广东省执信中学2011-2012学年高二下学期期末试题数学文

2011-2012学年度第二学期
高二级数学（文科）期末考试试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题(共 50 分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则=（ ）
A. B. C. D.
2.复数满足,其中为虚数单位,则 ( )
A. B. 1 C. D.
3.下列函数中既是偶函数又在区间上单调递减的函数为( )
A． B． C． D．
4. 设命题；，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．非充分非必要条件
5.在等差数列中，，是数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
6.已知函数 若，则（ ）
A． B． C．或 D．1或
7.中，角所对的边，若，，，则（　）
A. B. C. D.
8.椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为( )
A． B． C．2 D．4
9.如图所示的方格纸中有定点，
则( )
A． B． C． D．
10.若定义在正整数有序对集合上的二元函数满足：①，② ③，则的值是（ ）
A. B. 　C. 　D.
第二部分非选择题 (共 100 分)
二．填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分.( 14,15题，考生只能从中选做一题）
11. 函数的定义域为 . 21世纪教育网
12. 设满足约束条件,则的最大值是 ．21世纪教育网
13.直线过点那么该直线的倾斜角为 .
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点的极坐标为，
直线的极坐标方程为，则点A到直线的距离为________.
15．（几何证明选讲选做题）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，
且AB为⊙O的直径，直线MN切⊙O于D，∠MDA＝，
则 ∠DCB＝　　．
三、解答题.本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）已知函数．
（1）求的值；
（2）求函数的最小正周期及最大、小值；
（3）若，求的值．
17. (本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准,用水量不超过的部分按照平价收费，超过的部分按照议价收费).为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量(单位:)，制作了频率分布直方图.
(1)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；
(2)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准,则月均用水量的最低标准定为多少吨，请说明理由；
(3）从频率分布直方图中估计该100位居民月均用水量的众数，中位数，平均数（同一组中的数据用该区间的中点值代表).
18．(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，边长为2，，点为的中点，四边形的两对角线交点为．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求点到平面的距离．
19.（本小题满分14分）是数列的前项和，且.
（1）求，；
（2）求与的关系式，并证明数列是等差数列；
（3）求的值. 21世纪教育网
20.（本小题满分14分）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？
21. （本小题满分14分）如图，曲线是以原点为中心,为焦点的椭圆的一部分.曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线的一部分,,是曲线和的交点且为钝角，若， .
（1）求曲线和的方程；
（2）设点，是曲线所在抛物线上的两点（如图）.设直线的斜率为，直线的斜率为，且，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.
2011-2012学年度第二学期
高二级数学(文科)期末考试答卷
注意事项：1、本答卷为第二部分非选择题答题区。考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在各题目指定区域内的相应位置上答题，超出指定区域的答案无效。
2、如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
2011-2012学年度第二学期
高二级数学（文科）期末试题答案
一、选择题：CDCAB CCACD
二、填空题：11、； 12、5； 13、135 14、 15、135
三、解答题：
16．解：（1） ------------------------------------------- 2分
（2）∵------------------------------4分
∴函数的最小正周期--------------------------------5分
函数的最大值和最小值分别为．--------21世纪教育网 --------------6分
（3）解法一、由得
∴，
-------------------------------------------------8分
∴----------------------------------10分
∵ ∴-----------------11分
∴．--------------------21世纪教育网 -----------------12分
解法二、由，得 --------8分
，--------10分
--------12分
17. 解: （1）…………………………………………………3分
（2）月均用水量的最低标准应定为2.5吨.样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2.5吨.………………………………………………7分
（3）这100位居民的月均用水量的众数2.25，中位数2， 9分
平均数为
…………………12分
18．（1）证明：连结,
在中,点为的中点，点为的中点，所以 1分
， 3分
4分
（2）证明：连接．因为四边形是菱形，所以． 5分
又因为平面，平面，所以． 6分
而， 7分
所以平面． 8分
平面PBD，所以． 9分
（3）设点到平面的距离为.
由，是的中位线，则
，故
正三角形的面积
平面， 11分
，
易求得， 13分
所以 故点到平面的距离为． 14分
19．（1）解：当时，由已知得
同理，可解得 ……21世纪教育网… 4分
（2）证明 ：由题设当
代入上式，得 ………… 6分
-1的等差数列……………………10分，
…………… 12分
……… 14分
20．
（I）当时，， …………………………………2分
令时，解得，所以在（0，1）上单调递增； ……4分
令时，解得，所以在（1，+∞）上单调递减． ………6分
（II）因为函数的图象在点（2，）处的切线的倾斜角为45o，
所以．
所以，． ………………………………………………8分
，
， ……………………………………………10分
因为任意的，函数在区间上总存在极值，
所以只需 ……………………………………………………12分
解得． ………………………………………………………14分
21. 解: (1）设,,,曲线所在椭圆的长轴长为，
则………………2分
又由已知及圆锥曲线的定义得：
…………4分
得：，又∵为钝角，∴ ，故……5分
即曲线的方程为，曲线的方程为…7分
（2）设直线的方程为：, 由得即,…………9分
同理得：……………………10分
∴直线的方程为：
即，…………13分
当时，恒有，即直线过定点…14分
A
C
D
E
P
F
B
（第18题）
F1
O
F2
A
C
B
D
x
y
班级：_______________姓名：_______________学号：_______________
O 密 O 封 O 线 O
题号 选择题 填空 16 17 18 19 20 21 总分
得分
二．填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷的相应位置)
11. 12. 13.
14. 15.
三、解答题：(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
16．解：
17．解：（1）
（2）
18．证明：
19．解：
O 密 O 封 O 线 O
21．解：
20．解：
班级：_______________姓名：_______________学号：_______________
O 密 O 封 O 线 O
21．解：
ks5u
A
（第18题）
C
D
E
P
F
B