A级 基础巩固
1.点(1,2)到直线3x-4y-3=0的距离为 ( )
A. B. C. D.
解析:由点到直线的距离公式,得点(1,2)到直线3x-4y-3=0的距离d==.
答案:B
2.直线l通过两直线7x+5y-24=0和x-y=0的交点,且点(5,1)到直线l的距离为 ,则直线l的方程是 ( )
A.3x+y+4=0 B.3x-y+4=0
C.3x-y-4=0 D.x-3y-4=0
解析:解方程组得所以交点坐标为(2,2).
设直线l的方程为y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0,
则d===,解得k=3,
所以直线l的方程为y-2=3(x-2),即3x-y-4=0.
答案:C
3.若点M(1,3)到直线l:mx+y-1=0的距离等于1,则实数m等于
( )
A. B. C.- D.-
解析:由点M(1,3)到直线l:mx+y-1=0的距离等于1,得=1,解得m=-.
答案:D
4.若点P在x轴上,且点P到直线3x-4y+6=0的距离为6,则点P的坐标为(-12,0)或(8,0).
解析:设P(a,0).由题意,得=6,解得a=-12或a=8,所以点P的坐标为(-12,0)或(8,0).
5.设直线l过点(2,3),且与直线x-2y+1=0平行,若点P(a,2)(a>0)到直线l的距离为,则a=1.
解析:设直线l的方程为x-2y+c=0,
因为直线l过点(2,3),所以2-6+c=0,解得c=4,
所以直线l的方程为x-2y+4=0.
因为=,且a>0,所以a=1.
6.已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(-1,0),B(1,0),C(0,2).
(1)求点A到BC边所在直线的距离d;
(2)求证:AB边上任意一点P到直线AC,BC的距离之和等于d.
(1)解:因为B(1,0),C(0,2),
所以由截距式可得直线BC的方程为x+=1,
即2x+y-2=0.
由点到直线的距离公式,得点A(-1,0)到BC边所在直线的距离d==.
(2)证明:设P(t,0)为AB边上任意一点,则-1≤t≤1.
由A(-1,0),C(0,2)可得直线AC的方程是-x+=1,即2x-y+2=0,
所以点P到直线AC的距离d1==(t+1),点P到直线BC的距离d2==(1-t),所以d1+d2==d,即AB边上任意一点P到直线AC,BC的距离之和等于d.
B级 拓展提高
7.在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析:根据题意可知,所求直线斜率存在,可设直线方程为y=kx+b,即kx-y+b=0,所以解得或
所以所求直线方程为y=3或4x+3y-5=0,
所以符合题意的直线有2条.
答案:B
8.已知点P为直线x+y-4=0上一动点,则P到坐标原点的距离的最小值为2.
解析:根据点到直线的距离公式,得原点O(0,0)到直线x+y-4=0的距离为d==2,即直线x+y-4=0上一动点P到坐标原点的距离的最小值为2.
9.已知a,b,c分别为直角三角形的三边长,c为斜边长,若点M(m,n)在直线l:ax+by+2c=0上,则m2+n2的最小值为4.
解析:因为a,b,c分别为直角三角形的三边长,c为斜边长,
所以c=.
又因为点M(m,n)在直线l:ax+by+2c=0上,
所以m2+n2表示直线l上的点到原点距离的平方,
所以m2+n2的最小值为原点到直线l的距离d的平方.
由点到直线的距离公式可得d==2,
所以m2+n2的最小值为d2=4.
10.如图,在△ABC中,A(5,-2),B(7,4),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上.
(1)求点C的坐标;
(2)求△ABC的面积.
解:(1)设点C的坐标为(x,y).
根据AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,
可得解得
所以点C的坐标是(-5,-4).
(2)因为A(5,-2),B(7,4),
所以|AB|==2,
kAB==3,
所以直线AB的方程为y+2=3(x-5),即3x-y-17=0,
所以点C到直线AB的距离d==,
所以△ABC的面积为|AB|·d=×2×=28.
11.已知点P(2,-1).
(1)求过点P,且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少
(2)是否存在过点P,且与原点距离为6的直线 若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.
解:(1)作图可知过点P与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线.
由l⊥OP,得klkOP=-1,所以kl==2.
由点斜式,得直线l的方程为y+1=2(x-2),
即2x-y-5=0.
所以直线2x-y-5=0是过点P,且与原点距离最大的直线,最大距离为|OP|=.
(2)由(1)可得过点P的直线与原点的最大距离为,<6,所以不存在过点P,且与原点距离为6的直线.
C级 挑战创新
12.多选题直线l经过点(2,4),且原点到直线l的距离为2,则满足条件的直线l的方程为 ( )
A.x=2 B.3x-4y-10=0
C.3x-4y+10=0 D.3x+4y+10=0
解析:当直线的斜率不存在时,经过点(2,4)的直线方程为x=2,原点(0,0)到直线x=2的距离为2,满足题意.
当直线的斜率存在时,设斜率为k,则直线l的方程为y-4=k(x-2),整理可得kx-y+4-2k=0.
由点到直线的距离公式可得d===2,解得k=,所以直线的方程为x-y+4-=0,整理,得3x-4y+10=0.
综上所述,直线l的方程为x=2或3x-4y+10=0.
答案:AC
13.多选题经过点(2,1)的直线l到A(1,1),B(3,5)两点的距离相等,则直线l的方程为 ( )
A.2x-y+3=0 B.x=2
C.2x-y-3=0 D.都不对
解析:当直线l的斜率不存在时,直线x=2显然满足题意.
当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,
则直线l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.
由点A到直线l的距离等于点B到直线l的距离,得
=,
化简,得-k=k-4或k=k-4(无解),解得k=2.
所以直线l的方程为2x-y-3=0.
综上所述,直线l的方程为x=2或2x-y-3=0.
答案:BC
14.多空题已知直线l:x-2y+6=0在x轴上的截距为m,在y轴上的截距为3,则实数m=-6;点(m,3)到直线l的距离为.
解析:令y=0,得x=-6,所以m=-6,所以点(m,3)为(-6,3),所以点(m,3)到直线l的距离为==.(共22张PPT)
第二章 直线和圆的方程
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
读
已知三角形三条边所在直线的方程,判断三角形形状;
在BC边上的高为1的情况下,求参数值
(1)考虑斜率之间的关系
想
(2)利用点到直线的距离公式
(1)由题意知直线AB的斜率kA=2,直线AC的
斜率kA=
所以kA·更=-1,所以直线AB与直线AC互相
垂直,因此,△ABC为直角三角形
算
3x-2y+6=0,
x=2
(2)解方程组
得
即A(2,6)
2x+3y-22=0,y=6,
由点到直线的距离公式,得点A到lBC的距离d=
3×2+4×6-m
30-m
√32+42
30-m
已知d=1,即
解得m=25或m=35
规律方法:利用点到直线的距离公式解决的几类问题
(1)最值问题
①利用所求式子的几何意义转化为求点到直线的距离问
思_题
②利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题
通过配方求解
(2)求参数问题
利用距离公式建立关于参数的方程或方程组通过解方程
或方程组求解
