北师大版九年级下下册第三章圆中考压轴题（Word版，附答案解析）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级下下册第三章圆中考压轴题（Word版，附答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-08 23:06:14 | ||
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文档简介
圆中考压轴题
1．如图①，Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，经过顶点B，C作⊙O，分别交边AB，AC于点D，E，连接DE，DC．
（1）求证：AD＝ED．
（2）当AE＝4，CE＝2时，求⊙O的半径．
（3）设＝x，tan∠DCB＝y．
①求y关于x的函数表达式；
②如图②，连接OE，OD，若＝，求y的值．
2．已知AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD．
（1）如图1，求证弧AC＝弧BD；
（2）如图2，连接AC、BC、OA、BD，弦BC与半径OA交于点G，延长AO交CD于点E，连接BE，使BE＝BD，若OA⊥BC，求证：四边形ABEC为菱形；
（3）在（2）的条件下，CH与⊙O相切于点C，连接CO并延长交BE于点F，延长BE交CH于点H，OF＝11，sin∠BDC＝，求CH长．
3．如图，以Rt△BCE的直角边BC为直径作⊙O，交斜边EC于点A，AD⊥BC于点D，点F是BE的中点，连接CF与AD相交于点G，延长AF与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）求证：点G为AD的中点；
（3）若2FG＝EB，且⊙O的半径长为3，求BD的长度．
4．如图1，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的点，PD为⊙O的切线，切点为D，CD⊥AB，垂足为E，C在⊙O上，连接CO，PC．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）如图2，M是线段PC上一点，若OM平分∠COP，OM与线段CE交于点N．
①求证：△OMP∽△ONC；
②若CM＝10，tan∠CMO＝2，求ON的长．
5．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点．AE与过点C的切线垂直，垂足为E，直线EC与直径AB的延长线相交于点P，弦CD交AB于点F，连接AC、AD、BC、BD．
（1）若∠ABC＝∠ABD＝60°，判断△ACD的形状，并证明你的结论；
（2）若CD平分∠ACB，求证：PC＝PF；
（3）在（2）的条件下，若AD＝5，PF＝5，求由线段PC、和线段BP所围成的图形（阴影部分）的面积．
6．已知四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD．
（1）如图1，求证：点A到∠C两边的距离相等；
（2）如图2，已知BD与AC相交于点E，BD为⊙O的直径．①求证：tan∠CAD＝；②若∠CBD＝30°，AD＝，求AE的长．
7．如图，⊙O的内接四边形ABCD的两条对角线相交于点E，两组对边的延长线分别相交于点F，G，且∠F＝67.5°，∠G＝22.5°，＝，边AB过圆心O．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求∠BAC的正切值；
（3）若AB＝2，则CE CA的值等于多少？
8．如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，∠B＝2∠ACE，在BA的延长线上有一点P，使得∠P＝∠BAC，弦CE交AB于点F，连接AE．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）试判断△AEF的形状，并说明理由；
（3）若AF＝2，AE＝，求OA的长．
9．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）求∠APC和∠BPC的度数；
（2）求证：△ACM≌△BCP；
（3）若PA＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积；
（4）在（3）的条件下，求的长度．
10．如图，点B是⊙C上的一点，点A是直径ED延长线上的一点，连接AB，EB，BD，且∠ABD＝∠E．
（1）求证：直线AB是⊙C的切线；
（2）当时，求tanE；
（3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF＝4，求⊙C的半径．
11．如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上的一点，以CD为直径的⊙O交BC于E，连接AE交CD于G，交⊙O于F，连接DF，∠BAC＝∠EFD．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）如图2，若AF：FG＝3：2，
①若AF＝6，求线段CG的长；
②求tan∠CAE的值．
