A级 基础巩固
1.直线l: y-1=k(x-1)和圆x2+y2-2y=0的关系是 ( )
A.相离 B.相切或相交
C.相交 D.相切
解析:直线l过定点A(1,1),因为12+12-2×1=0,所以点A在圆上.因为直线x=1过点A且为圆的切线,直线l的斜率存在,所以直线l与圆一定相交.
答案:C
2.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是 ( )
A.-2或12 B.2或-12
C.-2或-12 D.2或12
解析:由题意,知圆的圆心为(1,1),半径为1.
因为直线3x+4y=b与圆相切,所以=1,解得b=2或b=12.
答案:D
3.若直线2x+y+=0被圆x2+y2=4截得的弦长为2,则m= ( )
A. B.5
C.10 D.25
解析:由题意,知圆的圆心坐标为(0,0),半径r=2.由直线被圆截得的弦长为2,可得圆心到直线的距离为=,解得 m=5.
答案:B
4.直线x-y+1=0与直线2x-2y-1=0是圆C的两条切线,则圆C的面积是 ( )
A.π B.π
C.π D.π
解析:由题意,知直线x-y+1=0与直线2x-2y-1=0平行.由这两条直线是圆C的两条切线,知两直线之间的距离与圆C的直径的长度相等.由直线x-y+1=0即2x-2y+2=0,与直线2x-2y-1=0间的距离d==,知圆C的半径r=,故圆C的面积S=πr2=π.
答案:C
5.过点P(-1,6),且与圆(x+3)2+(y-2)2=4相切的直线方程是3x-4y+27=0或x=-1.
解析:当所求直线的斜率存在时,设所求直线的方程为y-6=k(x+1),则d==2,解得k=,此时,直线方程为3x-4y+27=0;当所求直线的斜率不存在时,所求直线的方程为x=-1,验证可知,符合题意.所以所求直线方程为3x-4y+27=0或x=-1.
6.已知直线l:x-y+1=0,圆C的方程为x2+y2+4x-2y+1=0.
(1)判断直线l与该圆的位置关系.
(2)若直线l与圆C相交,求出弦长;否则,求出圆C上的点到直线l的最短距离.
解:(1)因为圆C的方程可化为(x+2)2+(y-1)2=4,
所以圆C的圆心为C(-2,1),半径r=2,
所以圆心C到直线l的距离d==所以直线l与圆C相交.
(2)由(1)知直线l与圆C相交,则弦长L=2=2=2.
B级 拓展提高
7.(全国卷Ⅰ改编)已知圆C:x2+y2-6x=0,过点D(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:由圆的方程可得圆心为C(3,0),半径r=3.
把点(1,2)的坐标代入圆的方程的左边,得12+22-6×1=-1.因为-1<0,所以点在圆内.
设圆心到直线的距离为d,则过D(1,2)的直线被圆截得的弦长|AB|=2.
所以当d最大时弦长|AB|最小,当直线与CD所在的直线垂直时d最大.
因为d最大=|CD|==2,
所以最小的弦长|AB|=2=2.
故选B.
答案:B
8.在平面直角坐标系Oxy中,以点(1,0)为圆心,且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.
解析:因为直线mx-y-2m-1=0恒过定点(2,-1),所以圆心(1,0)与定点(2,-1)确定的直线与直线mx-y-2m-1=0垂直时,圆的半径最大,且两点之间的距离为d==,所以最大的半径r=,所以半径最大的圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.
9.已知圆C:x2+y2-8y+12=0与直线l:ax+y+2a=0相交于A,B两点,且|AB|=2,则实数 a=-7或-1.
解析:将圆的方程化为标准方程可得x2+(y-4)2=4,所以圆心为(0,4),半径r=2.因为圆C与直线l相交于A,B两点,且|AB|=2,所以由垂径定理和勾股定理可求得圆心到直线l的距离为d===.
由点到直线的距离公式可知d=,
所以=,化简可得a2+8a+7=0,
解得a=-7或a=-1.
10.已知过点A(0,1),且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若·=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
解:(1)由题意可得,直线l的斜率存在,
所以过点A(0,1)的直线l的方程为y=kx+1,即kx-y+1=0.
由已知可得圆C的圆心C的坐标为(2,3),半径r=1.
当直线与圆相切时,有=1,解得k1=,k2=.
故当(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),
由题意可得,经过点M,N,A的直线方程为y=kx+1,代入圆C的方程(x-2)2+(y-3)2=1,消去y整理可得(1+k2)x2-4(k+1)x+7=0,
所以x1+x2=,x1x2=,
所以y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=.
