(共28张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03A级 基础巩固
1.抛物线y2=3x关于直线y=x对称的抛物线方程为 ( )
A.y2=x B.x2=3y
C.x2=y D.y2=3x
解析:因为点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),所以抛物线y2=3x关于直线y=x对称的抛物线方程为x2=3y.
答案:B
2.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们的横坐标之和等于a2+2a+3(a∈R),则这样的直线 ( )
A.有且仅有一条
B.有且仅有两条
C.有一条或两条
D.不存在
解析: 设A(xA,yA),B(xB,yB),则|AB|=xA+xB+p=a2+2a+5=(a+1)2+4≥4,而通径的长为4,所以有1条或2条.
答案:C
3.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是 ( )
A. B.[-2,2]
C.[-1,1] D.[-4,4]
解析:由题意,得准线方程为x=-2,所以Q(-2,0).设直线l:y=k(x+2),由得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.当k=0时,x=0,即交点为(0,0);当k≠0时,Δ≥0,-1≤k<0或0
答案:C
4.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为-,那么|PF|= ( )
A.4 B.8
C.8 D.16
解析:设P(x0,y0),则A(-2,y0).又因为F(2,0),所以=-,所以y0=4.由=8x0得8x0=48,所以x0=6.从而|PF|=6+2=8.
答案:B
5.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线l交抛物线于点M,N,交抛物线的准线于点P,若=2,则直线l的倾斜角为或.
解析:如图①②,过点M作MB⊥l,B为垂足.
由=2,知F为PM的中点,所以|BM|=2p,即|FM|=2p,
所以|PF|=2p=2|AF|,
所以∠PFA=,所以直线l的倾斜角为或.
① ②
故答案为或.
6.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45°的直线l,交抛物线于A,B两点.求:
(1)被抛物线截得的弦长|AB|;
(2)线段AB的中点到直线x+2=0的距离.
解:(1)由已知,得抛物线y2=8x的焦点为(2,0),准线方程为x=-2.
所以直线l的方程为y=x-2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由方程组得x2-12x+4=0,
所以x1+x2=12,x1x2=4,
所以|AB|=·=×=16,
所以被抛物线截得的弦长|AB|=16.
(2)设线段AB中点的坐标为(x,y),则x==6,y=6-2=4,
所以线段AB的中点坐标为(6,4),
点(6,4)到直线x+2=0的距离,即到直线x=-2的距离,为6-(-2)=8.
所以线段AB的中点到直线x+2=0的距离为8.
B级 拓展提高
7.抛物线y=2x2上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-,则m的值为 ( )
A. B.2 C. D.3
解析:设A,B所在直线的方程为y=-x+b,代入y=2x2,得2x2+x-b=0,所以x1+x2=-,x1x2=-=-,所以b=1,即A,B所在直线的方程为y=-x+1.设AB的中点为M(x0,y0),则x0==-,代入y0=-x0+1,得y0=.又因为M在直线y=x+m上,所以=-+m,所以m=.
答案:A
8.若双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线C2:y2=2px(p>0)交于A,O,B三点(O为坐标原点),且直线AB经过抛物线C2的焦点,则该双曲线的离心率为 ( )
A. B. C.3 D.5
解析:由题意,得A,B关于x轴对称,设点A在x轴上方,可得A,因为双曲线的两条渐近线方程为bx-ay=0,bx+ay=0,点A在双曲线的渐近线上,且在x轴上方,所以点A在直线bx-ay=0上,将点A的坐标代入得-pa=0,即b=2a,可得c2-a2=4a2,所以双曲线的离心率为e==.
答案:B
9.设抛物线x2=12y的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,又知点P恰为AB的中点,则|AF|+|BF|=8.
解析:分别过点A,B,P作抛物线准线的垂线,垂足分别为M,N,Q(图略),根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离,得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|PQ|=8.
10.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,则|AF|·|BF|的最小值是4.
解析:由题意,知抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),
当AB所在直线的斜率k存在时,设AB所在直线的方程为y=k(x-1),
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=1.
依据抛物线的定义,得|AF|·|BF|=(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1,
所以|AF|·|BF|=+2=4+>4.
当AB所在直线的斜率k不存在时,|AF|·|BF|=2×2=4.
综上所述,|AF|·|BF|的最小值是4.
11.在平面直角坐标系中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).
(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;
(2)若抛物线C上存在相异的两点P和Q关于直线l对称,求p的取值范围.
解:(1)因为直线x-y-2=0与x轴的交点坐标为(2,0),
所以抛物线的焦点为(2,0),所以=2,即p=4,
故抛物线C的方程为y2=8x.
(2)设点P,Q,
故kPQ==.
