A级 基础巩固
1.已知A(-5,0),B(5,0).动点C满足|AC|+|BC|=10,则点C的轨迹是
( )
A.椭圆 B.直线 C.线段 D.点
解析:由|AC|+|BC|=10=|AB|,知点C的轨迹是线段AB.
答案:C
2.已知椭圆+=1(a>b>0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是 ( )
A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线
解析:设右焦点为F2,坐标原点为O,
由题意,知|PO|=|MF2|,|PF1|=|MF1|.又因为|MF1|+|MF2|=2a,
所以|PO|+|PF1|=a>|F1O|=c,故由椭圆的定义知点P的轨迹是椭圆.
答案:B
3.设P是椭圆+=1上一点,P到两焦点F1,F2的距离之差为2,则△PF1F2是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
解析:由椭圆定义,知|PF1|+|PF2|=2a=8,不妨设|PF1|>|PF2|,
因为|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=5,|PF2|=3,
又因为|F1F2|=2c=4,所以△PF1F2为直角三角形.
答案:B
4.如果椭圆+y2=1的一个焦点是(2,0),那么实数k= ( )
A. B. C.3 D.5
解析:因为椭圆+y2=1的一个焦点是(2,0),所以k>1.因为k-1=4,所以k=5.故选D.
答案:D
5.若关于x,y的方程+=1表示椭圆,则m满足的条件是.
解析:由关于x,y的方程+=1表示椭圆,
知解得m>,且m≠1.
6.已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且⊥.若△PF1F2的面积为9,则b=3.
解析:依题意,得
可得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故有b=3.
7.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,椭圆C上一点到两焦点F1,F2的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标.
解:因为椭圆上一点到两焦点的距离之和为4,
所以2a=4,a2=4.
因为点是椭圆上的一点,
所以+=1,
所以b2=3,所以c2=1,
所以椭圆C的方程为+=1.
焦点坐标分别为F1(-1,0),F2(1,0).
B级 拓展提高
8.设定点F1(0,-2),F2(0,2),动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+(m>2),则点P的轨迹是 ( )
A.椭圆 B.线段
C.不存在 D.椭圆或线段
解析:因为m>2,所以m+>2=4,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆.
答案:A
9.下列选项中,焦点在坐标轴上,且过两点(4,0),(0,2)的椭圆方程为
( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析:方法一:验证排除,将点(4,0)代入验证可排除A,B,C,故选D.
方法二:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0),
则解得故选D.
答案:D
10.若椭圆+=1过点(-2,),则焦距等于4.
解析:因为椭圆+=1过点(-2,),所以m2=16,则c2=16-4=12,故焦距2c=4.
11.椭圆+=1上的点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|(O为坐标原点)的值为4.
解析:由椭圆方程可知,a2=25,所以a=5.如图,设椭圆的另一个焦点为F2,因为|MF1|=2,所以|MF2|=2a-|MF1|=8.连接|MF2|,在△MF1F2中,N是MF1的中点,O为F1F2的中点,所以ON是△MF1F2的中位线,所以|ON|=|MF2|=4.
12.已知椭圆+=1(a>b>0)的焦点分别为F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.
解:(1)由题意,知椭圆焦点在y轴上,且c=1.
又因为3a2=4b2,所以a2-b2=a2=c2=1,
所以a2=4,b2=3,
所以椭圆的标准方程为+=1.
(2)如图(示意图),|PF1|-|PF2|=1.
由椭圆定义知,|PF1|+|PF2|=4,
所以|PF1|=,|PF2|=.又因为|F1F2|=2,
所以cos ∠F1PF2==.
C级 挑战创新
13.多选题若椭圆+=1的焦距是2,则m的值是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:当椭圆的焦点在x轴上时,a2=m,b2=4.c2=m-4.又因为2c=2,所以c=1.所以m-4=1,所以m=5;当椭圆的焦点在y轴上时,a2=4,b2=m,所以c2=4-m=1,所以m=3.
答案:AC
14.多空题已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,设P(x0,y0)为椭圆上一点,当∠F1PF2为直角时,点P的横坐标x0=±;当∠F1PF2为钝角时,点P的横坐标x0的取值范围是.
解析:由椭圆的方程+y2=1,得c=2,
所以F1(-2,0),F2(2,0),所以=(-2-x0,-y0),=(2-x0,-y0).
因为∠F1PF2为直角,
所以·=0,即+=4, ①
又因为+=1, ②
①②联立消去,得=,所以x0=±.
因为∠F1PF2为钝角,所以·<0,
即+<4, ③
又因为+=1, ④
由③④,得-第三章 圆锥曲线的方程
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S03
