2,倾斜角为π,且与双曲线C交于A,B两点,求△F1AB的面积.
解:(1)设所求双曲线C的方程为-=λ(λ<0),
将点(2,3)代入方程,得-=λ,解得λ=-,
所以双曲线C的方程为-=-,即x2-=1.
(2)由(1),知F1(-2,0),F2(2,0).由题意,知直线AB的方程为y=2-x.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立
消去y,得2x2+4x-7=0,且Δ=16+56>0,
所以x1+x2=-2,x1x2=-.
由弦长公式,得|AB|=×=6,
点F1(-2,0)到直线AB:x+y-2=0的距离d==2,
所以=|AB|·d=×6×2=6.
12.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,右顶点为(1,0).
(1)求双曲线C的方程;
(2)设直线y=-x+m与y轴交于点P,与双曲线C的左、右两支分别交于点Q,R,且=2,求m的值.
解:(1)因为e==2,a=1,所以c=2,b=.
所以双曲线C的方程为x2-=1.
(2)设点Q的横坐标为xQ,点R的横坐标为xR.
根据平行线分线段成比例定理,得==2,
联立消去y,得2x2+2mx-3-m2=0,对于任意m,Δ>0.
由题意,得xQ<0所以xQ=,xR=,
则===2,
解得m=1或m=-1(舍去).故m=1.
C级 挑战创新
13.多选题若双曲线C过点(3,),且它的渐近线方程为y=±x,则下列结论正确的是 ( )
A.双曲线C的方程为-y2=1
B.双曲线C的离心率为
C.曲线y=ex+2-1经过双曲线C的一个焦点
D.直线x-2y-1=0与双曲线C有两个公共点
解析:A项,设双曲线C的方程为3x2-9y2=λ(λ≠0),将点(3,)代入方程,得λ=9,所以双曲线方程为-y2=1,所以该选项正确;
B项,因为双曲线C的方程为-y2=1,所以双曲线的离心率为e==,所以该选项不正确;
C项,由双曲线C的方程为-y2=1,得它的一个焦点为(-2,0),把点(-2,0)代入y=ex+2-1,得0=e0-1,等式成立,所以该选项正确;
D项,联立消去y,得x2+6x-15=0,Δ=96>0,所以直线x-2y-1=0和双曲线C有两个公共点,所以该选项正确.
答案:ACD
14.多选题已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为左顶点,P为双曲线右支上一点,若|PF1|=2|PF2|,且△PF1F2的最小内角为30°,则 ( )
A.双曲线的离心率为
B.双曲线的渐近线方程为y=±x
C.∠PAF2=45°
D.直线x+2y-2=0与双曲线有两个公共点
解析:A项,因为|PF1|=2|PF2|,|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a.
又因为2c>2a,4a>2a,所以∠PF1F2=30°,
所以cos ∠PF1F2==,
所以c=a,所以离心率e=,故此选项正确.
B项,因为e2=1+==3,所以=2,所以=±,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,故此选项正确.
C项,因为2c=2a,所以|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,所以∠PF2F1=90°,又因为|AF2|=c+a=(+1)a,|PF2|=2a,所以|AF2|≠|PF2|,所以∠PAF2≠45°,故此选项错误.
D项,因为c=a,所以b2=2a2.
联立消去x,
得2(2-2y)2-y2=2a2,
所以7y2-16y+8-2a2=0.
因为Δ=162-4×7×(8-2a2)=32+56a2>0,
所以直线x+2y-2=0与双曲线有两个公共点,
故此选项正确.
答案:ABDA级 基础巩固
1.双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是 ( )
A.m> B.m≥1
C.m>1 D.m>2
解析:由题意,知a=1,b=,则c=.
因为e==>,所以m>1.
答案:C
2.若双曲线x2-my2=1的实轴长是虚轴长的2倍,则m等于 ( )
A. B.
C.2 D.4
解析:双曲线x2-my2=1的实轴长为2,虚轴长为2.由题意,可得2=4,解得m=4.
