1.5 等腰三角形的轴对称性
[趣题导学]
建筑工人在建房子时，为了确定房梁是否水平，常用这样的方法：用一块等腰三角板放在梁上，从顶角顶点系一重物，如果系重物的绳刚好经过三角板的底边中点，则认为房梁就是水平的，你认为这样做有道理吗？
解答：这样做有道理。如图1.5-1，△ABC为等腰三角形，所系重物过底边中点D点，则可知AD为等腰三角形的底边中线，根据等腰三角形底的平分线，底边的高，底边的中线，“三线合一”的性质，可知AD也为高，即AD⊥BC，AD的方向正好为铅垂方向，与铅垂方向垂直的线则是水平线，由此可知梁BC是水平的。
[双基锤炼]
一、选择题
1、下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
2、有下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是（ ）
A．2cm，2cm，4cm B．3cm，8cm，3cm
C．3cm，4cm，6cm D．5cm，4cm，4cm
3、等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（ ）
A．40°，40° B．80°，20° C．50°，50° D．50°，50°或80°,20°
4、如图1.5-2，在△ABC中,点D、E、F分别在边BC、AB、AC上,
且BD=BE，CD=CF，∠A=70°，那么∠FDE等于（ ）
A．40° B．45° C．55° D．35°
5、下列说法：（1）等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；（2）等腰三角形的两腰上的中线长相等；（3）等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；（4）等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．其中不正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6、如图1.5-3，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，角平分线BE与CD相交于点F，那么图中等腰三角形有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
7、如图1.5-4，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是（ ）
A．21 B．18 C．13 D．15
二、填空题
8、在等边三角形、角、线段这三个图形中，对称轴最多的是 ，它共有 条对称轴，最少的是 ，有 条对称轴．
9、若等腰三角形的顶角的外角是80°，那么它的底角是____________．
10、如图1.5-5，B、D、F在AN上，C、E在AM上，且AB=BC=CD，EC=ED=EF，∠A=20°，则∠FEM度数是 ．
11、如图1.5-6，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CE⊥AB，且AC=6，BC=8，EC=4.8，则CD的长度是 ．
12、如图1.5-7，在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，∠BAC=110°，那么∠PAQ等于 °．
三、解答题
13、如图1.5-8，在△ABC中，D在BC上，若AD=BD，AB=AC=CD，求∠ABC的度数．
14、如图1.5-9，△ABC中，角平分线BO与CO的相交点O，OE∥AB，OF∥AC，BC=10，求△OEF的周长．
[能力提升]
一、综合渗透
1、等腰三角形上的高与一腰的夹角为30°，则其顶角的度数为（ ）．
A.60° B.120° C.60°或150° D.60°或120°
2、如图1.5-10，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，
∠BAD=30°，∠EDC是（ ）
A．10° B．12.5°
C．15° D．20°
3、如图1.5-11，在△ABC中，CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC的中点，则图中等腰三角形有（ ）
A．2个 B．4个 C．3个 D．5个
4、如图1.5-12，在△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC，DE∥BC．
求证：DE=EC．
5、如图1.5-13，△ABC是等边三角形，P为△ABC内部一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACPˊ重合，如果AP=3，求PPˊ的长．
二、应用创新
1、如图1.5-14，△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC，垂足为D，DE∥AB。
（1）△ABC是等腰三角形吗？为什么？
（2）△ADE是等腰三角形吗？为什么？
2、如图1.5-15，△ABC是等边三角形，O为△ABC内任意一点，OE∥AB，OF∥AC，分别交BC于点E、F。△OEF是等边三角形吗？为什么？
三、探究发散
1、有一个三角形，它的内角分别为：20°，40°，120°，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？试画出图形．
2、如图1.5-16，在△ABC中，AB=AC，AF⊥BC，点D在BA的延长线上,点E在AC上，且AD=AE，试探索DE与AF的位置关系，并证明你的结论．
3、如图1.5-17，在正方形ABCD所在的平面内，画出与正方形各边均构成等腰三角形的点P，并指出这样的点有几个．
[链接中考]
1、一个等腰三角形的两边分别为8cm和6cm，则它的周长为 cm．
2、如图1.5-18，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于( ).
A、44° B、68° C、46° D、22°
3、如图1.5-19，△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=，∠EDC=。则∠DAE的度数为（ ）.
A. B. C. D.
4、等腰三角形的两边长分别为5cm和2cm，则它的周长是________cm。
5、已知：如图1.5-20，点D、E在△ABC的边BC上,AD=AE,BD=EC.求证：AB=AC.
参考答案
[双基锤炼]
一、选择题
1、D 2、D 3、D 4、C 5、B 6、C 7、C
二、填空题
8、等边三角形，3，角，1 9、40° 10、100° 11、5 12、40
三、解答题
13、∠ABC =36° 14、△OEF的周长为10.
[能力提升]
一、综合渗透
1、D 2、C 3、D
4、证明：因为DE∥BC，所以DB/AB=EC/AC
又AB=AC，所以DB=EC
因为DE∥BC，所以∠DEB=∠EBC
而∠DBE=∠EBC，所以∠DEB=∠DBE．
所以DB=DE．
所以DE=EC
5、PPˊ=3.
二、应用创新
1、
2、
三、探究发散
1、如图，∠B=20°，∠BAD=∠BDA=80°，∠DAC=∠C=40°.
2、DE∥AF
因为△ABC中，AB=AC，AF⊥BC，
所以∠BAF=∠CAF（等腰三角形的三线合一），
又AD=AE，
所以∠ADE=∠AED（等边对等角），
又因为∠BAC=∠ADE+∠AED，∠BAC=∠BAF+∠CAF，
所以∠CAF=∠AED，
所以DE∥AF
3、符合条件的点P有9个，如图所示。
[链接中考]
1、20或22 2、D 3、C 4、12
5、∵AD＝AE
∴∠AEB＝∠ADC
∵BD＝EC
∴BE＝CD
∴△ABE≌△ACD
∴AB＝AC
图1.5-1
图1.5-2
A
B
C
E
F
D
A
B
D
F
N
M
C
E
图1.5-5
A
F
E
D
B
C
图1.5-3
M
A
E
F
C
B
图1.5-4
A
B
C
E
D
图1.5-6
A
B
C
M
N
P
Q
图1.5-7
图1.5-8
A
B
C
E
F
O
图1.5-9
图1.5-10
A
B
D
C
E
M
A
E
F
C
B
图1.5-11
图1.5-12
A
B
C
P′
P
图1.5-13
图1.5-14
图1.5-15
D
A
B
C
F
E
图1.5-16
A
D
C
B
图1.5-17
图1.5-19
A
B
C
D
E
图1.5-20
图1.5-18第4节 线段、角的轴对称性(2)
一、选择题
1．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家
休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的垂直平分线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
2．点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE＝3，则点P到AB的距离是 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在△ABC中，点O是∠ABC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB．垂足分别为D、E、F，则下列结论不一定成立的是 ( )
A．OB＝OC B．OD＝OF C．OA＝OB＝OC D．BD＝DC
4．已知：如图，∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB＝40°．在OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是 ( )
A．60° B．80° C．100° D．120°
5．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处．
如果∠BAF＝60°，则∠AEF等于 ( )
A．45° B．55° C．65° D．75°
二、填空题
6．如图．射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥A于M．PN⊥OB于N，当PM＝2 cm时，则PN＝__________cm．
7．如图，如果点P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD＝PE，那么∠1＝∠2．理由是：____________________________________．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．AD平分∠BAC交BC于D．
(1)若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是____________．
(2)若BD：DC＝3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是______．
9．若△ABC的周长为41 cm，边BC＝17 cm．AB
10．如图，△ABC中，∠C＝ 90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝10 cm，则△DEB的周长是______．
三、解答题
11．如图，△ABC中，∠C＝90°，
(1)在BC上找一点D，使点D到AB的距离等于DC的长度；
(2)连接AD，画一个三角形与△ABC关于直线AD对称．
12．“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l1、l2和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇等距离，请你画出中心站的位置．（保留画图痕迹，不写画法）
13．如图，在△ABC中，∠ABC和∠BAC的角平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为D、E、F．
(1) OD与OF相等吗？为什么？
(2) OE与OF相等吗？为什么？
(3) OD与OE相等吗？为什么？
(4) OC平分∠ACB吗？为什么？
14．如图，直线a，b，c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有几处？如何选？
参考答案
1．C 2．A 3．C 4．B 5．D 6．2
7．角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．
8． (1)3 (2)15 9．9 10．10 cm
11．(1)作∠A的平分线与BC相交于点D (2)图略
12．八年级数学上第一章 轴对称图形
1．2轴对称的性质
1．成轴对称的两个图形________．
2．如果两个图形关于某直线成轴对称，那么对称轴是对称点________的垂直平分线．
3．设A、B两点关于直线MN成轴对称，则________垂直平分________．
4．画轴对称图形，首先应确定_______，然后找出________．
5．如图，如果△ABC沿直线MN折叠后，与△A′B′C′完全重合，我们就说△ABC与△A′B′C′关于直线MN_______；直线MN是_______；点A与点A′叫做______点，图中还有类似的点是______，图中还有相等的线段和角，分别为________________．
6．画出下列轴对称图形的对称轴．
7．画出下列图形关于直线的轴对称图形．
8．画出下列图形关于直线的轴对称图形．
9．把下列图形补成以为对称轴的轴对称图形．
10．如图，在公路的同侧，有两个居民小区A、B，现需要在公路边建一个液化气站P，要使液化气站到A、B两小区的距离和最短，这个液化气站应建在哪一处 请在图中作出来．(不写作法)
11．画出下列△ABC关于直线的轴对称图形．
12．如图，作四边形ABCD关于直线的钠对你四边形，并回答：如果这两个四边形的原图形与其轴对称图形的对应线段或延长线相交，那么交点位置如何
13．如图，在10×10的正方形网格纸中，线段AB、CD的长均等于5，则图中到AB和CD所在直线的距离相等的网格点的个数有 ( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
14．下列几何图形中，一定是轴对称图形的有 ( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
15．把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换(如图(1))．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形(如图(2))的对应点所具有的性质是 ( )
A．对应点连线与对称轴垂直 B．对应点连线被对称轴平分
C．对应点连线被对称轴垂直平分 D．对应点连线互相平分
参考答案
1．全等 2．连线 3．直线MN 线段AB 4．对称轴 对称点 5．对称 对称轴 对称 B与B′，C与C′ AB=A′B′、AC=A′C′、BC=B′C′；∠A=∠A′、∠B=B′、∠C=C′
6．
7．略 8．略 9．略
10．
11．略 12．略 13．C 14．D 15．B第4节 线段、角的轴对称性(1)
一、选择题
1．下列图形中，不是轴对称图形的是 ( )
A．两条相交直线 B．线段
C．有公共端点的两条相等线段 D．有公其端点的两条不相等线段
2．到三角形的三个顶点距离相等的点是 ( )
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
3．在△ABC中，AB＝AC，BC＝5 cm，作AB的中垂线交另一腰AC于D，连接BD，如果△BCD的周长是17 cm，则腰长为 ( )
A．12 cm B．6 cm C．7 cm D．5 cm
4．如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、BA于点D、E，则△AEC的周长等于 ( )
A．a＋b B．a－b C．2a＋b D．a＋2b
5．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸中的两个格点，在这个5×5的方格纸中，找出格点C，使AC＝AB，则满足条件的格点C有 ( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
6．若PA＝PB，则点P在线段AB的_______上．
7．已知线段AB垂直平分线上有一点P，若PA＝3 cm，则PB＝____cm．
8．如图，直线MN是四边形ABCD的对称轴，如果四边形ABCD的周长
是18 cm，则AB＋CD＝__________ cm．
9．在四边形ABCD中，如果AB＝BC，AD＝DC，那么四边形ABCD
的对角线AC与BD的关系是__________．
10．如图，三角形纸片ABC，AB＝10 cm，BC＝7 cm，AC＝6 cm，沿
过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为
BD，则△AED的周长为_______cm；连接CE，则线段BD、CE的关系是
__________________________________．
三、解答题
11．如图，分别作出线段AB与线段AC的中垂线．
12．如图，在Rt△ABC中，DE是BC的垂直平分线，交AB于E，交BC于D，在图中找出相等的线段，说明它们相等的理由．
13．如图，三家公司A、B、C准备共建一个污水处理站M，使得该站到B、C两公司的距离相等，且使A公司到污水处理站M的管线最短，试确定污水处理站M的位置．
14．已知直线l及其两侧两点A、B，如图．
(1)在直线l上求一点P，使PA＝PB：
(2)在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．
参考答案
1．D 2．D 3．A 4．A 5．D
6．垂直平分线 7．3 8．9 9．BD垂直且平分AC
10．9 BD垂直且平分CE 11．图略 12．CD=BD，CE=BE=AE，理由略
13．先连接BC，再画线段BC的垂直平分线l，再过点A画直线l的垂线，垂足为点M，则点M为所求．
14．(1) (2)八上数学第一章 轴对称图形
第1节 轴对称和轴对称图形
一、选择题
1．(2010．四川乐山)下列图形中，是轴对称图形的是 ( )
2．在下列四个图案中，只有一条对称轴的图形是 ( )
3．如下所示的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是 ( )
4．下面是我们熟悉的四个交通标志图形，请从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同 ( )
A．图① B．图② C．图③ D．图④
5．下面图形中，轴对称图形有几个？ ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．对于两个图形，如果沿一条_______对折后，它们能_______，那么这两个图形_____________，这条直线就是______．
7．计算器的显示器上数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，这十个数字中是轴对称图形的数字是______．
8．在26个英文字母中，是轴对称图形的字母有_______，其中有两条对称轴的字母有______．
9．（2010．云南玉溪）如图是汽车牌照在水中的倒影，则
该车牌照上的数字是______．
10．数的运算中有一些有趣的对称式，小明在计算时发现，
11×11＝121，111×111＝123 21，1111×1111＝1234321，他从
中发现了一个规律．根据小明发现的规律请你写出：111111111×111111111＝__________．
11．B 观察下列图形，你觉得_______比较特别，你的理由是____________．
三、解答题
12．下列四个图形都是轴对称图形，你能画出这些图形的对称轴吗？试试看．
13．如图，喜爱剪纸的小芳拿了几张正方形的纸如图①，沿虚线对折一次得图②，再对折一次得图③，然后用剪刀沿图④中不同位置的虚线剪去一个角，打开后的形状如图⑤，请将图④与图⑤中的相对应的图形用线段连接起来．
14．如图，将标号为A、B、C、D的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为P、Q、M、N的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系，
(1)A与_______对应，B与_______对应，C与_______对应，D与_______对应（填字母）；
(2)在标号为P、Q、M、N的图形中，轴对称图形有_______（填字母）．
参考答案
1．B 2．A 3．D 4．D 5．C
6．直线 完全重合 关于这条直线成轴对称 对称轴
7．0，1，3，8 8．ABCDEHIKMOTUVWXY HIOX
9．21678 10．12345678987654321 11．③ 有无数条对称轴
12．图略（第1个图1条对称轴，第2、3个图有2条对称轴，第4个图有6条对称轴）
13．
14． (1)M P N Q (2)P、Q、M、N．八年级数学上第一章 轴对称图形
1．5等腰三角形的轴对称性
第3课时 等腰三角形的轴对称性(3)
1．等边三角形是________图形，并且有_______条对称轴．等边三角形的每个角等于_____．
2．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60°，那么这个三角形是______．
3．如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，∠EDC=________．
4．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E在BC上，且BD=AD，CE=AE．判定△ADE的形状，并说明理由．
5．如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E，
使CE=CD，AB=10 cm．
(1)求BE的长；
(2)BD=ED吗 为什么
6．如图，△ABC是等边三角形，O为△ABC内任意一点，OE∥
AB，OF∥AC，分别交BC于点E、F．
求证：△OEF是等边三角形．
7．如图，D是等边△ABC内一点，DB=DA，BP=AB，∠DBP=∠DBC．
求证：∠P=30°．
8．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，CE⊥AB于点D，且DE=DC．
求证：△CEB为等边三角形．
9．以正方形ABCD的一边CD为边作等边三角形CDE．连结AE、BE．
(1)画出图形；(2)求∠AEB的度数．
10．如图，在△ABC中，分别以AB、AC为边作等边三角形ABE、ACD，BD与CE相交于点O． (1)EC=BD吗 为什么
(2)如果要使△ABE和△ACD全等，则还需要添加什么条件 在此条件下，整个图形是轴对称图形吗 此时∠BOC是多少度
11．如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD是△ABC的角平分线，∠1=∠B．求证：AB=AC+CD．
12．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图(1)所示放置，图(2)是由它抽象出的几何图形．B、C、E在同一条直线上，连结DC．
(1)请找出图(2)中的全等三角形，并给予证明；(说明：结论中不得含有未标识的字母)
(2)证明：DC⊥BE．
参考答案
1．轴对称 3 60° 2．等边三角形 3．15°
4．△ADE是等边三角形．
5．(1)∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC=AB=10 cm．又D是AC中点，∴CE=CD=5 cm．
∴BE=BC+CE=15 cm．
(2) ∵△ABC是等边三角形，又BD是中线，
∴∠DBC=×60°=30°．∵CD=CE，∴∠CED=∠CDE．又 ∠CDE+∠CED=∠ACB=60°，∴∠DBC=∠CED．∴BD=ED．
6．∵△ABC是等边三角形，∴ ∠ABC=∠ACB=60°．∵OE∥AB，∴∠OEF=∠ABC=60°．∵OF∥AC．∴∠OFE=∠ACB=60°．∴∠EOF=∠OEF=∠OFE=60°．∴△OEF是等边三角形．
