2021-2022学年湖南省邵阳市武冈县九年级（上）第一次月考数学试卷（Word版含解析）

2021-2022学年湖南省邵阳市武冈县九年级（上）第一次月考数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．（3分）下列函数中，是反比例函数的是（　　）
A．y＝ B．y＝x2 C．y＝2x+1 D．2y＝x
2．（3分）若方程+3x+5＝0是一元二次方程，则m的值等于（　　）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．0
3．（3分）反比例函数y＝的图象在二、四象限，则一次函数y＝ax+a的图象所在象限是（　　）
A．一、二、三 B．一、三、四 C．一、二、四 D．二、三、四
4．（3分）整式a2+b2﹣6a﹣2b+5的最小值为（　　）
A．5 B．0 C．﹣5 D．﹣10
5．（3分）若a，b为一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则2a2+3ab+8b﹣2a的值为（　　）
A．39 B．45 C．﹣35 D．﹣41
6．（3分）关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+m2＝0有实数根，则m的最小整数值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
7．（3分）已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（　　）
A．图象必经过点（﹣1，﹣2）
B．图象在第一、三象限
C．若x＜﹣1，则y＜﹣2
D．点A（x1，y1），B（x2，y2）图像上的两点，且x1＜0＜x2，则y1＜y2
8．（3分）如图，反比例函数的图象过矩形OABC的顶点B，OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，矩形OABC的对角线OB，AC交于点E（1，2），则k的值为（　　）
A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣8
9．（3分）如图，是一个闭合电路，其电源电压为定值，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数．当R＝4Ω时，I＝3A．若电阻R增大2Ω，则电流I为（　　）
A．1A B．2A C．3A D．5A
10．（3分）两年前生产1组疫苗的成本是5000元，随着生产技术的进步，若疫苗成本的年平均下降率为x，则现在生产1组疫苗的成本比去年生产1组疫苗的成本减少（　　）（单位：元）
A．5000x B．5000（1﹣x）
C．5000（1﹣x）2 D．5000x﹣5000x2
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）一元二次方程x2+bx+2021＝0的一个根为x＝﹣1，则b的值为 　 　．
12．（3分）把方程x2+2x﹣3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值是 　 　．
13．（3分）若函数y＝是关于x的反比例函数，则a满足的条件是 　 　．
14．（3分）已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0的两根，则+＝　 　．
15．（3分）如果关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 　 　．
16．（3分）如图，反比例函数y＝（x＞0）和一次函数y＝mx+n的图象在第一象限交于点A，若点A的纵坐标是2，则关于x的不等式mx+n＜的解集是 　 　．
17．（3分）在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点P（4，3）在图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是　 　m．
18．（3分）如图，已知双曲线与Rt△OAB的斜边OB相交于D，与直角边AB相交于C．
若BC：CA＝2：1，△OAB的面积为8，则△OED的面积为 　 　．
三．解答题（共66分，其中19题8分，21—24题每题12分）
19．（8分）按要求解下列方程：
（1）x2﹣4x+2＝0（用公式法）；
（2）x（x﹣1）＝2（1﹣x）（用因式分解法）．
20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22＝8﹣3x1x2，求m的值．
21．（12分）为做好开学前后新冠肺炎疫情防控工作，保障广大师生员工生命安全和身体健康，重庆某中学决定向某医药生产厂家购买防疫物资．学校原计划订购84消毒液和医用酒精共5000瓶，已知消毒液每瓶单价24元，酒精每瓶单价20元．
（1）据悉，学校计划购买防疫物资的总资金不超过112000元，那么原计划最多购买消毒液多少瓶？
（2）后来，学校决定就以112000元的总资金，按照（1）中消毒液的最大数量进行购买．但学校后勤处通过调查统计发现医用酒精的需求量更大，于是学校接受了后勤处的建议，在原计划的基础上消毒液少订购了10a瓶，医用酒精多订购了原计划的a%，医药生产厂家决定对医用酒精给予优惠，单价降低5a%元，消毒液单价不变，最终学校花费和原计划一样多就完成了订购，求a（a≠0）的值．
22．（12分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，若点C坐标是（3，6），且AB＝BC．
（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出当x取何值时，k1x+b＜．
23．（12分）如图，在矩形OABC中，AB＝4，BC＝8，点D是边AB的中点，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．
（1）求反比例函数y1＝（x＞0）的解析式和直线DE的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小时，求出此时P的坐标．
24．（12分）如图，一次函数y＝x+1与反比例函数y＝的图象相交于点A（2，3）和点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点B作BC⊥x轴于C，求S△ABC；