答案:D
3.若双曲线的实轴和虚轴等长,且过点(5,3),则双曲线方程为
( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
解析:由题意,知所求双曲线是等轴双曲线,设其方程为x2-y2=λ(λ≠0),将点(5,3)代入方程,可得λ=52-32=16,所以双曲线方程为x2-y2=16,即-=1.
答案:D
4.若0A.相同的虚轴 B.相同的实轴
C.相同的渐近线 D.相同的焦点
解析:对于双曲线-=1有c2=a2-k+b2+k=a2+b2,对于双曲线-=1也有c2=a2+b2,所以两双曲线的半焦距相同,且焦点都在x轴上,所以两双曲线有相同的焦点.
答案:D
5.(全国卷Ⅲ)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=x,则双曲线C的离心率为.
解析:由双曲线C的方程可得其渐近线的方程为y=±x,由题意可得=,所以离心率e===.
6.焦点为(0,6),且与双曲线-y2=1有相同的渐近线的双曲线方程是-=1.
解析:由待求双曲线与-y2=1有相同的渐近线,且焦点在y轴上,可设所求双曲线方程为-y2=λ(λ<0),即-=1(λ<0).所以-λ-2λ=36,所以λ=-12.故所求双曲线方程为-=1.
7.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,求此双曲线的离心率e的最大值.
解:因为点P在双曲线的右支上,所以由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a.因为|PF1|=4|PF2|,所以4|PF2|-|PF2|=2a,所以|PF2|=a.根据点P在双曲线的右支上,可得|PF2|=a≥c-a,所以a≥c,即e≤,所以双曲线的离心率e的最大值为.
B级 拓展提高
8.若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4, 0)到双曲线C的渐近线的距离为 ( )
A. B.2
C. D.2
解析:由题意,得e==.又因为c2=a2+b2,所以a2=b2.因为a>0,b>0,所以a=b,所以双曲线C的渐近线方程为x±y=0,点(4,0)到渐近线的距离为=2.
答案:D
9.若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则双曲线C的方程为 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
解析:双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.由题意,知椭圆的焦点为(3,0),(-3,0),即双曲线C的焦点为(3,0),(-3,0),据此可得解得所以双曲线C的方程为-=1.
答案:B
10.已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为双曲线C的右焦点,过F的直线与双曲线C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|= ( )
A. B.3 C.2 D.4
解析:由已知,得a2=3,b2=1,所以c2=a2+b2=4,所以点F的坐标为(2,0),双曲线C的渐近线方程为y=±x.如图,设两条渐近线的夹角为2α,则有tan α=,所以α=30°,所以∠MON=2α=60°.又因为△OMN为直角三角形,双曲线具有对称性,不妨设MN⊥ON.
在Rt△ONF中,|OF|=2,则|ON|=.
在Rt△OMN中,|MN|=|ON|·tan 2α=×tan 60°=3.
答案:B
11.(全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,A为双曲线C的右顶点,B为双曲线C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则双曲线C的离心率为2.
解析:因为F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点(c,0),A为C的右顶点(a,0),
B为双曲线C上的点,且BF垂直于x轴,所以B.
由AB的斜率为3,可得=3.
把b2=c2-a2代入上式化简可得c2=3ac-2a2,
结合e=,可得e2-3e+2=0,且e>1,
解得e=2.
12.中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x-5)2+y2=16相切.
(1)求双曲线的离心率;
(2)若P(3,-4)是渐近线上一点,F1,F2是双曲线的左、右焦点,且
PF1⊥PF2,求双曲线的方程.
解:(1)设经过第一、三象限的双曲线的渐近线的方程为y=kx,则=4,且k>0,解得k=.
若双曲线的焦点在x轴上,则=,e=;
若双曲线的焦点在y轴上,则=,e=.
故所求双曲线的离心率为e=或e=.
(2)由题意,设F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).
由PF1⊥PF2,得·=0.
所以(3+c)(3-c)+16=0,解得c=5.
由(1),知=,又因为a2+b2=c2=25,
所以a=3,b=4,所以双曲线的方程为-=1.
13.双曲线-=1(a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥c,求双曲线的离心率e的取值范围.
解:由题意,知直线l的方程为+=1,即bx+ay-ab=0.
