1.1.2四种命题
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命题“若p，则q”反映条件p对于q的因果关系，
（1）把条件和结论换位，即“若q，则p” ；
（2）把条件和结论否定，即“若┐p，则┐q”;
（3）把条件和结论换位后在分别否定，即“若 ┐q，则┐p”.
大家能说出以上（1）（2）（3）小题，转换后的命题是什么命题吗？
例如：
命题“若一个三角形三边相等，则这个三角形是等边三角形”将它们转换成以上三个小题的形式.
（1）若一个三角形是等边三角形，则这个三角形的三条边相等.
（2）若一个三角形的三条边不相等，则这个三角形不是等边三角形.
（3）若一个三角形不是等边三角形，则这个三角形的三条边不相等.
继续解答
这样的三种命题是我们将要学习的“逆命题”“否命题”和“逆否命题”.
教学目标
知识与能力：
了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念 .
掌握四种命题的形式.
会用等价命题判断四种命题的真假 .
过程与方法：
多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力.
培养学生抽象概括能力和思维能力.
情感态度与价值观：
通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力.
重点：
会写四种命题并会判断命题的真假.
教学重难点
难点：
命题的否定与否命题的区别.
写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题 .
分析四种命题的真假 .
下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？
观察与分析
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.
p
p
q
q
┐ p
┐ p
┐ q
┐ q
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样两个命题叫做互逆命题 .其中一个命题叫原命题，另一个叫原命题的逆命题.
结论
互逆命题的表示为：
原命题：若p，则q；
逆命题：若q ，则p.
例如上述的命题（1）和命题（2）是互逆命题，若我们把命题（1）称作原命题，那么命题（2）称作，命题（1）的逆命题.
例1：
写出下列命题的逆命题：
（1）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.
（2）正数a的平方根不等于0 .
小小提示：
要写出一个命题的逆命题，必须弄清它的条件和结论，即将此命题转化成“若p，则q”的形式，再交换条件和结论.
分析
命题（1）易改成“若p，则q” ，而命题（2），需要弄清它的条件和结论，可改写成：“若一个数为正数a的平方根，则这个数不等于0”，交换它们的条件和结论，便得到相应的逆命题.
继续解答
解：
（1）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面.
（2）如果一个数不等于0，那么这个数是正数a的平方根.
对于观察与分析中命题（1）和命题（3），其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题.
说明:
为了书写简便，我们常常把条件p的否定和结论q的否定，分别记作“┐p”和“┐q”，读作“非p”和“非q”.
结论
互为否命题的表示为：
原命题：若p，则q；
否命题：若┐p，则┐q.
例2：
（1）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.
（2）正数a的平方根不等于0 .
写出下列命题的否命题：
小小提示:
要写出一个命题的否命题，只需将其此命题的条件和结论进行否定.
继续解答
解：
（1）如果两条直线不垂直于同一个平面，那么这两条直线不平行.
（2）如果一个数不是正数a的平方根，那么这个数等于0.
否命题与命题的否定的区别：
否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题.
命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结论不否定条件.
对于原命题: 若 p , 则 q 有
否命题: 若┐p , 则┐q .
命题的否定: 若 p ，则┐q .
在观察与分析中的命题（1）和命题（4），其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题.
结论
互为逆否命题的表示为：
原命题：若p，则q；
逆否命题：若┐ q ，则┐ p
例3：
（1）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.
（2）正数a的平方根不等于0 .
写出下列命题的逆否命题：
小小提示:
要写出一个命题的逆否命题，首先将此命题化成逆命题，再将其逆命题化成否命题，从而得到一个命题的逆否命题.
分析
由例题1，我们可以得到这两个命题的逆命题 ，然后将它们的条件和结论进行否定，便得到相应的逆否命题.
继续解答
解：
（1）如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一个平面.
（2）如果一个数等于0，那么这个数不是正数a的平方根.
课堂小结
1. 逆命题：
交换原命题的条件和结论，所得的命题.