（3）是否在y轴上存在一点D，使得BD+CD的值最小，并求出D坐标．
2021-2022学年湖南省邵阳市武冈县九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（3分）下列函数中，是反比例函数的是（　　）
A．y＝ B．y＝x2 C．y＝2x+1 D．2y＝x
【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可．
【解答】解：A．y＝，y是x的反比例函数，因此选项A符合题意；
B．y＝x2，y是x的二次函数，因此选项B不符合题意；
C．y＝2x+1，y是x的一次函数，因此选项C不符合题意；
D．2y＝x，即y＝x，y是x的一次函数，因此选项D不符合题意；
故选：A．
2．（3分）若方程+3x+5＝0是一元二次方程，则m的值等于（　　）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．0
【分析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程．由这三个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：由题意得，，
解得m＝﹣1，
故选：C．
3．（3分）反比例函数y＝的图象在二、四象限，则一次函数y＝ax+a的图象所在象限是（　　）
A．一、二、三 B．一、三、四 C．一、二、四 D．二、三、四
【分析】先根据反比例函数的增减性判断出a的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系判断出次函数y＝ax+a的图象经过的象限即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在二、四象限，
∴1﹣a＜0，
∴a＞1，
∴一次函数y＝ax+a的图象经过一、二、三象限，
故选：A．
4．（3分）整式a2+b2﹣6a﹣2b+5的最小值为（　　）
A．5 B．0 C．﹣5 D．﹣10
【分析】根据完全平方公式对多项式进行变形，根据平方的非负性解答．
【解答】解：a2+b2﹣6a﹣2b+5
＝（a2﹣6a+9）+（b2﹣2b+1）﹣5
＝（a﹣3）2+（b﹣1）2﹣5，
∵（a﹣3）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴当a＝3，b＝1时，整式a2+b2﹣6a﹣2b+5有最小值，最小值为﹣5．
故选：C．
5．（3分）若a，b为一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则2a2+3ab+8b﹣2a的值为（　　）
A．39 B．45 C．﹣35 D．﹣41
【分析】根据一元二次方程的解和根与系数的关系得出a2﹣5a﹣1＝0，a+b＝5，ab＝﹣1，求出a2＝5a+1，再代入求出即可．
【解答】解：∵a，b为一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，
∴a2﹣5a﹣1＝0，a+b＝5，ab＝﹣1，
∴a2＝5a+1，
∴2a2+3ab+8b﹣2a
＝2（5a+1）+3ab+8b﹣2a
＝8（a+b）+3ab+2
＝40﹣3+2
＝39，
故选：A．
6．（3分）关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+m2＝0有实数根，则m的最小整数值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（m+4）2﹣4×m2≥0，解不等式得到m的范围，然后确定m的最小整数值．
【解答】解：根据题意得Δ＝（m+4）2﹣4×m2≥0，
解得m≥﹣2，
所以m的最小整数值为﹣2．
故选：C．
7．（3分）已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（　　）
A．图象必经过点（﹣1，﹣2）
B．图象在第一、三象限
C．若x＜﹣1，则y＜﹣2
D．点A（x1，y1），B（x2，y2）图像上的两点，且x1＜0＜x2，则y1＜y2
【分析】直接利用反比例函数的性质结合反比例函数的增减性分别分析得出答案．
【解答】解：A．反比例函数，图象必经过点（﹣1，﹣2），原说法正确，故此选项不合题意；
B．反比例函数，图象在第一、三象限，原说法正确，故此选项不合题意；
C．若x＜﹣1，则y＞﹣2，原说法错误，故此选项符合题意；
D．点A（x1，y1），B（x2，y2）图像上的两点，且x1＜0＜x2，则y1＜y2，原说法正确，故此选项不合题意；
故选：C．
8．（3分）如图，反比例函数的图象过矩形OABC的顶点B，OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，矩形OABC的对角线OB，AC交于点E（1，2），则k的值为（　　）
A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣8
【分析】根据矩形性质，可得出点B的坐标，代入即可．
【解答】解：由题意得：A的横坐标为1×2＝2，C的纵坐标为2×2＝4，
∴B的坐标为（2，4），
∵B在反比例函数图象上，
∴4＝，
∴k＝8，
故选：B．
9．（3分）如图，是一个闭合电路，其电源电压为定值，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数．当R＝4Ω时，I＝3A．若电阻R增大2Ω，则电流I为（　　）
A．1A B．2A C．3A D．5A
【分析】直接利用电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，进而得出函数关系式，求出答案．
【解答】解：设I＝，当R＝4Ω时，I＝3A时，
则3＝，
解得：U＝12，
故I＝，
若电阻R增大2Ω，则电流I为：I＝＝2（A）．
故选：B．
10．（3分）两年前生产1组疫苗的成本是5000元，随着生产技术的进步，若疫苗成本的年平均下降率为x，则现在生产1组疫苗的成本比去年生产1组疫苗的成本减少（　　）（单位：元）
A．5000x B．5000（1﹣x）
C．5000（1﹣x）2 D．5000x﹣5000x2
