(共37张PPT)
第二章 直线和圆的方程
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
已知两圆方程,证两圆相交,求公共弦所在直线的方程
读想
及弦长
(1)利用圆心距与半径的和、差之间的大小关系
2)两圆方程相减及圆心到公共弦的距离、半径和弦长之
间的关系
(1)证明:由题意可得,圆C1的圆心为C1(1,3),半
11,圆C2的圆心为C2(5,6),半径r2=4.
因为两圆圆心距d=|C1C2|=5,r1+r2=√11+4
所以|r1-r2|所以圆C1和圆C2相交
算
(2)解:因为圆C1和圆C2的方程相减,得4x+3y
23=0
所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0
因为圆心C2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离为
0+18-23
√16+9
所以公共弦长为2√16-9=2√7
1规律方法:两圆相交公共弦长的求法
(1)代数法:联立两圆方程,解出交点坐标,利用两点
思一间的距离公式求出弦长
(2)几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的
半径、半弦长和弦心距构成的直角三角形,根据勾股
定理求解
2拓展:园系方程
(1)过圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线Ax+
By+C=0的交点的圆系方程为x2+y2+Dx+
Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(A∈R)
(2)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C
x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为
x'+ tely+ Flta(x' ty+ t
E2y+F2)=0(λ≠-1,A∈R),此圆系中不含圆C2A级 基础巩固
1.已知圆x2+y2=1与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)外切,那么r等于 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:因为圆x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),半径为1,圆(x-3)2+y2=r2的圆心坐标为(3,0),半径为r,所以两圆圆心距为3,由两圆外切可得1+r=3,所以r=2.
答案:B
2.在平面直角坐标系Oxy中,已知圆C1:x2+y2-2x+4y-4=0,圆C2:x2+y2+2x-2y-2=0,则两圆的公切线有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析:由题意,知圆C1:x2+y2-2x+4y-4=0的圆心坐标为(1,-2),半径r1=3,圆C2:x2+y2+2x-2y-2=0的圆心坐标为(-1,1),半径r2=2,所以两圆的圆心距为=,r1+r2=5,r1-r2=1.
因为1<<5,所以两圆相交,所以两圆的公切线有2条.
答案:B
3.圆x2+y2=4与圆x2+y2+2y-6=0的公共弦长为 ( )
A.1 B.2
C. D.2
解析:两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为y=1.因为圆x2+y2=4的半径R=2,所以圆心(0,0)到直线y=1的距离d=1,所以弦长L=2=2.
答案:D
4.圆O1:x2+y2-2x=0与圆O2:x2+y2+4y=0的公共弦所在的直线方程是x+2y=0.
解析:因为x2+y2-2x=0,x2+y2+4y=0,所以(x2+y2-2x)-(x2+y2+4y)=0,所以x+2y=0,即所求直线方程为x+2y=0.
5.已知圆C1:(x-1)2+y2=1-m与圆C2:(x+3)2+(y+3)2=36内切,且圆C1的半径小于6,点P是圆C1上的一个动点,则点P到直线l:5x+12y+8=0距离的最大值为2.
解析:因为圆C1:(x-1)2+y2=1-m和圆C2:(x+3)2+(y+3)2=36内切,圆C1的半径小于6,所以圆心距d==5=6-,解得m=0.所以圆C1的半径为1.所以点P到直线l:5x+12y+8=0距离的最大值为圆心C1到直线的距离加上半径1,
即+1=2.
6.已知圆O:x2+y2-10x-10y=0和圆C:x2+y2-6x+2y-40=0相交于A,B两点,求公共弦AB的长.
解:由题意,知圆O:x2+y2-10x-10y=0的圆心为(5,5),半径为5.因为圆O和圆C:x2+y2-6x+2y-40=0相交于A,B两点,所以两圆方程相减得直线AB的方程为x+3y-10=0,所以圆心O(5,5)到直线x+3y-10=0的距离为d==,所以公共弦长|AB|=2=4.
B级 拓展提高
7.已知圆C1:(x-a)2+y2=4与圆C2:x2+(y-b)2=1外切,则点M(a,b)与圆C:x2+y2=9的位置关系是 ( )
A.在圆外 B.在圆上
C.在圆内 D.不能确定
解析:由题意可得,=2+1=3.因为圆C的半径为3,点M(a,b)与圆C的圆心之间的距离为=3,所以点M在圆C上.
