(共28张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
范围
由性质求椭圆标
知识」椭圆的几何对称性
准方程的方法
方法
性质
离心率
求椭圆离心率的
方法
顶点(直观想象
数学运算川素养或思想
逻辑推理A级 基础巩固
1.若直线y=kx+2与椭圆+=1相切,则斜率k的值是 ( )
A. B.-
C.± D.±
解析:由得(3k2+2)x2+12kx+6=0.
由题意,知Δ=144k2-24(3k2+2)=0,解得k=±.
答案:C
2.若直线mx+ny=4与圆O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.0或1
解析:因为直线mx+ny=4与圆O:x2+y2=4没有交点,所以>2.所以0答案:C
3.过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为的弦AB,则弦AB的长为
( )
A. B. C. D.
解析:椭圆x2+2y2=4的左焦点为(-,0),所以直线的方程为y=(x+).由消去y,整理得7x2+12x+8=0,由弦长公式,得|AB|=× =.
答案:B
4.椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆C上,且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1的斜率的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
解析:由题意,知A1(-2,0),A2(2,0).
设点P的坐标为(x0,y0),则+=1,=,=,
于是·===-,故=-×.
因为∈[-2,-1],所以∈.
答案:B
5.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为6.
解析:由椭圆方程+=1可得F(-1,0).
设P(x,y),-2≤x≤2,则=(x,y),=(x+1,y),
所以·=x2+x+y2=x2+x+3=x2+x+3=(x+2)2+2,
当x=2时,·取得最大值6.
6.已知点P(x,y)是椭圆+=1上的任意一点,则点P到直线l:y=x+5的最大距离为.
解析:设直线y=x+m与椭圆相切,由
得13x2+18mx+9m2-36=0.
因为Δ=(18m)2-4×13×(9m2-36)=0,
所以m=±,
所以切线方程为y=x+和y=x-,与l距离较远的是直线y=x-,所以所求最大距离为d==.
7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为,直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为时,求k的值.
解:(1)由题意,得解得
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.
设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2=,x1x2=,
所以|MN|=
=
=.
又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d=,
所以△AMN的面积为S=|MN|·d=,
由=,
化简,得7k4-2k2-5=0,解得k=±1.
B级 拓展提高
8.若AB是过椭圆+=1中心O的弦,F1为椭圆的焦点,则△F1AB面积的最大值是 ( )
A.6 B.12
C.24 D.48
解析:设A(xA,yA),B(xB,yB).因为△F1AB的面积可以看成△OF1A与△OF1B的面积之和,所以=c·|xA-xB|,故当直线AB垂直于y轴时,|xA-xB|max=2b=8,所以△F1AB面积的最大值为×3×8=12.
答案:B
9.已知椭圆+=1,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆交于A,B两点,若=3,则k= ( )
A.1 B.
C. D.2
解析:由题意,得右焦点F(2,0),过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线为x=my+2,m=.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由方程组得(4+m2)y2+4my-4=0,
则y1+y2=,y1y2=.
因为=3,所以(2-x1,-y1)=3(x2-2,y2),
所以解得m2=,
即k2=2.因为k>0,所以k=.
答案:B
10.已知椭圆C:+=1(a>b>0),A,B是椭圆C的长轴的两个端点,点M是椭圆C上的一点,且满足∠MAB=30°,∠MBA=45°,设椭圆C的离心率为e,则e2=1-.
解析:设M(x0,y0),A(-a,0),B(a,0).因为∠MAB=30°,∠MBA=45°,
所以kBM==-1,kAM==,两式联立
解得
又因为M在椭圆C上,所以+=1,即+=1,
所以=,所以e2=1-.
11.椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1相交于A,B两点,过AB的中点M与坐标原点的连线的斜率为,则=.
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
由题意可得,kOM==,kAB==-1.由AB的中点为M,可得x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.由A,B在椭圆上,可得两式相减,得m(x1-x2)·2x0+n(y1-y2)·2y0=0,整理,得=.
12.已知动点P与平面上两定点A(-,0),B(,0)连线的斜率的积为定值-.
(1)试求动点P的轨迹C的方程;
(2)设直线l:y=kx+1与曲线C交于M,N两点,当|MN|=时,求直线l的方程.
解:(1)设动点P的坐标是(x,y),
由题意,得kPA·kPB=-.
所以·=-,化简整理,得+y2=1.
故动点P的轨迹C的方程是+y2=1(x≠±).