7．连结CD．∵BD=AD，BC=AC，CD=CD，∴△BDC≌△ADC．∴∠CAD=∠CBD．∴∠BCD=∠ACD=30°．∵BP=AB=BC，∠DBP=∠DBC，BD=BD，∴△BPD≌△BCD．∴∠P=∠BCD=30°．
8．∵AC=BC，∠ACB=120°，∴∠CBD=30°．∵CE⊥AB，∴∠CDB=∠EDB=90°．
∴∠ECB=60°．∵DE=CD，∴BE=BC．∴△CEB是等边三角形．
9． (1)
(2)在图(1)中，∵∠ADE=1 50°，AD=DE，∴∠DEA=15°．同理∠CEB=15°．∴∠AEB=30°．在图(2)中，AD=DE．∠ADE=30°，∴∠AED=75°．同理∠CEB=75°．∴∠AEB=360°－75°－75°－60°=150°．
10．(1)EC=BD．
(2)添加条件：AB=AC，整个图形是轴对称图形，此时∠BOC=120°．
11．提示：由△ACD≌△AED，可得AE=AC，CD=DE．又∠1=∠B，∴DE=EB．∴CD=EB．
∴AB=AE+EB=AC+CD．
12．(1)提示：△BAE≌△CAD(SAS)
(2)略八年级数学上第一章 轴对称图形
1．6等腰梯形的轴对称性
第2课时 等腰梯形的轴对称性(2)
1．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点，且EF⊥BC，则梯形ABCD_______(填“是”或“不是”)等腰梯形．
2．在梯形ABCD中，AB∥CD，请你再添加一个条件_______使它成为一个等腰梯形．
3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且BE=AE，CF=DF，∠B=________，∠ADC=________，梯形ABCD是________梯形．
4．一个四边形的4个内角的度数之比是2：2：1：1，此四边形的形状是_________．
5．如图，在△ABC中，∠C=40°，∠B=70°，FE∥AB，四边形ABEF是等腰梯形吗 为什么
6．如图，在梯形ABCD中，AC=BD，∠BAC=∠ABD．试说明：四边形ABCD是等腰梯形．
7．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AC、BD相交于点O，且∠1=∠2．
求证：梯形ABCD是等腰梯形．
8．如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，延长CB到点E，使BE=AD，若同时有∠E=∠ACE，则梯形ABCD是等腰梯形吗 为什么
9．在梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点，MB=MC，∠1=∠2，试说明梯形ABCD是等腰梯形．
10．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=CD=AB，试将梯形ABCD分成四个全等的四边形．
11．学生在讨论命题：“如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，则AB=DC”的证明方法时，提出了如下三种思路．
思路1：过一个顶点作另一腰的平行线，转化为等腰三角形和平行四边形．
思路2：过同一底边上的顶点作另一条底边的垂线，转化为直角三角形和矩形．
思路3：延长两腰相交于一点，转化为等腰三角形．
请你结合以上思路，用适当的方法证明该命题．
12．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=21 cm，BC=24 cm，点M从点A开始沿AD边向点D以1 cm／s的速度移动，点N从点C开始沿CB边向点B以2 cm／s的速度移动，如果M、N两点分别从A、C同时出发，试探索：经过多长时间梯形MBND为等腰梯形．
13．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E、F分别是AB和BC边上的点．
(1)如图(1)，以EF为对称轴翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，且DF⊥BC若AD=4，BC=8，求梯形ABCD的面积；
(2)如图(2)，连结EF并延长与DC的延长线交于点G，如果FG=EF，试猜想BE与CG有何数量关系 写出你的结论并证明之．
14．如图，这是一张等腰梯形纸片，它的上底长为2．下底长为4，腰长为2，这样的纸片共有5张．打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形，那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形 分别画出它们的示意图，并写出它们的周长．
参考答案
1．是 2．AD=BC或∠C=∠D或∠A=∠B 3．45° 135° 等腰 4．等腰梯形
5．是．∵∠C=40°，∠B=70°，∴∠A=70°．∴∠A=∠B．∵EF∥AB，AF与BE相交于点C，∴AF与BE不平行．∴ 四边形ABEF是梯形．∴梯形ABEF是等腰梯形．
6．证明：∵ AC=BD，∠BAC=∠ABD，AB=AB，∴△ACB≌△BDA．∴AD=BC．∴梯形ABCD是等腰梯形．
7．∵AB∥ CD，∴∠1=∠DCO，∠2=∠CDO．∵∠1=∠2，∴△CDO=∠DCO．∴DO=CO．OA=OB．∵∠DOA=∠COB，∴△DOA≌△COB．∴AD=BC∴梯形ABCD是等腰梯形．
8．是．∵∠E=∠ACE，∴AE=AC．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACE．∠E=∠DAC．∵AD=BE，
∴ △ABE≌△CDA．∴AB=CD．∴梯形ABCD是等腰梯形．
9．∵MB=MC，∴∠MBC=∠MCB．∵∠1=∠2，∴∠ABC=∠DCB．∴梯形ABCD是等腰梯形．
10． 11．
过A作AE∥DC，交BC于点E．∴∠C=∠1．又∠C=∠B，∴∠B=∠1．∴AB=AE．又四边形ADCE为平行四边形，∴AE=CD．即AB=DC
12．
解：设x s后梯形MBND是等腰梯形，作ME⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，∴BE=FN=AM=x．∴EF=MD=21－x，CN=2x，BN=24－2x．∴BN=2AM+MD．
即24－2x=2x+21－x；∴x=1．
13．(1) ∵DF⊥BC，∴．∴BF=DF=6．∴．
(2)
作EH∥DG交BC于点H．∴∠EHF=⊥FCG．又∠1=∠2，EF=FG，∴△EHF≌△GCF．
∴CG=EH．又∠3=∠4，∠4=∠B，∴∠3=∠B．∴BE=EH．∴BE=OG．
14．一共可以拼出4种不同的等腰梯形．示意图为：
①周长为22．
②周长为34．
③周长为20．
④周长为22．八年级数学(上)第一章 轴对称图形
第4课时 设计轴对称图案
1．如图，将右侧四幅图分别平移到位置M后，能与N成轴对称的是 ( )
2．如图，将一张长方形纸对折．请你在图①中画线，然后剪纸(用阴影表示要剪去的部分)并展开，可得到图②中的“中”字．
3．用4块如图①所示的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的正方形成轴对称图形，请你在图②、③、④中各画出一种拼法(要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示)．
4．以给定的图形“○、○、△、△、== ==(两个圆、两个三角形、两条平行线)”为构件，设计一个构思独特且有意义的轴对称图形．举例：如图所示的左框中是一个符合要求的图形．你还能构想出其他图形吗 请在右框中画出一个与之不同的图形，并写出一两句贴切、诙谐的解说词．
5．剪纸是中国的民间艺术，剪纸的方法很多，如图是一种剪纸方法的图示(先将纸折叠，然后再剪，展开即得到图案)：
下列四个图案中，不能用上述方法剪出的是 ( )
6．如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB的中点O为顶点把平角三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是：
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
7．某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地上建花坛，现征集设计方案．要求设计的图案由圆和正方形组成(圆和正方形的个数不限)，并且使整个矩形场地成轴对称图形．
8．如图是由三个小正方形组成的图形．请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．
9．请用我们比较熟悉的两块大小一样的三角板(两个锐角分别是30°和60°)拼出不同形状的轴对称图形，使这两块三角板有一条公共边(可以部分重叠)．至少画出4种拼法．
10．如图①，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂上阴影，且满足下列条件：①阴影部分的面积是原正方形面积的一半；②涂上阴影后的图形是轴对称图形．图②是一种涂法．请在图④～⑥中分别设计另外三种涂法(在所设计的图案中，若阴影部分全等，则认为是同一种涂法，如图②与图③)．
11．如图，在网格中有两个全等的图形(阴影部分)，用这两个图形拼成轴对称图形，试分别在空白网格中画出两种不同的拼法．
12．认真观察图中的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：
(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征．
特征1：__________________________________________________________；
特征2：__________________________________________________________．
(2)请在下图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征．
参考答案
1．C 2．如图所示 3．略 4．略 5．C 6．D
7．略
8．如图所示
9．略
10．略
11．
12．(1)特征l：都是轴对称图形；特征2：这些图形的面积都等于4个单位面积，
(2)满足条件的图形有很多，只要画正确一个，都可以得满分．八年级数学(上)第一章 轴对称图形
第8课时 等腰三角形的轴对称性(二)
1．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：1：2，则△ABC是________三角形．
2．在△ABC中，∠A=50°，则当∠B=________时，△ABC是等腰三角形．
3．在Rt△ABC中，如果斜边上的中线CD=3 cm，那么斜边AB=________，理由是______
_______________________________________________．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AC的中点．△DEC是等腰三角形吗 为什么
5．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°．找出图中的一个等腰三角形，并给予证明．
6．在△ABC中，∠C=50°，∠A=65°，则△ABC是__________三角形．
7．如图，在△ABC中，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=________．
8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D、E为边BC上的点，且∠BAD=∠DAE=
∠EAC，则图中等腰三角形的个数是 ( )
A．2 B．4 C．6 D．8
9．给出下列四组条件：①已知两腰；②已知底边与顶角；③已知底角与顶角；④已知底边和底边上的高．其中能确定一个等腰三角形的是 ( )
A．①和② B．③和④ C．②和④ D．①和④
10．(1)如图①，若AD平分∠BAC，CE∥DA，则△_________是等腰三角形；
(2)如图②，若AD平分∠BAC，DE∥BA，则△_________是等腰三角形；
(3)如图③，若AD平分∠BAC，CF∥AB，交AD的延长线于点E，则△_______是等腰三角形；
(4)如图④，若AD平分∠BAC，且AD∥EG，EG交AB于点F，则△_________是等腰三角形．
11．如图，在△ABC中，BD、CE是高，M是BC的中点．请说明MD=ME．
12．如图，AB=AC，∠B=∠C．试说明BD=CD．
13．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作BC的平行线，分别与边AB、AC相交于点M、N．
(1)试说明△MBO和△NCO都是等腰三角形．
(2)试说明MN—MB+NC．
14．数学课上，同学们探索下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．
(1)如图①，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，直线BD平分∠ABC，交AC于点D．试说明△ABD与△DBC都是等腰三角形．
(2)在说明了该命题后，小颖发现：下面两个等腰三角形(如图②、图③所示)也具有这种特性，请你在图②、③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数．
参考答案
1．等腰直角 2．50°、65°或80° 3．6 cm 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4．△DEC是等腰三角形 ∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．又∵E为AC的中点，∴DE=AC．∴DE=EC．∴△DEC是等腰三角形 5．△ABC或△BDC或△ADB证明略 6．等腰 7．3 8．C 9．C 10．(1)ACE (2)ADE (3)ACE (4)AEF
11．∵ME=BC，MD=BC．∴MD=ME．12．连接BC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．又∵∠ABD=∠ACD，∴∠ABD－∠ABC=∠ACD－∠ACB．即∠DBC=∠DCB．∴BD=DC 13．(1) ∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线．∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB．又∵MN∥BC．∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB．∴∠MOB=∠MBO，∠NOC=∠NCO．∴BM=OM，ON=CN．即△MBO与△NCO都是等腰三角形 (2) ∵MO=MB，ON=NC．∴MN=OM+ON=MB+NC 14．(1) ∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°．∵直线BD平分∠ABC，∴∠1=∠2=36°=∠A．∴AD=BD．∵∠3=1+∠A=72°=∠C，∴BD=BC．
∴△ABD与△DBC都是等腰三角形 (2)如图所示八年级数学上第一章 轴对称图形
1．5等腰三角形的轴对称性
第1课时 等腰三角形的轴对称性(1)
1．等腰三角形是________，它的对称轴是___________．
2．等腰三角形的两个底角_______，它的_______、_______、______互相重合，简称______．
3．在△ABC中，AB=AC，
(1)如果∠A=70°，则∠C=_________，∠B=________；
(2)如果∠A=90°，则∠B=_________，∠C=________；
(3)如果有一个角等于120°，那么其余两个角分别是___________；
(4)如果有一个角等于55°，那么其余两个角分别是_________；
4．(1)如果等腰三角形的周长为14，底边长为6，那么腰长为________；
(2)如果等腰三角形的周长为14，腰长为6．那么底边长为_________；
(3)如果等腰三角形的周长为10，一边长为4，那么另两边长分别为________．
5．在△ABC中，若AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，D为垂足，则∠BAD=________．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为点E，如果AB=10 cm，并且△ABD的周长为23cm，求△ABC的周长．
7．在等腰三角形ABC中，∠A=4∠B．
(1)若∠A是顶角，则∠C=________；
(2)若∠A是底角，则∠C=________．
8．若等腰三角形的两边分别是3 crn和7 cm，则这个三角形的周长是________．
9．若等腰三角形的两边分别是3和4，则此等腰三角形的周长为________．
10．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则其顶角的大小为________．
11．如图，点B、D、F在AN上，点C、E在AM上，且AB=BC=CD，EC=ED=EF，∠A=20°，则∠FEM=________°．
12．如图，在△ABC中，点D在BC上，若AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数．
13．如图，点D、E在BC上，AB=AC，AD=AE．请问BE和CD有怎样的关系，请说明理由．
14．利用一把有刻度的直尺，按下列要求画图：
(1)在图(1)中用下面的方法画等腰三角形ABC的对称轴：量出底边BC的长度，将线段BC二等分，即画出BC的中点D．画直线AD．即画出等腰三角形ABC的对称轴；
(2)在图(2)中画∠AOB的对称轴，并写出画图的步骤．
15．若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为_______度．
16．若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ( )
A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°
17．如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长是 ( )
A．15 B．16 C．8 D．7
18．某等腰三角形的两条边长分别为3 cm和6 cm，则它的周长为( )
A．9 cm B．12 cm C．15 cm D．12 cm或15 cm
参考答案
1．轴对称图形 顶角平分线所在的直线 2．相等 顶角平分线 底边上的高 底边上的中线“三线合一”
3．(1)55° 55° (2)45° 45° (3)30°，30° (4)62．5°，62．5°或55°，70°
4．(1)4 (2)2 (3)4，2或3，3 5．60°
6．∵AB=AC=10，DE垂直平分AC，∴DA=DC．又△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BC=23，∴BC=13．∴△ABC的周长为AB+AC+BC=10+10+13=33 cm．
7．(1)30° (2)80° 8．17 cm 9．10或11 10．60°或120° 11．100
12．设∠BAD=x，∵AD=BD，∴∠B=∠BAD=x．∵AB=AC，∴∠B=∠C=x．∵∠ADC=2x，AC=CD，∴∠DAC=2x．∴x+x+3x=180°，x=36°．∴∠BAC=3x=108°．
13．BE=CD．理由：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED．∴∠ADB=∠AEC．∴△ABD≌△ACE．∴BD=CE．∴BD+DE=CE+DE．∴BE=CD．
14．(1)略
(2)
画法：①作等腰△OEF，使OE=OF；
②连结EF取其二等分点C；
③作直线OC．
则直线OC是∠AOB的对称轴．
15．35 16．D 17．A 18．C八年级数学(上)第一章 轴对称图形
第10课时 等腰梯形的轴对称性(一)
1．下列关于等腰梯形的判断中，正确的是 ( )
A．两底角相等 B．同一底上的两底角互补
C．两个角相等 D．对角线的交点在对称轴上
2．在等腰三角形、直角三角形、直角梯形、等腰梯形中，一定是轴对称图形的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．关于等腰梯形，下列判断：①同一底上两底角相等；②对角线的交点是对角线的中点；③对角线的交点在梯形的对称轴上；④对角线互相垂直．其中正确的是 ( )
A．③④ B．①② C．①②③④ D．①③
4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，则图中面积相
等的三角形共有 ( )
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
5．若等腰梯形的三边长分别为3，4，11，则其周长为 ( )
A．21 B．29
C．21或29 D．21或29或22
6．如图，小方格的边长为1．
(1)请你按对称轴将等腰梯形ABCD补画完整．
(2)AD=_________，BC=_________，S梯形ABCD=__________．
7． 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，BC=BD，则∠A=_____，∠ABC=______．
8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=60°，则∠1=__________．
9．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F分别在AD、BC上，且DE=CF．
试说明AF=BE．
10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，若M为线段AD上任意一点(点M与点A、D不重合)．问：当点M在什么位置时，MB=MC 请说明理由．
11．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E为梯形内一点，且EA=ED，则EB与EC相等吗 为什么
12．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC于点E，BF⊥AE于点F，请你添加一个条件，使得△ABF≌△CDE，并写出说明过程．
13．如图，在等腰梯形ABCD中，E为底边BC的任意一点，EF⊥AB于点F，EG⊥CD于点G．试说明EF与EG的和为定值．
14．如图甲，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC．由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形．
(1)求四边形ABCD四个内角的度数；
(2)试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；
(3)现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗 若能，请你画出大致的示意图．
参考答案
1．D 2．B 3．D 4．B 5．B
6．(1)略 (2)4 8 30
7．108° 72°
8．60°
9．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD=BC，∠DAB=∠CBA．∵DE=CF，∴AE=BF．又∵AB=BA，∴△ABE≌△BAF．∴BE=AF
10．M在AD的中点时，MB=MC ∵在梯形ABCD中，AB=DC，∴∠A=∠D．又∵M为AD的中点，∴AM=DM．∴△AMB≌△DMC．∴BM=CM
11．EB=EC ∵梯形ABCD是等腰梯形，∴∠BAD=∠ADC，AB=DC．又∵AE=ED，∴∠DAE=∠ADE．∴∠BAE=∠CDE．∴△ABE≌△DCE．则BE=EC
12．略
13．过点B作BH⊥CD于点H，连接BD、AE、DE．∵AD∥BC，∴S△ABD =S△AED．∴S△BCD=S△ABE+S△DCE．即CD·BH=AB·EF=AB·EF+CD·EG．又∵AB=CD，∴BH=EF+BG．即EF+EG为定值
14．(1)由图乙可知三个全等的等腰梯形的上底的一个顶点的三个角组成一个周角．故每个角应是120°，所以∠C=∠D=120°，∠A=∠B=60°．