又因为P,Q关于直线l对称,
所以kPQ=-1,即y1+y2=-2p,
所以(x1+x2)=(y1+y2)+2,即x1+x2=4-2p.
又因为x1+x2=,
所以+=8p-4p2,故y1y2=4p2-4p.
所以y1,y2是关于y的方程y2+2py+4p2-4p=0的两个不同的实数根,
因此Δ=(2p)2-4(4p2-4p)>0,
解得012.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点(O为坐标原点).
(1)求证:OA⊥OB;
(2)当△OAB的面积等于时,求k的值.
(1)证明:由消去x,得ky2+y-k=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系,得
y1y2=-1,y1+y2=-.
因为点A,B在抛物线y2=-x上,
所以=-x1,=-x2,所以·=x1x2.
因为kOA·kOB=·===-1,
所以OA⊥OB.
(2)解:设直线y=k(x+1)与x轴交于点N,如图所示,显然k≠0.
令y=0,得x=-1,即N(-1,0).
因为S△OAB=S△OAN+S△OBN
=|ON||y1|+|ON||y2|
=|ON|·|y1-y2|,
所以S△OAB=×1×=.
因为S△OAB=,
所以=,解得k=±.
C级 挑战创新
13.多选题已知斜率为的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线C交于点A,B两点(点A在第一象限),与抛物线C的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是 ( )
A.+=1 B.|AF|=6
C.|BD|=2|BF| D.F为AD的中点
解析:根据题意作出示意图,如图所示,过点A,B分别作准线的垂线,垂足分别为A1,B1.
因为直线l的斜率为,即∠xFA=60°,
则∠FDA1=30°.
设|BD|=x,则在Rt△DBB1,Rt△DAA1中,|BB1|=,|AA1|=4+,
所以|BB1|=|BF|=,|AA1|=|AF|=4+,
所以|AB|=|AF|+|BF|=4++=4+x=8,
解得x=4,
所以|BF|=2,|AF|=6,所以选项B正确;
+=+≠1,所以选项A不正确;
因为|BD|=4,满足|BD|=2|BF|,所以选项C正确;
而|DF|=|BD|+|BF|=4+2=6=|AF|,所以选项D正确.故选BCD.
答案:BCD
14.多空题如图,过抛物线y2=4x的焦点F作直线,与抛物线及其准线分别交于A,B,C三点,若=3,则直线AB的方程为y=(x-1),|AB|=.
解析:由题意,得F(1,0),准线方程为x=-1,过点B作准线的垂线,垂足为E,则|BE|=|FB|.因为=3,所以|BC|=2|BE|,由勾股定理,得|CE|=|BE|,所以直线AB的斜率k=,所以直线AB的方程为y=(x-1),由得3x2-10x+3=0,解得x1=3,x2=,结合抛物线方程可得,A(3,2),B,
所以|AB|==.(共29张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
读
已知三点在抛物线上,PA,PB的斜率存在且倾斜角互补
想
(1)待定系数法
(2)表示出斜率,化简
(1)由题意可设抛物线的方程为y2=2px(p>0)
由点P(1,2)在抛物线上,得22=2p×1,解得p=2
故所求抛物线的方程是y2=4x,准线方程是x=-1
(2)因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,
所以k
算
又因为A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,
所
从而有
y2+2
4
4
得y1+
故直线AB的斜率kAB
规律方法
(1)在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定值、过
定点问题解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法
思一向量法等解决这些问题的关键是代换和转化
(2)圆锥曲线中的定点、定值问题,常选择一参数来表
示要研究问题中的几何量,通过运算找到定点、定值,说
明与参数无关,也常用“特值探路”法,找定点、定值A级 基础巩固
1.已知A,B为抛物线y2=2x上两点,且A与B的纵坐标之和为4,则直线AB的斜率为 ( )
A. B.-
C.-2 D.2
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4,由得=2,即4kAB=2,所以kAB=.
答案:A
2.若P为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,F为抛物线的焦点,则以|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为 ( )
A.相交 B.相离
C.相切 D.不确定
解析:设PF的中点M(x0,y0),作MN⊥y轴于点N(图略).设P(x1,y1),则|MN|=x0=(|OF|+x1)==|PF|.故相切.
答案:C
3.已知点A(0,2),B(2,0).若点C在抛物线y2=x上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:由题意可得,AB=2,AB所在直线的方程为x+y-2=0.
设点C的坐标为(m2,m),则点C到直线AB的距离d=.由于△ABC的面积为2,故×2×=2,化简可得|m2+m-2|=2,
所以m2+m-2=2①,或m2+m-2=-2②.
解①求得m=或m=;
解②求得m=0或m=-1.
综上可得,使得△ABC的面积为2的点C的个数为4.
答案:D
4.(新高考山东卷)若斜率为的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与抛物线C交于A,B两点,则|AB|=.
