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第二章 直线和圆的方程
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
读一已知三角形及其中线,证明所给等式
想-建立平面直角坐标系,表示出各线段长度来证明
如图所示,以AC所在的直线为x轴,点D为坐标原
点,建立平面直角坐标系xDy
设B(b,c),C(a,0),依题意,得A(-a,0)
B
算
x
因为|AB|2+|BC|2-|AC|2
2
(b+a)2+c2+(b-a)2+c2-(2a)2
2a2+2b2+2c2-2a2=2b2+2c2
:2|BD|2=2(b2+c2)=2b2+2c2
所以AB2+|BC
AC2=2 BD
规律方法利用坐标法解决几何问题的步骤:
(1)建系立适当的平面直角坐标系,用坐标表示有关量
(2)运算根据相关的公式如两点间的距离公式、斜率公
式等),进行相关的运算
(3)转换把代数结果“转换”成几何关系
两点间距离的求法
两点间的利用两点间距离公式
知识距离公式求参数值的方法
方法
利用坐标法解决几何
问题的步骤
数形结合(数学运算(逻辑推理
素养或思想A级 基础巩固
1.已知△ABC的顶点分别为A(7,8),B(10,4),C(2,-4),则BC边上的中线AM的长为 ( )
A.8 B.13 C.2 D.
解析:由B(10,4),C(2,-4),得中点M的坐标为(6,0).因为点A的坐标为(7,8),所以|AM|==.
答案:D
2.已知△ABC的顶点分别为A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则△ABC的周长是 ( )
A.2 B.3+2 C.6+3 D.6+
解析:由两点间距离公式,得|AB|==3,|BC|==3,|AC|==3,所以△ABC的周长为6+3.
答案:C
3.已知两点A(-3,4)和B(0,b),且|AB|=5,则b等于 ( )
A.0或8 B.0或-8 C.0或6 D.0或-6
解析:由两点间距离公式,得|AB|==5,解得b=0或b=8.
答案:A
4.已知两点A(5,2a-1),B(a+1, a-4),当|AB|取最小值时,a= .
解析:由两点间距离公式,得
|AB|=====,
所以当a=时,|AB|取最小值.
5.设点A在x轴上,点B在y轴上,AB的中点是P(2,-1),则|AB|等于2.
解析:设A(x,0),B(0,y).因为AB的中点是P(2,-1),所以=2,=-1,所以x=4,y=-2,即A(4,0),B(0,-2),所以|AB|==2.
6.已知点A(0,-4),B(2,0),C(4,4),D(-5,1).
(1)判断A,B,C,D四点能否围成四边形,并说明理由;
(2)求△ACD的面积.
解:(1)不能.理由:
因为kAB==2,kBC==2,
所以kAB=kBC,所以A,B,C三点共线,
所以A,B,C,D四点不能围成四边形.
(2)因为kCD==,
所以直线CD的方程为y-4=(x-4),即y=x+.
令x=0,得y=,即直线CD与y轴的交点为E,所以|AE|=,
所以S△ACD=·|AE|·|xC-xD|=××[4-(-5)]=30.
B级 拓展提高
7.已知点A(0,1),点B在直线x+y+1=0上运动.当|AB|最小时,点B的坐标是 ( )
A.(-1,1) B.(-1,0) C.(0,-1) D.(-2,1)
解析:因为点B在直线x+y+1=0上运动,所以设点B的坐标为(x,-x-1).由两点间距离公式可知|AB|===,显然,当x=-1时, |AB|有最小值,此时点B的坐标是(-1,0).
答案:B
8.已知两点P(cos α,sin α),Q(cos β,sin β),则|PQ|的最大值为 ( )
A. B.2 C.4 D.2
解析:因为P(cos α,sin α),Q(cos β,sin β),
所以|PQ|==
==.
因为cos(α-β)∈[-1,1],所以|PQ|∈[0,2],即|PQ|的最大值为2.
答案:B
9.函数y=+的最小值为.
解析:因为y=+=+,
它表示x轴上的点(x,0)与点(1,-3)以及点(0,1)距离之和的最小值,所以(1,-3)与(0,1)之间的距离即为所求最小值,最小值为=.
10.求证:等腰梯形的对角线相等.
证明:如图,在等腰梯形ABCD中,以AB边所在直线为x轴,以AB边的中点为坐标原点,建立平面直角坐标系.
设A(-a,0),D(b,c),由等腰梯形的性质知B(a,0),C(-b,c).
所以|AC|= =,
|BD|==,
所以|AC|=|BD|,即等腰梯形的对角线相等.
11.已知点A(-3,4),B(2,),在x轴上找一点P,使得|PA|=|PB|,并求出|PA|的值.
解:设P(x,0),则|PA|==,|PB|==.
因为|PA|=|PB|,所以=,
解得x=-,所以P,所以|PA|==.
C级 挑战创新
12.多选题在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,若点A,C的坐标分别为(0,4),(3,3),则点B的坐标可能是 ( )
A.(2,0) B.(6,4) C.(4,6) D.(0,2)
解析:设B(x,y),则
解得或故点B的坐标是(2,0)或(4,6).
答案:AC
13.多空题已知M(-1,3),N(2,1),点P在x轴上,且使|PM|+|PN|取得最小值,则最小值为5,此时点P的坐标为.
解析:易知点M(-1,3)关于x轴的对称点是A(-1,-3).
因为|PM|+|PN|=|PA|+|PN|≥|AN|==5,当且仅当A,P,N三点共线时等号成立,所以|PM|+|PN|的最小值为5.
因为kAN==,所以直线AN的方程为y-(-3)=[x-(-1)],
即4x-3y-5=0.令y=0,得x=,所以点P的坐标为.
14.多空题已知直线3ax-y-2=0过定点A(0,-2),则直线(2a-1)x+5ay-1=0过定点B为,且|AB|=.
解析:由直线(2a-1)x+5ay-1=0,得-x-1+a(2x+5y)=0,表示过直线x+1=0和直线2x+5y=0交点的直线系方程,由
得所以该直线过定点B,由两点间的距离公式,得|AB|=.
