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【双减-同步分层作业】14.3.2公式法
知识梳理
知识点1：用完全平方公式分解因式
1. 用完全平方公式分解因式：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方，即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
知识点2： x2＋(p＋q)x＋pq型的因式分解(拓展)
1. 公式：x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q).
2. x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)的特点：
(1)二次项系数是1；
(2)左边常数项是右边两个因式常数项的积；
(3)左边一次项系数是右边两个因式常数项的和.
夯实基础（必做题）
一、选择题
1．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ）
A．4x2+1 B．9a2b2-3ab+1 C．x2-x+ D．-x2-y2
解：A. 4x2+1，两个平方项，符号相同，不能因式分解；
B. 9a2b2-3ab+1，有两个平方项，没有二倍项，不能因式分解；
C. x2-x+=（x-）2，能用完全平方公式分解；
D. -x2-y2，两个平方项，符号相同，不能因式分解；
故选C．
2.下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
B、不能运用平方差公式分解，故此选项错误：
C、能运用平方差公式分解，故此选项正确：
D、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
故选C．
3．把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（ ）．
A．（x＋y＋1）(x－y－1) B．（x＋y－1）(x－y－1)
C．（x＋y－1）(x＋y＋1) D．（x－y＋1）(x＋y＋1)
解：原式=x2-（y2+2y+1），
=x2-（y+1）2，
=（x+y+1）（x-y-1）．
故选A．
4．把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（ ）
A．a=2，b=3 B．a=-2，b=-3
C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3
解：（x+1）（x-3）
=x2-3x+x-3
=x2-2x-3
所以a=2，b=-3，
故选B．
5．若，则的值为（ ）
A．-2 B．2 C．8 D．-8
解：∵
∴
解得
故选B．
6．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（ ）
A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1
解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2
＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）2+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．
故选C．
二、填空题
7．分解因式：______．
解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）．
故答案为：2（m+3）（m-3）．
8．因式分解：__________．
解：，
故答案为：．
9．若x+y=9，x2-y2=27，则x-y=________．
解：∵x+y=9，x2-y2=（x+y）（x-y）=27，
∴x-y=3，
故答案为：3．
三、解答题
10．（1）分解因式：a3－9a
（2）化简：(2x＋y)2－4x(x＋y)
解：（1）分解因式：a3-9a
=a（a2-9）
=a（a+3）（a-3）；
（2）化简：（2x+y）2-4x（x+y）
=4x2+4xy+y2-4x2-4xy
=y2．
11．已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足a2＋b2－4a－6b＋13＝0，求这个等腰三角形的周长．
解：a2＋b2－4a－6b＋13＝(a－2)2＋(b－3)2＝0，
故a＝2，b＝3，
当腰长为2时，则底边长为3，周长＝2＋2＋3＝7；
当腰长为3时，则底边长为2，周长＝3＋3＋2＝8.
所以这个等腰三角形的周长为7或8.
能力提升（选做题）
1．（2018·上海市延安初级中学初一期末）已知，，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
解：∵，，，
∴=a(a-b)-c(a-b)=(a-b)(a-c)
=(2017x+2016-2017x-2017)×(2017x+2016-2017x-2018)=-1×(-2)=2．
故选A．
2．如果四个互不相同的正整数m，n，p，q满足(6-m)(6-n)(6-p)(6-q)=4，那么m+n+p+q=( )
A．24 B．25 C．26 D．28
解：∵m，n，p，q互不相同的是正整数，
又（6-m）（6-n）（6-p）（6-q）=4，
∵4=1×4=2×2，
∴4=-1×2×（-2）×1，
∴（6-m）（6-n）（6-p）（6-q）=-1×2×（-2）×1，
∴可设6-m=-1，6-n=2，6-p=-2，6-q=1，
∴m=7，n=4，p=8，q=5，
∴m+n+p+q=7+4+8+5=24，
故选A．
3．（2021·山东八年级期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求2x+y的值；
（2）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，求a+b+c的值．
解：(1)∵x2+2xy+2y2+2y+1=0，
∴(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0，
∴(x+y)2+(y+1)2=0，
∴x+y=0，y+1=0，
解得，x=1，y= 1，
∴2x+y=2×1+( 1)=1；
(2)∵a b=4，
∴a=b+4，
∴将a=b+4代入ab+c2 6c+13=0，得
b2+4b+c2 6c+13=0，
∴(b2+4b+4)+(c2 6c+9)=0，
∴(b+2)2+(c 3)2=0，
∴b+2=0，c 3=0，
解得，b= 2，c=3，
∴a=b+4= 2+4=2，
∴a+b+c=2 2+3=3．
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【双减-同步分层作业】14.3.2公式法
知识梳理
知识点1：用完全平方公式分解因式
1. 用完全平方公式分解因式：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方，即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
知识点2： x2＋(p＋q)x＋pq型的因式分解(拓展)
1. 公式：x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q).
2. x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)的特点：
(1)二次项系数是1；
(2)左边常数项是右边两个因式常数项的积；
(3)左边一次项系数是右边两个因式常数项的和.
夯实基础（必做题）
一、选择题
1．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ）
A．4x2+1 B．9a2b2-3ab+1 C．x2-x+ D．-x2-y2
2.下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
3．把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（ ）．
A．（x＋y＋1）(x－y－1) B．（x＋y－1）(x－y－1)
C．（x＋y－1）(x＋y＋1) D．（x－y＋1）(x＋y＋1)
4．把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（ ）
A．a=2，b=3 B．a=-2，b=-3
C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3
5．若，则的值为（ ）
A．-2 B．2 C．8 D．-8
6．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（ ）
A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1
二、填空题
7．分解因式：______．
8．因式分解：__________．
9．若x+y=9，x2-y2=27，则x-y=________．
三、解答题
10．（1）分解因式：a3－9a
（2）化简：(2x＋y)2－4x(x＋y)
11．已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足a2＋b2－4a－6b＋13＝0，求这个等腰三角形的周长．
能力提升（选做题）
1．（2018·上海市延安初级中学初一期末）已知，，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
2．如果四个互不相同的正整数m，n，p，q满足(6-m)(6-n)(6-p)(6-q)=4，那么m+n+p+q=( )
A．24 B．25 C．26 D．28
3．（2021·山东八年级期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求2x+y的值；
（2）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，求a+b+c的值．
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