解析:由题意可得抛物线C的焦点为F(1,0),p=2,所以斜率为的直线的方程为y=(x-1),
把直线的方程代入y2=4x并化简,得3x2-10x+3=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.
由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=+2=.
5.若正三角形的一个顶点位于原点O,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,且该正三角形的边长为8,则p=2.
解析:设正三角形的另两个顶点为A,B.根据抛物线的对称性可知,正三角形OAB的另两个顶点A,B关于x轴对称,设A,则由正三角形的边长为8,可得解得p=2.
6.根据下列条件求抛物线的标准方程.
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点.
(2)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.
解:(1)将双曲线方程化为标准方程-=1,得左顶点为(-3,0).
由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0),且=-3,所以p=6,
所以抛物线方程为y2=-12x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y2=2px(p≠0),点A的坐标为(m,-3).由抛物线定义,得5=|AF|=,结合(-3)2=2pm,得p=±1或p=±9,
故所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.
B级 拓展提高
7.已知A,B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上,若|AF|+|BF|=4,线段AB的中点到直线x=的距离为1,则p的值为 ( )
A.1 B.1或3
C.2 D.2或6
解析:设A(xA,yA),B(xB,yB).由|AF|+|BF|=4,得xA++xB+=4,即xA+xB=4-p,所以2x中=4-p.因为线段AB的中点到直线x=的距离为1,所以=1,所以|2-p|=1,解得p=1或p=3.
答案:B
8.过抛物线y2=4x的焦点作两条互相垂直的弦AB,CD,则+=
( )
A.2 B.1
C. D.
解析:由题意知抛物线y2=4x的焦点为(1,0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:y=k(x-1),
由方程组得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=,所以|AB|=x1+x2+2=4+.同理可得|CD|=4+4k2,所以+=+=.
答案:D
9.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点A(1, a)(a>0)在抛物线C上,若直线AF与抛物线C交于另一点B,则|AB|的值是 ( )
A.12 B.10
C.9 D.4.5
解析:因为A(1, a)(a>0)在抛物线C:y2=8x上,所以a2=8,解得a=2或a=-2(舍去),即A(1,2),故直线AF的方程为y=-2(x-2).
由消去y,得x2-5x+4=0,
解得x1=1,x2=4,所以点B的坐标为(4,-4),
则|AB|==9.
答案:C
10.已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点P(m,3)到焦点F的距离为4,直线l过点M(0,3)且与抛物线C交于A,B两点,|BF|=5,若|AM|=λ|BM|,则λ=.
解析:由题意,知3+=4,得p=2,故抛物线C的方程为x2=4y,所以F(0,1).
因为|BF|=5,所以点B的坐标为(4,4)或(-4,4),
当点B的坐标为(4,4)时,直线l的方程为y=x+3,与x2=4y联立可得x2-x-12=0,解得x=4或x=-3,
所以点A的坐标为,
所以==,所以λ=.
同理,当点B的坐标为(-4,4)时,λ=.
11.多空题抛物线y2=ax上有一点P(3,m),它到焦点的距离等于4,则a=4,m=±2.
解析:由题意,得a>0,且
所以
12.多空题已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,若它的准线过点(2,1),则该抛物线的标准方程为y2=-8x,焦点坐标为(-2,0).
解析:根据抛物线关于x轴对称,设其方程为y2=mx,又由其准线过点(2,1),得其准线为直线x=2,则-=2,解得m=-8,则该抛物线的标准方程为y2=-8x,焦点坐标为(-2,0).
13.已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点为F,准线为l,抛物线C上一点A的横坐标为3,且点A到准线l的距离为5.
(1)求抛物线C的方程.
(2)若P为抛物线C上的动点,求线段FP的中点M的轨迹方程.
解:(1)由题意,得3+=5,所以p=4,
所以抛物线C的方程为y2=8x.
(2)由(1),知F(2,0),设P(x0,y0),M(x,y),
则即
而点P(x0,y0)在抛物线C上,即=8x0,
所以(2y)2=8(2x-2),即y2=4(x-1),
即所求点M的轨迹方程为y2=4x-4.
C级 挑战创新
14.已知抛物线y2=2x.
(1)设点A的坐标为,求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|.
(2)在抛物线上找一点M,使M到直线x-y+3=0的距离最小,求出M的坐标及距离的最小值.
解: (1)设抛物线上任一点P(x,y),则
|PA|2=+y2=+2x=+,x≥0.
所以当x=0时,|PA=,所以|PA|min=,故距离点A最近的点P的坐标为(0,0).
(2)设点M(x0,y0)是抛物线y2=2x上任意一点,则点M到直线x-y+3=0的距离d===,
当y0=1时,dmin==,
所以点M的坐标为.