【分析】疫苗成本的年平均下降率为x，则去年生产1组疫苗的成本为5000（1﹣x）元，今年在5000（1﹣x）元的基础之上又下降x，变为5000（1﹣x）（1﹣x），即5000（1﹣x）2元，今年减去年即可求出成本减少多少．
【解答】解：根据题意得，
5000（1﹣x）﹣5000（1﹣x）2＝5000x﹣5000x2．
故选：D．
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）一元二次方程x2+bx+2021＝0的一个根为x＝﹣1，则b的值为 　2022　．
【分析】一元二次方程x2+bx+2021＝0的一个根为x＝﹣1，那么就可以把x＝﹣1代入方程，从而可直接求b的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入x2+bx+2021＝0中，得
1﹣b+2021＝0，
解得b＝2022，
故答案是：2022．
12．（3分）把方程x2+2x﹣3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值是 　5　．
【分析】方程配方得到结果，确定出m与n的值，即可求出m+n的值．
【解答】解：方程整理得：x2+2x＝3，
配方得：x2+2x+1＝4，即（x+1）2＝4，
∴m＝1，n＝4，
则m+n＝1+4＝5．
故答案为：5．
13．（3分）若函数y＝是关于x的反比例函数，则a满足的条件是 　a≠﹣3　．
【分析】形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，依据k≠0可得结论．
【解答】解：由题可得，a+3≠0，
解得a≠﹣3，
故答案为：a≠﹣3．
14．（3分）已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0的两根，则+＝　﹣　．
【分析】先利用根与系数的关系得到x1+x2＝，x1x2＝﹣2，再利用通分得到原式＝，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝，x1x2＝﹣2，
所以＝
＝
＝
＝﹣．
故答案为﹣．
15．（3分）如果关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 　k＞﹣3且k≠1　．
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ＝42﹣4（k﹣1）×（﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝42﹣4（k﹣1）×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣3且k≠1．
故答案为k＞﹣3且k≠1．
16．（3分）如图，反比例函数y＝（x＞0）和一次函数y＝mx+n的图象在第一象限交于点A，若点A的纵坐标是2，则关于x的不等式mx+n＜的解集是 　0＜x＜3　．
【分析】根据反比例函数的解析式求得A的坐标，然后根据图象即可求得不等式的解集．
【解答】解：反比例函数y＝（x＞0）经过点A，点A的纵坐标是2，
∴2＝，
∴x＝3，
∴A（3，2），
由图象可知，不等式mx+n＜的解集是0＜x＜3，
故答案为0＜x＜3．
17．（3分）在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点P（4，3）在图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是　1.2　m．
【分析】利用点P的坐标求出F＝，当F＝10时，即F＝＝10，求出s，即可求解．
【解答】解：设函数的表达式F＝，
将点P的坐标代入上式得：3＝，解得k＝12，
则反比例函数表达式为F＝，
当F＝10时，即F＝＝10，
解得s＝1.2（m），
故答案为：1.2．
18．（3分）如图，已知双曲线与Rt△OAB的斜边OB相交于D，与直角边AB相交于C．
若BC：CA＝2：1，△OAB的面积为8，则△OED的面积为 　　．
【分析】设点C的坐标为（a，b），则点B的坐标为（a，3b）根据△OAB的面积为8，求出ab的值即可．
【解答】解：设点C的坐标为（a，b），则点B的坐标为（a，3b），如图：
∵，△OAB的面积为8，
∴ AO AB＝a 3b＝8，
∴ab＝，即：S△OAC＝，
又∵点D与点C都在双曲线上，
∴S△OED＝S△OAC＝，
故答案为．
三．解答题（共66分，其中19题8分，21—24题每题12分）
19．（8分）按要求解下列方程：
（1）x2﹣4x+2＝0（用公式法）；
（2）x（x﹣1）＝2（1﹣x）（用因式分解法）．
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x+2＝0，
a＝1，b＝﹣4，c＝2，
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0，
∴x＝＝，
∴，；
（2）x（x﹣1）＝2（1﹣x），
x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或x+2＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣2．
20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22＝8﹣3x1x2，求m的值．
【分析】（1）根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝2m﹣2，x1 x2＝m2，结合x12+x22＝8﹣3x1x2即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．
∴Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4m2＝4﹣8m≥0，
解得：m≤．
（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0的两个根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝2m﹣2，x1 x2＝m2，
∵x12+x22＝8﹣3x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2＝8﹣3x1x2，即5m2﹣8m﹣4＝0，
解得：m1＝﹣，m2＝2（舍去），
