2021-2022学年上海市浦东新区重点中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）（Word版含解析）

2021-2022学年上海市浦东新区重点中学八年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列方程一定是一元二次方程的是（　　）
A．xy+x＝y+1 B．x2＝﹣2
C．ax2+bx+c＝0 D．（x﹣3）x＝x2﹣2x﹣1
3．下列方程中，无实数解的是（　　）
A．x2﹣3x+9＝0 B．3x2﹣5x﹣3＝0
C．y2﹣2y+3＝0 D．（1﹣y2）＝y
4．若m是关于x的方程4x2+nx+2m＝0的根（m≠0），则4m+n的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
5．如果式子（1﹣a）根号外的因式移入根号内，化简的结果为（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
6．下列说法中，正确的是（　　）
A．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式
B．只有被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式
C．与是同类二次根式
D．与是同类二次根式
二、填空题（本大题共12小题，每题2分，共24分）
7．当x　 　时，有意义．
8．写出的一个有理化因式，可以是 　 　．
9．化简：＝　 　．
10．在实数范围内因式分解：2x2﹣2x﹣1＝　 　．
11．若方程（m﹣2）x2+ x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 　 　．
12．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a＝　 　．
13．若0＜x＜1，化简＝　 　．
14．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为 　 　．
15．某厂1月份印刷50万册书，3月份印刷60.5万册书，平均每月印刷量增长的百分率为x，则根据题意可列出方程 　 　．
16．已知关于x的方程ax2+bx+c＝0，其中4a+2b+c＝0，a﹣b+c＝0，则该一元二次方程的两个解是 　 　．
17．设＝a+b，其中a为正整数，0＜b＜1，则a﹣b＝　 　．
18．如图所示，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，设a＝2，则这个正方形的面积是 　 　．
三、简答题（本大题共8小题，每题4分，共32分）
19．计算：+9﹣+（）2．
20．计算：2÷ ．
21．计算：﹣．
22．计算：﹣．
23．解方程：2x2+4x﹣1＝0．
24．解方程：9（x﹣1）2＝16（x+2）2．
25．解方程：2（3x+2）2＝（2+3x）（x﹣1）．
26．解方程：x2﹣x+＝0．
四.解答题（本大题共4题，第27、28题每题6分，第29、30题每题7分，共26分）
27．已知x为奇数，且＝，求 的值．
28．关于x的一元二次方程（k﹣3）x2﹣3x+2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）求当k取何正整数时，方程的两根均为整数．
29．将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
（3）两个正方形的面积之和最小为 　 　cm2．
30．阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程5x2+3x﹣2＝0的两个根分别是x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1x2＝，以上定理称为韦达定理．
例如：已知方程5x2+3x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，
则：x1+x2＝﹣＝﹣，x1x2＝＝＝﹣
请阅读后，运用韦达定理完成以下问题：
（1）已知方程4x2﹣3x﹣6＝0的两根分别为x1，x2，求x1+x2和x1x2的值．
（2）已知方程x2+3x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，求的值．
（3）当k取何值时，关于x的一元二次方程3x2﹣2（3k+1）x+3k2﹣1＝0的两个实数根互为倒数？
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
解：A．是最简二次根式，故本选项符合题意；
B．的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．下列方程一定是一元二次方程的是（　　）