12．如图，AB、CD都是⊙O的直径，连接AD，BC．
（1）求证：AD＝BC；
（2）过D点作⊙O的切线DE交BA的延长线于点E，F是BE上一点，连接CF交⊙O于点M，若ED＝CF，求证：∠BED＝∠CFB．
（3）在（2）的条件下，连接DM交EB于点N，连接CN，若tan∠CNO＝，ON＝2，求DE的长．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AB＝2，＝，D是⊙O上一动点，连接BD，过点B作BE⊥BD交直线DC于点E．
（1）当点D是的中点时，求△BCD的面积；
（2）过点B作BF⊥DE于点F，求的值；
（3）在点D运动过程中，求线段AE的最大值．
14．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE＝CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；
（3）如果BE＝10，sinA＝，求⊙O的半径．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，且与BC相切于点D，连接OF．解答下列问题：
（1）∠BAC与∠OFA之间的关系是 ；
（2）求证：∠AFO＝2∠BAD；
（3）若＝，求tan的值．
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当AB＝AC时，若CE＝3，EF＝5，
①求证：DE＝EF；
②求⊙O的半径．
17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是的直径，D是AB延长线上的一点，连接DC，∠DCB＝∠A，CE⊥AB于点E．
（1）求证DC是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，tan∠BCE＝，求DC的长；
（3）在（2）的条件下，若M是线段AC上一动点，求OM+AM的最小值．
18．如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠ADC＝，AC＝2，求⊙O的半径；
（3）如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE．求sin∠DBE的值．
19．如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F．
（1）求证：△ADG∽△CFG．
（2）若G是的中点，当CG与△ADE的一边平行时，求的值．
（3）如图2，点E是OB的中点，AB＝8，连接BG，BD，BC．当DG+CG＝6时，求cosF的值．
20．如图，四边形BCDE是⊙O的内接四边形，DE是⊙O的直径，BC、ED的延长线交于点A，连接CE、BD交于点F，DF2＝FC FE，点H是线段CE上一点连接BH、DH．
（1）求证：DF＝BF；
（2）若∠BEC＝∠DBH，∠BDE＝45°，求；
（3）在（2）的条件下，若AE＝AC，CB+DE＝2+2．求线段AC的长度．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与⊙O交于点F，延长BA到点G，使得∠BGF＝∠GBC，连接FG．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3．
①当OD＝2，求AD的长度； ②当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积．
22．如图，△ABC内接于⊙O，∠CBG＝∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD．
（1）求证：PG与⊙O相切：
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为4，PD＝OD，求EC的长．
23．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是边AC上一动点，且不与A，C两点重合，连接BD，过点D作DE⊥BD交边BC于点E，△BDE的外接圆交边AB于另一点F，连接DF．
（1）求证：△ADF∽△DBE．
（2）当AB＝6，AC＝8时．
①若AD＝3AF，求AD的长．
②当线段DE，DF，BF中有两条相等时，求出所有符合条件的tan∠ADF的值．
（3）若BD平分∠ABC，S△ADF＝1，S△BDE＝6，则S△CDE＝ ．
24．如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CF AF＝FO AH；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．
25．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若＝，求BF的长．
26．如图1，以△ABC的边AC为直径作⊙O交BC于点D，连接AD，点E为AD上一点（不与端点重合），连接CE，作DF⊥CE于点F，延长DF交AC于点M，交BA的延长线于点G，∠BGD＝∠ACE．
（1）求证：BG是⊙O的切线；
（2）求证：；
（3）如图2，延长CE交AB于点H，若HE＝4，∠ACH＝∠BCH，sin∠BGD＝，求BC的长．
