2021-2022学年黑龙江省大庆市肇源县九年级（上）期中数学试卷（五四学制）（Word版含解析）

2021-2022学年黑龙江省大庆市肇源县九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值（　　）
A．也扩大3倍 B．缩小为原来的
C．都不变 D．有的扩大，有的缩小
2．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，则tanA＝（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标是（　　）
A．（1，﹣4） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（0，3）
4．（3分）点（﹣sin60°，cos60°）关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A．（，） B．（﹣，） C．（﹣，﹣） D．（﹣，﹣）
5．（3分）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（　　）
A．75° B．90° C．105° D．120°
6．（3分）若函数y＝（m2+m）是二次函数，那么m的值是（　　）
A．2 B．﹣1或3 C．3 D．
7．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，要使y＞0，则x的取值范围是（　　）
A．﹣4＜x＜1 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣4或x＞1 D．x＜﹣3或x＞1
8．（3分）函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）已知y＝2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2（x﹣2）2+2 B．y＝2（x+2）2﹣2
C．y＝2（x﹣2）2﹣2 D．y＝2（x+2）2+2
10．（3分）已知二次函数y＝a（x+1）2+c（a＜0），当x＝x1时，函数值为y1；当x＝x2时，函数值为y2，若y1＞y2，则下列表达式正确的是（　　）
A．（x1﹣x2）（x1+x2+2）＞0 B．（x1﹣x2）（x1+x2+2）＜0
C．﹣a（x1﹣x2）（x1+x2+2）＞0 D．a（x1﹣x2）（x1+x2+2）＜0
二．填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x＝2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式为　 　．
12．（3分）若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为　 　．
13．（3分）若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为　 　．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则AB的长为　 　．
15．（3分）若将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝　 　．
16．（3分）已知点（2，5），（4，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，则这条抛物线的对称轴是　 　．
17．（3分）某人沿着坡度i＝1：的山坡起点向上走了50米，则他离地面 　 　米高．（坡度：坡面铅直高度与水平宽度的比）
18．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论是　 　．
三、解答题（66分）
19．（4分）计算：（）﹣1﹣tan60°+（﹣1）0+||；
20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，若sin∠CAD＝，BC＝25，求AC的长．
21．（6分）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝（x﹣6）2+4，求选取点B为坐标原点时的抛物线解析式．
22．（6分）如图所示，一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l的距离．（结果精确到0.1km）
23．（6分）已知k是常数，抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
（1）求k的值；
（2）若点P在抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标．
24．（6分）现有一块直角三角形的材料，AB＝80cm，BC＝60cm，用它截下一个矩形，如图是截法示意图，求这种截法下矩形的最大面积是多少？
25．（6分）根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M距羲皇大道l（直线）的距离MN为30米（如图所示）．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN＝60°，∠BMN＝45°．
（1）计算AB的长度．
（2）通过计算判断此车是否超速．
26．（8分）已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积S△MCB．
27．（9分）某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元/件）符合一次函数y＝kx+b，且x＝70时，y＝50；x＝80时，y＝40；
（1）求出一次函数y＝kx+b的解析式
（2）若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
28．（9分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y＝﹣1与y轴交于点H．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y＝﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；
（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．
2021-2022学年黑龙江省大庆市肇源县九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值（　　）
A．也扩大3倍 B．缩小为原来的
C．都不变 D．有的扩大，有的缩小
【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角三角函数值即为直角三角形中边的比值．
【解答】解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角A的三角函数值不变．
故选：C．