2. 否命题：
同时否定原命题的条件和结论，所得的命题.
3. 逆否命题：
交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题 .
4. 四种命题的形式：
原命题：若p，则q．
则：
逆命题：若q，则p．
否命题：若￢p，则￢q
逆否命题：若￢q，则￢p．
高考链接
1. （2009年重庆卷文）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析： 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为 “若一个数的平方是正数，则它是负数”.
B
2. （2005年江苏）命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为______________________.
若a<=b，则2a<=2b-1
解析：因为一个命题的否命题是同时否定原命题的条件和结论，所得的命题，因此答案为若a<=b，则2a<=2b-1 .
3.（2007重庆理）命题“若x2<1,则-1A.若x2 ≥ 1，则x ≥ 1;
B.若-1C.若x>1或x<-1,则x2>1;
D.若x ≥ 1或x ≤ -1，则x2 ≥ 1
D
解析：交换原命题的条件和结论，并且同时
否定，所得的命题，因此答案为D.
随堂练习
（1）命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆命题是___________
_____________________________________逆否命题_____________________________
__________________否命题____________
________________________________．
1.填空题
若△ABC的任
何两个内角不相等，则它不是等腰三角形
若△ABC的任何两个内角相等，则
它是等腰三角形
若△ABC是等腰
三角形，则它的任何两个内角相等
（2）命题“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是_____________________________逆命题是_____________________________.它是 命题（“真”或“假”）.
若x2+2x+q=0没有实根，则q>1
若x2+2x+q=0有实根，则q≤1
真
（1）命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的（ ）
A．逆命题．
B．否命题．
C．逆否命题．
D．以上判断都不正确
2.选择题
A
（2）命题“若A∩B=A则A∪B=B”的逆否命题是（ ）
A．若A∪B=B则A∩B=A；
B．若A∩B≠A则A∪B≠B；
C．若A∪B≠B则A∩B≠A；
D．若A∪B≠B则A∩B=A．
C
3.解答题
（1）写出 命题“两条平行线不相交 ”的逆命题，否命题、逆否命题 .
解：逆命题：若两条直线不相交，则这两条
直线平行；
否命题：若两条直线不平行，则这两条
直线相交；
逆否命题：若两条直线相交，则这两条
直线不平行．
（2）将命题“锐角的余角是钝角 ”改写成“若p则q”的形式，并写出其否命题，逆命题，逆否命题．
解： “若p则q”的形式为：若一个角是锐角，则它的余角是钝角.
逆命题：若一个角的余角是钝角，则这个角是锐角；
否命题：若一个角不是锐角，则这个角的余角不是钝角；
逆否命题：若一个角的余角不是钝角，则这个角不是锐角 .
（3）写出命题“若xy=0，则x、y中至少有一个是0.” 的逆命题、否命题、逆否命题，并指出他们的真假.
解：逆命题：若x、y中至少有一个是0，则
xy=0，这是真命题.
否命题： 若xy ≠0,则x、y没有一个是0，
这是真命题.
逆否命题：若x、y没有一个是0，则xy ≠ 0，
这是真命题.
习题解答
（1）逆命题：若一个整数能被5整除，则这
个整数的末位数字是0.这是假
命题.
否命题：若一个整数的末位数字不是0，
则 这个整数不能被5整除.这
是假命题.
逆否命题：若一个整数不能被5整除，
则 这个整数的末位数字不是
0.这是真命题.
（2）逆命题：若一个三角形的两个角相等，
则这个三角形的两条边相等.
这是真命题.
否命题：若一个三角形的两条边不相
等，则这个三角形的两个角也
不相等.这是真命题.
逆否命题：若一个三角形的两个角不相
等，则这个三角形的两条边
也不相等.这是真命题.
（3）逆命题：图像关于原点对称的函数是奇函数.这是真命题.
否命题：不是奇函数的函数的图像不关于原点对称.这是真命题.
