2021-2022学年人教版数学八年级上册14.2乘法公式知识点分类训练（word解析版）

2021-2022学年人教版八年级数学上册《14.2乘法公式》知识点分类训练（附答案）
一．完全平方公式
1．计算（a﹣2b）2＝（　　）
A．a2﹣4ab+4b2 B．a2+4ab+4b2 C．a2﹣4ab﹣4b2 D．a2+4ab﹣4b2
2．下列计算正确的是（　　）
A．a6÷a2＝a3 B．a2+2a＝3a3
C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6 D．（2a+b）2＝4a2+b2+2ab
3．（1）已知（a+b）2＝6，（a﹣b）2＝2，求a2+b2与ab的值；
（2）已知a+b＝8，a2b2＝9，求a2+b2的值．
4．已知（x+y）2＝7，（x﹣y）2＝5．
（1）求x2+y2值；
（2）求xy的值．
5．已知x＝a﹣2021，y＝2027﹣a，xy＝5．
（1）求x2+y2的值； （2）求（x﹣y）2的值； （3）求a的值．
6．已知（n﹣2020）2+（2021﹣n）2＝3，求（n﹣2020）（2021﹣n）的值．
二．完全平方公式的几何背景
7．用4块完全相同的长方形拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影部分的面积，可得到一个关于a，b的等式为（　　）
A．4a（a+b）＝4a2+4ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
8．用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b，a＞b）拼成如图所示大正方形，已知大正方形面积为64，中间空缺的小正方形面积为16，则下列关系式中不正确的是（　　）
A．a2+b2＝64 B．a+b＝8 C．a﹣b＝4 D．a b＝12
9．如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果a、b满足a+b＝6，ab＝8，则阴影部分的面积为（　　）
A．14 B．12 C．9 D．6
10．我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab＝等．根据以上变形解决下列问题：
（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝　 　．
（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．
（3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC BC＝10，则图中阴影部分的面积为 　 　．
三．完全平方式
11．若x2﹣6x+k是完全平方式，则k的值是（　　）
A．±9 B．9 C．±12 D．12
12．如果x2+8x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（　　）
A．4 B．16 C．±4 D．±16
13．若x2+mx+9是完全平方式，则m的值为（　　）
A．6 B．9 C．±6 D．±9
14．若多项式9x2﹣2mx+16是一个完全平方式，则m的值为（　　）
A．±24 B．±12 C．24 D．12
15．若x2+（k﹣1）x+9是完全平方式，则k的值为（　　）
A．±6 B．7 C．﹣5 D．7或﹣5
四．平方差公式
16．下列不能用平方差公式运算的是（　　）
A．（x+1）（x﹣1） B．（﹣x+1）（﹣x﹣1）
C．（x+1）（﹣x+1） D．（x+1）（1+x）
17．下列运算正确的是（　　）
A．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2 B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2
C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2 D．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2
18．若a+b＝6，a2﹣b2＝30，则a﹣b＝（　　）
A．5 B．6 C．10 D．15
19．下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（　　）
A．（a+b）（b+a） B．（﹣m+n）（m﹣n）
C．（2x﹣y）（y+2x） D．（x2﹣y）（x+y2）
20．下列算式能用平方差公式计算的是（　　）
A．（3a+b）（3b﹣a） B．（x+1）（﹣x﹣1）
C．（2x﹣y）（﹣2x+y） D．（﹣n﹣m）（﹣n+m）
21．如果用平方差公式计算（x﹣y+5）（x+y+5），则可将原式变形为（　　）
A．[（x﹣y）+5][（x+y）+5] B．[（x+5）﹣y][（x+5）+y]
C．[（x﹣y）+5][（x﹣y）﹣5] D．[x﹣（y+5）][x+（y+5）]
22．化简：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2．
23．计算：（x+3）2﹣（x+3）（x﹣3）．
五．平方差公式的几何背景
24．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（　　）
A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
25．如图1，将一个大长方形沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形，正好是边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）．这两个图能解释下列哪个等式（　　）
A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1 B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．（x+1）2＝x2+2x+1 D．x（x﹣1）＝x2﹣x
26．如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列2种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（　　）
A．① B．② C．①② D．①②都不能
27．如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得等式（　　）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2+2ab﹣b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
参考答案
一．完全平方公式
1．解：原式＝a2﹣2a 2b+（2b）2
＝a2﹣4ab+4b2，
故选：A．
2．解：A．a6÷a2＝a4，原说法错误，故选项不符合题意；
B．a2和2a不能合并，，原说法错误，故选项不符合题意；
C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，正确，故选项符合题意；
D．（2a+b）2＝4a2+b2+4ab，原说法错误，故选项不符合题意；
故选：C．
3．解：（1）∵（a+b）2＝6，（a﹣b）2＝2，
∴a2+2ab+b2＝6①，a2﹣2ab+b2＝2②，
∴①+②得：
a2+2ab+b2+a2﹣2ab+b2＝8，
则a2+b2＝4；
①﹣②得：
4ab＝4，
则ab＝1；
（2）∵a+b＝8，a2b2＝9，
∴（a+b）2＝64，ab＝±3，
∴a2+2ab+b2＝64，
∴a2+b2＝64﹣2ab＝64﹣2×3＝58，或a2+b2＝64﹣2ab＝64﹣2×（﹣3）＝70，