A．xy+x＝y+1 B．x2＝﹣2
C．ax2+bx+c＝0 D．（x﹣3）x＝x2﹣2x﹣1
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．（x﹣3）x＝x2﹣2x﹣1，
整理得：﹣x+1＝0，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．下列方程中，无实数解的是（　　）
A．x2﹣3x+9＝0 B．3x2﹣5x﹣3＝0
C．y2﹣2y+3＝0 D．（1﹣y2）＝y
【分析】根据根的判别式逐一分析四个选项中方程解的个数，由此即可得出结论．
解：A、∵Δ＝（﹣3）2﹣4××9＝0，
∴该方程有两个相等的实数根；
B、∵Δ＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣3）＝61＞0，
∴该方程有两个相等的实数根；
C、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，
∴该方程无实数根；
D、方程可变形为y2+y﹣＝0，
∵Δ＝12﹣4××（﹣）＝13＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
4．若m是关于x的方程4x2+nx+2m＝0的根（m≠0），则4m+n的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将m代入关于x的一元二次方程4x2+nx+m＝0，通过解该方程即可求得m+n的值．
解：∵m是关于x的一元二次方程4x2+nx+2m＝0的根，
∴4m2+mn+2m＝0，
∴m（4m+n+2）＝0；
又∵m≠0，
∴4m+n+2＝0，
解得，4m+n＝﹣2；
故选：C．
5．如果式子（1﹣a）根号外的因式移入根号内，化简的结果为（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
【分析】由负数没有平方根求出a的范围，判断出1﹣a为负数，变形即可得到结果．
解：∵﹣＞0，
∴1﹣a＜0，即a＞1，
∴（1﹣a）＝﹣．
故选：C．
6．下列说法中，正确的是（　　）
A．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式
B．只有被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式
C．与是同类二次根式
D．与是同类二次根式
【分析】根据同类二次根式的概念进行分析判断．
解：A、＝3与是同类二次根式，故此选项不符合题意；
B、二次根式化为最简二次根式后，被开方数完全相同才是同类二次根式，故此选项不符合题意；
C、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
D、与是同类二次根式，故此选项符合题意；
故选：D．
二、填空题（本大题共12小题，每题2分，共24分）
7．当x　＜2　时，有意义．
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数即可确定二次根式被开方数中字母x的取值范围．
解：∵2﹣x＞0，
∴x＜2．
∴当x＜2时，有意义．
故答案为：＜2．
8．写出的一个有理化因式，可以是 　+3　．
【分析】根据平方差公式和有理化因式的意义即可得出答案．
解：∵（﹣3）（+3）＝（）2﹣（3）2＝3﹣18＝﹣15，
∴﹣3的有理化因式为+3，
故答案为：+3．
9．化简：＝　﹣y　．
【分析】先化简二次根式，再根据负数的绝对值等于它的相反数即可求解．
解：因为y＜0，
所以|y|＝﹣y，
原式＝|y|＝﹣y．
故答案为：﹣y．
10．在实数范围内因式分解：2x2﹣2x﹣1＝　　．
【分析】解2x2﹣2x﹣1＝0可得，x＝，根据求根公式的分解方法和特点可知：2x2﹣2x﹣1＝．
解：∵2x2﹣2x﹣1＝0时，x＝，
∴2x2﹣2x﹣1＝；
故答案为．
11．若方程（m﹣2）x2+ x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 　m≥1且m≠2　．
【分析】根据一元二次方程的定义和算术平方根的非负性得出m﹣2≠0且m﹣1≥0，再求出m的范围即可．
解：∵方程（m﹣2）x2+ x＝1是关于x的一元二次方程，
∴m﹣2≠0且m﹣1≥0，
解得：m≥1且m≠2，
故答案为：m≥1且m≠2．
12．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a＝　5　．
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程求解．
解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴3a﹣8＝17﹣2a，解得：a＝5．