27．如图，点I是O△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD，BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，BE＝5，求DI的长；
（3）若sin∠ACD＝，CD＝10，求△ACD的内心到点O的距离．
28．如图，以Rt△ABC的斜边AC为直径作⊙O，点D在半径OC上，过点D作AC的垂线，分别交弦BC于点E，交⊙O于F．在射线DE上取点G，连接GB并延长交CA的延长线于点H，且满足GB＝GE．
（1）求证：HG是⊙O的切线；
（2）若GE＝BE，HB＝．
（i）求⊙O的半径；
（ii）如图2，连接AF，交弦BC于点M，若AF∥HG，求线段OD的长．
29．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E，连接AD，CD．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AB＝6，tanA＝，求BE的长；
（3）线段AB，BE，CE之间有何数量关系？写出你的结论并证明．
30．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点E在圆外，OE⊥AC于点D，BE交⊙O于点F，连接BD、BC、CF，∠BFC＝∠AED．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）求证：OB2＝OD OE；
（3）设△BAD的面积为S1，△BDE的面积为S2，若tan∠ODB＝，求的值．
31．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，D为圆上一点，且B，D两点位于AC异侧，连接BD，交AC于E，点F为BD延长线上一点，连接AF，使得∠DAF＝∠ABD．
（1）求证：AF为⊙O的切线；
（2）当点D为EF的中点时，求证：AD2＝AO AE；
（3）在（2）的条件下，若sin∠BAC＝，AF＝2，求BF的长．
32．如图1，O是△ABC的边BC的中点，⊙O与BC交于E、F两点，与AB相切于点D，连接AO交⊙O于点P，＝．
（1）猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想．
（2）如图2，延长AO交⊙O于Q点，连接DE、DF，DQ，FQ，FQ＝，ED＝5，求DQ的长．
（3）如图3，若DE＝5，连接DF、DP、PF，设DP＝x，△DPF的面积为y，求y与x之间的函数关系式．
33．如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过C作CD∥AB，CD交⊙O于D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）求证：AB2﹣BE2＝BE EC；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC BE＝64，求BG的长．
答案与解析
1．如图①，Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，经过顶点B，C作⊙O，分别交边AB，AC于点D，E，连接DE，DC．
（1）求证：AD＝ED．
（2）当AE＝4，CE＝2时，求⊙O的半径．
（3）设＝x，tan∠DCB＝y．
①求y关于x的函数表达式；
②如图②，连接OE，OD，若＝，求y的值．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，且⊙O经过B、C、E，
∴直线BE为⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，
∴∠CBD+∠CED＝180°，
∵∠AED+∠CED＝180°，
∴∠AED＝∠CBD，
∵CA＝CB，
∴∠CAD＝∠CBA，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴AD＝ED．
（2）解：∵∠EDA＝∠ACB＝90°，∠DAE＝∠CBA＝45°，
∴△ADE∽△CAB，
∴AE＝4，AD＝DE，
∴AD＝DE＝＝2，CA＝AE+CE＝2+4＝6，且，
即，
∴AB＝6，
∴DB＝AB﹣AD＝4，
∴BE＝＝＝2，
∴⊙O的半径为．
（3）①∵tan∠DCB＝y，
∴，，
∴sin∠DCB＝ sin∠CBD＝，cos∠BCD＝，
∴tan∠DCB＝＝＝y，
设EC＝m，
∴AE＝mx，
∴BC＝m+mx＝m（1+x），BD＝BC﹣AD，AD＝AE，
∴BD＝m（1+x）﹣mx＝m（1+），
∴∠CED＝45°，
∴cos∠CED＝﹣＝，
∴CD2＝m2+m2x2+m2x，
∴y＝＝＝，
②设CE＝n，AE＝nx，
∴DE＝，AC＝n（1+x）＝BC，
∴S△ABC＝AC BC＝n2（1+x）2，BE＝＝＝n，
∴OE＝BE＝且△OED为等腰三角形，
∴O点到DE的距离为：＝＝n，
∴S△OED＝×nx n＝n2，
∵＝，
∴＝，
∵x＞0，
∴x＝3，
∴y＝＝．
2．已知AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD．
（1）如图1，求证弧AC＝弧BD；