逆否命题：图像不关于原点对称的函数不是奇函数.这是真命题.
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命题“若p，则q”反映条件p对于q的因果关系，
（1）把条件和结论换位，即“若q，则p” ；
（2）把条件和结论否定，即“若┐p，则┐q”;
（3）把条件和结论换位后在分别否定，即“若 ┐q，则┐p”.
大家能说出以上（1）（2）（3）小题，转换后的命题是什么命题吗？
例如：
命题“若一个三角形三边相等，则这个三角形是等边三角形”将它们转换成以上三个小题的形式.
（1）若一个三角形是等边三角形，则这个三角形的三条边相等.
（2）若一个三角形的三条边不相等，则这个三角形不是等边三角形.
（3）若一个三角形不是等边三角形，则这个三角形的三条边不相等.
继续解答
这样的三种命题是我们将要学习的“逆命题”“否命题”和“逆否命题”.
教学目标
知识与能力：
了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念 .
掌握四种命题的形式.
会用等价命题判断四种命题的真假 .
过程与方法：
多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力.
培养学生抽象概括能力和思维能力.
情感态度与价值观：
通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力.
重点：
会写四种命题并会判断命题的真假.
教学重难点
难点：
命题的否定与否命题的区别.
写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题 .
分析四种命题的真假 .
下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？
观察与分析
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.
p
p
q
q
┐ p
┐ p
┐ q
┐ q
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样两个命题叫做互逆命题 .其中一个命题叫原命题，另一个叫原命题的逆命题.
结论
互逆命题的表示为：
原命题：若p，则q；
逆命题：若q ，则p.
例如上述的命题（1）和命题（2）是互逆命题，若我们把命题（1）称作原命题，那么命题（2）称作，命题（1）的逆命题.
例1：
写出下列命题的逆命题：
（1）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.
（2）正数a的平方根不等于0 .
小小提示：
要写出一个命题的逆命题，必须弄清它的条件和结论，即将此命题转化成“若p，则q”的形式，再交换条件和结论.
分析
命题（1）易改成“若p，则q” ，而命题（2），需要弄清它的条件和结论，可改写成：“若一个数为正数a的平方根，则这个数不等于0”，交换它们的条件和结论，便得到相应的逆命题.
继续解答
解：
（1）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面.
（2）如果一个数不等于0，那么这个数是正数a的平方根.
对于观察与分析中命题（1）和命题（3），其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题.
说明:
为了书写简便，我们常常把条件p的否定和结论q的否定，分别记作“┐p”和“┐q”，读作“非p”和“非q”.
结论
互为否命题的表示为：
原命题：若p，则q；
否命题：若┐p，则┐q.
例2：
（1）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.
（2）正数a的平方根不等于0 .
写出下列命题的否命题：
小小提示:
要写出一个命题的否命题，只需将其此命题的条件和结论进行否定.
继续解答
解：
（1）如果两条直线不垂直于同一个平面，那么这两条直线不平行.
（2）如果一个数不是正数a的平方根，那么这个数等于0.
否命题与命题的否定的区别：
否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题.
命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结论不否定条件.
对于原命题: 若 p , 则 q 有
否命题: 若┐p , 则┐q .
命题的否定: 若 p ，则┐q .
在观察与分析中的命题（1）和命题（4），其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题.
结论
互为逆否命题的表示为：
原命题：若p，则q；
逆否命题：若┐ q ，则┐ p
例3：
（1）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.
（2）正数a的平方根不等于0 .
写出下列命题的逆否命题：
小小提示:
要写出一个命题的逆否命题，首先将此命题化成逆命题，再将其逆命题化成否命题，从而得到一个命题的逆否命题.
分析
由例题1，我们可以得到这两个命题的逆命题 ，然后将它们的条件和结论进行否定，便得到相应的逆否命题.
继续解答
解：
（1）如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一个平面.
（2）如果一个数等于0，那么这个数不是正数a的平方根.