由·=x1x2+y1y2==12,
解得 k=1,
所以直线l的方程为 y=x+1,即 x-y+1=0.
所以圆心C在直线l上,所以线段MN即为圆的直径,即|MN|=2.
11.某高速公路隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成(如图所示).已知隧道总宽度AD为6 m,行车道总宽度BC为2 m,侧墙面高EA,FD为2 m,弧顶高MN为5 m.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求圆弧所在圆的方程.
(2)为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.5 m.请计算车辆通过隧道的限制高度是多少.
解:(1)如图所示,以EF所在直线为x轴,以MN所在直线为y轴,以1 m为单位长度建立平面直角坐标系,则E(-3,0),F(3,0),M(0,3).
因为所求圆的圆心在y轴上,所以设圆的方程为x2+(y-b)2=r2.
因为点F,M在圆上,所以解得
所以所求圆的方程为x2+(y+3)2=36.
(2)设限制高度为h m,作CP⊥AD,交圆弧于点P,则|CP|=h+0.5.将点P的横坐标x=代入圆的方程,得+(y+3)2=36,解得y=2或y=-8(舍去),所以h=|CP|-0.5=(y+|DF|)-0.5=(2+2)-0.5=3.5.
答:车辆通过隧道的限制高度是3.5 m.
C级 挑战创新
12.多选题在平面直角坐标系Oxy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过点P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:x2+y2-4x=0可化为(x-2)2+y2=4.
因为过点P所作的圆的两条切线相互垂直,所以点P、圆心C、两切点是构成一个正方形的四个顶点,
所以PC=2.
因为P在直线y=k(x+1)上,所以圆心到直线的距离d=≤2,解得-2≤k≤2.
答案:AB
13.多选题已知点A是直线l:x+y-=0上一定点,点P,Q是圆x2+y2=1上的动点,若∠PAQ最大值为90°,则点A的坐标可以是 ( )
A.(0,) B.(1,-1)
C.(,0) D.(-1,1)
解析:如图所示,
圆心到直线l的距离为d==1,则直线l与圆x2+y2=1相切.
由图可知,当AP,AQ均为圆x2+y2=1的切线时,∠PAQ的度数最大.
如图,连接OP,OQ.由于∠PAQ最大为90°,且∠APO=∠AQO=90°,|OP|=|OQ|=1,
故四边形APOQ为正方形,所以|OA|=|OP|=.
设点A的坐标为(t,-t+),
由两点间的距离公式,得|OA|==,
整理得2t2-2t=0,解得t=0或t=,
因此点A的坐标为(0,)或(,0).
答案:AC(共49张PPT)
第二章 直线和圆的方程
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
读
已知点A和圆的方程(1)直线过A点,弦长已知,求直线
方程(2)已知M,N两点,求三角形面积的最小值
想一点斜式方程、弦长公式、圆心到直线的距离
(1)由题意,知圆C的圆心坐标为(-2,6),半径r=4.
当直线L斜率不存在时,直线方程为x=0.
当x=0时,y2-12y+24=0,
解得y=6±2√3,
算
可得弦长为6+23-(6-23)=43成立
当直线L斜率存在时,设过点A的直线方程为y=
kx+5,化为一般方程为kx-y+5=0
圆心到直线l的距离d==2k-6+5112k+1
1+
由(23)2+42=x=16,解得d=2,可得k=3,
所以直线方程为3x-4y+20=0
综上可得,直线l的方程为x=0或3x-4y+20
(2)由题意求得直线MN的方程为-x+y=1,
由圆C的圆心坐标为(-2,6),半径r=4,可得圆心
到直线MN的距离为2-61=72>4
所以直线MN与圆C相离,所以圆C上的点到直线
MN的距离的最小值为
√2
由|MN|=2,可得△QMN面积的最小值是
22√2.
规律方法:求直线与圆相交的弦长的两种方法
(1)几何法:如图,直线L与圆C交
思一于A,B两点,设弦心距为d,圆的
半径为r,弦长为|AB|,则有
(2AB1)+d=,即AB
(2)代数法:如图所示,画出
直线与圆,设直线与圆的两
(xy1)
交点分别是A(x1,y1),
B(x2,y2),则|AB|=Bx2火Xo
(x1-x2)2+(y1-y2)
y2|(直线L的
斜率k存在)
判断直线与圆位置
相交关系的方法
直线与圆的
位置关系
相切
求切线方程的方法方法
知识
相离
求弦长的方法
数形结合
直线与圆的方程的应用
数学建模
素养或思想