故答案为：5．
13．若0＜x＜1，化简＝　2x　．
【分析】由，，又0＜x＜1，则有﹣x＞0，通过变形化简原式即可得出最终结果．
解：原式＝﹣
＝x+﹣（﹣x）＝2x．
14．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为 　12　．
【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．
解：解方程x2﹣12x+35＝0，
得x1＝5，x2＝7，
∵1＜第三边＜7，
∴第三边长为5，
∴周长为3+4+5＝12．
15．某厂1月份印刷50万册书，3月份印刷60.5万册书，平均每月印刷量增长的百分率为x，则根据题意可列出方程 　50（1+x）2＝60.5　．
【分析】可先用x表示出2月份的印刷量，再根据2月份的印刷量表示出3月份印刷量的式子，然后令其等于60.5即可列出方程．
解：二月份印刷量为：为50（1+x），
三月份印刷量为：50（1+x）（1+x）＝5000（1+x）2＝60.5，
∴50（1+x）2＝60.5．
故答案为50（1+x）2＝60.5．
16．已知关于x的方程ax2+bx+c＝0，其中4a+2b+c＝0，a﹣b+c＝0，则该一元二次方程的两个解是 　x＝2或x＝﹣1　．
【分析】由4a+2b+c＝0，a﹣b+c＝0可知当x＝2时，代入方程ax2+bx+c＝0得，4a+2b+c＝0；当x＝﹣1时，代入方程ax2+bx+c＝0，即可求得方程的解．
解：∵当x＝2时，代入方程ax2+bx+c＝0得，4a+2b+c＝0；当x＝﹣1时，代入方程ax2+bx+c＝0得，a﹣b+c＝0，
∴该一元二次方程的两个解是x＝2或x＝﹣1，
故答案为x＝2或x＝﹣1．
17．设＝a+b，其中a为正整数，0＜b＜1，则a﹣b＝　7﹣　．
【分析】先把化简求出a+b的值，再根据a为正整数，b在0，1之间求出符合条件的a的值，求出对应的b的值，代入原式进行计算即可．
解：∵＝＝＝5+．
∴a+b＝5+＝6+（﹣1）．
∵a为正整数，0＜b＜1，
∴a＝6，b＝﹣1，
∴a﹣b＝6﹣（﹣1）＝7﹣．
故答案为：7﹣．
18．如图所示，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，设a＝2，则这个正方形的面积是 　14+6　．
【分析】根据题意得：b（a+2b）＝（a+b）2，将a＝2代入即可求出b的值，从而得出答案．
解：由题意得：b（a+2b）＝（a+b）2，
整理得：a2+ab﹣b2＝0，
∵a＝2，
∴4+2b﹣b2＝0，
∴b＝+1或1﹣（舍去），
∴正方形的面积是（2++1）2＝14+6．
故答案为：14+6．
三、简答题（本大题共8小题，每题4分，共32分）
19．计算：+9﹣+（）2．
【分析】先化简二次根式、计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可．
解：原式＝5+﹣×2+5
＝5+﹣+5
＝5+5．
20．计算：2÷ ．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案．
解：原式＝2×6
＝12
＝8．
21．计算：﹣．
【分析】首先分母有理数，进而进行加减运算得出即可．
解：﹣
＝﹣
＝﹣
＝1．
22．计算：﹣．
【分析】将分子利用平方差公式分解、减式分子提取，再约分，最后计算加减即可．
解：原式＝﹣
＝﹣3﹣
＝﹣4．
23．解方程：2x2+4x﹣1＝0．
【分析】先化二次项系数为1，然后常数项﹣移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方．
解：（x+1）2＝，
解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
24．解方程：9（x﹣1）2＝16（x+2）2．
【分析】两边直接开平方可得3（x﹣1）＝±4（x+2），再求出每个一元一次方程的解即可．
解：两边直接开平方，得：3（x﹣1）＝±4（x+2），
即3x﹣3＝4x+8或3x﹣3＝﹣4x﹣8，
解得：x＝﹣11或x＝﹣．
25．解方程：2（3x+2）2＝（2+3x）（x﹣1）．
【分析】利用因式分解法求解即可．
解：∵2（3x+2）2＝（2+3x）（x﹣1），
∴2（3x+2）2﹣（2+3x）（x﹣1）＝0，
则（3x+2）（5x+5）＝0，
∴3x+2＝0或5x+5＝0，
解得x1＝﹣，x2＝﹣1．
26．解方程：x2﹣x+＝0．
【分析】首先确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．
解：a＝1，b＝﹣，c＝；
b2﹣4ac＝2﹣4×＝1；
x＝，
故x1＝，x2＝．
四.解答题（本大题共4题，第27、28题每题6分，第29、30题每题7分，共26分）
27．已知x为奇数，且＝，求 的值．