2．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，则tanA＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出图形，由三角函数的定义直接解答即可．
【解答】解：如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，
由锐角三角函数的定义可知：
tanA＝＝．
故选：A．
3．（3分）函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标是（　　）
A．（1，﹣4） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（0，3）
【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，
∴该函数图象的顶点坐标为（1，2），
故选：C．
4．（3分）点（﹣sin60°，cos60°）关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A．（，） B．（﹣，） C．（﹣，﹣） D．（﹣，﹣）
【分析】先利用特殊三角函数值，求出sin60°、cos60°的值，再利用坐标系中，任一点（x，y）关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y），即可求．
【解答】解：∵sin60°＝，cos60°＝，
∴（﹣sin60°，cos60°）＝（﹣，），
关于y轴对称点的坐标是（，）．
故选：A．
5．（3分）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（　　）
A．75° B．90° C．105° D．120°
【分析】本题可根据非负数的性质“两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0．”分别求出∠A、∠B的值．然后用三角形内角和定理即可求出∠C的值．
【解答】解：∵|sinA﹣|＝0，（﹣cosB）2＝0，
∴sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，
∴sinA＝，＝cosB，
∴∠A＝45°，∠B＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．
故选：C．
6．（3分）若函数y＝（m2+m）是二次函数，那么m的值是（　　）
A．2 B．﹣1或3 C．3 D．
【分析】让x的次数为2，系数不为0即可．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
∴m＝3，
故选：C．
7．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，要使y＞0，则x的取值范围是（　　）
A．﹣4＜x＜1 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣4或x＞1 D．x＜﹣3或x＞1
【分析】根据抛物线的对称性可知，图象与x轴的另一个交点是﹣3，y＞0反映到图象上是指x轴上方的部分，对应的x值即为x的取值范围．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，
根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点是（﹣3，0），
又图象开口向下，
∴当﹣3＜x＜1时，y＞0．
故选：B．
8．（3分）函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
【解答】解：解法一：由解析式y＝﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x＝0；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．
解法二：
①k＞0，双曲线在一、三象限，﹣k＜0，抛物线开口向下，顶点在y轴正半轴上，选项B符合题意；
②K＜0时，双曲线在二、四象限，﹣k＞0，抛物线开口向上，顶点在y轴负半轴上，选项B符合题意；
故选：B．
9．（3分）已知y＝2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2（x﹣2）2+2 B．y＝2（x+2）2﹣2
C．y＝2（x﹣2）2﹣2 D．y＝2（x+2）2+2
【分析】抛物线平移不改变a的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
【解答】解：先将x轴、y轴的平移转化为抛物线的平移，即可看做把抛物线沿x轴方向向左平移2个单位长度，沿y轴方向向下平移2个单位长度，原抛物线的顶点为（0，0），向左平移2个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣2，﹣2）．可设新抛物线的解析式为y＝2（x﹣h）2+k，代入得：y＝2（x+2）2﹣2．
故选：B．
10．（3分）已知二次函数y＝a（x+1）2+c（a＜0），当x＝x1时，函数值为y1；当x＝x2时，函数值为y2，若y1＞y2，则下列表达式正确的是（　　）
A．（x1﹣x2）（x1+x2+2）＞0 B．（x1﹣x2）（x1+x2+2）＜0
C．﹣a（x1﹣x2）（x1+x2+2）＞0 D．a（x1﹣x2）（x1+x2+2）＜0
【分析】根据题意可以得到a、x1和x2的关系，从而可以判断哪个选项是正确的．
【解答】解：∵y＝a（x+1）2+c（a＜0），
∴该二次函数的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，
又∵当x＝x1时，函数值为y1；当x＝x2时，函数值为y2，y1＞y2，
∴假设a＝﹣1，x1＝0，x2＝1或a＝﹣1，x1＝0，x2＝﹣3或a＝﹣1，x1＝﹣2，x2＝﹣3，
当a＝﹣1，x1＝0，x2＝1时，则A选项错、B选项正确，C选项错，D选项错误；
当a＝﹣1，x1＝0，x2＝﹣3时，则A选项错、B选项B正确，C选项错，D选项错误；
当a＝﹣1，x1＝﹣2，x2＝﹣3时，则A选项错、B选项B正确，C选项错，D选项错误；
故选：B．
二．填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x＝2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式为　y＝x2﹣4x+3（不唯一）　．
【分析】根据题意确定出满足题意抛物线解析式即可．
【解答】解：根据题意得：y＝（x﹣2）2﹣1，
整理得：y＝x2﹣4x+3（不唯一），
故答案为：y＝x2﹣4x+3（不唯一）
12．（3分）若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为　　．
【分析】设这三个内角分别为x，2x，3x，根据三角形的内角和为180°，列方程求出角的度数，然后根据特殊角的三角函数值求出最小角的正切值．
【解答】解：设这三个内角分别为x，2x，3x，
由题意得，x+2x+3x＝180°，
解得：x＝30°，