(2)由图乙可知AD=DC=CB，连接AC．因为∠D=120°，所以∠DAC=∠DCA=30°．又∠B=60°，所以∠ACB=90°．所以AB=2BC．所以四边形ABCD中的四条边的关系是AD=DC=CB=AB．
(3)如图甲、乙，答案不唯一第5节 等腰三角形的轴对称性(2)
一、选择题
1．在△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝10 cm，M是AB中点，则CM之长为 ( )
A．8 cm B．6 cm C．5 cm D．无法确定
2．如果三角形一边的垂直平分线经过三角形一个顶点，那么这个三角形一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有 ( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，则CD等于 ( )
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
5．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F．则下列结论中不正确的是 ( )
A．∠ACD＝∠B B．CH＝C，E＝EF C．CH＝HD D．AC＝AF
二、填空题
6．如图，∠A＝∠BCD＝36°，∠B＝72°，则图中共有_______个等腰三角形，它们分别是_____________________________________________．
7．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠AED是_________．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，交BC于D，交AB于E，且∠BAD：∠BAC＝1：3，则∠B＝_________．
9．△ABC中，AB ＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所成的锐角是40°，则底角∠B＝_________．
10．等腰三角形的底边长为10 cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分成两个部分的差为3 cm，则腰长为______．
三、解答题
11．在△ABC中，已知点E在BA的延长线上，并且∠1＝∠2，AD∥BC．问：△ABC是什么三角形？为什么？
12．如图是一张长方形纸片沿AC折叠后的效果图，在线段AB、AC和BC中，是否存在一定相等的线段？若存在，请找出来并说明理由；若不存在，也请说明理由．
13．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，你能确定△EFM的周长是多少吗？
14．(1)如图①△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，在这张图上，由这两个已知条件，你自己能导出什么结论？
(2)如图②过点O作一条直线EF和BC平行，与AB交于E，与AC交于F，这张图中有几个等腰三角形，添上去的这条线段EF和图中的线段EB、FC之间有一种怎样的关系？
(3)现在把AB、AC变成不相等，BO、CO还是∠B、∠C的平分线，EF∥BC不变，如图③，想一想，这个图形中还有没有等腰三角形，有的话有几个，EF和EB、FC之间的关系是否改变？为什么？
参考答案
1．C 2．B 3．A 4．A 5．C
6．3个 △ABC，△ACD，△BCD 7．105°
8．22.5° 9．65°或 25° 10．13cm或 7cm
13．13
14．(1)∠BOC=90°＋∠A．
(2)5个等腰三角形，△AEF，△ABC，△BEO，△CFO，△BOC，EF= BE+CF．
(3)2个等腰三角形，△BEO，△CFO， EF=BE+CF不变化．八年级数学上第一章 轴对称图形
1．4 线段、角的轴对称性
1．线段是轴对称图形，它的对称轴是____________；角是轴对称图形，它的对称轴是_____．
2．角平分线上的任意一点到这个角的两边的________相等；线段垂直平分线上的点到________的距离相等；线段的垂直平分线可以看作是到_______的所有点的集合；角平分线可以看作是到_______的所有点的集合．
3．射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，且PM=2cm，则PN=_________cm．
4．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．(1)若BE=10 cm，则EC=_______cm；(2)若AB+AC=8 cm，则△ACE的周长是_______．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．
(1)若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是________；
(2)若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是________．
6．已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三个顶点的距离相等．
7．如图，P是∠BAC的平分线AD上的一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图是一个台球桌面，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时必须保证∠1为 ( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
9．已知∠AOB和C、D两点，求作
点P，使PC=PD，且P到
∠AOB的两边OA、OB的距离
相等．
10．如图，有一个三角形纸片ABC，AB=10 cm，BC=7 cm，AC=6 cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长___．
11．如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，要求使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置．
12．如图，斜折一页书的一角，使点A落在同一页书内的A′处，DE为折痕，作DF平分∠A′DB，试猜想∠FDE的度数，并说明理由．
13．如图，将矩形纸片ABCD(如图(1))按如下步骤操作：(1)以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E(如图(2))；(2)以过点E的直线为折痕折叠纸片．使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F(如图(3))；(3)将纸片展平，那么∠AFE的度数为 ( )
A．60° B．67．5° C．72° D．75°
14．如图，四边形ABCD中．AC垂直平分BD于点O．
(1)图中有多少对全等三角形 请把它们都写出来；
(2)任选(1)中的一对全等三角形加以证明．
参考答案
1．线段的垂直平分线或线段本身所在的直线 角的平分线
2．距离 线段两端点 线段两端点距离相等 角两边距离相等
3．2 4．(1)10 (2)8 cm 5．(1)3 (2)15
6．P是△ABC任意两边垂直平分线的交点 7．A 8．C
9．点P是CD的垂直平分线与∠AOB的角平分线的交点，图略． 10．9
11．围成的图形正好是三角形，三角形角平分线的交点即为小亭的中心位置．
12．因为DE、DF均为对称轴，所以∠ADE=∠A′DE，∠A′DF=∠BDF，而∠ADE+∠A′DE+∠A′DF+∠BDF=180°，所以∠FDE=90°．
13．B
14．(1)3对，△ABO≌△ADO，△BOC≌△DOC，△ABC≌△ADC．
(2)∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，BC=CD．
又AC=AC，
∴ △ABC≌△ADC．八年级数学(上)周周练(1.1～1.3)
（满分：100分 时间：90分钟）
一、选择题(每小题2分，共20分)
1．下列图案中，是轴对称图形的是 ( )
2．下列四幅图案中，不是轴对称图形的是 ( )
3．下列图案中，是轴对称图形的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列轴对称图形中，对称轴最多的是 ( )
5．如图是小华在镜子中看到的身后墙上的钟，你认为实际时问最接近8点的是 ( )
6．把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换。再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换(如图①)．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形(如图②)的对应点所具有的性质是 ( )
A．对应点连线与对称轴垂直 B．对应点连线被对称轴平分
C．对应点连线被对称轴垂直平分 D．对应点连线互相平行
7．如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是 ( )
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
8．下列语句：①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；④两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧，其中正确的是 ( )
A．① B．①③ C．①②③ D．①③④
9．剪纸是中国的民间艺术，剪纸的方法很多，如图是一种剪纸方法的图示，先将纸折叠，然后再剪，展开即得到图案，则下列的四个图案中，不能用上述方法剪出的是( )
10．如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若
∠AFC+∠BCF=150°，则∠AFE+OBCD的度数为 ( )
A．150° B．300°
C．210° D．330°
二、填空题(每小题2分，共16分)
11．长方形有______条对称轴，正方形有_______条对称轴，圆有______条对称轴．
12．在缩写符号SOS、CCTV、BBC、WWW、TNT中，成轴对称图形的是___________．
13．计算器上显示的0～9这十个数字中，是轴对称图形的是__________．
14．如图，把图中某两个小方格涂上阴影，使整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形．
第14题 第15题 第16题
15．星期天小华去书店买书时，从镜子内看到背后墙上普通时钟的时针(粗)与分针(细)的位置如图所示，此时时钟表示的时间是___________________(按12小时制填写)．
16．张军是学校足球队的运动员，他在镜子里看到衣服上的号码如图所示，则他是________号运动员．
17．如图，桌面上有A、B两个球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则图中的8个点中，可以瞄准的点有__________个．
第17题 第18题
18．如图，直线是四边形ABCD的对称轴．若AD∥BC，则下列结论：①AB∥CD；②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC，其中正确的是____________________(填序号)．
三、耐心解一解(共64分)
19．(10分)在下列图形中找出轴对称图形，并找出它的两组对应点．
20．(8分)已知点A和点B关于某条直线对称，请你画出这条直线．
21．(8分)如图是方格纸中画出的树形的一半，请你以树干为对称轴画出图形的另一半．
22．(12分)如图是由两个等边三角形组成的图形，它是轴对称图形吗 如果不是，可以移
动其中一个三角形，使它与另一个三角形一起组成轴对称图形，那么怎样移动才能使所构成的图形具有尽可能多的对称轴
23．(13分)如图，A是锐角∠MON内的一点，试分别在OM、ON上确定点B、C，使
△ABC的周长最小．写出你作图的主要步骤，并标明你所确定的点(要求画出草图，保留作图痕迹)．
24．(13分)某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地上铺草坪，现征集设计方案，要使设计的图案由圆或正方形组成(圆和正方形的个数、大小不限)，并且使整个矩形场地成轴对称图形，请在矩形中画出你设计的方案．
参考答案
—、1．C 2．A 3．C 4．A 5．D 6．B 7．D 8．B 9．D 10．B
二、11．2 4 无数 12．BBC、WWW 13．0、1、3、8 14．如图所示
15．下午 1：30 16．16 17．2 18．①②④
三、19．①、②、③、⑤都是轴对称图形，对应点略 20．图略 连接AB，作出线段AB的垂直平分线，即为它们的对称轴
21．如图所示
22．不是轴对称图形．将小的等边三角形移动到大的等边三角形内部 图略
23．分别作点A关于OM、ON的对称点A′、A″，连接A′A″，分别交OM、ON于点B、C，连接AB、AC．则点B、C即为所求．如图所示
24．答案不唯一，如图所示八年级数学上第一章 轴对称图形
1．6等腰梯形的轴对称性
第1课时 等腰梯形的轴对称性(1)
1．等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是________．
2．等腰梯形在________两个角相等，它的对角线_________．
3．在等腰梯形中，有一个内角是72°，则其余三个角的度数分别为____________．
4．等腰梯形的腰长为12 cm，上底长为15 cm，上底与腰的夹角为120°，则下底长为 _______cm．
5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠A=120°，对角线BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是_________；若AD=5，则BC=________．
6．如图，在梯形ABCD中，若DC∥AB，AD=BC，∠A=60°，BD⊥AD，则∠DBC=______°，∠C=_______°．
7．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E、F是BC上的两点，且BE=CF，那么图中的∠BAF与∠CDE相等吗 为什么
8．等腰梯形的两底之差等于一腰长，则腰与下底的夹角为________．
9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=2 cm，∠A=120°，BD平分∠ABC，则梯形ABCD的周长为________cm．
10．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=AD=BC，下底DC=BD．求梯形各内角度数．
11．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB=3，DB⊥AD．求∠A的度数及梯形的周长．
12．画等腰梯形ABCD，使底边BC=6 cm，腰长AB=4 cm，∠B=60°．
13．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BD，O是垂足，CE⊥AB于点E．
试探索：CE与AB+DC的关系 并说明理由．
14．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E为CD的中点，AE与BC的延长线交于点F．
(1)判断S△ABF和S梯形ABCD有何关系，并说明理由；
(2)判断S△ABE和S梯形ABCD有何关系，并说明理由；
(3)上述结论对一般梯形是否成立 为什么
15．如图，沿虚线将□ABCD剪开，则得到的四边形ABFE是 ( )
A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形
16．如图(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图(2)所示的一个菱形．对于图(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：___________________．
17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，若点M为线段AD上任意一点(M与A、D不重合)．问：当点M在什么位置时，MB=MC 请说明理由．
参考答案
1．过上、下底中点的直线 2．同一个底上的 相等 3．108°，108°，72° 4．27
5．90° 10 6．30 120 7．∠BAF=∠CDE 8．120°或60° 9．10
10．∵ AB=AD，∴不妨设∠ADB=∠ABD=x°．∵AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC=x°．
∴ ∠ADC=2x°．∵在等腰梯形ABCD中，∴∠BCD=2x°．∵BD=DC．∴∠DBC=∠DCB=2x°．∴x+2x+2x=180．∴ x=36．∴∠ADC=∠BCD=72°，∠DAB=∠ABC=108°．
11．∵CD=CB，∴不妨设∠CDB=∠CBD=x°．∵DC∥AB．∴∠CDB=∠DBA．∴∠ABD=∠DBC=x°．∵在等腰梯形ABCD中，∠A=∠ABC=2x°．∵DB⊥AD，∴3x=90．∴ x=30．
∴∠A=60°．在Rt△ADB中，∠ABD=30°，AD=3，∴AB=6．∴梯形ABCD的周长15．
12．略
13．过点C作CF∥DB，交AB的延长线于点F，先证：△DCB≌△FBC，则CF=DB．又四边形ABCD是等腰梯形，则AC=DB，故AC=CF，易证：∠AOB=∠ACF，所以△ACF为等腰直角三角形．又因为CE⊥AB，易证：CE=AE=EF=(AB+DC)．
14．(1)S△ABF=S梯形ABCD．
(2)．
(3)成立，理由同上．
15．A 16．内角分别为60°，60°，120°，120°等
17．AD的中点 理由略第2节 轴对称的性质(2)
一、选择题
1．下列各数中，成轴对称图形的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．轴对称图形的对称轴的条数 ( )
A．只有一条 B．2条 C．3条 D．至少一条
3．如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，
若∠AFC＋∠BCF＝150°，则∠AFE＋∠BCD的大小是 ( )
A．150° B．300°
C．210° D．330°
4．如图，∠MON内有一点P，PP1、PP2分别被OM、ON垂直平分，P1P2与OM、ON分别交于点A、B．若P1P2＝10厘米，则△PAB的周长为 ( )
A．6厘米 B．8厘米
C．10厘米 D．12厘米
二、填空题
5．如果△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，且∠A＝50°，
∠B'＝70°，那么∠C'＝______．
6．如图是小明制作的风筝，为了平衡制成了轴对称图形，
已知OC是对称轴，∠A＝35°，∠BCO＝30°，那么∠AOB＝__________．
7．B 在如图所示的4×4正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝______．
8．如图△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、F，BE＝7，△BCE的周长为______．
9．已知如图，四边形ABCD关于直线MN对称，其中A，C是对称点，则直线MN与线段AC的关系是______．
三、解答题
10．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C'的位置，若∠EFB＝65°，求∠AED'等于多少度．
11．如图表示的是长方形纸片ABCD沿对角线BD进行折叠后的情况，图中有没有关于某条直线对称的图形？如有，请作出对称轴，图中是否有相等的线段、相等的角（不含直角） 如有，请写出相等的线段、相等的角．
12．如图：由四个小正方形组成的图形中，请你添加一个小正方形，使它成为一个轴对称图形．
13．如图，已知∠AOB内有一点P，画△PQR，使Q在OA上，R在OB上，且使△PQR的周长最小．
参考答案
1．B 2．D 3．B 4．C
5． 60° 6．130° 7．315° 8．24 9．MN垂直且平分AC
10．50°
11．有．
12． 13．第5节 等腰三角形的轴对称性(1)
一、选择题
1．等腰三角形的两边长为4、9．则它的周长是 ( )
A．17 B．17或22 C．20 D．22
2．若等腰三角形的一个内角等于88°，则另外两个角的度数分别为 ( )
A． 88°、4° B．88°、24° C． 46°、46° D． 46°、46°或88°、4°
3．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，线段AB的垂直平分
线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于 ( )
A． 80° B．70°
C．60° D．50°
4． Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，若要在直线BC或者直线
AC上取一点P，使△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有 ( )
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
5．如右图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DF＝EF，则∠DEF等于 ( )
A．90° B．75° C．70° D．60°
二、填空题
6．在△ABC中．AB＝AC，
(1)如果∠A＝70°，则∠C＝_______，∠B＝_______．
(2)如果∠A＝90°，则∠B＝______，∠C＝_______．
(3)如果有一个角等于120°，则其余两个角分别是_______度．
(4)如果有一个角等于55°，则其余两个角分别是_______度．
7．(1)等腰三角形的周长为10，一边长为4，那么另外两边长为_______．
(2)等腰三角形的两边长分别为4 cm和6 cm，则它的周长为______．
(3)等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为12 cm和21 cm两部分，则其底边长为_______cm．
8．如图，已知AC＝CD＝DA＝CB＝DE，则此图中共有_______个等腰三角形．
9．如图，以正方形ABCD的一边CD为边向形外作等边三角形CDF，则∠AEB＝_______．
10．如图，D是△ABC中BC边上一点，AB＝AC＝BD，则∠1和∠2的数量关系是_______．
三、解答题
11．右边是由边长为1的小正方形组成的方格，已知点A、B在格点上，在右图中找一格点C，使得△ABC是等腰三角形．你可以找到几个符合条件的格点？
12．探究等腰三角形中一条腰上的高与底边所成的夹角和顶角的数量关系．
(1)为了解决这个问题，我们可以从特殊情况入手：
如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，BD是AC边上的高，则∠DBC＝______．
如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD是AC边上的高，则∠DBC＝______．
如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BD是AC边上的高，则∠DBC＝______．
(2)猜想∠BAC与∠DBC的数量关系是______．
(3)对上述猜想，你能作出解释吗？
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，∠ADC＝70°．
求∠BAC的度数．
14．底边为BC的等腰△ABC被过一个顶点的一条直线分割成两个较小的等腰三角形，请你画出所有符合条件△ABC的草图．
参考答案
1．D 2．D 3．C 4．B 5．D
