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第二章 直线和圆的方程
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
读
已知四个点的坐标,判断四边形的形状
想一求出斜率,利用斜率之间的关系判断
四边形ABCD在平面直角坐标系内的位置如图所
示
B
C
算
3-2-10123456x
由斜率公式可得kAB
5-3
2-(-4)3
0-3
3-63
9之AD
3—(-4)
3-5
k Bc
6-2
所以kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合,
所以AB∥CD
因为kA≠kB,所以AD与BC不平行
又因为kAB·kAD=×(-3)=-1
所以AB⊥AD,所以四边形ABCD为直角梯形
规律方法:利用两条直线平行或垂直判断图形形状的
步骤
(1)描点:在平面直角坐标系中描点连线,画出图形
(2)猜测:根据画出的图形,猜测图形的形状
(3)求斜率:若直线存在斜率,根据给定点的坐标求直
线的斜率
(4)结论:由斜率之间的关系判断形状
两条直线平行与判断两条直线是否
斜率之间的关系平行的方法
知识
判断两条直线是方法
两条直线垂直与垂直的方法
斜率之间的关系判断图形形状的
方法
数学运算)(数形结合
素养或思想A级 基础巩固
1.直线x=0与直线y=0的位置关系是 ( )
A.垂直 B.平行
C.重合 D.以上都不对
答案:A
2.若过P(3,2m)和Q(m,2)两点的直线与过M(2,-1)和N(-3,4)两点的直线重合或平行,则m的值是 ( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
解析:由题意,得kMN==-1,kPQ=.由直线PQ与直线MN重合或平行,得=-1,解得m=-1.
答案:B
3.若点P(a,b)与点Q(b-1,a+1)关于直线l对称,则直线l的倾斜角为 ( )
A.135° B.45°
C.30° D.60°
解析:由题意,得kPQ==-1,且kPQ·kl=-1,
所以直线l的斜率为1,所以直线l的倾斜角为45°.
答案:B
4.在△ABC中,A(0,3),B(2,-1),E,F分别为AC,BC的中点,则直线EF的斜率为-2.
解析:因为E,F分别为AC,BC的中点,所以EF∥AB,所以kEF=kAB==-2.
5.若不同两点P,Q的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段PQ的垂直平分线的斜率为-1.
解析:因为kPQ==1,所以线段PQ的垂直平分线的斜率为-1.
6.直线l1经过A(m,1),B(-3,4)两点,直线l2经过C(1,m),D(-1,m+1)两点,当l1∥l2或l1⊥l2时,分别求实数m的值.
解:由题意,知直线l2的斜率存在,且不为0.
当l1∥l2时,由于直线l2的斜率存在,则直线l1的斜率也存在,则kAB=kCD,即=,解得m=3,经检验,当m=3时,l1∥l2;
当l1⊥l2时,由于直线l2的斜率存在且不为0,所以直线l1的斜率也存在,所以kAB·kCD=-1,
即·=-1,解得m=-.
综上所述,当l1∥l2时,m的值为3;
当l1⊥l2时,m的值为-.
B级 拓展提高
7.已知点A(-2,-5),B(6,6),点P在y轴上,且∠APB=90°,则点P的坐标为 ( )
A.(0,-6)
B.(0,7)
C.(0,-6)或(0,7)
D.(-6,0)或(7,0)
解析:由题意可设点P的坐标为(0,y).因为∠APB=90°,所以AP⊥BP,且直线AP与直线BP的斜率都存在.因为kAP=,kBP=,kAP·kBP=-1,所以·=-1,解得y=-6或y=7.所以点P的坐标为(0,-6)或(0,7).
答案:C
8.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以A,B,C,D为顶点的四边形是 ( )
A.梯形 B.平行四边形
C.菱形 D.矩形
解析:由题意,易知kAB=-,kBC=0,kCD=-,kAD=0,kBD=-,kAC=,所以kAB=kCD,kBC=kAD,kAB·kAD=0,kAC·kBD=-,所以AB∥CD,AD∥BC,AB与AD不垂直,BD与AC不垂直.
所以四边形ABCD为平行四边形.
答案:B
9.直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,且直线l1与直线l2平行,直线l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),试求m的值.
解:由题意可知直线l1的倾斜角为30°+30°=60°,
所以直线l1的斜率k1=tan 60°=.
由题意可知直线l2的斜率k2存在,且k2=.
所以直线AB的斜率kAB也存在.
因为直线AB的斜率kAB==,
所以线段AB的垂直平分线l2的斜率为k2=.
所以=,解得m=4+.
10.已知A(0,3),B(-1,0),C(3,0),求点D的坐标,使四边形ABCD为直角梯形(A,B,C,D按逆时针方向排列).
解:设所求点D的坐标为(x,y),如图.
由题意,得kAB=3,kBC=0,
所以kAB·kBC=0≠-1,即AB与BC不垂直,
故AB,BC都不可作为直角梯形的直角腰.
若AD是直角梯形的直角腰,则AD⊥AB,AD⊥CD,
且kAD=,kCD=.
由AD⊥AB,得·3=-1. ①
因为AB∥CD,所以=3. ②
由①②两式联立方程组,可解得
所以D,
此时AD与BC不平行,符合题意.
若DC为直角梯形的直角腰,则DC⊥BC,AD∥BC.
因为kBC=0,所以DC的斜率不存在.
所以x=3.
因为AD∥BC,所以y=3.
所以点D的坐标为(3,3).
综上所述,使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标为或(3,3).
C级 挑战创新
11.多空题已知A(m,1),B(-1,m),P(1,2),Q(-5,0),若AB∥PQ,则m=;若AB⊥PQ,则m=-2.
解析:由题意可得kPQ==,
kAB=.
若AB∥PQ,则kAB=kPQ,即=,解得m=;
若AB⊥PQ,则kPQkAB=-1,即·=-1,解得m=-2.
12.多空题已知直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根,若l1⊥l2,则 b=2;若l1∥l2,则 b=-.
解析:由直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根,
得k1+k2=,k1·k2=-.
若l1⊥l2,则k1·k2=-1,即-=-1,解得b=2;
若l1∥l2,则k1=k2,可得解得b=-.
