2021--2022学年人教版（2012）八年级上册数学12.3角的平分线的性质 尖子生培优练（word解析版）

12.3角的平分线的性质尖子生培优练--2021--2022人教版（2012）八年级上学期第十二章全等三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．下列说法中，正确的是（　　）
A．一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线
B．P是直线外一点，A，B，C分别是上的三点，已知PA=1，PB=2，PC=3，则点P到直线的距离一定是1
C．相等的角是对顶角
D．钝角的补角一定是锐角
2．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（　　）
A．1 B．2 C． D．4
3．如图，乐乐书上的三角形墨迹污染了一部分，很快他就画出一个三角形与书上的三角形全等，这两个三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AB∥CD，BD平分∠ABC，若∠DCB=100°，则∠D的度数是（　　）
A．40° B．50° C．30° D．45°
5．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，∠ABC的平分线BE分别交CD、CA于点F、E，则下列结论正确的有（　　）
①∠CFE=∠CEF；②∠FCB=∠FBC，③∠A=∠DCB；④∠CFE与∠CBF互余．
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
6．如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和38,则△EDF的面积为（ ）
A．6 B．12 C．4 D．8
7．如图，⊿ABC中，∠ACB =90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，如果AC = 12cm，AD=8cm，那么△ADE的周长为（ ）
A．22cm B．17 cm C．20 cm D．18 cm
8．如图，点O为直线AB上一点，射线OC，OD，OE都在直线AB的上方，∠COD＝90°，下列说法：①若OD平分∠BOE，则∠AOC的余角和∠AOD的补角都有两个；②若OC平分∠AOE，则有OD平分∠BOE；③若OE平分∠BOC，则OC平分∠AOE；④若OE平分∠BOC，则有∠AOC＝2∠DOE，其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是（ ）
A．①③ B．②③
C．①② D．①②③
10．如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于G．若．P为上一动点，则的最小值为（ ）
A．无法确定 B．1 C．2 D．4
评卷人得分
二、填空题
11．如图，在中，，平分，若，，则的面积为______．
12．如图，在中，为的平分线，于点，于点．若的面积是，，，则____．
13．如图，已知△ABC的周长是10，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，则△ABC的面积是_____．
14．如图，在中，，，在中，，，，相交于点，有下列四个结论：①；②；③；④平分，其中，正确的结论是______．
15．如图，点C在的平分线上，于点D，且，如果E是射线上一点，那么长度的最小值是___________．
16．如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、，则下列结论中正确的有_______．（将所有正确序号填在横线上）
①平分；②，③；④若，，则．
评卷人得分
三、解答题
17．如图，，M是BC的中点，DM平分，求证：AM平分．
18．如图，点P为和的平分线的交点．求证：点P在的平分线上．
19．已知：．求作：的平分线
（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；请你根据提供的材料完成下面问题．
（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是__________．（填序号）
①②③④
（2）请你证明为的平分线．
20．如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，CF⊥CE，∠1＝34°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）若∠2＝56°，求证：CF∥AG．
21．已知：∠DEC+∠C=180°，DE平分∠ADF，∠F=∠1．求证：∠B=∠C．
22．如图，在中，点D是延长线上的一点，过点D作，平分，平分，与交于点G．
（1）证明：；
（2）如图1，若，求的度数；
（3）如图2，连接，若．求证：．
试卷第1页，共3页
第1页
答案与提示
1．D
【解】
A.分成的两个角不一定相等，不符合题意；
B.PA不一定与l垂直，不符合题意；
C.相等的两个角不一定是对顶角，不符合题意；
D.钝角的补角一定是锐角，符合题意．
故选D．
2．B
【解】
如图，过点P作，垂足为点G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，．
故选B．
3．B
解：根据题意，三角形的两角和他们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形
故选：B
4．A
解：∵AB//CD，∠DCB=100°，
∴∠DCB+∠ABC=180°，
∴∠ABC=80°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=40°，
∵AB//CD，
∴∠D=∠ABD=40°，
故选A．
5．A
【解】
如图所示，
①∵BE平分∠ABC，
∴∠5=∠6，
∵∠3+∠4=90°,∠A+∠3=90°，
∴∠A=∠4，
∵∠1=∠A+∠6，∠2=∠4+∠5，
∠1=∠2，
故∠CFE=∠CEF，所以①正确；
②若∠FCB=∠FBC，即∠4=∠5，
由(1)可知：∠A=∠4，
∴∠A=∠5=∠6，
∵∠A+∠5+∠6=180°，
∴∠A=30°，
即只有当∠A=30°时，∠FCB=∠FBC而已知没有这个条件，故②错误；
③∵∠3+∠4=90°,∠A+∠3=90°，
∴∠A=∠4，
即∠A=∠DCB，故③正确；
④∵∠1=∠2,∠1+∠5=90°，
∴∠2+∠5=90°，
即：∠CFE与∠CBF互余，故④正确．
故选A.
