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第二章 直线和圆的方程
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
读_已知直线的一般式方程含有参数m,根据条件求m的值
想表示出截距和斜率,列方程求解
(1)因为直线L在x轴上的截距为-3,
所以m2-2m-3≠0.
令y=0,得r=2m-6
2m-3
2m-6
:所以
2-2m-3
3,
算
解得m
或m=3
当m=3时,m2-2m-3=0,不符合题意,舍去
所以m
(2)因为直线l的斜率为1,所以2m2+m-1≠0
将直线方程的一般式化为斜截式,得
m726-2m
m2-2m-3
2m2+
2m2+m-1
n2-2m-3
所以
1,解得m=-2或m=-1.
2m2+m-1
当m=-1时,2m2+m-1=0,不符合题意,舍去
所以m=-2
1规律方法:含参数的直线的一般式方程问题的解题思路
(1)明确题目条件:要明确x项、y项的系数及常数项是
否含有参数
思一(2)列式子的依据
①A,B不同时为0;
②直线的斜率为-h(B:0);
1③在x轴上的截距为(4≠0);
④在y轴上的截距为-(B#0)
(3)在求出参数的值后,要注意检验其是否符合题意
2易错提醒:在将直线的一般式方程化为其他特殊形式的
方程时,要对x,y的系数是否为0进行讨论
∈元次方程与直线的关系
知识
直线的一般式方程的
求法
直线的含参数的直线的一般
般式方程式方程问题的解法
方法
利用直线的一般式方
程解决直线的平行与
垂直问题的方法
分类讨论)素养或思想A级 基础巩固
1.过点A(3,-1)且与直线x+2y-3=0垂直的直线方程是 ( )
A.x+2y+1=0 B.x+2y-1=0
C.2x-y+7=0 D.2x-y-7=0
解析:因为直线x+2y-3=0可化为y=-x+,所以所求直线的斜率k=2.因为直线经过点A(3,-1),由点斜式可知所求直线方程为y+1=2(x-3),
化为一般式,得2x-y-7=0.
答案:D
2.无论m 取何实数,直线l:mx+y-1+2m=0恒过一定点,则该定点的坐标为 ( )
A.(-2,1) B.(-2,-1)
C.(2,1) D.(2,-1)
解析:因为mx+y-1+2m=0可整理为y-1=-m(x+2),所以直线l总过定点(-2,1).
答案:A
3.直线x-y+1=0的倾斜角为.
解析:设直线x-y+1=0的倾斜角为θ.
因为直线x-y+1=0可化为y=x+1,
所以tan θ=.因为θ∈[0,π),所以θ=.
4.若点A(1,-1)在直线l上的射影为B(3,6),则直线l的一般式方程为2x+7y-48=0.
解析:由题意,得kAB==,所以直线l的斜率为-,所以直线l的方程为y-6=-(x-3),即2x+7y-48=0.
5.已知直线l经过点(3,-2).
(1)若直线l与直线y=2x平行,求直线l的方程(结果用一般式方程表示);
(2)若直线l在x轴上的截距与在y轴上的截距相等,求直线l的方程(结果用一般式方程表示).
解:(1)因为直线l与直线y=2x平行,
所以直线l的斜率为2.
因为直线l经过点(3,-2),
所以直线l的方程为y+2=2(x-3),即2x-y-8=0.
(2)当直线l过原点时,它的斜率为-,
所以直线l的方程为2x+3y=0.
当直线l不过原点时,设直线l的方程为+=1,将点(3,-2)的坐标代入,得a=1,
所以直线l的方程为x+y-1=0.
综上所述,直线l的方程为2x+3y=0或x+y-1=0.
B级 拓展提高
6.已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,l2:2x+y-1=0,
l3:x+ny+1=0.若l1∥l2,l2⊥l3,则m+n的值为 ( )
A.-10 B.-2
C.0 D.8
解析:因为l1∥l2,所以kAB==-2,解得m=-8.又因为l2⊥l3,所以-×(-2)=-1,解得n=-2,所以m+n=-10.
答案: A
7.已知直线ax+by+c=0的图象如图所示,下列说法正确的是 ( )
A.若c>0,则a>0,b>0
B.若c>0,则a<0,b>0
C.若c<0,则a>0,b<0
D.若c<0,则a>0,b>0
解析:直线ax+by+c=0的斜率k=-,在x轴、y轴上的截距分别为-,-.由题图,知k<0(即-<0),->0,->0,所以ab>0,ac<0,bc<0.若c<0,则a>0,b>0;若c>0,则a<0,b<0.
答案:D
8.若直线(a+1)x+y+2-a=0不经过第二象限,则a的取值范围是(-∞,-1].
解析:直线(a+1)x+y+2-a=0可化为y=-(a+1)x+a-2.
因为直线(a+1)x+y+2-a=0不经过第二象限,
所以-(a+1)≥0,且a-2≤0,解得a≤-1.
所以实数a的取值范围为(-∞,-1].
9.求与直线3x+4y+1=0平行,且在两坐标轴上的截距之和为的直线l的方程.
解:由题意,设直线l的方程为3x+4y+m=0(m≠1).
令x=0,得y=-;令y=0,得x=-.
所以-+=,解得m=-4.
所以直线l的方程为3x+4y-4=0.
10.已知直线l1:(a-1)x+y+b=0,l2:ax+by-4=0,求满足下列条件的a,b的值:
(1)l1⊥l2,且直线l1过点(1,1);
(2)l1∥l2,且直线l2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2.
解:(1)因为l1⊥l2,所以a(a-1)+b=0. ①
因为直线l1过点(1,1),所以a+b=0. ②
由①②联立方程组,解方程组得或
当a=0,b=0时不合题意,舍去.
所以a=2,b=-2.
(2)因为l1∥l2,所以a-b(a-1)=0. ③
由题意,知a>0,b>0,且直线l2与两坐标轴的交点坐标分别为,.
所以××=2,整理得ab=4. ④
由③④联立方程组,解得
经检验,a=2,b=2符合题意.
C级 挑战创新
11.多选题直线过点(-1,3),且在x轴、y轴上的截距的绝对值相等,则该直线方程为 ( )
A.3x+y=0 B.x-y+4=0
C.x+y-2=0 D.x-y-4=0
解析:当直线经过原点时,斜率为=-3,要求的直线方程为y=-3x,即3x+y=0.
当直线不经过原点时,
①当直线在x轴、y轴上的截距相等时,设直线方程为+=1.将点(-1,3)的坐标代入,可得a=2,所以直线方程为+=1,即x+y-2=0.
②当直线在x轴、y轴上的截距互为相反数时,同理可得直线方程为x-y+4=0.
综上可得,所求的直线方程为3x+y=0或x+y-2=0或x-y+4=0.
答案:ABC
12.多空题已知直线l的倾斜角为60°,在y轴上的截距为-4,则直线l的斜截式方程为y=x-4;一般式方程为x-y-4=0.
解析:因为直线l的倾斜角为60°,所以直线l的斜率k=tan 60°=,所以斜截式方程为y=x-4,化为一般式,得x-y-4=0.