课堂小结
1. 逆命题：
交换原命题的条件和结论，所得的命题.
2. 否命题：
同时否定原命题的条件和结论，所得的命题.
3. 逆否命题：
交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题 .
4. 四种命题的形式：
原命题：若p，则q．
则：
逆命题：若q，则p．
否命题：若￢p，则￢q
逆否命题：若￢q，则￢p．
高考链接
1. （2009年重庆卷文）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析： 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为 “若一个数的平方是正数，则它是负数”.
B
2. （2005年江苏）命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为______________________.
若a<=b，则2a<=2b-1
解析：因为一个命题的否命题是同时否定原命题的条件和结论，所得的命题，因此答案为若a<=b，则2a<=2b-1 .
3.（2007重庆理）命题“若x2<1,则-1
B.若-1
D.若x ≥ 1或x ≤ -1，则x2 ≥ 1
D
解析：交换原命题的条件和结论，并且同时
否定，所得的命题，因此答案为D.
随堂练习
（1）命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆命题是___________
_____________________________________逆否命题_____________________________
__________________否命题____________
________________________________．
1.填空题
若△ABC的任
何两个内角不相等，则它不是等腰三角形
若△ABC的任何两个内角相等，则
它是等腰三角形
若△ABC是等腰
三角形，则它的任何两个内角相等
（2）命题“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是_____________________________逆命题是_____________________________.它是 命题（“真”或“假”）.
若x2+2x+q=0没有实根，则q>1
若x2+2x+q=0有实根，则q≤1
真
（1）命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的（ ）
A．逆命题．
B．否命题．
C．逆否命题．
D．以上判断都不正确
2.选择题
A
（2）命题“若A∩B=A则A∪B=B”的逆否命题是（ ）
A．若A∪B=B则A∩B=A；
B．若A∩B≠A则A∪B≠B；
C．若A∪B≠B则A∩B≠A；
D．若A∪B≠B则A∩B=A．
C
3.解答题
（1）写出 命题“两条平行线不相交 ”的逆命题，否命题、逆否命题 .
解：逆命题：若两条直线不相交，则这两条
直线平行；
否命题：若两条直线不平行，则这两条
直线相交；
逆否命题：若两条直线相交，则这两条
直线不平行．
（2）将命题“锐角的余角是钝角 ”改写成“若p则q”的形式，并写出其否命题，逆命题，逆否命题．
解： “若p则q”的形式为：若一个角是锐角，则它的余角是钝角.
逆命题：若一个角的余角是钝角，则这个角是锐角；
否命题：若一个角不是锐角，则这个角的余角不是钝角；
逆否命题：若一个角的余角不是钝角，则这个角不是锐角 .
（3）写出命题“若xy=0，则x、y中至少有一个是0.” 的逆命题、否命题、逆否命题，并指出他们的真假.
解：逆命题：若x、y中至少有一个是0，则
xy=0，这是真命题.
否命题： 若xy ≠0,则x、y没有一个是0，
这是真命题.
逆否命题：若x、y没有一个是0，则xy ≠ 0，
这是真命题.
习题解答
（1）逆命题：若一个整数能被5整除，则这
个整数的末位数字是0.这是假
命题.
否命题：若一个整数的末位数字不是0，
则 这个整数不能被5整除.这
是假命题.
逆否命题：若一个整数不能被5整除，
则 这个整数的末位数字不是
0.这是真命题.
（2）逆命题：若一个三角形的两个角相等，
则这个三角形的两条边相等.
这是真命题.
否命题：若一个三角形的两条边不相
等，则这个三角形的两个角也
不相等.这是真命题.
逆否命题：若一个三角形的两个角不相
等，则这个三角形的两条边
也不相等.这是真命题.
（3）逆命题：图像关于原点对称的函数是奇函数.这是真命题.
否命题：不是奇函数的函数的图像不关于原点对称.这是真命题.
逆否命题：图像不关于原点对称的函数不是奇函数.这是真命题.