6． (1)55° 55° (2)45° 45° (3)30°，30° (4)55°，70°或62.5°，62.5°
7．(1)3，3或4，2 (2)16 cm或14 cm (3)5 8．4个 9．30° 10．3∠1－∠2=180°
11．共5个
13．110°第2节 轴对称的性质(1)
一、选择题
1．当你看到镜子中的你在用右手往左梳理你的头发时，实际上你是 ( )
A．右手往左梳 B．右手往右梳 C．左手往左梳 D．左手往右梳
2．如图，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是 ( )
3．下列说法不正确的是
A．两个关于某直线对称的图形一定全等
B．轴对称图形的对称点一定在对称轴的两侧
C．两个轴对称的图形对称点的连线的垂直平分线是它们的对称轴
D．平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称
4．桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反
弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点的个数是 ( )
A．2 B．4 C．6 D．8
5．(2010．山东济南)如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为 ( )
A．50° B．30° C．100° D．90°
二、填空题
6．我国传统的木结构房屋，窗子常用各种图案装饰，如图
是一种常见的图案，这个图案有_______条对称轴．
7．如图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线l成轴
对称，图中与AB相等的线段有_______，与AE平行的线段有
_______，直线l一定是线段_______的垂直平分线．
8．如图，AB垂直平分CD，AC＝6，BD＝4，则四边形ADBC的周长是_______．
9．如图，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝130°，∠B＝110°，那么∠D的值等于______．
10．B 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD为____度．
三、解答题
11．如图所示，在图①中请以AB所在直线为对称轴，画出已知图形的对称图形，在图②中，请画出该轴对称图形的对称轴．
12．下图是由两个等边三角形组成的图形，它是轴对称图形吗？如果不是，请移动其中一个三角形，使它与另一个三角形一起组成轴对称图形，怎样移动，才能使所构成的图形具有尽可能多的对称轴？试画出平移后的图形．
13．如图，菱形ABCD(图①)与菱形EFGH（图②）的形状、大小完全相同．
请从下列序号中选择正确选项的序号填写；
①点E，F，G，H；②点G，F，E，H；③点E，H，G，F；④点G，H，E，F．
(1)如果图①经过一次平移后得到图②，那么点A，B，C，D对应点分别是_______；
(2)如果图①经过一次轴对称后得到图②，那么点A，B，C，D对应点分别是_______．
参考答案
1．D 2．C 3．B 4．A 5．C 6．2
7．EF BF．DH．CG AE、BF、DH、CG
8．20 9．110° 10．90 11．图略
12．
13．(1)① (2)②八年级数学(上)第一章 轴对称图形
第11课时 等腰梯形的轴对称性(二)
1．下列说法中错误的是 ( )
A．等腰梯形的对角线相等 B．对角线相等的四边形是等腰梯形
C．等腰梯形在同一底上的两个角相等 D．同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
2．在四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D有下列几组比值．其中能满足四边形ABCD是等腰梯形的是 ( )
A．1：2：3：4 B．1：3：3：2 C．1：2：2：1 D．1：2：1：2
3．下列说法：(1)等腰梯形是轴对称图形；(2)梯形的对角线相等；(3)等腰梯形的底角相等；(4)等腰梯形的两组对角互补．其中正确的个数为 ( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．下列图形分别是等边三角形、直角三角形、等腰梯形和矩形，其中有且只有一条对称
轴的对称图形是 ( )
5．把一张等腰三角形的纸，按如图所示的力式折叠，折痕DE∥BC，则四边形DECB是________形．
6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，且BE=AE，CF=DF，则∠B=_________，∠ADC=________，该梯形为__________梯形．
7．在梯形ABCD中，AB∥CD．根据添加的一个条件________(或_______)可以判定梯形
ABCD是等腰梯形．
8．在四边形ABCD中，∠A=80°．当∠B=________，∠C=________或∠B=_________，∠C=_________时，四边形ABCD是等腰梯形．
9．如图，顺次连接等边三角形各边的中点，则图中共有________个等腰梯形．
10．如图，在梯形ABCD中．AB∥CD，若AC与BD相交于点O，且AO=BO，CO=DO．试说明梯形ABOD是等腰梯形．
11．如图，在△ABC中，若AB=AC，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则四边形EBCD为等腰梯形．试说明理由．
12．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E，连接DE．试说明四边形BCDE是等腰梯形．
13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，DE∥AC，交BC的延长线于点E，∠B=2∠E．试说明AB=CD．
14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，AC⊥BD于点F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF=4．试说明四边形ABFE是等腰梯形．
15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14 cm，AD=18 cm，BC=21 cm，点P从点A开始沿AD边向点D以l cm／s的速度移动，点Q从点C开始沿CB边向点B以2 cm／s的速度移动．若点P、Q分别从点A、C同时出发，设移动的时间为t，则t为何值时，梯形PQCD是等腰梯形
参考答案
1．B 2．C 3．C 4．C
5．等腰梯
6．45° 135° 等腰
7．∠A=∠D AC=BD
8．100° 100° 80° 100°
9．3
10．∵AO=BO，CO=DO，∴AO+CO=BO+DO．
∴AC=BD．又∵四边形ABCD是梯形，∴梯形ABCD为等腰梯形
11．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=(180°－∠A)．又∵BD、CE是角平分线，∴∠ABD=∠ACE．∴△ABD≌△ACE．∴AE=AD．∴∠AED=∠ADE=(180°－∠A)．∴∠AED=∠ABC．∴ED∥BC．又∵BE不平行于DC，∴四边形EDCB为梯形．又∵∠ABC=∠ACB，∴梯形EDCB为等腰梯形
12．在等腰△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵CE⊥AB，BD⊥AC，∴∠BEC=∠CDB=90°．又BC=CB，∴△BEC≌△CDB．∴BE=CD．∴AE=AD．∴∠AED =∠ADE．∴∠AED=∠ABC．∴DE∥BC．又∵BE、CD不平行，∴四边形BCDE是梯形．∵BE=CD，∴四边形BCDE是等腰梯形
13．∵DE∥AC，∴∠BCA=∠E．∵CA平分∠BCD．∠BCD=2∠BCA=2∠E又∵∠B=2∠E，∴∠B=∠BCD．∴梯形ABCD是等腰梯形．∴AB=CD
14．作DG⊥AB于点G．∵EF∥AB，AE、BF相交于点D，∴四边形ABFE是梯形．∵AB∥DC，∠ABC=90°，∴∠DCB=∠ABC=∠DGB=90°．∠CDB=∠ABD．∵BD=DB，∴△BCD≌△DGB．∴CD=BG．∵AB=2DC，∴AG=BG=CD．∴DA=DB．∴∠DAB=∠DBA．∴梯形ABFE是等腰梯形
15．作DM⊥BC于点M，PN⊥BC于点N．∵AD∥BC，∠B=90°，∴AB∥DM．∴MC=BC－BM=BC－AD=3 cm．当∠PQN=∠C时，梯形PQCD是等腰梯形，△PQN≌△DCM．∴QN=MC．又∵QN=BN－BQ=AP－BQ=t－(21－2t)=3t－21，∴3t－21=3，t=8．即t=8 s时，梯形PQCD是等腰梯形第6节 等腰梯形的轴对称性(2)
一、选择题
1．在梯形中，若有两个角相等，那么它一定为 ( )
A．等腰梯形 B．直角梯形
C．－般梯形 D．直角或等腰梯形
2．下列说法：(1)等腰梯形是轴对称图形(2)梯形的对角线相等(3)等腰梯形的底角相等(4)等腰梯形的两组对角互补．其中正确的个数为 ( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．在下列条件中，能判断四边形ABCD是等腰梯形的是 ( )
A．∠A：∠B：∠C：∠D＝l：2：3：4 B．∠A：∠B：∠C：∠D＝2：1：2：3
C．∠A：∠B：∠C：∠D＝2：1：1：2 D．∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：3：4
4．如图，有九个点在平面上形成3×3的方阵，以这些点为顶点的等腰梯形有 ( )
A．0个 B．2个
C．4个 D．8个
5．若等腰梯形的两底之差等于一腰长．则腰与下底的夹角等于 ( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
二、填空题
6．在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝130°，∠C＝50°，则∠B＝_______ ，∠D＝______，该梯形是_________．
7．一个四边形的四个内角的度数之比是2：2：1：1，则此四边形形状为______．
8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，试添加一个适当的条件使梯形ABCD是等腰梯形，你添加的条件可以是_________．
9．等腰梯形的腰为12 cm，上底长为15 cm，上底与腰的夹角为120°，那么这个梯形的下底为______．
10．如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，DE∥AB，DE＝DC，∠A＝100°．则其他三个内角的度数为_________．此时梯形ABCD为_________．
三、解答题
11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC边的中点，EM⊥AB，EN⊥CD，垂足分别为M、N且EM＝EN．试说明：梯形ABCD是等腰梯形．
12．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是BC的中点，且MA＝MD．试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，E为BC的中点，ED∥AC，ED＝CF，试说明四边形ADEF是等腰梯形．
14．在数学活动课上，老师要求同学们先做下面的“循环分割操作”。然后再探索规律：图①是一等腰梯形纸片，其腰长与上底相等，且底角分别是60°和120°，按要求开始操作（每次分割，纸片均不得留有剩余）．
第一次分割：先将原等腰梯形纸片分割成3个全等的正三角形，然后将分割出的一个正三角形分割成3个全等的等腰梯形；
第二次分割：先将上次分割出的3个等腰梯形中的一个分割成3个全等的正三角形，然后将刚分割出的一个正三角形分割成3个全等的等腰梯形，以后按第2次分割的方法进行下去…
(1)请你在图②中画出一次分割的方案图；
(2)若原等腰梯形的面积为a，请你通过操作、观察，将第2次、第3次分割后所得的一个最小等腰梯形面积分别填入下表：
(3)请你猜想，分割所得的一个最小梯形的面积S与分割次数n有何关系？
参考答案
1．D 2．C 3．C 4．C 5．D 6．130°，50°，等腰梯形．
7．等腰梯形 8．∠B=∠C(答案不唯一) 9．27 cm
10．∠B=80°，∠C=80°，∠D=100° 为等腰梯形
11．略
12．四边形ABCD是等腰梯形
13．略
14．(1)略；(2)；；；(3)八年级数学上第一章 轴对称图形
1．1轴对称与轴对称图形
1．下列各图中，为轴对称图形的是 ( )
2．下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
3．下列图形中，轴对称图形的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．一个正方形的对称轴共有 ( )
A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条
5．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
6．下列图形是轴对称图形的是（ ）
7．下列图形分别是等边三角形、直角三角形、等腰梯形和矩形，其中有且只有一条对称轴的轴对称图形是 ( )
8．下面四个图案中，是轴列称图形但不是旋转对称图形(旋转适当角度后能够重合)的是( )
A． B． C． D．
9．如图，由4个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点，在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形(不包括△ABC本身)共有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列图形中，轴对称图形的是 ( )
11．把一个图形沿某一条直线对折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形________，这条直线就是_________．
12．轴对称是指______个图形的位置关系；轴对称图形是指______个具有特殊形状的图形．
13．计算器显示器上的十个数字中是轴对称图形的数字有_________．
14．写出三个是轴对称图形的汉字________．
15．指出图中各有多少条对称轴，并在各个轴对称图形上画出它所有的对称轴．
16．如图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为_________．
17．如图，由4个全等的正方形组成L形图案，请你在图案中改变1个
正方形的位置，使它变成轴对称图案．
18．下列图形是否是轴对称图形，找出轴对称图形的所有对称轴．
思考：正三角形有_______条对称轴；正四边形有________条对称轴；正五边形有________条对称轴；正六边形有_______条对称轴；正n边形有_________条对称轴．
当n越来越大时，正多边形接近于什么图形 它有多少条对称轴
19．用两个圆：○、○，两个三角形：△、△，两条线段：∣、∣，拼出至少两个对称图形．(画在以下方框内)
20．科学家牛顿在草稿纸上画了三幅图，如图所示，正准备画第四幅图时，恰好被同事喊去了，牛顿的一个学生看见了这三幅图，便顺手画上了第四幅图。牛顿回来一看，不禁啧啧称奇，原来，那个同学找出了画图规律，填上的图正好是牛顿所想的。同学们，你知道第四幅图是什么吗？
参考答案
1．C 2．C 3．B 4．C 5．D 6．B 7．C 8．D 9．C 10．D
11．关于这条直线对称 对称轴
12．两 一
13．1、3、8
14．中、鑫、品
15．略
16．810076
17．答案中唯一．如：
18．图略 3 4 5 6 n 圆，无数条．
19．略
20．
①
②
③
④
A B C D八年级数学上第一章 轴对称图形
1．3设计轴对称图案
1．“羊”字象征美好与吉祥，“美、洋、善、祥”都与“羊”字有关，其中是轴对称图形的个数为 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题．请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在空白处填上恰当的图形．
3．请你应用轴对称的知识画出图中的三个图形，并涂上彩色，与同学比一比，看谁画得正确、漂亮．
4．用如图(1)的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成轴对称图形，请你在图(2)、图(3)、图(4)中各画出一种拼法．(要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示)
5．以为对称轴，画出图形的另一半．
6．利用下图设计出一个轴对称图案．
7．如图，某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案由圆和正方形组成(圆与正方形的个数不限)，并且使整个矩形场地成轴对称图形，请在下面矩形中画出你的设计方案．
8．下面的四个图案，都是轴对称图形，它们分别有着自己的含义，比如图(1)可以代表针织品、联通；图(2)可以代表法律、公正；图(3)可以代表航海、坚固；图(4)可以代表邮政、友谊等．请你自己也来设计一个轴对称图形，并请说明你所设计的轴对称图形的含义．
9．市拟建造农民文化公园，将12个场馆排成6行，每行4个场馆，
市政府将如图所示的设计图公布后，引起了一群初中生的浓厚兴趣，
他们纷纷设计出许多精美的轴对称图形来，请你也设计一幅符合条
件的图形．
10．仔细观察图(1)、(2)、(3)中阴影部分图案的共同特征，在图(4)、(5)中再设计两幅具备上述特征的图案．(每小格面积为1)
11．利用一条线段、一个圆、一个正三角形设计几个轴对称图案，并说明你要表达的意思．
12．有一个梯形，请在图(1)、图(2)中分别画出一条线段，同时满足以下要求：
(1)线段的一个端点为梯形的顶点，另一个端点在梯形一边的格点上；
(2)将梯形分成两个图形，其中一个是轴对称图形；
(3)图(1)、图(2)中分成的轴对称图形不全等．
参考答案
1．B 2． 3．略
4．
5．略 6．略
7．
8．
9．答案不唯一，如：
10．画图略 提示：①都是轴对称图形；②阴影部分面积为4．
11．略
12．第5节 等腰三角形的轴对称性(3)
一、选择题
1．下列说法：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②等腰三角形的两腰上的中线长相等；③等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；④等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．其中不正确的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形一定是 ( )
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．以上答案都不对
3．如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：(1)∠PBC＝5°；(2)AD∥BC；(3)直线PC与AB垂直；(4)四边形ABC，D是轴对称图形．其中正确结论的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝30°，∠ EDC是 ( )
A． 10° B．12.5° C．15° D．20°
5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BD，其中D为BC边上的点，则∠1与∠2的大小关系是 ( )
A．∠1＝2∠2 B．2∠1＋∠2＝180°
C．3∠2－∠1＝180° D．3∠1－∠2＝180°
二、填空题
6．在等边三角形、角、长方形这三个图形中，对称轴最多的是_______，它共有_______条对称轴，最少的是_______，有_______条对称轴．
7．周长为13，各边长均为整数的等腰三角形共有_______个，它们的底边长分别是_________．
8．如图，在△ABC中，∠B＝∠A，D是AB上任意一点，DE∥BC，
DF∥AC，AC＝4 cm，则四边形DECF的周长是_________．
9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是45°，这个等腰
三角形的顶角是_________．
10．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，
则对△ADE的形状的判断是_________．
三、解答题
11．如图，请你用三种方法，将一个等边三角形分割成四个等腰三角形．
12．如图，△ABC是等边三角形，P为△ABC内部一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP'重合．如果AP＝3．求PP'的长．
13．已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．试说明：BD＝DE．
14．已知△ABC为等边三角形，在图①中，点M是线段BC上任意一点，点N线段CA上任意一点．且BM＝CN，直线BN与AM相交于Q点．
(1)请猜一猜：图①中∠BQM等于多少度？
(2)若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其他条件不变，如图②所示，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．
参考答案
1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．等边三角形 3 角 1
7．3个 1、3、5 8．8 cm 9．45°或135° 10．等边三角形
11．
12．3 13．略 14．(1) 60° (2)略第一章 轴对称图形 单元测试
一、填空题
1．在我们已经学到的图形中举出三个不同类的轴对称图形如下：
.
2．长方形有 条对称轴，正方形有 条对称轴，圆有 条对称轴.
3．在一些缩写符号SOS, CCTV, BBC, WWW, TNT中，成轴对称图形的是 .
4．已知AB垂直平分CD，AC=6cm,BD=4cm，则四 边形ADBC的周长是 .
5．如图，以正方形ABCD的一边CD为边向形外作等边三角形CDE，则∠AEB= .
二、选择题
6.下列各数中，成轴对称图形的有（ ）个.
7.已知等腰三角形的一个外角等于100，则它的顶角是（ ）.
（A）80° （B）20° （C）80°或20° （D）不能确定
8.下列语句中正确的有（ ）句.
①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；④两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧.
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
9.下列语句错误的是（ ）.
（A）等腰三角形有一条对称轴 （B）直线是轴对称图形
（C）任意等腰三角形只能有一条对称轴（D）直线的任意一条垂线都是它的对称轴
10. 如图，D是ABC中BC边上一点，AB=AC=BD，则∠1和∠2的关系是（ ）.
（A）∠1=2∠2 （B）∠1+∠2=90°
（C）180°-∠1=3∠2 （D）180°+∠2=3∠1
11. 桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有（ ）个.
（A）1 （B）2 （C）4 （D）6
三、解答题
12．已知ABC中AB=AC=10，DE垂直平分AB，交AC于E.已知BEC的周长是16，求ABC的周长.
13．如图，已知AB=AC，DB=DC.这个图形是否轴对称图形？为什么？如果是轴对称图形，它的对称轴是什么？
14．已知直线及其两侧两点A、B，如图.
（1）在直线上求一点P，使PA=PB；
（2）在直线上求一点Q，使平分∠AQB.
15．如图，过ABC底边BC上一点D作BC的垂线，交AC和BA的延长线于点E、F，若AE=AF，试说明AB=AC.
16．如图，在直角三角形ABC的斜边AB上取两点D、E，使AD=AC，BE=BC.当∠B的度数变化时，试讨论∠DCE如何变化？说明你的根据.