即a2+b2的值是58或70．
4．解：（1）∵（x+y）2＝7，（x﹣y）2＝5，
∴x2+2xy+y2＝7①，x2﹣2xy+y2＝5②，
∴①+②得：
x2+2xy+y2+x2﹣2xy+y2＝12，
则x2+y2＝6；
（2）∵（x+y）2＝7，（x﹣y）2＝5，
∴x2+2xy+y2＝7①，x2﹣2xy+y2＝5②，
∴①﹣②得：
4xy＝2，
解得：xy＝．
5．解：（1）∵x＝a﹣2021，y＝2027﹣a，xy＝5，
∴x+y＝a﹣2021+2027﹣a＝6．
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝62﹣2×5＝36﹣10＝26．
（2）由（1）知：x2+y2＝26．
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝26﹣2×5＝16．
（3）由（2）知：（x﹣y）2＝16．
∴x﹣y＝4或x﹣y＝﹣4．
当x﹣y＝4时，由x+y＝6，解得x＝5，y＝1，此时a＝x+2021＝2026．
当x﹣y＝﹣4时，由x+y＝6，解得x＝1，y＝5，此时a＝x+2021＝2022．
综上：a＝2026或a＝2022．
6．解：令n﹣2020＝a，2021﹣n＝b，
根据题意得：
a2+b2＝3，a+b＝1，
∴原式＝ab
＝
＝
＝﹣1．
二．完全平方公式的几何背景
7．解：∵图形中大正方形的面积为（a+b）2，
中间空白正方形的面积为（a﹣b）2，
∴图中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2，
又∵图中阴影部分的面积还可表示为4ab，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故选：D．
8．解：∵大正方形的面积为64，中间空缺的小正方形的面积为16，
∴大正方形的边长为8，小正方形的边长为4，
即：a+b＝8，a﹣b＝4，
因此a＝6，b＝2，
∴a2+b2＝36+4＝40，ab＝6×2＝12，
故选：A．
9．解：由各个部分面积之间的关系可得，
S阴影部分＝S正方形ABCD+S正方形AEFG﹣S△BCD﹣S△BEF
＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）
＝a2+b2﹣ab
＝（a2+b2﹣ab）
＝[（a+b）2﹣3ab]
＝（62﹣3×8）
＝6，
故选：D．
10．（1）∵a2+b2＝8，（a+b）2＝48，
∴ab＝＝＝20，
（2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，
由（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形得，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴（25﹣x）2+（x﹣10）2
＝[（25﹣x）+（x﹣10）] ﹣2（25﹣x）（x﹣10）
＝15 ﹣2×（﹣15）
＝225+30
＝255，
（3）设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，
则图中阴影部分的面积为（a+b）（a+b）﹣（a +b ）
＝[（a+b） ﹣（a +b ）]
＝×2ab
＝ab
＝10
三．完全平方式
11．解：∵x2﹣6x+k是完全平方式，
∴k＝32＝9．
故选：B．
12．解：∵x2+8x+m2是一个完全平方式，
∴m2＝16，
解得：m＝±4．
故选：C．
13．解：∵x2+mx+9＝（x±3）2＝x2±6x+9，
∴m＝±6，
故选：C．
14．解：∵9x2﹣2mx+16是一个完全平方式，
∴﹣m＝±12，
∴m＝±12．
故选：B．
15．解：∵x2+（k﹣1）x+9是完全平方式，
∴k﹣1＝±6，
解得：k＝7或﹣5，
故选：D．
四．平方差公式
16．解：A、（x+1）（x﹣1）能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B、（﹣x+1）（﹣x﹣1）能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
C、（x+1）（﹣x+1）能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
D、（x+1）（1+x）不能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
故选：D．
17．解：A、结果是x2﹣y2，原计算正确，故本选项符合题意；
B、结果是x2﹣2xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意；
C、结果是x2+2xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意；
D、结果是y2﹣x2，原计算错误，故本选项不符合题意；
故选：A．
18．解：∵a+b＝6，a2﹣b2＝30，
∴（a+b）（a﹣b）＝30，
∴a﹣b＝30÷6＝5，
故选：A．
19．解：A、（a+b）（b+a）不能用平方差公式计算，故选项A不符合题意；
B、（﹣m+n）（m﹣n））＝﹣（m﹣n）（m﹣n），不能用平方差公式计算，故选项B不符合题意；
C、（2x﹣y）（y+2x）＝4x2﹣y2，故选项C符合题意；
D、（x2﹣y）（x+y2）不符合平方差公式，故选项D不符合题意，
故选：C．
20．解：A、两个多项式两项既不相同，也不互为相反数，故此选项不符合题意；
B、两个多项式两项都互为相反数，故选项错误；
C、两个多项式两项都互为相反数，故选项错误；
D、两个多项式两项相同，两项互为相反数，故此选项符合题意．
故选：D．
21．解：（x﹣y+5）（x+y+5）＝[（x+5）﹣y][（x+5）+y]．
故选：B．
22．解：原式＝a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2+8b2
＝4ab．
23．解：原式＝x2+6x+9﹣（x2﹣9）
＝x2+6x+9﹣x2+9
＝6x+18．
五．平方差公式的几何背景
24．解：∵图1中的阴影部分面积为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积为：（2b+2a）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（2b+2a）（a﹣b），即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
25．解：图1的面积为：（x+1）（x﹣1），
图2中白色部分的面积为：x2﹣1，
∴（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，
故选：B．
26．解：如图①，左图的阴影部分的面积为a2﹣b2，右图的阴影部分是上底为2b，下底为2a，高为（a﹣b）的梯形，因此面积为（2b+2a）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
因此图①方法可以验证平方差公式，
如图②，左图的阴影部分的面积为a2﹣b2，右图的阴影部分是底为（a+b），高为（a﹣b）的平行四边形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
因此图②方法也可以验证平方差公式，
故选：C．
27．解：阴影部分是边长为（a﹣b）的正方形，因此其面积为（a﹣b）2，
阴影部分也可以看作是边长为a的大正方形的面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，再加上边长为b的正方形面积，即a2﹣2ab+b2，
因此有（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故选：D．