即最小角为30°，
则tan30°＝．
故答案为：．
13．（3分）若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为　4　．
【分析】先求出二次函数与x轴的2个交点坐标，然后再求出2点之间的距离．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，求得x1＝﹣1，x2＝3，
则AB＝|x2﹣x1|＝4．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则AB的长为　3+　．
【分析】过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD＝∠B，推出BD＝CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD，
∵∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝，
∴BD＝CD＝，
由勾股定理得：AD＝＝3，
∴AB＝AD+BD＝3+．
故答案为：3+．
15．（3分）若将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝　（x﹣1）2+2　．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2
故本题答案为：y＝（x﹣1）2+2．
16．（3分）已知点（2，5），（4，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，则这条抛物线的对称轴是　x＝3　．
【分析】抛物线具有对称性，当抛物线上两点纵坐标相同时，对称轴是两点横坐标的平均数．
【解答】解：因为已知两点的纵坐标相同，都是5，
所以对称轴方程是x＝（2+4）÷2＝3．
17．（3分）某人沿着坡度i＝1：的山坡起点向上走了50米，则他离地面 　25　米高．（坡度：坡面铅直高度与水平宽度的比）
【分析】由坡度的定义设坡面的竖直高度为x米，则水平距离为x米，再由勾股定理即可解答本题．
【解答】解：设坡面的竖直高度为x米，则水平距离为x米，
由勾股定理得：x2+（x）2＝502，
解得：x＝25或x＝﹣25（不合题意舍去），
即坡面的竖直高度为25米，
故答案为：25．
18．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论是　①③⑤　．
【分析】根据抛物线的对称轴为直线x＝2，则有4a+b＝0；观察函数图象得到当x＝﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x＝﹣1时，y＝0，则a﹣b+c＝0，易得c＝﹣5a，所以8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；利用抛物线的对称性得到（，y3），然后利用二次函数的增减性求解即可，作出直线y＝﹣3，然后依据函数图象进行判断即可．
【解答】解：∵x＝﹣＝2，
∴4a+b＝0，故①正确．
由函数图象可知：当x＝﹣3时，y＜0，即9a﹣3b+c＜0，
∴9a+c＜3b，故②错误．
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0
又∵b＝﹣4a，
∴a+4a+c＝0，即c＝﹣5a，
∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，故③正确；
∵抛物线的对称轴为x＝2，C（，y3），
∴（，y3）．
∵﹣3＜﹣＜，在对称轴的左侧，
∴y随x的增大而增大，
∴y1＜y2＜y3，故④错误．
方程a（x+1）（x﹣5）＝0的两根为x＝﹣1或x＝5，
过y＝﹣3作x轴的平行线，直线y＝﹣3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，
依据函数图象可知：x1＜﹣1＜5＜x2．
故答案为：①③⑤．
三、解答题（66分）
19．（4分）计算：（）﹣1﹣tan60°+（﹣1）0+||；
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质和零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣+1+
＝3．
20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，若sin∠CAD＝，BC＝25，求AC的长．
【分析】先根据同角的余角相等得出∠B＝∠CAD，那么sinB＝sin∠CAD＝，再解Rt△ABC，根据正弦函数的定义即可求出AC的长．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴∠CAD+∠BAD＝90°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝90°，
∴∠B＝∠CAD，
∴sinB＝sin∠CAD＝．
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，sinB＝，BC＝25，
∴AC＝BC sinB＝25×＝15．
21．（6分）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝（x﹣6）2+4，求选取点B为坐标原点时的抛物线解析式．
【分析】根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可．
【解答】解：由题意可得出：y＝a（x+6）2+4，
将（﹣12，0）代入得出，0＝a（﹣12+6）2+4，
解得：a＝﹣，
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y＝﹣（x+6）2+4．
22．（6分）如图所示，一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l的距离．（结果精确到0.1km）
【分析】过点C作CD⊥l于点D，设CD＝xkm．先解直角△ACD，得出AD＝CD＝xkm，再解直角△BCD，得出BD＝CD＝xkm，然后根据AD﹣BD＝AB，列出关于x的方程，解方程即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥l于点D，设CD＝xkm．
在△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，
∴AD＝CD＝xkm．
在△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝xkm．
∵AD﹣BD＝AB，
∴x﹣x＝2，
∴x＝+1≈2.7．
故景点C到观光大道l的距离约为2.7km．
23．（6分）已知k是常数，抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
（1）求k的值；
（2）若点P在抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为y轴，则b＝0，可求出k的值，再根据抛物线与x轴有两个交点，进而确定k的值和抛物线的关系式；