B卷
一、填空题
1．角的对称轴是 ；正方形的对称轴是
2．在镜子中看到时钟显示的时间是
，则实际时间是 .
3．已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则第三边的长是 ；
已知等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长是 .
4．如图，在∠MON的两边上顺次取点，使 DE=CD=BC=AB=OA，若∠MON=22°，
则∠NDE= .
5．正方形ABCD内一点P与点A、B组成等边三角形，则 三角形PCD三个内角的度数分别为 、 、 .
二、选择题
6．下列图形中一定是轴对称图形的是（ ）.
（A）直角 （B）直角三角形 （C）四边形 （D）梯形
7．如图，ABC中BD是角平分线，∠A=∠CBD=36°则图中有等腰三角形（ ）个.
（A）3 （B）2 （C）1 （D）0
8．下列右侧四幅图中，平行移动到位置M后能与N成轴对称的是（ ）.
9．如果一个三角形成轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形一定是（ ）.
（A）直角三角形 （B）等腰直角三角形
（C）等边三角形 （D）上述三种情形都有可能
10在等边△ABC所在平面内找出一个点，使它与三角形的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形.这样的点共有（ ）个.
（A）1 （B）4 （C）7 （D）10
11．如图，ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，当∠A的位置及大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系（ ）.
（A）EF>BE+CF （B）EF=BE+CF
（C）EF三、解答题
12．已知ABC中∠BAC=140°，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F.
求∠EAF的度数.
13．在矩形ABCD中，将△ABC绕AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F，如图.试说明EF=DF.
14．试根据下列语句画出图形，并根据图形说明这一语句是正确的：
如果三角形一个外角的平分线与它相邻内角的对边平行，那么这个三角形是等腰三角形，且它的相邻内角是等腰三角形的顶角.
15．将1，1，1，2，2，2，3，3，3九个数字分别填入一个33的方格，成一个三阶幻方（各行、各列和各条对角线上数字的和都相等）.若将幻方沿某条对称轴对折，对称位置的数字相同，则称这个幻方为“对称幻方”.（1）试作出一个对称幻方；（2）这样的幻方能否同时有两条对称轴？试一试，能够的话给出一个例子；不能够的话作出简单说明.
16.（1）如图（一），P是∠AOB平分线上一点，试过点P画一条直线，交角的两边于点C、D，使OCD是等腰三角形，且CD是底边；
（2）若点P不在角平分线上，如图（二），如何过点P画直线与角的两边相交组成等腰三角形？
（3）问题（2）中能画出几个满足条件的等腰三角形？八年级数学(上)第一章 轴对称图形
第6课时 线段、角的轴对称性(二)
1．___________是角的对称轴，到一个角的两边距离相等的点有_________个．
2．如图，射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N．当PM=2 cm时，PN=________cm．理由是_____________________________________．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．
(1)若BC=9，BD=5，则点D到AB的距离为__________．
(2)若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC=__________．
4．如图，在△ABC中，O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，D、E、F是垂足．
(1)对于等式：①OD=OE；②OE=OF；③OF=OD，根据“角平分线上的点到角的两边距离相等”，可以得到等式__________和_________，进而可以得到等式_________；
(2)因为OF=OD，所以点O在∠________的平分线上，理由是__________________
______________________________．
5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，∠B=40°，∠BAD=30°，则∠C的度数为 ( )
A．70° B．80° C．100° D．110°
6．如图，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时必须保证∠1的度数为 ( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
7．如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形，∠AOB画在方格纸上，请在小方格的顶点标出点P，使点P落在∠AOB的平分线上．
8．如图，在Rt△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DF⊥AC于点F，且DE=DC．试比较BE和FC的大小关系并说明理由．
9．如图，在△ABC中，∠ABC和∠BAC的平分线相交于点O，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为D、E、F．
(1)OD与OF相等吗 为什么
(2)OE与OF相等吗 为什么
(3)OD与OE相等吗 为什么
(4)OC平分∠ACB吗 为什么
10．如图，AC平分∠EAB，DC=BC，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AB，垂足为F．
(1)写出图中相等的线段(已知的相等线段除外)．
(2)选择你所写的一组相等线段，说明它们相等的理由．
11．某地有三条公路，两两相交形成如图所示的形状，小张的父亲准备在公路旁修一座加油站，要使加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在何处
12．如图，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，且E是DC的中点，EF⊥AB于点F．问AD、BC与AB之间有何关系 为什么
参考答案
1．角平分线 无数
2．2 角平分线上的点到角的两边距离相等
3．(1)4 (2)15
4．(1)① ② ③ (2)A 到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上
5．B
6．C
7．略
8．BE=FC ∵∠B=90°，DF⊥AC，AD平分∠BAC，∴BD=DF，∠B=∠DFC=90°．又∵DE=DC，∴△BED≌△FCD．∴BE=FC
9．(1)相等，角平分线上的点到角的两边距离相等 (2)相等，角平分线上的点到角的两边距离相等 (3)相等，等量代换 (4)OC平分∠ACB，角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
10．(1)DE=BF，AE=AF，CE=CF (2)略
11．有四处，应建在构成的三角形内、外角平分线的交点处
12．AD+BC=AB连接BE．∵AE平分∠BAD，DC⊥AD，EF⊥AB，∴DE=EF．则△ADE≌△AFE．∴AD=AF．又可证△BEF≌△BEC．∴BC=BF．∴AD+BC=AF+BF=AB第一章 轴对称图形
1.1 轴对称与轴对称图形
[趣题导学]
同学们，剪纸是我们中华民族的一门古老的民间艺术，利用可以剪成许多美丽的图案。如图1.1-1，是利用剪纸剪成的4幅图案，观察下列图案，认真想一想，再动手折一折，你能发现这些图案有什么共同的特点？你还能举出你身边具有相同特点的例子来吗？
解答：通过观察、折叠容易发现，这些图形都有一个共同的特征：把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合。在我们生活中具有这样特征的图形还有很多，如图1.1-2所示的路标、我国的几家银行的标志图案等。
图1.1-2
[双基锤炼]
一、选择题
1、图1.1-3中的图形中是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是( )
图1.1-3
2、如图1.1-4，下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（ ）
3、如图1.1-5，以下四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是（ ）
图1.1-5
4、如图1.1-6，下列图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的有（ ）
图1.1-6
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
5、如图1.1-7，下列图案是几种名车的标志，请你指出，在这几个图案中是轴对称图形的共有（ ）
A、1个 B、2个 C、 3个 D、4个
6、下列的说法：①轴对称和轴对称图形意义相同；②轴对称图形必轴对称；③轴对称和轴对称图形的对称轴都是一直线；④轴对称图形的对称点一定在对称轴的两旁，其中正确的有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
二、填空题
7、右图1.1-8是从镜中看到的一串数字，这串数字应为 .
8、计算器的显示器上数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，这十个数字中是轴对称图形的数字是_________________.
9、如图1.1-9，下面的一些虚线，哪些是图形的对称轴，哪些不是？是对称轴的是 ；不是对称轴的是 （填写序号）.
三、解答题
10、如图1.1-10，下列图形是不是轴对称图形 如果是轴对称图形的,说出对称轴的条数.
图1.1-10
11、指出下图1.1-11中的轴对称图形，并在各个轴对称图形上画出它所有的对称轴。
（1） （2） （3） （4） （5）
图1.1-11
[能力提升]
一、综合渗透
1、如图1.1-12把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是（ ）
2、下列说法不正确的是（ ）
A.两个关于某直线对称的图形一定全等
B.对称图形的对称点一定在对称轴的两侧
C.两个轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴
D.平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称
3、将一张长方形的纸对折,如图1.1-13所示,可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕,那么对折四次可以得到 _____条折痕,如果对折n次,可以得到 条折痕.
图1.1-13
4、数的运算中有一些有趣的对称式，如12×231=132×21,请你仿照这个等式填空：__________×462=__________×__________.
二、应用创新
1、
2、小新是一位不错的足球运动员，他衣服上的号码在镜子里如图1.1-15，他是 号运动员。
3、看过大红的“双喜”字吗？请教家长或你的同学，试着剪一个，将你的作品与同学交流。
三、探究发散
1、将一张正方形的纸片按下图1.1-16方式三次折叠,沿MN裁剪,则可得( ).
A.多个等腰直角三角形
B.一个等腰直角三角形和一个正方形
C.两个同的正方形
D.四个相同的正方形
2、科学家牛顿在草稿纸上画了三幅图，如下图1.1-17所示，正准备画第四幅图时，恰好被同事喊去了，牛顿的一个学生看见了这三幅图，便顺手画上了第四幅图。牛顿回来一看，不禁啧啧称奇，原来，那个同学找出了画图规律，填上的图正好是牛顿所想的。同学们，你知道第四幅图是什么吗？
[链接中考]
1、如图1.1-18，下面有4个汽车标致图案，其中是轴对称图形的是（ ）。
① ② ③ ④
图1.1-18
A、②③④ B、①③④ C、①②④ D、①②③
2、如图1.1-19，下列图形中，轴对称图形是（ ）
图1.1-19
3、如图1.1-20，喜爱剪纸的小芳拿了几张正方形的纸如图1，沿虚线对折一次得图2，载对折一次得图3，然后用剪刀沿图4种不同位置的虚线剪去一个角，打开后的形状如图5，请将图4与图5中的相对应的图形用线段连接起来。
参考答案
[双基锤炼]
一、选择题
1、A 2、A 3、B 4、C 5、C 6、B
二、填空题
7、810076 8、0,1,3,8 9、②④⑥；①③⑤
三、解答题
10、轴对称图形有：（2）（3）（4）（5）（7）
图（2）有1条对称轴；图（3）有5条对称轴；图（4）有2条对称轴；图（5）有1条对称轴；图（7）有2条对称轴；
11、轴对称图形有：（1）（3）（4）（5）
12、
[能力提升]
一、综合渗透
1、 C 2、B 3、15， 4、24，264，42
二、应用创新
1、B 2、16 3、略
三、探究发散
1、D
2、
[链接中考]
1、D 2、B
3、
图1.1-1
雪佛兰 三菱 雪铁龙 丰田
图1.1-7
图1.1-8
图1.1-9
图1.1-12
第一次对折
第二次对折
第三次对折
图1.1-14
图1.1-14
图1.1-15
图1.1-16
图1.1-17
(A)
图1.1-20八年级数学(上)周周练(1.4～1.6)
满分：100分 时间：90分钟 得分：__________
一、选择题(每小题2分，共20分)
1．下列图形中，对称轴的条数最多的是 ( )
A．等边三角形 B．圆 C．等腰梯形 D．长方形
2．下列命题：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看成是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，其中正确的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在△ABC中，AB=AC，P为△ABC的中线AD上任意一点，若点P到边AB的距离为2 cm，则点P到边AC的距离为 ( )
A．1cm B．15 cm C．2 cm D．2．5 cm
4．如图，A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在 ( )
A．AC、BC两边高线的交点处 B．AC、BC两边中线的交点处
C．AC、BC两边垂直平分线的交点处 D．∠A、∠B两内角平分线的交点处
5．如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，则∠B的度数为 ( )
A．50° B．40° C．25° D．20°
6．若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形是 ( )
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
7．如果三角形一边的垂直平分线经过三角形的一个顶点，那么这个三角形一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定
8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，BC=BD，∠A=100°，则∠C的度数为 ( )
A．80° B．70° C．75° D．60°
9．如图，点D、E、F分别在△ABC的边BC、AB、AC上，且BD=BE，
CD=CF，∠A=80°，那么∠FDE的度数为 ( )
A．50° B．55°
C．45° D．40°
10．若一个梯形有且只有两个角相等，则它一定是 ( )
A．等腰梯形 B．等腰梯形或直角梯形
C．直角梯形 D．任意梯形
二、填空题(每小题2分，共16分)
11．线段是轴对称图形，它的对称轴是_________________________________．
12．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长是_________．
13．若等腰三角形的一个外角度数为70°，则它的底角度数为________．
14．如图，AB=AC，∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC于点D，则∠ADC=______．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=10 cm，D为AB的中点，则CD=______cm．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，E为AC的中点，请你写出一条正确的结论：____________．
17．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB于点D，若∠CBE=∠EBA，则∠A=____________．
18．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=6 cm，AD=4 cm，∠C=60°，则梯形ABCD的周长为__________cm．
三、解答题(共64分)
19．(8分)如图，CD、CF分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，CD交AB于点D，DF∥BC交AC于点E，那么E是线段DF的中点吗 说明你的理由．
20．(8分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠CAB交CD于点F．试说明CE=CF．
21．(8分)如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，找出图中的一个等腰三角形，并说明你的理由．
22．(10分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且PA=PD，则PB与PC相等吗 请说明你的理由．
23．(10分)如图，在△ABC中，∠BAC=110°，E、G分别为AB、AC的中点，DE⊥AB，FG⊥AC．求∠DAF的度数．
24．(10分)如图，在△ABC中，点E在边AB上，点D在边BC上，BD=BE，∠BAD=
∠BCE，AD与CE相交于点F．试判断△AFC的形状，并说明理由．
25．(10分)已知，如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°。仿照图示，你能再设计两种不同的分法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形吗
参考答案
—、1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．A 7．B 8．B 9．A 10．C
二、11．这条线段所在的直线和它的垂直平分线 12．17 13．35° 14．60°
15．5 16．答案不唯一，如∠B=°C，DE=EC，DE=AE 17．30° 18．26
三、19．E是线段DF的中点
20．因为∠ACB=90°，所以∠ACD+∠BCD=90°．因为CD⊥AB于点D，所以∠B+∠BCD=90°．所以∠ACD=∠B．因为AE平分∠CAB，所以∠CAE=∠EAB。所以∠CFE=∠CAE+∠ACD，∠CEF=∠B+∠EAB．所以∠CFE=∠CEF．所以CE=CF
21．我所找的等腰三角形是△ABC(或△BDC或△DAB)
22．相等
23．40°
24．△AFC为等腰三角形
25．五种分法作参考八年级数学(上) 第一章 轴对称图形
第2课时 轴对称的性质(1)
1．如果图形关于某条直线对称，那么连接对称点的线段被__________垂直平分．
2．如图是一个轴对称图形，则对应线段是____________，对应角是________________．
3．画出下列图形的对称轴，并各标出两对对称点．
4．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF= ( )
A．110° B．115° C．120° D．130°
5．如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开，如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成 ( )
6．如图，将矩形纸片ABCD (图①)按如下步骤操作：(1)以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E(如图②)；(2)以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F(如图③)；(3)将纸片再展平，那么∠AFE的度数为
A．60° B．67．5° C．72° D．75°
7．下列轴对称图形中，对称轴最多的是 ( )
A．圆 B．等腰直角三角形 C．正方形 D．等边三角形
8．下列说法：①全等的两个图形一定成轴对称；②成轴对称的两个图形一定全等；③对称图形的对称点一定在对称轴两侧；④若点A、B关于直线MN对称，则直线MN垂直平分线段AB．其中正确的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．汽车牌照在水中的倒影为，则该车牌号码为_________．
10．小明从平面镜中看到对面电子钟的示数如图所示，这时的时间应该是__________．
11．如图，在图中分别标出点A、B、C关于直线的对称点A′、B′、C′．
12．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线成轴对称．
(1)请在图中分别标出A、B、C三点关于直线的对称点A′、B′、C′．
(2)写出其中相等的线段．
(3)如果△ABC的面积为6 cm2，且AB=3 cm，求△A′B′C′中A′B′边上的高．
13．如图是一些常见的正多边形，请画出每个正多边形的对称轴，并将对称轴的条数填入下面的表格中．
正多边形的边数 3 4 5 6 7 8
对称轴的条数
根据上表可猜想，正二十边形的对称轴有_______条，正二十五边形的对称轴有_____条．
参考答案
1．该直线
2．AB=CD，BE=DE ∠B=∠D
3．略
4．B 5．C 6．B 7．A 8．B
9．M17936
10．20：01
11．略
12．(1)略 (2)AB=A′B′，BC=B′C′．AC=A′C′ (3)4 cm
13．画图略 对称轴的条数依次为3，4，5，6，7，8 20 25八年级数学(上)第一章 轴对称图形
第5课时 线段、角的轴对称性(一)
1．线段垂直平分线上的点到____________________的距离相等．
2．O为线段AB的垂直平分线MN上一点，OA=3 cm，则OB=_______．
3．已知线段AB及一点P，PA=PB=3 cm，则点P在_______________上．
4．如图，P是线段AB的垂直平分线MN上的点，O是MN与AB的交点，PA=5 cm，OB=3 cm，则PB=_________cm，△PAB的周长为__________cm．
5．如图，在△ABC中，DC是AB的垂直平分线，交AB于点D，若∠B=57°，则∠ACE=________．
6．若点D到△ABC的边AC两端点的距离相等，则点D在 ( )
A．AC的垂直平分线上 B．AC的高上
C．AC的中线上 D．BC的垂直平分线上
7．已知CD是线段AB的垂直平分线，C为垂足；EF是线段AC的垂直平分线，E为垂足，则CD与EF的关系是 ( )
A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．不能确定
8．如图，在△ABC中，AB=a，AC=b，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、
BA于点D、E，则△AEC的周长为 ( )
A．a+b B．a－b
C．2a+b D．a+2b
9．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点)，在这个5×5的方格纸中，找出格点C，使AC=AB，则满足条件的格点C有 ( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．如图，已知△ABC．
(1)求作边AB、AC的垂直平分线1、2；
(2) 1与2相交于点O，则OB__________OC；