(2)设直线l与曲线C的交点M(x1,y1),N(x2,y2),
由
得(1+2k2)x2+4kx=0(x≠±).
所以x1+x2=,x1·x2=0.
所以|MN|=·=,
整理,得k4+k2-2=0,解得k2=1或k2=-2(舍去).
所以k=±1,经检验符合题意.
所以直线l的方程是y=x+1或y=-x+1,
即x-y+1=0或x+y-1=0.
13.椭圆的两个焦点分别为F1(-,0)和F2(,0),且椭圆过点.
(1)求椭圆方程;
(2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M,N两点,A为椭圆的左顶点,试判断∠MAN的大小是否为定值,并说明理由.
解:(1)由题意可设椭圆方程为+=1(a>b>0),
由c=,a2=b2+c2,得+=1.
又因为椭圆过点,所以+=1,
解得b2=1或b2=-(舍去),所以a2=4.
所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)是定值.理由:设直线l的方程为x=ky-,
联立直线l和椭圆的方程可得
消去x,得(k2+4)y2-ky-=0.
由题意,知A(-2,0).设M(x1,y1),N(x2,y2),
则y1y2=-,y1+y2=,
则·=(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=(k2+1)y1y2+k(y1+y2)+=0,
即可得∠MAN=(定值).
C级 挑战创新
14.多选题已知直线y=3x+2被椭圆+=1(a>b>0)截得的弦长为8,则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的是 ( )
A.y=3x-2 B.y=3x+1
C.y=-3x-2 D.y=-3x+2
解析:因为椭圆关于原点和坐标轴对称,所以与直线y=3x+2关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆+=1(a>b>0)截得的弦长也为8.直线y=3x+2关于原点对称的直线为y=3x-2,关于x轴对称的直线为y=-3x-2,关于y轴对称的直线为y=-3x+2,故应选ACD.
答案:ACD
15.多选题如图,某月球探测卫星发射后,该卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,则给出下列式子中,正确的是 ( )
A.a1+c1=a2+c2
B.a1-c1=a2-c2
C.<
D.c1a2>a1c2
解析:观察图形可知a1+c1>a2+c2,即A项不正确;a1-c1=a2-c2=|PF|,即B项正确;由a1-c1=a2-c2>0,c1>c2>0,知<,即<,从而c1a2>a1c2,>,即D项正确,C项不正确.
答案:BD(共32张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
读一已知椭圆形隧道及相关数据,求隧道设计的拱宽
想建立直角坐标系,求出椭圆方程再求拱宽
设椭圆隧道的标准方程为
2+b2=1(y>0,a>b>0)
建立平面直角坐标系,如图所示,
则点P(6,5)在椭圆
算将b==6与点P(6,代入椭圆方程得a
所以L=2a
√11
22
即隧道设计的拱宽l至少是22米
(1)解决关于椭圆的实际问题的基本步骤
①认真审题,理顺题中的各种关系,如等量关系
②结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系
思一③利用椭圆知识及其他相关知识求解
(2)椭圆上的点到其个焦点的距离的最大值是a+c,最
小值是a-c,其中c2=a2-b2A级 基础巩固
1.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则 ( )
A.a2=2b2 B.3a2=4b2
C.a=2b D.3a=4b
解析:因为椭圆的离心率e==,所以a2=4c2.又因为a2=b2+c2,所以3a2=4b2.
答案:B
2.椭圆+=1的左顶点到右焦点的距离为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.6
解析:由椭圆方程+=1,可得a=4,b=2,c=2,椭圆+=1的左顶点(-4,0)到右焦点(2,0)的距离为2-(-4)=6.
答案:D
3.已知椭圆C:+=1(a>0)的一个焦点为(2,0),则椭圆C的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
解析:由题意,知c=2.因为a2=4+22=8,
所以a=2,所以e===.
答案:C
4.若椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F,P是椭圆上一点,P到F的距离的最大值为5,最小值为3,则该椭圆的方程为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析:由题意,得解得所以b=,所以椭圆方程为+=1.
答案:A
5.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点B是椭圆C的上顶点,若△BF1F2为等边三角形,则椭圆的离心率为.
解析:因为△BF1F2为等边三角形,所以a=2c,所以e==.
6.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1的左、右焦点,在椭圆C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为2.
解析:由题意,得F1(-2,0),F2(2,0).
设P(x,y),则=(x+2,y),=(x-2,y).
因为PF1⊥PF2,所以·=0,所以(x+2,y)·(x-2,y)=x2-4+y2=0,
即x2-4+4=0,解得x=0.