答案:B
8.圆心为C(2,0)的圆与圆x2+y2+4x-6y+4=0外切,则圆C的方程为
( )
A.x2+y2-4x=0 B.x2+y2-4x+2=0
C.x2+y2+4x+2=0 D.x2+y2+4x=0
解析:设圆x2+y2+4x-6y+4=0的圆心为A,半径为r,圆C的半径为R.因为x2+y2+4x-6y+4=0可化为(x+2)2+(y-3)2=9,所以圆心A的坐标为(-2,3),半径r为3,两圆的圆心距为|AC|==5.因为两圆外切,所以有|AC|=r+R=3+R=5,解得R=2,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0.
答案:A
9.求经过点M(2,-2)以及圆x2+y2-6x=0与圆x2+y2=4的交点的圆的方程为x2+y2-3x-2=0.
解析:将x2+y2=4化为x2+y2-4=0.因为所求圆经过两圆的交点,所以可设所求圆的方程为(x2+y2-6x)+λ(x2+y2-4)=0,
整理得(1+λ)x2+(1+λ)y2-6x-4λ=0.
因为此圆经过点M(2,-2),所以4(1+λ)+4(1+λ)-12-4λ=0,解得λ=1,
所以所求圆的方程为2x2+2y2-6x-4=0,即x2+y2-3x-2=0.
10.已知直线l经过点(2,1)与点(-2,-3),圆C1的圆心在直线l上,且圆C1与y轴相切于点(0,3),圆C1与圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0相交于M,N两点.
(1)求直线l与圆C1的方程;
(2)求圆C1与圆C2的公共弦MN的长.
解:(1)经过点(2,1)与点(-2,-3)的直线l的方程为:=,即y=x-1.
由题意可得,圆C1的圆心在直线y=3上,
联立解得
所以圆C1的圆心坐标为(4,3),
所以圆C1的半径为4.
所以圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16.
(2)因为圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16,即x2+y2-8x-6y+9=0,
圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0,
所以两圆方程作差可得两圆公共弦所在直线的方程为2x+3y-4=0.
所以圆C1的圆心(4,3)到直线2x+3y-4=0的距离d==.
所以两圆的公共弦MN的长为2=2.
11.已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与圆C:(x-3)2+(y-4)2=4外切,点P的坐标为(2,0),A,B为圆O上的两个动点,且满足以AB为直径的圆过点P.
(1)求圆O的方程;
(2)点M为动弦AB的中点,求点M的轨迹方程和|AB|的范围.
解:(1)因为圆O与圆C外切,
所以圆心距|OC|=2+r==5,解得r=3,
所以圆O的方程为x2+y2=9.
(2)因为以AB为直径的圆过点P,
所以AP⊥BP.
设M(x,y),则|OM|2=|OA|2-|AM|2=|OA|2-|MP|2,
即x2+y2=9-(x-2)2-y2,
化简,得(x-1)2+y2=,
所以点M的轨迹为以D(1,0)为圆心,半径为的圆D.
可知点P在圆D内,则-1≤|PM|≤+1.
在Rt△ABP中,|AB|=2|PM|,
所以-2≤|AB|≤+2.
C级 挑战创新
12.多选题若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0相切,则实数m= ( )
A.9 B.11 C.-11 D.-9
解析:由题意,知圆C1的圆心坐标为(0,0),半径r1=1,圆C2的圆心坐标为(3,4),半径r2=.
当圆C1与圆C2外切时,=1+,解得m=9;
当圆C1与圆C2内切时,=|-1|,解得m=-11.
综上所述,m=9或m=-11.
答案:AC
13.多空题已知圆O1:x2+y2=4与圆O2:(x-2)2+(y+1)2=1相交于A,B两点,则两圆的圆心O1,O2所在直线的方程是y=-x,两圆公共弦AB的长度是.
解析:由题意知O1(0,0),O2(2,-1),
点O1,O2所在直线的斜率k==-,
所以圆心O1,O2所在直线的方程为y=-x.
两圆方程相减,得公共弦所在的直线方程为2x-y-4=0,
所以圆心O1(0,0)到其距离为d=,于是|AB|=2=.