（2）由于对称轴为y轴，点P到y轴的距离为2，可以转化为点P的横坐标为2或﹣2，求相应的y的值，确定点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k的对称轴是y轴，
∴k2+k﹣6＝0，解得k1＝﹣3，k2＝2；
又∵抛物线y＝x2+（k2+k﹣6）x+3k与x轴有两个交点．
即抛物线y＝x2+3k与x轴有两个交点．
∴b2﹣4ac＞0，
即﹣12k＞0，
也就是k＜0，
又k1＝﹣3，k2＝2，
∴k＝﹣3．
此时抛物线的关系式为y＝x2﹣9，
因此k的值为﹣3．
（2）∵点P在抛物线y＝x2﹣9上，且P到y轴的距离是2，
∴点P的横坐标为2或﹣2，
当x＝2时，y＝﹣5
当x＝﹣2时，y＝﹣5．
∴P（2，﹣5）或P（﹣2，﹣5）
因此点P的坐标为：P（2，﹣5）或P（﹣2，﹣5）．
24．（6分）现有一块直角三角形的材料，AB＝80cm，BC＝60cm，用它截下一个矩形，如图是截法示意图，求这种截法下矩形的最大面积是多少？
【分析】设BF＝xcm，则AF＝（80﹣x）cm，利用相似三角形的性质推出EF＝60﹣x，利用矩形面积公式得到二次函数，再利用二次函数的最值求解即可．
【解答】解：设BF＝xcm，则AF＝（80﹣x）cm，
∵四边形EFBD是矩形，
∴EF∥BD，
∴△AEF∽△ACB，
∴＝，
即＝，
解得，EF＝60﹣x，
∴矩形EFBD的面积S＝x（60﹣x）
＝﹣x2+60x
＝﹣（x﹣40）2+1200（0＜x＜80），
当x＝40时，S有最大值＝1200cm2，
故这种截法下矩形的最大面积是1200cm2．
25．（6分）根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M距羲皇大道l（直线）的距离MN为30米（如图所示）．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN＝60°，∠BMN＝45°．
（1）计算AB的长度．
（2）通过计算判断此车是否超速．
【分析】（1）已知MN＝30m，∠AMN＝60°，∠BMN＝45°求AB的长度，可以转化为解直角三角形；
（2）求得从A到B的速度，然后与60千米/时≈16.66米/秒，比较即可确定答案．
【解答】解：（1）在Rt△AMN中，MN＝30，∠AMN＝60°，
∴AN＝MN tan∠AMN＝30（米）．
在Rt△BMN中，
∵∠BMN＝45°，
∴BN＝MN＝30（米）．
∴AB＝AN+BN＝（30+30）米；
（2）∵此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，
∴此车的速度为：（30+30）÷6＝5+5≈13.66（米/秒），
∵60千米/时≈16.66米/秒，
∴13.66＜16.66
∴不会超速．
26．（8分）已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积S△MCB．
【分析】（1）将已知的三点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式．
（2）可根据抛物线的解析式先求出M和B的坐标，由于三角形MCB的面积无法直接求出，可将其化为其他图形面积的和差来解．过M作ME⊥y轴，三角形MCB的面积可通过梯形MEOB的面积减去三角形MCE的面积减去三角形OBC的面积求得．
【解答】解：
（1）依题意：，
解得
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5
（2）令y＝0，得（x﹣5）（x+1）＝0，x1＝5，x2＝﹣1，
∴B（5，0）．
由y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，得M（2，9）
作ME⊥y轴于点E，
可得S△MCB＝S梯形MEOB﹣S△MCE﹣S△OBC＝（2+5）×9﹣×4×2﹣×5×5＝15．
27．（9分）某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元/件）符合一次函数y＝kx+b，且x＝70时，y＝50；x＝80时，y＝40；
（1）求出一次函数y＝kx+b的解析式
（2）若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）可用待定系数法来确定一次函数的解析式．
（2）根据利润＝销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润．
【解答】解：（1）由题意得：，
∴．
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+120；
（2）w＝（x﹣60）（﹣x+120）＝﹣x2+180x﹣7200＝﹣（x﹣90）2+900，
∵抛物线开口向下，
∴当x＜90时，w随x的增大而增大，
而60≤x≤84，
∴当x＝84时，w＝（84﹣60）×（120﹣84）＝864．
答：当销售价定为84元/件时，商场可以获得最大利润，最大利润是864元．
28．（9分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y＝﹣1与y轴交于点H．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y＝﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；
（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．
【分析】（1）根据题意可设函数的解析式为y＝ax2，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式；
（2）过点P作PB⊥y轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF＝PM，∠PFM＝∠PMF，结合平行线的性质，可得出结论；
（3）首先可得∠FMH＝30°，设点P的坐标为（x，x2），根据PF＝PM＝FM，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案．
【解答】（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O，
∴设二次函数的解析式为y＝ax2，
将点A（1，）代入y＝ax2得：a＝，
∴二次函数的解析式为y＝x2；
（2）证明：∵点P在抛物线y＝x2上，
∴可设点P的坐标为（x，x2），
过点P作PB⊥y轴于点B，则BF＝|x2﹣1|，PB＝|x|，
∴Rt△BPF中，
PF＝＝x2+1，
∵PM⊥直线y＝﹣1，
∴PM＝x2+1，
∴PF＝PM，
∴∠PFM＝∠PMF，
又∵PM∥y轴，
∴∠MFH＝∠PMF，
∴∠PFM＝∠MFH，
∴FM平分∠OFP；
（3）解：当△FPM是等边三角形时，∠PMF＝60°，
∴∠FMH＝30°，
在Rt△MFH中，MF＝2FH＝2×2＝4，
∵PF＝PM＝FM，
∴x2+1＝4，
解得：x＝±2，
∴x2＝×12＝3，
∴满足条件的点P的坐标为（2，3）或（﹣2，3）．