这时点P为短轴的两顶点,坐标分别为(0,2),(0,-2),故答案为2.
7.求经过点M(1,2),且与椭圆+=1有相同离心率的椭圆的标准方程.
解:设所求椭圆方程为+=k1(k1>0)或+=k2(k2>0),
将点M的坐标代入可得+=k1或+=k2,
解得k1=,k2=,故+=或+=,
即所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
8.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点M,求椭圆C的离心率.
解:由题意,
得2a=|MF1|+|MF2|=+=2.
所以a=.
由已知得c=1,所以椭圆C的离心率e===.
B级 拓展提高
9.已知F是椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆+y2=相切于点Q(其中c为椭圆的半焦距),且=
2,则椭圆C的离心率等于 ( )
A. B.
C. D.
解析:设椭圆的左焦点为F',圆+y2=的圆心为E,
连接PF',QE,如图.
因为|EF|=|OF|-|OE|=c-=,=2,
所以===,
所以△FQE∽△FPF',PF'∥QE,
所以=,且PF'⊥PF.
又因为|QE|=,所以|PF'|=b.
根据椭圆的定义,知|PF'|+|PF|=2a,
所以|PF|=2a-b.
因为PF'⊥PF,
所以|PF'|2+|PF|2=|F'F|2,
所以b2+(2a-b)2=(2c)2,
所以2(a2-c2)+b2=2ab,所以3b2=2ab,
所以b=,c==a,=,
所以椭圆的离心率为.
答案:A
10.已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是.
解析:由=2,BF⊥x轴,得|AO|=2|FO|(O为坐标原点),即a=2c,则离心率e=.
11.已知P(m,n)是椭圆x2+=1上的一个动点,则m2+n2的取值范围是[1,2].
解析: 因为P(m,n)是椭圆x2+=1上的一个动点,所以m2+=1,
即n2=2-2m2,所以m2+n2=2-m2.
又因为-1≤m≤1,所以1≤2-m2≤2,所以1≤m2+n2≤2.
12.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.
(1)求椭圆E的离心率e.
(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,证明:MN⊥AB.
(1)解:由题意,知M,kOM=,
所以=.
所以a=b,c==2b,故e==.
(2)证明:由N是AC的中点,知N,
可得=.
又因为=(-a,b),从而有·=-a2+b2=(5b2-a2),
由(1),知a2=5b2,所以·=0,
故MN⊥AB.
13.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.
(1)求椭圆离心率的范围.
(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短半轴长有关.
(1)解:不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),
|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.
在△PF1F2中,由余弦定理可知,
4c2=m2+n2-2mncos 60°
=(m+n)2-3mn
=4a2-3mn≥4a2-3
=4a2-3a2
=a2(当且仅当m=n时取等号).
所以≥,即e≥.
又因为0(2)证明:由(1)知mn=b2,
所以=mnsin 60°=b2,
即△F1PF2的面积只与椭圆的短半轴长有关.
C级 挑战创新
14.多选题已知椭圆x2+my2=1的离心率e∈,则下列选项中,在实数m的取值范围内的是 ( )
A. B.
C. D.
解析:在椭圆方程x2+my2=1中,
当0所以e2===1-m.又因为所以<1-m<1,解得0当m>1时,a2=1,b2=,c2=1-,e2===1-.
又因为.
综上可知,实数m的取值范围是∪.
答案:AB
15.多选题已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点F和坐标原点O是某正方形的两个顶点,若该正方形至少有一个顶点在椭圆C上,则椭圆C的离心率可能为 ( )
A. B.
C. D.
解析:如图,椭圆C有C1,C2,C3三种情况.
不妨设F(2,0),则b2=a2-4,e2=.
①对于C1,点(2,2)在椭圆上,则+=1,解得a2=6±2.由题意,知a2>4,所以a2=6+2,则e2==,所以e=,故B成立.
②对于C2,点(0,2)在椭圆上,b=2,a==2,所以e=,故C成立.
③对于C3,点(1,1)在椭圆上,+=1,解得a2=3±.又因为a2>4,所以a2=3+,所以e2==3-,所以e=,故D成立.
答案:BCD
16.多空题已知F1,F2是椭圆+=1的左、右焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,则该椭圆的离心率是;△ABF2的周长是8.
解析:由题意,得a=2,c==1,
所以e==,△ABF2的周长为AB+AF2+BF2=4a=8.
