函数奇偶性的应用
学习目标
1.会根据函数奇偶性求解析式或参数。
2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题。
3.体会具有奇偶性函数的图象对称的性质，感觉数学的对称美，体现数学的美学价值。
重点：根据函数奇偶性求解析式或参数；函数的奇偶性与单调性分析。
难点：根据函数奇偶性求解析式
第一部分 走进复习
一、基础知识：1．函数奇偶性的概念
(1)偶函数的定义
如果对于函数f(x)的定义域内的 一个x，都有 ，那么称函数y＝f(x)是偶函数．
(2)奇函数的定义
如果对于函数f(x)的定义域内的 一个x，都有______，那么称函数y＝f(x)是奇函数．
2.判断函数的奇偶性
判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是:
（1）考查定义域是否关于______对称；
（2）考查表达式f（-x）是否等于f（x）或-f（x）：
若f（-x）=_______，则f（x）为奇函数；
若f（-x）=________，则f（x）为偶函数；
若f（-x）=_______且f（-x）=________,则f(x)既是奇函数又是偶函数；
3．奇、偶函数的图象
(1)偶函数的图象关于 对称． (2)奇函数的图象关于 对称．
4．奇函数的图象一定过原点吗？
5．由奇(偶)函数图象的对称性，在作函数图象时你能想到什么简便方法？
二、巩固练习： 1、一次函数何时为奇函数？
2、二次函数何时为偶函数？
3、函数的奇偶性如何？
4、判断下列函数的奇偶性
（1）、 （2）、
（3）、 （4）、
第二部分 走进课堂
【探索新知】
一、函数奇偶性概念的应用：
例1、①已知，是奇函数，求。
②已知函数，，求。
变式：1、已知，是奇函数，求
2、已知函数，，求
二、函数奇偶性的图像特征：
例2．先根据条件画出函数的大致图象，再利用图象解题
（1）已知函数是奇函数，在,上是增函数，那么在上是增函数还是减函数？
小结：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______,
偶函数在关于原点对称的区间上的单调性______(填“相同”、“相反”）.
（2）若奇函数在区间,上是增函数，且最大值是6，那么在区间,上是（ ）
（A）增函数，最小值为 （B）增函数，最大值为
（C）减函数，最小值为 （D）减函数，最大值为
（3）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，在（-∞,0） 上是增函数，且f(2)=0，则使得f(x)<0的取值范围是______________.
问题：在例1 （1）、（2）、（3）中，若是偶函数，结论又如何？
三、利用奇偶性求函数解析式：
例3、若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x·(1－x)，求函数f(x)的解析式．
此类问题的一般做法是：
①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．
②要利用已知区间的解析式进行代入．
③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
变式：若将题设中的“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数，且f(0)＝0”，其他条件不变，则函数f(x)的解析式是什么？
反思总结:
第三部分 走向课外
【课后作业】
1、已知函数，，求。
2、已知偶函数在,上是增函数，且，解不等式。
3、函数在R上为奇函数，且时，，则当， .
选做题：
1、已知的最大值为M，最小值为N，则M+N＝___________.
2、已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y) =f(x)+f(y).
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)如果x为正实数，f（x）<0,并且 试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.(共25张PPT)
函数奇偶性的应用
学习目标 :
1.会根据函数奇偶性求解析式或参数。
2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的
问题。
3.体会具有奇偶性函数的图象对称的性质，感觉数学
的对称美，体现数学的美学价值。
1．函数奇偶性的概念
(1)偶函数的定义
如果对于函数f(x)的定义域内的 一个x，都有 ，那么称函数y＝f(x)是偶函数．
(2)奇函数的定义
如果对于函数f(x)的定义域内的 一个x，都有____________，那么称函数y＝f(x)是奇函数．
任意
f(－x)＝f(x)
任意
f(－x)＝-f(x)
走进复习
一、基础知识：
2.判断函数的奇偶性
判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般
步骤是:
（1）考查定义域是否关于______对称；
（2）考查表达式f（-x）是否等于f（x）或-f（x）：
若f（-x）=_______，则f（x）为奇函数；
若f（-x）=________，则f（x）为偶函数；
若f（-x）=_______且f（-x）=________,则f(x)既是
奇函数又是偶函数；
原点
-f（x）
f（x）
-f（x）
f （x）
3．奇、偶函数的图象
(1)偶函数的图象关于 对称．
(2)奇函数的图象关于 对称．
y轴
原点
4．奇函数的图象一定过原点吗？
【提示】 不一定．若0在定义域内，则图象一定过原点，否则不过原点．
5．由奇(偶)函数图象的对称性，在作函数图象时你能想
到什么简便方法？
【提示】 若函数具有奇偶性，作函数图象时可以先画出x>0部分，
再根据奇偶函数图象的对称性画出另一部分图象．
分段函数奇偶性判断
判断函数 的奇偶性
走进课堂
一、函数奇偶性概念的应用：
相同
相反
二、函数奇偶性的图像特征：
函数奇偶性与最值之间的关系
若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是 ，且有 ，最小值和最大值和为 。
最小值－M
增函数
0
问题：在例1 （1）、（2）、（3）中，若是偶函数，结论又如何？
例3、若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，
f(x)＝x·(1－x)，求函数f(x)的解析式．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①函数f(x)是R上的奇函数；
②x>0时f(x)的解析式已知．
解答本题可将x<0的解析式转化到x>0上求解．
三、利用奇偶性求函数解析式：
此类问题的一般做法是：
①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．
②要利用已知区间的解析式进行代入．
③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
若将题设中的“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数，且f(0)＝0”，其他条件不变，则函数f(x)的解析式是什么？
小结：
1、利用概念求参数（可能用到方程思想）
2、函数奇偶性的图像特征：
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同
（2）偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反
（3）若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值
M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值
－M ，最小值和最大值和为0。
3、求函数的解析式－－－求谁设谁
函数单调性和奇偶性与抽象不等式
例4、已知奇函数f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且
f(x－1)＋f(1－2x)<0，求实数x的取值范围．
【思路点拨】 f(x－1)＋f(1－2x)<0―→f(x－1)列不等式组―→解得实数x的取值范围
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)(2).若偶函数f(x)的定义域为[－1,1]，且在[0,1]上单调递减，若f(1－m)例5、若偶函数f(x)的定义域为[－1,1]，且在[0,1]上单调递减，若f(1－m)