6．A
【解】
解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴S△EDF=S△GDH，设面积为S，
同理Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴S△ADF=S△ADH，
即38+S=50-S，
解得S=6．
故选A．
7．C
【解】：∵∠ACB=90°，
∴EC⊥BC，
又∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，
∴DE=CE，
又∵AC=12cm，
∴AE+DE=AE+CE=AC=12cm．
∴AE+DE+ADF=（AE+CE）+AD=AC+AD=12+8=20cm．
故选C．
8．C
解：①若OD平分∠BOE，则∠BOD＝∠DOE，
∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∠AOC＋∠DOE＝90°，
又∵∠AOD＋∠BOD＝180°，∠AOD＋∠DOE＝180°，
∴∠AOC的余角和∠AOD的补角都有两个，
故①正确；
②若OC平分∠AOE，则∠AOC＝∠EOC，
又∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∠COE＋∠DOE＝90°，
∴∠DOE＝∠DOB，
∴OD平分∠BOE，
故②正确；
③若OE平分∠BOC，则OC平分∠AOE不一定成立，
故③错误；
④若OE平分∠BOC，则∠BOE＝∠BOC＝（180° ∠AOC）＝90° ∠AOC，
又∵∠DOB＝90° ∠AOC，
∴∠DOE＝∠BOE ∠BOD＝（90° ∠AOC） （90° ∠AOC）＝∠AOC，
∴∠AOC＝2∠DOE，
故④正确；故选：C．
9．C
解：如图示，连接，
，
是的平分线，
，①正确．
，②正确．
只是过点，并没有固定，明显③不成立．
故选：．
10．C
解：作GH⊥AB
由题意可知：BG是∠ABC的角平分线
又∵GH⊥AB，
∴CG=GH
∵
∴GH=2
由直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短可得：
当点GP⊥AB时，有最小值
即= GH=2时，最短
故选：C
11．5
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵，
∴AC⊥BC，
∵平分，
∴DE=CD=2，
∵，
∴的面积为 ．
故答案为：5．
12．2
解：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=AB DE+AC DF，
∵△ABC面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，
∴×20DE+×8DF=10DE+4DF=14DE=28，
解得DE=2cm．
故答案为：2．
13．5
解：连接OA，过点O作OG⊥AB于G，OH⊥AC于H，
∵△ABC的周长是10，
∴AB+BC+AC=10，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OG⊥AB，OH⊥AC，
∴OG=OH=OD=1，
∴△ABC的面积=△ABO的面积+△OBC的面积+△AOC的面积
=×AB×OG+×BC×OD+×AC×OH
=
=×10×1
=5，
故答案为：5．
14．①③④．
解：∵∠DAB=∠EAC=90°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠DAC=∠BAE，
又AD=AB，AE=AC，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE，故①正确；
且∠ADC=∠ABE，
∴∠DFE=∠DBF+∠BDF=∠ABE+∠ABD+∠BDF=∠ABD+∠ADC+∠BDF=∠ABD+∠ADB=90°，
∴DC⊥BE，故③正确；
过A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，
∴AM=AN，
∴FA平分∠DFE，故④正确；
无法通过已知条件和图形证明②正确，
故正确的结论是①③④，
故答案为：①③④．
15．2
解：如图，
由垂线段最短定理可知：当CE⊥OB时，CE 的长度最小，
∵点C在 ∠AOB 的平分线上，CD⊥OA，
∴CE=CD=2，
故答案为2 ．
16．①②③④
解：①作PD⊥AC于D．
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PM=PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，
∴∠ABC+∠MPN=180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM=∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD=∠CPN，
∴∠MPN=2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC=180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE=2∠PAM，
∵∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM=∠ABC+∠APB，
∴∠ACB=2∠APB，③正确；
④∵Rt△PAM≌Rt△PAD（已证），
∴AD=AM，
∵Rt△PCD≌Rt△PCN（已证），
∴CD=CN，
∴AM+CN=AD+CD=AC，④正确；
故答案为：①②③④．
17．见解析
解：如图，过点M作ME⊥AD于F，
∵∠C=90°，DM平分∠ADC，
∴ME=MC，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
∴BM=EM，
又∵∠B=90°，
∴点M在∠BAD的平分线上，
∴AM平分∠DAB．
18．解析：欲证点P在的平分线上，只需证明点P到AC与CN的距离相等即可，可以分别作出点P到BM，AC，CN的垂线，结合题意证明即可．
答案：证明：如图，过点P作于点E，于点F，于点G，
∵点P为和的平分线的交点，
∴，，∴，
∴点P在的平分线上．
19．解：以为圆心，以任意长为半径作弧，交于两点，
再分别以点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在角的内部交于点，作射线，则为的角平分线，如下图：
（1）连接，如下图：
由作图可知：、、（公共边）
通过三角形三边相等求得
故答案为①
（2）在和中
∴
∴，即为的平分线
20．解：（1）∵AB∥CD
∴∠1＝∠DCE＝34°
∵CE平分∠ACD
∴∠ACE＝∠DCE＝34°
（2）∵CF⊥CE
∴∠FCE＝90°
∴∠FCH＝90°°＝56°
∵∠2＝56°
∴∠FCH＝∠2
∴CF∥AG．
21解：证明：∵∠DEC+∠C=180°，∠F=∠1，
∴DEBC，ACDF，
∴∠ADE=∠B，∠EDF=∠BGD，∠C=∠BGD，
∴∠C=∠EDF，
∵DE平分∠ADF，
∴∠ADE=∠EDF，
∴∠B=∠C．
22．【解】
（1）∵中，，
∴，
又∵，，
∴；
（2）在延长线上标上点M，如图1所示．
∵，∴，．
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
（3）证明：如图2，由（2）知：，，
∵，
∴．