因为a>1,所以点(1,0)到直线l的距离d1=,
点(-1,0)到直线l的距离d2=,
所以s=d1+d2==.
由s≥c,得≥c,
即5a≥2c2,于是有5≥2e2,
即4e4-25e2+25≤0,解得≤e2≤5.
因为e>1,所以离心率e的取值范围是≤e≤.
C级 挑战创新
14.多选题若F1,F2分别是双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且向量·=0,则下列结论正确的是 ( )
A.双曲线C的渐近线方程为y=±x
B.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1
C.F1到双曲线的一条渐近线的距离为1
D.△PF1F2的面积为1
解析:A项,由题意,得双曲线C的渐近线方程为y=±x,正确.
B项,由题意,得F1(-,0),F2(,0),则以F1F2为直径的圆的方程是x2+y2=2,错误.
C项,F1(-,0)到渐近线y=±x的距离为1,正确.
D项,由题意,得F1(-,0),F2(,0),设P(x0,y0),根据点P在双曲线上,及·=0,得
解得所以△PF1F2的面积为×2×=1,正确.
答案:ACD
15.多选题若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线上的点M(-1,)关于另一条渐近线的对称点恰为双曲线的右焦点F,P是双曲线上的动点,则|PM|+|PF|的值可能为 ( )
A.4 B.4
C.2 D.2
解析:由双曲线方程得渐近线方程为y=±x.
因为点M(-1,)在渐近线上,
所以渐近线方程为y=±x.
设坐标原点为O,则|OM|=|OF|,
所以c==2.
当P,M,F三点共线且P在双曲线的右支上时,|PM|+|PF|最小,
所以(|PM|+|PF|)min=|MF|==2.
又因为P为双曲线上的动点,
所以|PM|+|PF|无最大值.
因为A,B,D选项中的值均不小于2,C选项中的值小于2,所以A,B,D选项中的值均有可能取得.
答案:ABD
16.多空题若双曲线C的两个焦点为(-,0),(,0),一个顶点是(1,0),则双曲线C 的方程为x2-y2=1,渐近线方程为y=±x.
解析:根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,所以a=1,c=,所以b2=c2-a2=1,所以双曲线方程为x2-y2=1,渐近线方程为y=±x.(共32张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
求双曲线的离心率的方法
双曲线的
知识一几何性质
方法
求双曲线的渐近线
方程的方法
直观想象数学运算(逻辑推理
素养或思想(共25张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
读一已知半焦距、点到直线的距离等
想
(1)列关于a,b,c的方程组
(2)先求出M,N的坐标,写出直线MN的方程,再求定点
(1)由题意,可得
解得
所以双曲线C的标准方程为
算
(2)设过点F(2,0)的弦AB所在的直线方程为x
ky+2,A(x1,y1),B(x2,y2)
则中点M
k(y1+y2)
2
联立直线AB与双曲线C的方程lx
整理
可得(k2-3)y2+4ky+1=0
因为弦AB与双曲线有两个交点,所以k2-3≠0
且△>0
k
所以y1+y=3-所以M(=“3k)
当k=0时,点M即点F,此时直线MN为x轴;
当k≠0时,将点M坐标中的k换成
同理可得点N的坐标为
1,-a2
①当直线MN不垂直于x轴时,
zk
2k
3-k23k2
直线MN的斜率kMN66k
2,直
3(k2-1)
3一k23k2-1
线MN的方程为
k23(k2-1)(3一k2
2k
化简可得y-3(k2-1)
所以直线MN恒过定点(3,0);
②当直线MN垂直于x轴时,由
6k,可
得k=士1,此时直线也过定点(3,0)
综上所述,直线MN恒过定点P(3,0)
规律方法:与双曲线有关的综合问题
双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、
范围等性质,与向量、三角函数、不等式等知识相结合
思一考查综合运用数学知识的能力
(1)当与向量知识结合时,注意运用向量的坐标运算,将
向量间的关系转化为点的坐标问题,再根据根与系数的
关系,将所求问题与条件建立联系并求解
(2)当与直线有关时,常常联立直线与双曲线的方程
消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构
造相关数量关系求解