(3)若△ABC是锐角三角形，则点O在三角形________；若△ABC是钝角
三角形，则点O在三角形_________；若△ABC是直角三角形，则点O
在三角形__________．
11．青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓
A、B、C的距离相等．
(1)若三所运动员公寓A、B、C的位置如图所示，请你在图中确定这处
公共服务设施(用点P表示)的位置．
(2)若∠BAC=66°，则∠BPC=_________．
12．如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为O，点C、D MN上，则∠CAD与∠CBD相等吗 为什么
13．如图，在△ABC中，BC=10，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E．求△ADE的周长．
14．如图，AB=AC，DB=DC，E是AD延长线上的一点．试说明BE=CE．
15．如图，∠AOB内有一点P，分别画出P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于点M，交OB于点N．
(1)当P1P2=12 cm时，求△PMN的周长．
(2)当∠AOB=25°时，求∠P1PP2的度数．
参考答案
1．线段两个端点
2．3 cm
3．线段AB的垂直平分线
4．5 16
5．114°
6．A 7．B 8．A 9．C
10．(1)略 (2)= (3)内 外 斜边上
11．(1)略 (2)132°
12．∠CAD=∠CBD ∵MN是AB的垂直平分线，∴AC=BC，AD=BD．又∵CD=CD，
∴△ACD≌△BCD．∴∠CAD=∠CBD
13．10
14．点拨：可证△ABD≌△ACD，得∠BAE=∠CAE，再证△ABE≌△ACE，可得BE=CE．
15．(1)12 cm (2)155°八年级数学(上)第一章 轴对称图形
第1课时 轴对称与轴对称图形
1．下列四幅图中，不是轴对称图形的是 ( )
2．将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在纸上扎出“B”，再把它铺平．你可以看到 ( )
3．等边三角形的对称轴有 ( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
4．下列图案是几种名车的标志，请你从中判断哪些是轴对称图形，并画出其对称轴．
5．现有两张全等的直角三角形纸片，如图所示．将它们的一边重合地拼在一起能组成新的图形．请画出新图形及其对称轴．
6．下列四幅图中，是轴对称图形的是 ( )
7．下列图形中，轴对称图形的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．圆是轴对称图形，它的对称轴有 ( )
A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条
9．如图，下列图形中，对称轴条数最多的是________(填序号)，共有________条对称轴，对称轴只有1条的是___________(填序号)．
10．如图，找出下列图形符号所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形．
11．如图是由两个等边三角形组成的图形，它是轴对称图形吗 若是，请画出它的对称轴；若不是，请移动其中一个三角形，使它与另一个三角形一起组成轴对称图形．怎样移动，才能使所构成的图形具有尽可能多的对称轴
12．数学中的对称美、统一美、和谐美随处可见，我们发现：12=1，112=121，1112=12 321，
11112=1 234 321，……请根据你所发现的规律接下去再写两个等式．
参考答案
1．A 2．C 3．D 4．略 5．如图
6．D 7．B 8．D 9．③ 8 ②⑥ 10． 11．略 12．11 1112=123 454 321，111 1112=12 345 654 321
【提高练习】
一、选择题
1．下列图案中，是轴对称图形的是 ( )
2．下列图形中是轴对称图形的是 ( )
3．下列图案是轴对称图形的是 ( )
4．下列图案中，不是轴对称图形的是 ( )
5．下面四个图案中，不是轴对称图形的是 ( )
6．下列图案中是轴对称图形的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列轴对称图形中，对称轴最多的是 ( )
8．下列图形中，与其他图形对称性质不同的图形是 ( )
9．下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是 ( )
二、填空题
10．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有________个．
第10题 第11题
11．如图，沿大正三角形的对称轴对折，则互相重合的两个小正三角形内的单项式的乘积为_____________．
参考答案
1．D 2．C 3．D 4．A 5．A 6．C 7．B 8．B 9．B
10．4 11．，，八年级数学上第一章 轴对称图形
1．5等腰三角形的轴对称性
第2课时 等腰三角形的轴对称性(2)
1．在△ABC中，∠A=100°，∠B=40°，则△ABC是_________三角形．
2．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，CD=1005，则AB=_________．
3．如图，∠C=36°，∠B=72°，∠BAD=36°．找出图中所有的等腰三角形_______．
4．如图，在△ABC中，点D、E在BC上，且∠1=∠B，∠2=∠C，BC=10 cm，求△ADE的周长．
5．如图，在△ABC中，AD平分
∠BAC，E是CA延长线上的一
点，EC∥AD，交AB于点F．
求证：AE=AF．
6．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=2 009，则线段DE的长为 ( )
A．2009 B．2008 C．2010 D．2012
7．如图，∠DAC是△ABC的一个外角，AE平分∠DAC，且AE∥BC，那么AB=AC吗 为什么
8．如图，BC=3，∠ABC和∠ACB的两条角平分线相交于点O，OE∥AB，OF∥AC．求△OEF的周长．
9．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：
(1)MD=MB； (2)MN⊥BD．
10．已知：在Rt△ABC中，AB=BC；在Rt△ADE中，AD=DE；连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．
(1)若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图(1)，求证：BM=DM，且BM⊥DM；
(2)如果将图(1)中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图(2)．那么(1)中的结论是否仍成立 如果不成立，请举出反例；如果成立，请给出证明．
11．如图，在△ABC中，作∠ABC的平分线BD，交AC于D，作线段BD的垂直平分线EF，分别交AB于E．交BC于F，垂足为O，连结DF．在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明．(不写作法，保留作图痕迹)
12．(1)如图(1)，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；
(2)如图(2)，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转(△OAB和△OCD不能重叠)．求∠AEB的大小．
参考答案
1．等腰 2．2 010 3．△ABD，△ABC，△ADC
4．∵∠1=∠B，∴AD=BD．∵∠2=∠C，∴AE=CE．∵BC=BD+DE+CE=10，∴AD+DE+AE=10．∴△ADE的周长为10 cm．
5．∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠CAD．∵EG∥AD，∴∠EFA=∠FAD，∠E=∠DAC．
∴∠E=∠AFE．∴AE=AF． 6．A 7．AB=AC
8．∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠EBO．∵OE∥AB，∴∠ABO=∠BOE．∴∠BOE=∠EBO．∴BE=OE．同理：OF=FC，∴BC=BE+EF+CF=OE+EF+OF=3．∴△OEF的周长为3．
9．(1) ∵点M是Rt△ABC斜边的中点，∴BM=+AC，同理DM=+AC．∴BM=DM．
(2) ∵N是BD中点，又BM=DM，∴MN⊥BD．
10．(1)在Rt△EBC中，M是斜边EC的中点，∴BM=EC．
在Rt△EDC中，M是斜边EC的中点，∴DM=EC．
∴BM=DM，且点B、C、D、E在以点M为圆心、BM为半径的圆上．
∴∠BMD=2∠ACB=90°．
即BM⊥DM
(2)当△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角时，(1)中的结论仍成立．
证明如下：连结BD，延长DM至点F，使得DM=MF，连结EF、CD、BF、FC，延长ED
交AC于点H．∵DM=MF．EM=MC．∴四边形CDEF为平行四边形．∴DE∥CF，ED=CF．
∵ED=AD，∴AD=CF．∵DE∥CF，∴∠AHE=∠ACF．又∠BAD=45°－∠DAH=45°－(90°－∠AHE)=∠AHE－45°，∠BCF=∠ACF－45°，∴∠BAD=∠BCF．又AB=BC，
∴ △ABD≌△CBF．∴BD=BF，∠ABD=∠CBF．∵∠ABD+∠DBC=∠CBF+∠DBC，
∴∠DBF=∠ABC=90°．在Rt△DBF中，由BD=BF，DM=MF，得BM=DM且BM⊥DM．
11．△BOE≌△BOF、△BOE≌△DOF等，证明略．
12．(1)∠AEB=60° (2)∠AEB=60°八年级数学(上)第一章 轴对称图形
第9课时 等腰三角形的轴对称性(三)
1．在等边△ABC中，AD是边BC上的中线，则∠ADB=_________，∠BAD=_________．
2．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，CE=BD，则△ABC是_________三角形．
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD⊥AC于点D，DG∥AB交BC于点G，点E在BC的延长线上，且CE=CD，则(1)∠E=________，∠BDE=________；(2)图中的等边三角形有__________个，它们是____________________．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD是斜边AB的中线．△BCD是等边三角形吗 为什么
5．如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且AD=BE=CF．试说明△DEF是等边三角形．
6．在△ABC中，AB=AC，下列说法：①若∠A=60°，则△ABC是等边三角形；②若∠B=60°，则△ABC是等边三角形；③若∠C=60°，则△ABC是等边三角形．其中正确的是 ( )
A．① B．② C．③ D．①②③
7．如图，在等边△ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是 ( )
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，若正方形ABCD内的一点P与点A、B组成等边三角形，则△PCD的三个内角度数分别为________、________、__________．
9．用一块等边三角形的硬纸片(如图①)做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子(边缝忽略不计，如图②)，需在△ABC的每个顶点处各剪掉一个四边形，则在四边形AMDN，中，∠MDN=__________．
10．如图，在等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE=_________．
11．如图，BD是等边△ABC边AC上的高，延长BC至点E，使CE=CD．
(1)试比较BD与DE的大小，并说明理由．
(2)若将BD改为△ABC的角平分线或中线，能否得出同样的结论 试说明理由．
12．如图，在等边△ABC中，求作一点P，使△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，这样的点P有________个，并在图中标出来．
13．如图①，点C为线段AB上一点，△ACM、ACBN是等边三角形，直线AN、MC相交于点E，直线BM、CN相交于点F．
(1)试说明AN=BM．
(2)试说明△CEF是等边三角形．
(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图②中补出符合要求的图形，并判断(1)、(2)两小题结论是否成立(不要求说明)．
14．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
(1)说明△COD是等边三角形．
(2)当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．
(3)当a为多少度时，△AOD是等腰三角形
参考答案
1．90° 30° 2．等边 3．(1)30° 120° (2)2 △ABC和△DGC 4．△BCD是等边三角形 ∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=60°．∵CD是斜边AB的中线．∴CD=BD．∴△BCD是等边三角形 5．点拔：可证△ADF≌△BED≌△CFE，则DF=DE=EF 6．D 7．D 8．150° 15° 15° 9．120° 10．60° 11．(1)BD=DE ∵CE=CD，∴∠CDE=∠E．∵△ABC是等边三角形，∴∠DCB=60°=∠CDE+∠E=2∠E．∴∠E=30°=∠DBC．
∴BD=DE (2)可以得出同样的结论，将BD改为△ABC的角平分线或中线时，实际上也是等边△ABC边AC上的高 12．10 图略 13．(1) ∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，CN=CB，∠CAN=∠BCN=60°．∴∠MCN=60°．∴∠CAN=∠BCM．∴△CAN≌△BCM．∴AN=BM (2)在△NCE与△BCF中，CN=CB，∠ENC=∠FBC，∠ECN=∠NCB=60°，∴△NCE≌△BCF．∴EC=CF．又∵∠ECF=60°，∴△CEF为等边三角形
(3)AN=BM成立，△CEF为等边三角形不成立
14．(1) ∵CO=CD，∠OCD=∠ACB=60°，∴△COD是等边三角形 (2)当a=150°，即∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形 ∵△BOC≌△ADC，∴∠BOC=∠ADC=150°．又∵△COD是等边三角形．∴∠ODC=60°．∴∠ADO=90°．即△AOD是直角三角形 (3)①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO ∵∠AOD=190°－a，∠ADO=a－60°，∴190°－a=a－60°．∴a=125° ②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO ∵∠OAD=180°－(∠AOD+∠ADO)=50°，∴a－60°=50°．∴a=110° ③要使OD=AD，则∠OAD=∠AOD．∴190°－a=50°．∴a=140°．综上所述，当a的度数为125°、110°、140°时，△AOD是等腰三角形第3节 设计轴对称图案
一、选择题
1．下列图形分别是等边三角形、直角三角形、等腰梯形和矩形，其中有且只有一条对称轴的对称图形是 ( )
2．下列右侧四幅图中，平行移动到位置M后能与N成轴对称的是 ( )
A．图① B．图② C．图③ D．图④
3．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的 ( )
4．剪纸是中国的民间艺术．剪纸方法很多，下面是一种剪纸方法的图示（先将纸折叠，然后再剪，展开即得到图案）：下面四个图案中，不能用上述方法剪出的是 ( )
5．如图．将矩形沿对称轴折叠，在对称轴处剪去一块，余下部分展开图为 ( )
二、填空题
6．圆的对称轴是_______，它有_______条对称轴．
7．在一些符号SOS，CCTV，BBC，WWW，TNT中，成轴对称图形的是_______．
8．有些汉字，如“口、天、土”等是轴对称图形．请再写出两个这样的汉字_______．
9．请在下面一组图形中找出它们内在的规律，然后在横线上填上恰当的图形：
10．小明在平面镜里看到电子钟的示数是： ，这时的时间应该是_______．
三、解答题
11．有如图 的8张纸条，用每4张拼成一个正方形图案，拼成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形仅为2个，且使每个正方形图案都是轴对称图形，在网格中画出你拼出的图案．（画出的两个图案不能全等）
12．如图，在网格中有两个全等的图形（阴影部分），用这两个图形拼成轴对称图形（不能重叠），试分别在图①、②、③中画出三种不同的拼法．
13．如图，将矩形纸片ABCD(图①)按如下步骤操作：
(1)以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E(如图②)；
(2)以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F(如图③)；
(3)将纸片收展平，那么∠AFE的度数为 ( )
A．60° B．67.5° C．72° D．75°
参考答案
1．C 2．C 3．B 4．C 5．D 6．经过圆心的直线无数 7．WWW、BBC
8．一、二、田 9． 10． 20：0l或10：02
11 12
13．B1.4 线段、角的轴对称性
[趣题导学]
如图1.4-1，初二（1）班与初二（2）班这两个班的学生分别在M、N两处参加劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM=PN，你能找出符合条件的点P，并简要说明理由吗？
图1.4-1 图1.4-2
解答：P点如图1.4-2所示，作∠BAC的角平分线AD，作线段MN的垂直平分线EF，AD与EF交于点P，因为AD平分∠BAC，所以点P到两条道路AB、AC的距离相等，又因为点P在线段MN的中垂线上，所以PM=PN。
[双基锤炼]
一、选择题
1、下列图形中，不是轴对称图形的是 （ ）
A. 两条相交直线 B. 线段
C.有公共端点的两条相等线段 D.有公共端点的两条不相等线段
2、到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）
A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点
C.三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点
3、有下列图形：（1）两个点；（2）一条线段；（3）一个角；（4）一个长方形；（5）两条相交直线；（6）两条平行线。其中轴对称图形共有（ ）
A、3个 B、4个 C、5个 D、6个
4、已知：在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线上，DE⊥AB，F为AC上一点，且∠DFA=1000，则 （ ）
A.DE>DF B.DE二、填空题
5、如图1.4-3，是线段AB的垂直平分线，则PA=_________，理由是___________.
图1.4-3 图1.4-4 图1.4-5
6、如图1.4-4，点Q在∠AOB的平分线上，QA⊥OA，QB⊥OB，A、B分别为垂足，则AQ=_________，理由是___________.
7、如图1.4-5，∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则D到AB的距离为_____________.
8、如图1.4-6，四边形ABCD是轴对称图形，直线是对称轴，则图中相等的线段有_________________，∠ADC=________，AC⊥_____.
9、如图1.4-7,△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于E，与BC交于D，∠C=150, ∠BAD=600，则△ABC是__________三角形.
10、如图1.4-8，△ABC中，∠C=900，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD：∠CAD=4：1，则∠B＝_______.
图1.4-7 图1.4-8 图1.4-9
11、如图1.4-9，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连结P1P2, 分别交OA、OB于点M、N，若P1P2=5cm，则△PMN的周长为__________________.
三、解答题
12、如图1.4-10，己知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点，若AB=12cm，BC=10cm,∠A=40 ，求△BCE的周长和∠EBC的度数.
13、在Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分线段AB，
(1)试找出图中相等的线段，并说明理由。
(2)若DE=1cm，BD=2cm，求AC的长。
图1.4-11
[能力提升]
一、综合渗透
1、如图1.4-12，P是∠AOB的平分线上的一个点，PC⊥AO于C，PD⊥OB于D，写出图中一组相等的线段________（只需写出一组即可）.
2、如图1.4-13，在ΔABC中，BC=5 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则ΔPDE的周长是___________ cm.
3、已知: ∠AOB,点M、N.
求作：点P,使点P在∠AOB的平分线上,且PM=PN.
（要求：用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法）
图1.4-14
二、应用创新
1、如图1.4-15，直线MN表示一条小河的河边，一牧民在点A处放马，现在要到河边去饮水，然后回到帐篷点B处（A、B在小河同旁）。问饮水地在何处时，才能使他们所走的路最短？在图中作出表示饮水处的点。
2、（1）如图1.4-16（1），作△ABC的两内角∠A、∠B的角平分线，设交点为O，点O在∠C的角平分线上吗？试说明你的猜想。你又有什么新的发现？
（2）如图1.4-16（2）作△ABC的两内角∠A、∠B的外角平分线，设交点为O，点O在∠C的角平分线上吗？试说明你的猜想。你又有什么新的发现？
（3）你能用你的发现解决下面的实际问题：如图1.4-16（3）直线L1、L2、L3表示三条互相交叉的公路，现要建一个加油站，要使它到三条公路的距离相等，画出符合要求的点的位置，共有几个？
3、（1）作△ABC的两边AB、BC的垂直平分线，设交点为O，点O在线段AC的垂直平分线上吗？试说明你的猜想。你有什么新的发现？你能用你的发现解决下面的实际问题吗？
（2）现有三个村庄甲、乙、丙，现要新建一个水泵站P，使它到三个村庄的距离相等，应建在何处？（画出点P的位置）
图1.4-16
三、探究发散
1、已知:如图1.4-17,CDEF是一个矩形的台球面，有黑白两球分别位于点A、B两点，试问怎样撞击黑球A，使A先碰到台边EF反弹后再击中白球B？
2、有一个触壁游戏。规则如下：球从P点出发，先触OA壁，反弹后再触壁，再次反弹，┅┅.若（至少经过两次）反弹，球能返回P点，则胜利。若你来玩这个游戏，假设速度不受其它限制，也不受其他因素干扰，你如何选择第一次的触壁点呢？
图1.4-18
3、如图1.4-19，已知P为∠AOB内任意一点，分别在OA、OB上，求作点P1、P2,使△PP1P2的周长最小。
4、如图1.4-20，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，且E是的DC的中点，问AD，BC与AB之间有何关系？
图1.4-2
[链接中考]
1、如图1.4-21，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( ).
