(共32张PPT)
第二章 直线和圆的方程
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IV
1=0310
0:哪-D,90
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1=10813
0-D900=m7
S03
读一已知三个点的坐标,求圆的方程
画mmmmmmmmmmmmmmmmmma
m回 te
想一待定系数法,设出方程代入点的坐标求参数
设过A,B,C三点的圆的一般方程为x2+y2+
i Dx+F=o
将A,B,C三点的坐标依次代人,
42+22+4D+2E+F=0,
得(-1)2+32-D+3E+F=0,
算
22+42+2D+4E+F=0,
20+4D+2E+F=0,
D=
即10—D+3E+F=0,解得
E
20+2D+4E+F=0
F
所以此圆的方程为x2+y
y-5=0.
规律方法:待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意设出所求的圆的一般方程2y2+Dx+By+F=0.
思(2)根据已知条件,建立关于D,E,的方程组
(3)解此方程组,求出D,E,P的值
(4)将所得的值代回所设的圆的方程中,就得到所求的圆
的一般方程A级 基础巩固
1.已知圆的方程为x2+y2-2x+6y+8=0,则通过圆心的一条直线的方程是 ( )
A.2x-y-1=0 B.2x-y+1=0
C.2x+y+1=0 D.2x+y-1=0
解析:因为圆的方程为x2+y2-2x+6y+8=0,所以圆心坐标为(1,-3),代入选项中的方程可知仅C项符合.
答案:C
2.已知点M是圆C:x2+y2=1上的动点,点N(2,0),则线段MN的中点P的轨迹方程是 ( )
A.(x-1)2+y2=
B.(x-1)2+y2=
C.(x+1)2+y2=
D.(x+1)2+y2=
解析:设线段MN的中点P的坐标为(x,y),则点M的坐标为(2x-2,2y).因为点M是圆C:x2+y2=1上的动点,所以(2x-2)2+(2y)2=1,即(x-1)2+y2=.
答案:A
3.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),则圆C的圆心的轨迹是
( )
A.点 B.直线
C.线段 D.圆
解析:因为圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),所以(1-a)2+(0-b)2=1,即(a-1)2+b2=1,所以圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的圆.
答案:D
4.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,4为半径的圆,则F=4.
解析:由题意,知D=-4,E=8,
半径r==4,解得F=4.
5.关于x,y的方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圆,有下列说法:①圆心在直线y=-x上;②圆心在x轴上;③过原点;④半径为a.其中正确的是①③(填序号).
解析:将圆的方程化为标准方程为(x+a)2+(y-a)2=2a2,可知圆心为(-a,a),半径为|a|,故①③正确.
6.已知圆C: x2+y2+Dx+Ey+3=0,其圆心在直线x+y-1=0上且在第二象限,半径为,求圆的一般方程.
解:由题意知,圆心C.
因为圆心在直线x+y-1=0上,
所以---1=0,即D+E=-2. ①
又因为半径r==,
所以D2+E2=20. ②
由①②可得或
又因为圆心在第二象限,
所以-<0,->0,即D>0,E<0.
所以
所以圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.
B级 拓展提高
7.关于x,y的方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是( )
A.B.m<或m>1
C.m<
D.m>1
解析:由题意,
x2+y2+4mx-2y+5m=0可化为(x+2m)2+(y-1)2=4m2-5m+1.
当方程表示圆时,4m2-5m+1>0,即(4m-1)(m-1)>0,解得m<或m>1.
答案:B
8.已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+
2=0的对称点都在圆C上,则a=-2.
解析:由题意可知直线l:x-y+2=0过圆心,所以-1++2=0,解得a=-2.
9.已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),点B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.
解:(1)设线段AP的中点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),
因为所以
因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上,
所以(2x-2)2+(2y)2=4,所以(x-1)2+y2=1.
(2)设线段PQ的中点为N(x,y),
在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,
设O为坐标原点,连接ON(图略),则ON⊥PQ,
所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,
所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
10.已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,).
(1)若直线l经过A,C两点,求直线l的方程;
(2)若圆G经过A,B,C三点,求圆G的方程.
解:(1)若直线l经过A,C两点,则由截距式求得直线AC的方程为+=1,即x-y+=0.
(2)若圆G经过A,B,C三点,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则有解得
故圆G的方程为x2+y2-2x-3=0.
C级 挑战创新
11.多选题若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则a的值为 ( )
A. 2 B.
C. 0 D.-2
解析:由题意,知圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5,所以圆心为(1,2).
由圆心(1,2)到直线x-y+a=0的距离为,
得=,解得a=2或a=0.
答案:AC
12.多空题已知关于x,y的方程x2+y2-4x-2y+m=0,若方程表示圆,则圆心坐标为(2,1),实数m的取值范围为(-∞,5).
解析:x2+y2-4x-2y+m=0可化为(x-2)2+(y-1)2=5-m,所以圆心为(2,1).
因为方程表示圆,所以5-m>0,即m<5.
