广东省执信中学2011-2012学年高二下学期期末试题数学理

2011-2012学年度第二学期
高二级数学科(理)期末考试试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题(共 50 分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、 复数在复平面上对应的点的坐标是( )
A． B. C. D.
2、极坐标方程化为直角坐标方程是( )
A． B.
C. D.
3、在同一平面直角坐标系中，将曲线变换为（ ）
A． B. C. D.
4、设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则＝（ ）
A．8 B. 7 C.6 D. 5
5、已知两条直线和平面,若∥b是∥的（ ）21世纪教育网
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
6、如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边
长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边
长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，
该三棱柱的左视图面积为
A. B. C. D.4
7、阅读右侧程序框图，为使输出的数据为，
则①处应填的数字为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8、下列命题中，正确的命题有（ ）
（1）用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近0，说明模型的拟合效果越好；
（2）将一组数据中的每个数据都加一个常数后，方差恒不变；
（3）用最小二乘法算出的回归直线一定过样本中心。
（4）设随机变量服从正态分布N（0，1），若则
A．1个 B．2个 .3个 D．4个
9、不等式的解集为（ ）21世纪教育网
A． B． D．
10、 已知函数，则方程的实根共有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
第二部分非选择题(共 100 分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
11、若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为_______ ；
12. 在等腰直角三角形中，是斜边的中点，如果的长为，则
的值为 ；
13．若，则的展开式中项系数为___________;
14．请阅读下列材料：若两个正实数满足，那么.
证明如下：构造函数，因为对
一切实数，恒有，所以△≤0，从而得
.
根据上述证明方法，若个正实数满足，你能得到的结论为_______.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分12分）已知向量，其中是的内角，分别是角的对边.
（1）求角的大小，并用表示； （2）求的取值范围.
16．(本小题满分12分)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球
得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3
个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和．
(1)求X的分布列； (2)求X的数学期望E(X)．21世纪教育网
17．（本小题满分14分）已知等腰直角三角形的直角边长为2，如图，沿其中位线将平面折起，使平面⊥平面，得到四棱锥，设、、、的中点分别为、、、.
（1）求证：、、、四点共面；21世纪教育网
（2）求证：平面⊥平面； （3）求异面直线与所成的角.
。
18．（本题满分14分）已知函数数列{}满足
求（2）根据（1）猜想数列{}的通项公式，并证明；
求证：
19．（本小题满分14分）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，定点P(2，)满足．
⑴求椭圆C的方程；
⑵设直线与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．
20、（本小题满分14分）已知函数.其中常数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；21世纪教育网
（Ⅱ）当时，给出两类直线：，其中为常数，判断这两类直线中是否存在的切线，若存在，求出相应的的值，若不存在，说明理由。
（Ⅲ）设定义在D上函数在点处的切线方程为，当时，若在D内恒成立，则称点为函数的“类对称点”.
令，试问是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标，若不存在，说明理由。
2011-2012学年度第二学期
高二级数学科(理)期末考试答卷
注意事项：1、本答卷为第二部分非选择题答题区。考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在各题目指定区域内的相应位置上答题，超出指定区域的答案无效。
2、如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
选择 填空 15 16 17 18 19 20 总分
2011-2012学年度第二学期
高二级数学科期末试题答案
一、选择题
DAADD ABCDC
二、填空题
11、＝1； 12、 4； 13、6； 14、.
三、解答题
15、解：（1）由得
由余弦定理得 21世纪教育网
, 21世纪教育网
（2） 21世纪教育网
21世纪教育网
21世纪教育网
即.
16、 解： (Ⅰ) X的可能取值有：3，4，5，6．21世纪教育网
； ；
； ．
故，所求X的分布列为
X 3 4 5 6
P
(Ⅱ) 所求X的数学期望E(X)为：
E(X)＝．
17、解：(1)由条件有PQ为的中位线，MN为梯形BCDE的中位线
∥，∥ PQ∥MN M、N、P、Q四点共面．
（2）证明:由等腰直角三角形有，CDDE，DE∥BC
又，面ACD， 又∥
平面，平面， 平面平面。
(3) 解法一：平面平面,交线为DE, ADDE AD面BCDE
AD、DC、DE两两互相垂直 可以以D为原点建立如图空间直角坐标系，
由条件得AD=1，DC=1，BC=2，
则C（1，0，0），A（0，0，1），E（0，1，0），
B（1，2，0）
设异面直线BE与MQ所成的角为，∵MQ∥BC,
∴
，
异面直线BE与MQ所成的角大小为．
解法二：由条件知AD=1，DC=1，BC=2，
延长ED到R，使DR＝ED，连结RC
则ER＝BC，ER∥BC，故BCRE为平行四边形
RC∥EB，又AC∥QM
为异面直线BE与QM所成的角（或的补角）
DA=DC=DR，且三线两两互相垂直，
∴由勾股定理得AC=AR=RC=， ACR为正三角形＝ 异面直线与所成的角大小
解法三：由条件得AD=1，DC=1，BC=2，取BC中点K，再取CK中点H连结MH，则在梯形BCDE中可得MH∥BE 、（或的补角）
且MH＝BE，CH＝BC＝，又CM＝，CHM中，可得MH＝
又MDQ中可得QM＝， 又DK中可得DK＝，
QDH中可得QH＝
=
， 异面直线BE与MQ所成的角大小为
18、解：（1）
（2）猜想，用数学归纳法证明21世纪教育网
当时显然成立。
假设当，则当
=
故对一切成立
（3）当
又
故对一切
19、解：⑴由椭圆C的离心率得，其中，
椭圆C的左、右焦点分别为又，∴
解得c＝1，a2＝2，b2＝1， ∴椭圆的方程为．
⑵由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为y＝kx＋m
由消去y，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0．21世纪教育网
21世纪教育网
①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则，
且，由已知α＋β＝π，得，即
化简，得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0∴
整理得m＝－2k．代入①得21世纪教育网
∴直线MN的方程为y＝k(x－2)
因此当时直线MN过定点，该定点的坐标为(2，0)
20、解：（I） . 21世纪教育网
当及时，当时，，
的单调递增区间为（0，1），.
（II）当时，.
故不存在这类值线的切线；
再由，得与x=4，
当x=时，求得. 当x=4时，求得.
（III)存在“类对称点”，其横坐标为 .
证明：
令21世纪教育网 ，
则。
。
当时，在上单调递减，时，从而有时，。
当时，在上单调递减，时，.从而有时，.
在上不存在“类对称点”。 21世纪教育网
当时，，在上是增函数，故。
是一个“类对称点”的横坐标。
开始
是
否
输出
结束
①
Q
A
D
E
C
B
M
N
P
A
D
E
C
B
A
D
E
E
C
B
班级：_______________姓名：_______________学号：_______________
O 密 O 封 O 线 O
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11、___________________ 12、__________________ 13____________________
14、___________________
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15、（本小题满分12分）
16、（本小题满分12分）
ks5u
17、（本小题满分14分）
18、（本小题满分14分）
班级：_______________姓名：_______________学号：_______________
O 密 O 封 O 线 O
19、（本小题满分14分）
20、（本小题满分14分）
Fvv