A．在AC、BC两边高线的交点处
B．在AC、BC两边中线的交点处
C．在AC、BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A、∠B两内角平分线的交点处
2、如图1.4-22，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系（ ）
A．PC＞PD B．PC＝PD C．PC＜PD D．不能确定
图1.4-22
参考答案
[双基锤炼]
一、选择题
1、D 2、D 3、D 4、B
二、填空题
5、PB，线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等
6、BQ，角平分线上的点到角的两边的距离相等
7、4 8、AD=AB,DC=BC ,DO=OB，∠ABC，BD
9、直角 10、40°11、5cm
三、解答题
12、△BCE的周长为22cm，∠EBC=30°.
13、（1）AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）.
DC=DE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
（2）AC=3cm.
[能力提升]
一、综合渗透
1、PD=PC 或OD=OC 2、5
3、画出∠AOB的平分线,画出线段MN的垂直平分线,两直线的交点就是所求作的点P。
SHAPE \* MERGEFORMAT
二、应用创新
1、如图，点F为饮水点，此时BF+AF最短。
2、（1）点O在∠C的角平分线上。由此可以得到三角形的三条内角平分线相交于一点，这点到三条边的距离相等；
（2）点O在∠C的角平分线上。由此可以得到点O到三条边的距离相等；
（3）符合条件的点有4个：点G、H、I、J。
第2题图
3、（1）点O在线段AC的垂直平分线上。三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，该点到三角形的三个顶点的距离相等。
（2）点P的位置如图所示。
第3题图
三、探究发散
1、如图，作出点A关于EF的对称点M，连结BM交EF于点N，则沿AN的方向撞击黑球A，可使A先碰到台边EF反弹后再击中白球B。
2、如图所示，分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P′′，连结P′P′′，交OA于点E，则点E为第一次的触壁点。
3、如图所示，分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P′′，连结P′P′′，交OA于点P1，交OB于点P2，则点P1、P2为所要求作的点。
第2题图 第3题图
4、AD+BC=AB
[链接中考]
1、D 2、B
图1.4-6
图1.4-12
图4
图1.4-13
B．
A．
M
N
图1.4-15
（1） （2） （3）
图1.4-16
. P
O
A
B
图1.4-19
A
B
C
图4
图1.4-21
第4题图
第3题图
第1题图八年级数学(上)第一章 轴对称图形
第7课时 等腰三角形的轴对称性(一)
1．等腰三角形是_________对称图形，它的对称轴是___________________．
2．等腰三角形的两条边长分别是3和7，则其周长是__________．
3．在△ABC中，AB=AC．
(1)若∠B=40°，则∠A=_____，∠C=_____； (2)若∠A=40°，则∠B=_____，∠C=_____；
(3)若其中有一个角的度数为50°，则另两个角的度数分别为___________．
4．如图，在△ABC中，AB=AC．
(1)若∠1=∠2，BD=3 cm，则BC=__________cm；
(2)若AD⊥BC，CD=5 cm，则BD=_________cm；
(3)若BD=CD，∠1=20°，则∠BAC=___________．
5．已知一个等腰三角形的两内角度数之比为l：4，则这个等腰三角形的顶角度数为______．
6．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠FEG=__________．
7．下列说法错误的是 ( )
A．等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴
B．等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴
C．等腰三角形顶角的平分线所在直线是它的对称轴
D．等腰三角形一个角的平分线所在直线是它的对称轴
8．如图，点C在AD上，AC=BC，∠A=25°，则∠BCD的度数为 ( )
A．25° B．40° C．50° D．80°
9．等腰三角形的三边长均为整数，且周长为11，则底边长为 ( )
A．1或3 B．3或5 C．1或5 D．1或3或5
10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，CE平分∠ACB，交AB于点E，CE、BD相交于点O，那么图中除△ABC外的等腰三角形共有
A．4个 B．6个 C．7个 D．8个 ( )
11．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD．找出图中相等的角，并说明理由．
12．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°．求∠B和∠C的度数．
13．如图，AB=AC，AE平分∠DAC．你能得出AE∥BC吗 请简要说明理由．
14．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AC于点E，△ABC的周长为21 cm，AB=9 cm．求△BCE的周长．
15．探索等腰三角形中，一条腰上的高与底边所成的夹角和顶角的数量关系．
(1)为了解决这个问题，我们可从特殊情况入手：如图①，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD是AC边上的高，则∠DBC=________；如图②，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BD是AC边上的高，则∠DBC=________；如图③，在△ABC中，AB=AC，
∠BAC=120°，BD是AC边上的高，则∠DBC=_________．
(2)猜想∠BAC与∠DBC的关系是_________________________．
(3)对上述猜想，你能作出解释吗
参考答案
1．轴 底边上的中线(或高线或顶角的平分线)所在的直线
2．17
3．(1)100° 40°(2)70° 70° (3)50°，80°或65°，65°
4．(1)i6 (2)5 (3)40°
5．20°或120°
6．75°
7．D 8．C 9．D 10．C
11．∠ABC=∠ACB=∠BDC，∠A=∠ABD =∠DBC 理由略
12．∠B=77°，∠C=38．5°
13．能 ∵∠DAE=∠CAE=∠DAC，∠B=∠C，又∵∠DAC=∠B+∠C，∴∠CAE=∠C则AE∥BC
14．12 cm
15．(1)25° 45° 60°(2) ∠BAC=2∠DBC (3)略第一章 轴对称图形 单元测试（1）
一、填空题（每题3分，共30分）
1．轴对称图形的对称轴是一条_____________。
2．等腰三角形的一个内角为，则其它两个内角为_____________度。
3．写出6个是轴对称图形的英文字母：_________________________ 。
4．写出五个具有轴对称性质的汉字：______ 。
5．等腰三角形有_____________条对称轴；五角星有_____________条对称轴；角的对称轴是这个角的_________________；。
6．平面上不重合的两点的对称轴是____ _________，线段是轴对称图形，它有_____________条对称轴。
7．一个等腰三角形有两边分别为4和8厘米，则周长是______ _______厘米。
8．举出生活中具有轴对称性质的事物（至少三个）：____________________________________________________________。
9．若AC是等腰ABC的高，则AC也是____ _________，还是___ __________。
10．等边三角形的周长是30厘米，一边上的高是8厘米，则三角形的面积为______ ___。
二、选择题（每题3 分，共24分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．不等边三角形 D．线段
2．如图，轴对称图形有（ ）
A．3 个 B．4个 C．5个 D．6个
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．关于某直线对称的两个三角形是全等三角形
B．全等三角形是关于某直线对称的
C．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
D．有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称
4．在线段、两条相交直线、等腰三角形和圆四个图形中，是轴对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．4个 D．3个
5．如图，DE是ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，
AB=10厘米，则ABC的周长为（ ）厘米
A．16 B．28 C．26 D．18
6．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．有两条边相等的三角形
B．有一个角为的Rt
C．有一个角为的等腰三角形
D．一个内角为，一个内角为的三角形
7．当你看到镜子中的你在用右手往左梳理你的头发时，实际上你是（ ）
A．右手往左梳 B．右手往右梳 C．左手往左梳 D．左手往右梳
8．下列说法正确的是( )
A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B．顶角相等的两个等腰三角形全等
C．等腰三角形一边不可以是另一边的二倍
D．等腰三角形的两个底角相等
三、作图题（26分）
1．找出下列图形的所有的对称轴，并一一画出来。（10分）
2．以直线为对称轴，画出下列图形的另一部分使它们成为轴对称图形：
（6分）
3．如图，已知牧马营地在M处，每天牧马人要赶着
马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回到营地，
试设计出最短的放牧路线。（6分）
4．如图，一个算式在镜中所成的像构成的算式是正确的，但是在实际中是正确的吗？实际中这个算式是什么？（写出即可）（4分）
四、解答题（20分）
1．一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少，求这个三角形的三个内角的度数。（考虑两种情况）（8分）
2．某居民小区搞绿化，要在一块长方形空地上建花坛，要求设计的图案由圆和正方形组成（圆与正方形的个数不限），并且使整个长方形场地成轴对称图形，你有好的设计方案吗？请在如图的长方形中画出你的设计方案。（7分）
3．如图，有三条交叉的公路，现要在三条公路交叉所形成的
区域内建一货运站，使得货运站到三条公路的路程一样长，
请问如何确定货运站的位置？
简单叙述你的方法。（5分）1.6 等腰梯形的轴对称性
[趣题导学]
给你一张长方形的纸片，你能通过折叠的方法得到一个等腰梯形吗？
解答：如图（1），先把长方形纸片左右对折，如图（2）沿图中虚线剪成两部分，如图（3）那样展开后摊平后得到的图形就是等腰梯形ABCD，折痕为EF。
通过上面的操作我们容易发现：等腰梯形是一个轴对称图形，折痕EF所在的直线就是它的对称轴，并且∠A=∠D，∠B=∠C.
[双基锤炼]
一、选择题
1、下列说法：（1）等腰梯形是轴对称图形（2）梯形的对角线相等（3）等腰梯形的底角相等（4）等腰梯形的两组对角互补．其中正确的个数为（ ）
Ａ．4个 Ｂ．3个 Ｃ．2个 Ｄ．1个
2、若等腰梯形的两底之差等于一腰长，则腰与下底的夹角等于（ ）
Ａ．150 Ｂ．300 Ｃ．450 Ｄ．600
3、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，BC＝CD，E为两腰延长线的交点，∠E＝400，则∠ACD的度数为（ ）
Ａ．100 Ｂ．150 Ｃ．250 Ｄ．300
4、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC和BD相交于点O，DP∥AC交BC的延长线于点P，则图中面积相等的三角形有 （ ）
A．3个 B．4对 C．5对 D．6对
二、填空题
5、如图1.6-3，梯形ABCD中，若DC∥AB，AD＝BC，∠A＝600 ，BD⊥AD，那么∠DBC＝___，∠C＝ ．
( http: / / )
图1.6-3 图1.6-5
6、如果一个等腰梯形的二个内角的和为 1000 ，那么此梯形的四个内角的度数分别为 ．
7、如图1.6-4，等腰梯形ABCD中，AD∥CB，AE∥CD，AB＝AD＝CD＝8cm，∠C＝600；则梯形ABCD的周长为 ．
8、一个四边形的四个内角的度数之比是2：2：1：1，则此四边形形状为 ．
9、等腰梯形的腰为12cm，上底长为15cm，上底与腰的夹角为1200 ，那么这个梯形的下底为 ．
10、如图1.6-5，梯形ABCD中，AB∥DC，∠A与∠B互余，DC＝2，AB＝6，E、F分别为AB、DC中点，则EF＝ ．
三、解答题
11、如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，对角线AC、BD相交于点O，你能说明∠1=∠2的道理吗？
12、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD，BD⊥CD，求∠C的度数。
13、如图，在△ABC中，∠C=40°，∠A=70°，EF∥AB，四边形ABEF是等腰梯形吗？为什么？
[能力提升]
一、综合渗透
1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠A＝120°，对角线BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是 ；又若AD＝5，则BC＝ ．
2、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E、F分别在AB、DC上，且BE＝2EA，CF＝2FD。
求证：∠BEC＝∠CFB。
3、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC.
（1）求证：AB=AD；
（2）若AD=2，∠C=60°，求梯形ABCD的周长。
4、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，CE∥DA。
已知：AB＝8，DC＝5，DA＝6，求△CEB的周长。
二、应用创新
1、如图，在梯形ABCD中，∠B＝900，AB＝14cm ，AD＝18cm ，BC＝21cm，点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CB向点B以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从两点同时出发，多少秒后，梯形PBQD是等腰梯形？
2、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD，BD⊥CD，设∠DBC＝x0．
（1）请你用x表示图中一个你比较喜欢的钝角；
（2）列一个关于x的方程，并求其解．
3、当我们遇到梯形问题时，我们常用分割的方法，将其转化成我们熟悉的图形来解决：
（1）按要求对下列梯形分割（分割线用虚线）
①分割成一个平行四边形和一个三角形； ②分割成一个长方形和两个直角三角形；
（2）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝900，AB＝4cm，BC＝7cm，∠C＝450，请你用适当的方法对梯形分割，利用分割后的图形求AD的长．
三、探究发散
1、一个等腰梯形的上底和腰的长都是1，下底的长为2，将这个梯形按下图的方式拼接在一起：…共有八个这样的梯形，则由它们拼接成的图形周长为( )．
A．14 B．26 C．32 D．36
2、如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AB＝CD，E是AD的中点，则BE与CE的大小关系是( )．
A、BE＞CE B．BE＜CE C．BE＝CE D．无法判
3、如图，有九个点在平面上形成3×3的方阵，以这些点为顶点的等腰梯形有( )
A．0个 B．2个 C．4个 D．8个
[链接中考]
1、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，有如下5个结论：①△AOD∽△BOC，②∠DAC=∠DCA，③梯形ABCD是轴对称图形；④△AOB≌△AOD，⑤AC=BD.
请把其中正确的结论的序号填写在横线上____________.
( http: / / )
2、如图，已知四边形ABCD中，AB=DC，AC=DB，AD≠BC.
求证：四边形ABCD是等腰梯形。
参考答案
[双基锤炼]
一、选择题
1、Ｃ 2、Ｄ 3、Ｄ 4、C
二、填空题
5、30°,120° 6、50°,50°,130°,130° 7、40cm 8、等腰梯形 9、27cm 10、2
三、解答题
11、
12、
13、
[能力提升]
一、综合渗透
1、90°，10
2、证明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB＝DC
∴∠ABC＝∠DCB ∵BE＝2EA，CF＝2FD
∴BE＝CF 在△EBC和△FCB中，
∴△EBC≌△FCB ∴∠BEC＝∠CFB
3、（1）证∠ABD=∠ADB即可；（2）梯形的周长为10.
4、解：∵AB∥DC，CE∥DA，∴四边形AECD是平行四边形，
∴ CE＝DA＝CB＝6，AE＝DC＝5
∴EB＝AB－AE＝8-5＝3
于是△CEB的周长为CE＋E＋BC＝6＋3＋6＝15
二、应用创新
1、1秒后，梯形PBQD是等腰梯形.
2、（1）∠A=90－x；
（2）°.
3、（1）
（2）
AD=3.
三、探究发散
1、B 2、C 3、C
[链接中考]
1、①③⑤
2、在△ABC与△DCB中，AB=DC，AC=DB，BC=CB.
∴△ABC≌△DCB，∴∠ABC=∠DCB.
在△ABD与△DCA中，AB=DC，AC=DB，AD=DA.
∴△ABD≌△DCA，∴∠BAD=∠CDA.
又∵∠ABC+∠DCB+∠BAD+∠CDA=360°，
∴∠ABC+∠BAD=180°
∴AD∥BC.
又∵AD≠BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形.
图1.6-4
A
D
C
B
A
D
C
B
···
···
···
A
E
D
C
B1.3设计轴对称图案
[趣题导学]
你知道吗？北京紫禁城的古建筑群非常注重对称美。通过紫禁城的核心位置，贯穿着一条中轴线：从外城永定门开始，经过内城正阳门，然后进入宫廷广场的大明门（清朝改为大清门，辛亥革命后又改为中华门），穿过广场，便是皇城的承天门（即现在的天安门）。承天门内有端门，端门以内迎面而来的才是紫禁城正面的午门，又叫五凤楼。在这条中轴线的东西两侧，对陈排列着内外两城最重要的建筑群，东面是天坛，西面是山川坛（后改称“先农坛”），以及太庙和社稷坛（即如今的“劳动人民文化宫”和“中山公园”）。进入午门之后，所有建筑物都采用了更加严格的对称排列形式。其中，只有代表皇权统治中心的前朝三大殿-----太和殿、中和殿和保和殿，及内廷后三宫----乾清宫、交泰殿和坤宁宫，才端端正正地布置在正中内，且每座大殿上的蟠龙宝座，都坐落在中轴线上。
[双基锤炼]
一、选择题
1、下列设计的图案中，是轴对称图形的有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2、如图1.3-1，对称轴的条数是（ ）
A、1条 B、2条 C、3条 D、4条
3、如图1.3-2是轴对称图形，对称轴的条数是（ ）
A、5条 B、2条 C、3条 D、4条
4、将一张正方形的纸沿对角对折后，可以得到一个等腰直角三角形，在将等腰直角三角形对折，使它的两个锐角重合，又得到一个小等腰直角三角形，在这个小等腰直角三角形上任意剪一个图案，展开后图形的对称轴至少有（ ）
A、1条 B、2条 C、3条 D、4条
二、填空题
5、在剪纸中，如果用纸对折了的整数）次，则剪出来的图案至少有______条对称轴。
6、如图1.3-3是一个轴对称图形，AD所在的直线是对称轴，仔细观察图形，回答下列问题：
（1）线段BO、CF的对称线段是_____________；
（2）△ACE的对称三角形是______________；
（3）写出图中的全等三角形___________________________________（至少写5对）.
