2021-2022学年北师版九年级数学上册第四章图形的相似单元训练卷（Word版，附答案）

北师版九年级数学上册
第四章　图形的相似
单元测试训练卷
一、选择题（共8小题，4*8=32）
1. 已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA＝3AB，则线段CA与线段CB的比为(　　)
A．3：4 B．2：3
C．3：5 D．1：2
2. 已知＝，那么下列等式中，不一定正确的是(　　)
A．2a＝5b B.＝
C．a＋b＝7 D.＝
3. 在中华经典美文阅读中，刘明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为( )
A．12.36 cm B．13.6 cm
C．32.36 cm D．7.64 cm
4. 如图，D是△ABC边AB延长线上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是( )
A.∠ACB＝∠D B．∠ACD＝∠ABC
C.＝ D．＝
5. 如图，矩形ABCD的面积是72，AE＝DC，BF＝AD，那么矩形EBFG的面积是( )
A．24 B．18
C．12 D．9
6. 如图，在 ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为( )
A.1∶3 B．1∶4
C．1∶5 D．1∶6
7. 已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m＋n的值为( )
A．10＋或5＋2 B．15
C．10＋ D．15＋3
8. 如图，点E是 ABCD的边AD上的一点，且＝，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则 ABCD的周长为( )
A.21 B．28
C．34 D．42
二．填空题（共6小题，4*6=24）
9．若a:b＝3:4，且a＋b＝14，则2a－b的值是________.
10. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB上，且AD:AC＝1:3，AE＝BE，则相似的三角形有__________和___________.
11. 如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F.若AD＝1，BD＝2，BC＝4，则EF＝______．
12. 已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为________.
13. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，图中所有的三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积为________.
14. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是_______步．
三．解答题（共5小题， 44分）
15．(6分) 如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12，求四边形DECF的周长．
16．(8分) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1，3)，B(4，1)，C(1，1).
(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
(2)画出△ABC以点O为位似中心，相似比为1∶2的△A2B2C2.
17．(8分) 如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F.
(1)△ABE与△ADF相似吗？请说明理由．
(2)若AB＝6，AD＝12，BE＝8，求DF的长．
18．(10分) 如图，为测量山峰AB的高度，在相距50 m的D处和F处竖立高均为2 m的标杆DC和FE，且AB，CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后2 m到G处可以看到山峰A和标杆顶点C在同一直线上，从标杆FE退后4 m到H处可以看到山峰A和标杆顶点E在同一直线上，求山峰AB的高度及山峰与标杆CD的水平距离BD的长．
19．(12分) 如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F.设＝λ(λ＞0)．
(1)若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．
(2)连接EG，若EG⊥AF，①求证：点G为CD边的中点；②求λ的值．
参考答案
1-4ACAC 5-8BDAC
9．4
10. △AED，△CBD
11．
12.
13. 26
14．
15．解：∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DFCE是平行四边形，∴DE＝FC，DF＝EC，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴＝＝＝，∵AC＝8，BC＝12，∴AF＝2，DF＝3，∴FC＝AC－AF＝8－2＝6，∴DE＝FC＝6，DF＝EC＝3，∴四边形DECF的周长是DF＋CF＋CE＋DE＝3＋6＋3＋6＝18.答：四边形DECF的周长是18
16．解：(1)A1(1，－3)，B1(4，－1)，C1(1，－1)，连接A1C1，A1B1，B1C1，得到△A1B1C1.如图所示△A1B1C1即为所求　(2)由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：第一种，△A2B2C2和△ABC在同一侧，则A2(2，6)，B2(8，2)，C2(2，2)，连接各点，得△A2B2C2.第二种，△A2B2C2在△ABC的对侧，则A2(－2，－6)，B2(－8，－2)，C2(－2，－2)，连接各点，得△A2B2C2.综上所述：如图所示△A2B2C2为所求
17．解：(1)△ABE∽△DFA.理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°.∴∠DAE＝∠AEB.①又∵DF⊥AE，∴∠DFA＝∠B＝90°.②由①②知△DFA∽△ABE.
(2)根据题意，得AE＝10.由(1)可知△DFA∽△ABE，∴DF∶AB＝AD∶AE，∴DF＝7.2.
18．解：∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴AB∥CD∥EF，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，∴＝，＝.又∵CD＝DG＝EF＝2 m，DF＝50 m，FH＝ 4 m，∴＝，＝，∴＝，解得BD＝50 m，∴＝，解得AB＝52 m
19．解：(1)∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAG＝∠F.又∵AG平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAG.∴∠EAG＝∠F.∴EA＝EF.∵BC＝AB＝2，＝1，∴BE＝EC＝1.又∵AB＝2，∠B＝90°，∴AE＝＝.∴EF＝.∴CF＝EF－EC＝－1.
(2) ①证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，∴AG＝FG.又∵∠DAG＝∠F，∠AGD＝∠FGC，∴△ADG≌△FCG.∴DG＝CG，即点G为CD边的中点．
②解：设CD＝2a，则CG＝a，∵△ADG≌△FCG，∴CF＝DA＝CD＝2a.∵EG⊥AF，∠GCE＝90°，∴∠EGC＋∠CGF＝90°，∠F＋∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°.∴∠EGC＝∠F.∴△EGC∽△GFC.∴＝.∵CG＝a，CF＝2a，∴＝.∴＝.∴CE＝a.∴EB＝BC－CE＝2a－a＝a.∴λ＝＝＝.