∴实数m的值为﹣．
21．（12分）为做好开学前后新冠肺炎疫情防控工作，保障广大师生员工生命安全和身体健康，重庆某中学决定向某医药生产厂家购买防疫物资．学校原计划订购84消毒液和医用酒精共5000瓶，已知消毒液每瓶单价24元，酒精每瓶单价20元．
（1）据悉，学校计划购买防疫物资的总资金不超过112000元，那么原计划最多购买消毒液多少瓶？
（2）后来，学校决定就以112000元的总资金，按照（1）中消毒液的最大数量进行购买．但学校后勤处通过调查统计发现医用酒精的需求量更大，于是学校接受了后勤处的建议，在原计划的基础上消毒液少订购了10a瓶，医用酒精多订购了原计划的a%，医药生产厂家决定对医用酒精给予优惠，单价降低5a%元，消毒液单价不变，最终学校花费和原计划一样多就完成了订购，求a（a≠0）的值．
【分析】（1）设原计划购买消毒液x瓶，则原计划购买医用酒精（5000﹣x）瓶，根据学校计划购买防疫物资的总资金不超过112000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据最终学校花费和原计划一样多就完成了订购，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设原计划购买消毒液x瓶，则原计划购买医用酒精（5000﹣x）瓶，
依题意，得：24x+20（5000﹣x）≤112000，
解得：x≤3000．
答：原计划最多购买消毒液3000瓶．
（2）依题意，得：24×（3000﹣10a）+（20﹣5a%）×（5000﹣3000）（1+a%）＝112000，
解得：a1＝60，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为60．
22．（12分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，若点C坐标是（3，6），且AB＝BC．
（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出当x取何值时，k1x+b＜．
【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作CE⊥x轴于E，根据题意求得B的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）联立方程求得D的坐标，然后根据S△COD＝S△BOC+S△BOD即可求得△COD的面积；
（3）根据图象即可求得k1x+b＜时，自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵点C（3，6）在反比例函数y＝的图象上，
∴k2＝3×6＝18，
∴反比例函数的解析式为y＝；
如图，作CE⊥x轴于E，
∵C（3，6），AB＝BC，
∴B（0，3），
∵B、C在y＝k1x+b的图象上，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+3；
（2）由，
解得或，
∴D（﹣6，﹣3），
∴S△COD＝S△BOC+S△BOD＝×3×3+×3×6＝；
（3）由图象可得，当0＜x＜3或x＜﹣6时，k1x+b＜．
23．（12分）如图，在矩形OABC中，AB＝4，BC＝8，点D是边AB的中点，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．
（1）求反比例函数y1＝（x＞0）的解析式和直线DE的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小时，求出此时P的坐标．
【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到D（2，8），利用待定系数法求函数的解析式；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，求得直线D′E的解析式为y＝﹣x+，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵点D是边AB的中点，AB＝4，
∴AD＝2，
∵四边形OABC是矩形，BC＝8，
∴D（2，8），
∵反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，
∴k＝2×8＝16，
∴反比例函数的解析式为y1＝（x＞0），
当x＝4时，y＝4，
∴E（4，4），
把D（2，8）和E（4，4）代入y2＝mx+n（m≠0）得，，
∴，
∴直线DE的解析式为y2＝﹣2x+12；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，
此时，△PDE的周长最小，
∵点D的坐标为（2，8），
∴点D′的坐标为（﹣2，8），
设直线D′E的解析式为y＝ax+b，
∴，
解得：，
∴直线D′E的解析式为y＝﹣x+，
令x＝0，得y＝，
∴点P的坐标为（0，）．
24．（12分）如图，一次函数y＝x+1与反比例函数y＝的图象相交于点A（2，3）和点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点B作BC⊥x轴于C，求S△ABC；
（3）是否在y轴上存在一点D，使得BD+CD的值最小，并求出D坐标．
【分析】（1）根据反比例函数y＝的图象过点A（2，3），可求出k的值，进而确定反比例函数关系式；
（2）求出点B的坐标，得出点C的坐标，根据三角形面积计算公式进行计算即可；
（3）作C关于y轴的对称点C'，连接BC'交y轴于点D，连接CD，此时DB+CD最小，求出直线BC'的关系式进而得出与y轴的交点坐标即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数过点A（2，3），
∴k＝2×3＝6，
∴反比例函数的关系式为；
（2）方程组的解为，，
又∵A（2，3），
∴点B（﹣3，﹣2），
又∵BC⊥x轴，
∴点C（﹣3，0），BC＝2，
∴S△ABC＝×2×（2+3）＝5；
（3）存在，理由为：
作C关于y轴的对称点C'，连接BC'交y轴于点D，连接CD，此时DB+CD最小，
∵C（﹣3，0），
∴C'（3，0），
设直线BC'的关系式为y＝mx+n，
将B（﹣3，﹣2），C'（3，0）代入得，
，
解得m＝，n＝﹣1，
∴一次函数的关系式为y＝x﹣1，
当x＝0时，y＝﹣1，
∴点D（0，﹣1）．