7、小明把一张长方形的纸对折2次，画上一个四边形，再剪去这个图形（镂空），展开长方形纸，得到如下图案，设折痕为，观察图形并填空：
图1.3-4
（1）图1.3-4中有_______条对称轴；
（2）四边形①与四边形②关于______成轴对称；折痕既是_____与______的对称轴；又是_____与______的对称轴；整体看也是_____与______的对称轴。
三、解答题
8、请你将一个等边三角形分割成三角形或四边形(至少4块),然后将它们重新组合,拼成轴对称图案。
9、如下图1.3-5，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：
[能力提升]
一、综合渗透
1、用折纸的方法，可以直接剪出一个正五边形（如图1.3-6）.方法是：拿一张长方形纸对折，折痕为AB，以AB的中点O为顶点将平角五等份，并沿五等份的线折叠，再沿CD剪开，使展开后的图形为正五边形，则∠OCD等于（ ）。
A．108° B．90° C．72° D．60°
2、下列图形中对称轴最多的图形是（ ）
3、如图1.3-7，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图（一）中四边形ABCD就是一个“格点四边形”．
（1）求图（一）中四边形ABCD的面积；
（2）在图（二）方格纸中画一个格点三角形EFG，使△EFG的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对称图形．
图（一） 图（二）
图1.3-7
二、应用创新
1、正方形经过适当的剪拼，可得到不同的轴对称图案。如图1.3-8，将标号为A、B、C、D的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为P、Q、M、N的四组图形，按照哪个正方形剪开后得到哪组图形的对应关系填空：
图1.3-8
A与______对应；B与______对应；C与______对应；D与______对应.
2、某居民小区搞绿化，要在一块长方形空地上建造花坛，现征集设计方案，要求设计的图形由圆与正方形组成（圆与正方形的个数不限），并且使整个长方形场地成轴对称图形，请在下面画出你设计的方案。（至少两种）
3、请你应用轴对称的知识画出图1.3-9中的三个图形，并涂上彩色，与同学比一比，看谁画得正确、漂亮。
图1.3-9
三、探究发散
1、请找出下列符号所蕴含的内在规律,然后在横线上设计一个恰当的图形.
2、用两个圆，两个正三角形，两条线段设计三个轴对称图案，并说明你所作图案表达的含意。
[链接中考]
1、将一张正方形纸片，沿图的虚线对折，得图，然后剪去一个角，展开铺平后的图形如图1.3-10所示，则图中沿虚线的剪法是（ ）
图1.3-10
2、由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中的两个小正方形涂黑（如图3.2-12）。请你用两种不同的方法分别在下图中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形。
图3.2-12
参考答案
[双基锤炼]
一、选择题
1、C 2、C 3、C 4、B
二、填空题
5、 6、（1）CO、BE （2）△ABF （3）△AEO≌△AFO，△BEO≌△CFO，△BOD≌△COD，△ABO≌△ACO，△BEC≌△CFB 7、（1）1；（2）；②,③；①,④；①②,③④.
三、解答题
8、
9、
[能力提升]
一、综合渗透
1、B 2、C
3、（1）方法一：S＝×6×4＝12
方法二：S＝4×6－×2×1－×4×1－×3×4－×2×3＝12
（2）（只要画出一种即可）
二、应用创新
1、A与M对应；B与P对应；C与Q对应；D与N对应.
2、两种设计草图如下：
3、略
三、探究发散
1、
2、
[链接中考]
1、C
2、可利用正方形的四条对称轴构建图形。
图1.3-2
图1.3-1
图1.3-3
方法1 方法2 方法3
图1.3-5
D
O
图1.3-6
A． B． C． D．
A B C D1.2 轴对称的性质
[趣题导学]
在一次数学竞赛中，王老师设计了一道抢答题：“怎样根据轴对称的知识把2+3=8变成一个真正的等式？”，话音刚落，聪明的小虎马上举手回答，在场的同学都连连称赞他的说法，你知道他是怎么回答的吗？
解答：如果把镜子放在这个等式的上下左右方向，那么镜子中的等式的虚像与纸上等式的实像关于镜子与纸的交线成轴对称。你会发现，等式的上方和下方为：5+3=8，可见，小虎是把镜子垂直放在等式的上方或下方。
[双基锤炼]
一、选择题
1、下列图形中，不是轴对称图形的有（ ）
Ａ.0个 Ｂ.1个 Ｃ.2个 Ｄ.3个
2、如图所示的两位数中，是轴对称图形的有（ ）
Ａ.1个 Ｂ.2个 Ｃ.3个 Ｄ.4个
3、下列图形中，有无数条对称轴的是（ ）
Ａ.长方形 Ｂ.正方形 Ｃ.圆 Ｄ.等腰三角形
4、下列图形中，点P与点G关于直线对称的是（ ）
A B C D
5、轴对称图形的对称轴的条数（ ）
Ａ.1条 Ｂ.2条
Ｃ.3条 Ｄ.至少有1条
6、如图1.2-1，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若GH的长为10cm，求△PAB的周长为（ ）
A、5 cm B、10 cm C、20 cm D、15 cm
二、填空题
7、成轴对称的两个图形的对应线段___ ___、对应角___ __.如果两个图形关于某直线对称，那么连结 的线段被 垂直平分.
8、如图1.2-2所示的两个三角形关于某条直线对称，∠1＝110°,∠2＝46°,则x＝ .
9、如图1.2-3，AB=AC=4cm，∠A=40°，点A和点B关于直线l对称，AC与l相交于点D，则∠C=_________，△BDC的周长是________.
三、解答题
10、下面方格中只画出了以虚线l为对称轴的轴对称图形的一半，请把另一半补出来。
l
图1.2-4
11、如图1.2-5所示，两图形关于直线AB对称，则M、N、S三点关于直线AB的对称点是什么？直线AB是哪些线段的垂直平分线？（不再添加其他字母）
图1.2-5
12、如图1.2-6所示，画出△ABC关于直线MN的轴对称图形.
13、如图1.2-7，下列图形中，虚线是对称轴吗？你是怎样验证的？
图1.2-7
[能力提升]
一、综合渗透
1、如图1.2-8，等腰△ACB中，直线AD是它的对称轴；DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，则图中直角三角形有______个，全等三角形有________对，F点关于AD成轴对称的对应点是_____点。
2、如图1.2-9，直线是四边形ABCD的对称轴，若AB=CD，有下面的结论：①AB∥CD；②AC⊥BD；AO=OC；AB⊥BC。其中正确的结论有__________。
3、如图1.2-10所示，△ABC中，AB=AC，DE是AB的中垂线，△BCE的周长为14，BC=6，则AB的长是_______.
图1.2-10
4、如图1.2-11，Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，现给出下列结论：①∠1＝∠2；②△ANC≌△AMB；③CD＝DN，其中正确的结论是 （填序号）；选个你比较喜欢的结论加以说明．
二、应用创新
1、周子琳同学为班级的黑板报设计了许多报头图案，请你从下列报头图案中指出哪些是轴对称图形。
图1.2-12
2、如图1.2-13所示，在图形中标出点A、B、C关于直线l的对称点D、E、F。若M为AB的中点，在图中标出它的对称点N。若AB=5，AB边上的高为4，则△DEF的面积为多少？
3、如图1.2-14，在两面成“八”字形放置的镜子中间放着塑料做的数字9，你在左右两面镜子中看到的像是怎么样的？请你把它们写出来。
图1.2-14
三、探究发散
1、如图1.2-15，DA、CB是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整.
2、如图1.2-16表示长方形纸片ABCD沿对角线BD进行折叠后的情况，图中有没有关于某条直线对称的图形？如有，请作出对称轴，图中是否有相等的线段、相等的角（不含直角）？如有，请写出相等的线段、相等的角．
3、已知：如图1.2-17，在∠AOB外有一点P，试作点P关于直线OA的对称点P1，再作点P1关于直线OB的对称点P2.
⑴试探索∠POP2与∠AOB的大小关系；
⑵若点P在∠AOB的内部，或在∠AOB的一边上，上述结论还成立吗？
[链接中考]
1、一张正方形纸片经过两次对折，并在如图1位置上剪去一个小正方形，打开后 是( )
2、如图，一轴对称图形画出了它的一半，请你以点画线为对称轴画出它的另一半。
参考答案
[双基锤炼]
一、选择题
1、Ｂ 2、Ｂ 3、Ｃ 4、D 5、Ｄ 6、B
二、填空题
7、相等，相等，对应点，对称轴 8、24° 9、70°，7cm
三、解答题
10、
l
10题图
11、M、N、S三点关于直线AB的对称点分别为M′、N′、S′,直线AB是线段MM′、NN′、SS′的垂直平分线
12、
13、是，只要连结对应点，看所得到的线段是否被虚线垂直平分即可。
[能力提升]
一、综合渗透
1、6，3，E
2、①②③.提示：由于直线是四边形ABCD的对称轴，所以AC⊥BD，OD=OB，由已知条件AB=CD，所以△AOB≌△COD（HL）。所以AO=OC，∠OAB=∠OCD。由∠OAB=∠OCD可得AB∥CD。故正确结论有3个。
3、8
4、①②；
∠1＝∠2.
∵Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，
∴∠EAD=∠FAD，∠MAD=∠NAD.
∴∠EAD－∠MAD =∠FAD－∠NAD.
即：∠1＝∠2.
二、应用创新
1、轴对称图形有：（3）（6）（9）
2、
△DEF的面积为10.
3、
三、探究发散
1、如图所示：
2、如图所示：
相等的线段：AB=CD，AE=CE，BE=DE；
相等的角：∠ABD=∠CDB，∠AEB=∠CED，∠ABE=∠CDE，∠EBD=∠EDB.
3、（1）如图. ∠POP2=2∠AOB.
（2）成立.
[链接中考]
1、B
2、
图1.2-1
图1.2-2
图1.2-3
图1.2-6
图1.2-9
D
图1.2-11
图1.2-13
C
A
D
B
图1.2-15
图1.2-16
O
A
B
·P
2题图
O
A
B
·P
（第7题）第6节 等腰梯形的轴对称性(1)
一、选择题
1．下列说法中正确的个数是 ( )
①一组对边平行的四边形是梯形；②等腰梯形的对角线相等；③等腰梯形的两个底角相等；④等腰梯形有一条对称轴．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC，∠B＝60°，DE∥AB，梯形ABCD的周长等于20 cm，则DE等于 ( )
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．对角线AC、BD交于O，则图中全等三角形共有 ( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，BC＝CA，E为两腰延长线的交点，∠E＝40°，则∠ACD的度数为 ( )
A．10° B．15° C．25° D．30°
5．一个等腰梯形的上底和腰的长都是1，下底的长为2．将这个梯形按下图的方式拼接在一起： … 共有八个这样的梯形，则由它们拼接成的图形周长为 ( )
A．14 B．26 C．32 D．36
二、填空题
6．若等腰梯形两底之差等于一腰长，则此梯形中的一锐角的度数为_______．
7．如图，在等腰△ABC中，E、F分别是AB边上的点，过点E、F分别作BC的平行线DE、FG，则图中共确______个等腰梯形．
8．A 如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝CD＝8，BC＝15，∠B＝60°，则AD＝______．
9．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线AC平分∠BAD，梯形的周长为4.5 cm，下底AB＝1.5 cm则上底CD的长是______cm．
10．已知如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，E是AD的中点，则EB______EC（填>，<或＝）；若BE⊥EC，∠A＝120°，则∠1的度数是______．
三、解答题
11．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，E是DC延长线上的一点，BE＝BC，试说明∠A和∠E的关系．
12．如图，四边形ABCD是等腰梯形，BC∥AD，AB＝DC，BC＝2AD＝4cm，BD⊥CD，AC⊥AB，BC边的中点为E．
(1)判断△ADE的形状，并说明理由．
(2)求AB的长．
13．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，M为BC中点．
(1)点M到两腰AB、CD的距离相等吗？请说出你的理由°
(2)若连接AM、DM，那么△AMD是等腰三角形吗？为什么？
(3)若N是AD的中点，那么MN⊥AD一定成立，你能说明为什么吗？
14．如图，这是一张等腰梯形纸片，它的上底长为2，下底长为4，腰长为2，这样的纸片共有5张．打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形，那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形？分别画出它们的示意图，并写出它们的周长．
参考答案
1．C 2．B 3．C 4．D 5．B 6．60° 7．3 8．7 9．1 10．＝ 15°
11．∠A=∠E．
12．(1)等边三角形（利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
(2)2 cm
13．(1)由“角角边”得三角形全等得出距离相等
(2)△AMD是等腰三角形
(3)MN⊥AD 一定成立；由第(2)题可知△AMD是等腰三角形，又N为AD的中点，由“三线合一”得出MN⊥AD
14．(1)周长22 (2)周长34 (3)周长22
八年级数学(上)第一章 轴对称图形
第3课时 轴对称的性质(二)
1．已知：线段AB和直线．
求作：线段A′B′，使A′B′与AB关于直线对称．
2．作出△ABC关于直线MN对称的图形．
3．如图，请在某两个小方格上涂上阴影，使整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形．
4．如图，△ABC和△A1B1C1关于直线对称，将△A1B1C1向右平移到△A2B2C2处．下列判断：①AB∥A2B2；②∠A=∠A2；③AB=A2B2．其中正确的是 ( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
5．如图，△ABC与△A’B’C’关于直线对称，则∠B的度数为 ( )
A．30° B．50° C．90° D．100°
6．如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，
若∠AFC+∠BCF=150°，则∠AFE+∠BCD的大小是 ( )
7．请画出下列各图以直线为对称轴的对称图形．
8．如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为轴对称图形．
9．如图，梯形ABCD和梯形A′B′C′D′关于直线对称．
(1)写出其中相等的线段和角．
(2)若梯形ABCD的面积为5 cm2，A′D′=2 cm，B′C′=3 cm，求梯形ABCD的高．
10．在10×10的方格纸中，有一个格点四边形ABCD（即四边形的顶点都在格点上）
（1）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD向下平移5格后的四边形A1B1C1D1；
（2）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD关于直线对称的四边形A2B2C2D2.
参考答案
1．略 2．略 3．略 4．B 5．C 6．B
7．略
8．如图所示
9．(1)略 (2)2 cm
10．
A
B
C
D八上第一章 轴对称图形单元检测
（时间：90分 分值：100分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1、诗人但丁（A.Dente）曾赞美道：“圆是最美的图形.”圆的线条明快、简练、均匀、对称，无论是古人，还是今人，都对圆有着特殊的亲切情感.你知道圆有多少条对称轴吗？（ ）.
A.1条 B.2条 C.4条 D.无数条
2、观察下列中国传统工艺品的花纹，其中的轴对称图形是（ ）.
A B C D
3、下列说法正确的是（ ）
A.轴对称图形的对称轴只有一条 B.对称轴上的点没有对称点
C.角的对称轴是它的角平分线 D.线段的两个端点关于它的垂直平分线对称
4、已知等腰三角形的两边长分别为6 cm、3 cm，则该等腰三角形的周长是（ ）．
A、 9 cm B、12 cm C、12 cm或 15 cm D、15 cm
5、有一等腰直角三角形纸片,以它的对称轴为折痕,将 三角形对折,得到的三角形还是等腰直角三角形(如图1-1).依照上述方法将原等腰直角三角形折叠四次,所得小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形周长的（ ）
A. B. C. D.
6、如图1-2所示，已知∠AOB=40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于A，MB⊥OB于B，则∠MAB的度数为（ ）.
A. 50° B. 40° C. 30° D. 20°
7、下列右侧四幅图中，平行移动到位置M后能与N成轴对称的是（ ）.
8、下列说法正确的有（ ）.
（1）等腰梯形的对角线相等; （2）等腰梯形的对角线相等互相平分;
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形;（4）有两个角相等的梯形是等腰梯形;
（5）关于某条直线对称的梯形是等腰梯形
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9、在等腰三角形中一个角是700，则另两个角分别为（ ）
A、700，400 B、550，550
C、 700，400 或550，550 D、不同于以上答案
10、桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图1-4所示8个点中，可以瞄准的点有（ ）个.
A、1 B、2 C、4 D、6
二、填空题（每小题3分，共27分）
11、每个汉字都是一个优美的几何图形，请任意写出一个是轴对称图形的汉字 .
12、在英文大写字母A、E、M、S、U、P中是轴对称图形的是 。
13、如图1-5，小冬上衣上的号码是________，小亮上衣上的字母是_________.
14、等腰△ABC中，顶角∠A=40°，则一个底角∠B= 度．
15、等腰三角形的底角是顶角的4倍，则它的顶角为 。
16、已知等腰梯形的一个锐角为750，则其他三个内角是 。
17、角平分线上的任一点到这个角的两边的距离 。
18、如图1-6所示，在等腰△ABC中，∠A＝50 ，则∠ACD= 。
图1-5 图1-6
19、已知：如图1-7，△AMN的周长为18，∠B, ∠C的平分线相交于点O,过O点的直线MN∥BC交AB、AC于点M、N。则AB+AC= 。
三、解答题（20-24题每小题6分，25题7共43分）
20、如图1-8，在△ABC中，已知∠A=36°,AB=AC,人们常把这种等腰三角形叫做“黄金三角形”，它有许多优美的性质.若BD是△ABC的角平分线，请写出图中有所有的等腰三角形。并说明理由？
图1-8
21、等边三角形给人以“稳如泰山”的美感，它具有独特的对称性。请你用三种不同的分割方法，将以下三个等边三角形分别分割成四个等腰三角形。（在图1-9中画出分割线，并标出必要的角的度数）
22、已知右边方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图1-10所示．请在小方格的顶点上确定一点C，连结AB、AC、BC，使△ABC为等腰三角形且它的面积为4个平方单位．
23、在△ABC中， AB=AC，若∠B=2∠A，求∠C的度数.
24、如图1-11是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案的一部分，这个图案中的等腰梯形的内角度数分别是多少？
25、若等腰三角形的周长是20cm ,一边长是6cm, 求其他两边的长.
参考答案
一、选择题
1、D 2、A 3、D 4、D 5、B 6、D 7、C 8、C 9、C 10、B
二、填空题
11、工 12、A、M、U 13、25，P 14、70° 15、20° 16、75°、105°、105°
17、相等 18、115° 19、18
三、解答题
20、△ABC、△BCD、△ADB
21、
22、
23、∠C=72°
24、60°、60°、120°、120°
25、其他两边的长为7cm 、7cm或6cm 、8cm。
图1-1
图1-2
图1-3
图1-4
图1-5
图1-9
图1-10
图1-11