【分析】利用二次根式的性质确定x的取值范围，再利用x为奇数，得出x的值；利用因式分解把要求的式子化简后再代入求值．
解：∵＝，
∴．
解得：7≤x＜9．
∵x为奇数，
∴x＝7．
∵ ＝＝（x+1） ，
∴原式＝（7+1）×＝8×4＝32．
28．关于x的一元二次方程（k﹣3）x2﹣3x+2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）求当k取何正整数时，方程的两根均为整数．
【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则k﹣3≠0，Δ＞0，公共部分就是k的取值范围．
（2）通过（1）中k的取值范围确定出k的值，依次代入求出一元二次方程的解，满足两根都是整数就可以．
解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴
解得，．
（2）k的正整数值为1、2、4
如果k＝1，原方程为﹣2x2﹣3x+2＝0．
解得x1＝﹣2，，不符合题意 舍去．
如果k＝2，原方程为﹣x2﹣3x+2＝0，
解得，不符合题意，舍去．
如果k＝4，原方程为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，符合题意．
∴k＝4．
29．将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
（3）两个正方形的面积之和最小为 　12.5　cm2．
【分析】（1）这段铁丝被分成两段后，围成正方形．其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（5﹣x），根据“两个正方形的面积之和等于17cm2”作为相等关系列方程，解方程即可求解；
（2）设两个正方形的面积和为y，可得二次函数y＝x2+（5﹣x）2＝2（x﹣）2+，利用二次函数的最值的求法可求得y的最小值是12.5，所以可判断两个正方形的面积之和不可能等于12cm2；
（3）根据二次函数的性质即可得到答案．
解：（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（5﹣x）cm，
依题意列方程得x2+（5﹣x）2＝17，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
（x﹣1）（x﹣4）＝0，
解方程得x1＝1，x2＝4，
1×4＝4，20﹣4＝16；
因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm、16cm；
（2）两个正方形的面积之和不可能等于12cm2．理由：
设两个正方形的面积和为y，则
y＝x2+（5﹣x）2＝2（x﹣）2+，
∵a＝2＞0，
∴当x＝时，y的最小值＝12.5＞12，
∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm2；
（3）设两个正方形的面积和为y，则
y＝x2+（5﹣x）2＝2（x﹣）2+，
∵a＝2＞0，
∴当x＝时，y的最小值＝12.5cm2．
∴两个正方形的面积之和最小为12.5cm2．
故答案为：12.5．
30．阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程5x2+3x﹣2＝0的两个根分别是x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1x2＝，以上定理称为韦达定理．
例如：已知方程5x2+3x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，
则：x1+x2＝﹣＝﹣，x1x2＝＝＝﹣
请阅读后，运用韦达定理完成以下问题：
（1）已知方程4x2﹣3x﹣6＝0的两根分别为x1，x2，求x1+x2和x1x2的值．
（2）已知方程x2+3x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，求的值．
（3）当k取何值时，关于x的一元二次方程3x2﹣2（3k+1）x+3k2﹣1＝0的两个实数根互为倒数？
【分析】（1）分别利用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
（2）先把所求的代数式变形为含有x1+x2和x1x2的形式，然后利用根与系数的关系进行解答．
（3）依据题意可得x1x2＝，解关于k的一元二次方程即可．
解：（1）x1+x2＝﹣＝，x1x2＝＝；
（2）∵x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣5，
∴＝＝＝＝；
（3）∵关于x的一元二次方程3x2﹣2（3k+1）x+3k2﹣1＝0的两个实数根互为倒数，
∴x1x2＝，
∴3k2﹣1＝1，
解得k＝．