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第二章 直线和圆的方程
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wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03A级 基础巩固
1.若直线x+ky=0,2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一点,则k的值是
( )
A. B.- C.2 D.-2
解析:依题意,联立方程,得解得所以直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点坐标为(-1,-2).因为直线x+ky=0, 2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一点,所以-1-2k=0,解得k=-.
答案:B
2.若直线l1:x+my-6=0与直线l2:(m-2)x+3y+2m=0只有一个公共点,则 ( )
A.m≠-1,且m≠3 B.m≠-1,且m≠-3
C.m≠1,且m≠3 D.m≠1,且m≠-1
解析:因为直线l1:x+my-6=0与直线l2:(m-2)x+3y+2m=0只有一个公共点,所以两条直线既不平行也不重合,
所以m(m-2)≠3,解得m≠-1,且m≠3,
所以m的取值范围是m≠-1,且m≠3,故选A.
答案:A
3.直线3x-2y+a=0与直线(a2-1)x+3y+2-3a=0的位置关系是 ( )
A.相交 B.平行
C.垂直 D.相交或平行
解析:令=-,得2a2=-7,无解,故两条直线不可能平行或重合,必相交.
答案:A
4.若直线l1:x+my+12=0与直线l2:2x+3y+m=0的交点在y轴上,则m=±6.
解析:当m=0时,直线l1为x=-12,它与y轴不相交,不符合题意.当m≠0时,分别令x=0,求得两直线在y轴上的截距分别为-和-.由题意,得-=-,解得m=±6.
5.若直线y=kx+2k+1与直线y=-x+2的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是-解析:联立两直线的方程,得解得因为直线y=kx+2k+1与直线y=-x+2的交点位于第一象限,所以解得-6.已知两条直线l1:3x+4y-2=0与l2:2x+y+2=0的交点为P.
(1)求过点P且垂直于直线l3:x-2y-1=0的直线l的方程;
(2)若直线m与x轴、y轴分别交于A,B两点,且点P为线段AB的中点,求直线m的方程.
解:(1)联立方程,得解得
所以点P的坐标为(-2,2).
因为直线l3:x-2y-1=0的斜率为,
所以垂直于直线l3的直线l的斜率k=-2.
所以过点P且垂直于直线l3:x-2y-1=0的直线l的方程为y-2=-2(x+2),即2x+y+2=0.
(2)设直线m的方程为y-2=k(x+2)(k≠0).
由题意得A,B(0,2k+2).
因为点P为线段AB的中点,所以-2=,2=,解得k=1.
所以直线m的方程为y-2=x+2,即x-y+4=0.
B级 拓展提高
7.经过直线2x+y-2=0和x-y-1=0的交点,且与直线3x+2y-2=0垂直的直线方程是 ( )
A.3x-2y-1=0 B.2x-3y-1=0
C.2x-3y-2=0 D.3x-2y-2=0
解析:解方程组得即交点坐标为(1,0).设与直线3x+2y-2=0垂直的直线方程是2x-3y+m=0.把点(1,0)的坐标代入,得2-0+m=0,解得m=-2.所以要求的直线方程为2x-3y-2=0.
答案:C
8.已知点M(0,-1),点N在直线x-y+1=0上,若直线MN垂直于直线x+2y-3=0,则点N的坐标是 ( )
A.(2,3) B.(-2,-1)
C.(-4,-3) D.(0,1)
解析:由题意,知直线MN过点M(0,-1),且与直线x+2y-3=0垂直,设其方程为2x-y+m=0,则有0+1+m=0,解得m=-1,所以直线MN的方程为2x-y-1=0.所以直线MN与直线x-y+1=0的交点为N.联立方程,得解得即点N的坐标为(2,3).
答案:A
9.已知直线l过直线l1:3x-5y-10=0和l2:x+y+1=0的交点,且平行于l3:x+2y-5=0,则直线l的方程是8x+16y+21=0.
解析:联立直线l1,l2 的方程可解得交点坐标为.
由题意,可设直线l的方程为x+2y+m=0,
则有+2×+m=0,解得m=,据此可得直线l的方程为x+2y+=0,即8x+16y+21=0.
10.不论k为何实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0恒过一个定点,这个定点的坐标是(2,3).
解析:将直线方程变形为(x+3y-11)-k(2x-y-1)=0,它表示过直线x+3y-11=0和2x-y-1=0的交点的直线系,解方程组得所以上述直线恒过定点(2,3).
11.已知直线l1的方程为x+2y-4=0,若直线l2在x轴上的截距为,且l1⊥l2.
(1)求直线l1和l2的交点坐标;
(2)已知直线l3经过l1与l2的交点,且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求l3的方程.
解:(1)由已知得直线l1的斜率为-.
因为l1⊥l2,所以==2.
所以直线l2的方程为y-0=2,整理,得2x-y-3=0.
解方程组得
所以直线l1和l2的交点坐标为(2,1).
(2)当直线l3经过原点时,可得方程为y=x,即x-2y=0.
当直线l3不经过原点时,设在x轴上的截距为a(a≠0),则在y轴上的截距为2a,则其方程为+=1.
因为该直线过点(2,1),所以+=1,解得a=.
可得直线方程为2x+y-5=0.
综上可得,直线l3的方程为x-2y=0或2x+y-5=0.
C级 挑战创新
12.多选题若直线l: y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角α的取值可以是 ( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
解析:如图,直线2x+3y-6=0过点A(3,0),B(0,2),直线l: y=kx-必过点(0,-).当直线l过点A时,两直线的交点在x轴上;当直线l绕点C按逆时针方向旋转时(由位置AC到位置BC,边界不能取到),交点在第一象限.根据kAC==,得到直线l的斜率k>.所以倾斜角α的范围为30°<α<90°.
答案:BC
13.多空题已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0,若l1与l2相交于点P(m,-1),则m=1,n=7.
解析:将点P(m,-1)的坐标代入两直线方程,得m2-8+n=0,2m-m-1=0,解得 m=1,n=7.
14.多空题已知直线l1:2x-y+1=0与l2:x-2y+5=0相交于点P,则点P的坐标为(1,3),经过点P且垂直于直线3x+4y-5=0的直线方程为4x-3y+5=0.
解析:解方程组得
所以点P的坐标为(1,3).
设垂直于直线3x+4y-5=0的直线方程为4x-3y+c=0.因为该直线过点(1,3),所以4×1-3×3+c=0,解得c=5.所以经过点P且垂直于直线3x+4y-5=0的直线方程为4x-3y+5=0.