（2）如图2，连接AC、BC、OA、BD，弦BC与半径OA交于点G，延长AO交CD于点E，连接BE，使BE＝BD，若OA⊥BC，求证：四边形ABEC为菱形；
（3）在（2）的条件下，CH与⊙O相切于点C，连接CO并延长交BE于点F，延长BE交CH于点H，OF＝11，sin∠BDC＝，求CH长．
【解答】（1）证明：连接BC，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴＝；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
∴∠BAC+∠BDC＝180°，
∴∠ACD＝∠BDC，
∵＝，
∴AC＝BD，
∵BE＝BD，
∴AC＝BE，∠BED＝∠BDC，
∴∠BED＝∠ACD，
∴AC∥BE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵OA⊥BC，
∴平行四边形ABEC是菱形；
（3）解：如图3，延长CF交⊙O于点N，连接BN，
∵CN是直径，
∴∠CBN＝90°，
∵AE⊥BC，
∴AE∥BN，
∴∠AOC＝∠BNC，
∵∠BDC＝∠BNC，
∴∠AOC＝∠BDC，
∵sin∠BDC＝，
∴sin∠AOC＝＝，
设CO＝25x，CG＝24x，
∴GO＝＝＝7x，
∵∠ACD＝∠BDC，
∴∠ACD＝∠AOC，
又∵∠CAE＝∠CAO，
∴△ACO∽△AEC，
∴∠AEC＝∠OCA，
∵四边形ABEC是菱形，
∴AC＝CE，AE⊥BC，AG＝GE，
∴∠CAE＝∠CEA，
∴∠CAE＝∠ACO，
∴AO＝CO＝25x，
∴AG＝18x＝GE，
∴OE＝11x，
∵AC∥EB，
∴，
∴＝，
∴x＝1，
∴CO＝25，AG＝18，CG＝24，
∴CF＝36，
∵AC∥BE，
∴∠ACF＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠CAO，
∵CH与⊙O相切于点C，
∴CH⊥CF，
∴∠FCH＝90°＝∠AGC，
∴△AGC∽△FCH，
∴，
∴＝，
∴CH＝48．
3．如图，以Rt△BCE的直角边BC为直径作⊙O，交斜边EC于点A，AD⊥BC于点D，点F是BE的中点，连接CF与AD相交于点G，延长AF与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）求证：点G为AD的中点；
（3）若2FG＝EB，且⊙O的半径长为3，求BD的长度．
【解答】解：（1）证明：如图，连接AO，AB，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，
∴AF＝FB＝EF，
∴∠FBA＝∠FAB，
又∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO，
∵∠EBO＝90°，
∵∠EBO＝∠FBA+∠ABO＝∠FAB+∠BAO＝∠FAO＝90°，
∴PA是⊙O的切线；
（2）证明：∵BC是⊙O的直径，∠EBO＝90°，，
∴EB⊥BC．BE是⊙O的切线
又∵AD⊥BC，
∴AD∥BE，
∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，
∴，，
∴，
∵F是斜边BE的中点，
∴BF＝EF，
∴DG＝AG，
∴点G为AD的中点；
（3）解：过点F作FH⊥AD于点H，如图，
∵BD⊥AD，FH⊥AD，
∴FH∥BC．
由（2）知，∠FBA＝∠BAF，
∴BF＝AF．
由已知，有2FG＝EB，点F是BE的中点，
∴BF＝FG，
∴AF＝FG，即△AFG是等腰三角形．
∵FH⊥AD，
∴AH＝GH，
∵DG＝AG，
∴DG＝2HG，
即，
∵FH∥BD，BF∥AD，∠FBD＝90°，
∴四边形BDHF是矩形，BD＝FH，
∵FH∥BC，
∴△HFG∽△DCG，
∴，
∵⊙O的半径长为3，
∴BC＝6．
∴，
解得BD＝2．
∴BD＝2．
4．如图1，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的点，PD为⊙O的切线，切点为D，CD⊥AB，垂足为E，C在⊙O上，连接CO，PC．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）如图2，M是线段PC上一点，若OM平分∠COP，OM与线段CE交于点N．
①求证：△OMP∽△ONC；
②若CM＝10，tan∠CMO＝2，求ON的长．
【解答】证明：（1）连接OD，如图1，
∵PD为⊙O切线，
∴∠ODP＝90°，
∵AB⊥CD，且AB为⊙O直径，
∴AB垂直平分CD，
∴PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC，
又∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠OCP＝∠OCD+∠PCD＝∠ODC+∠PDC＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC为⊙O的切线；
（2）①∵AB⊥CD，
∴∠CEP＝90°，
∴∠ECP+∠MPO＝90°，
又∠OCD+∠ECP＝90°，
∴∠MPO＝∠OCD，
又OM平分∠COP，
∴∠CON＝∠MOP，
∴△OMP∽△ONC；
（2）②∵∠CNM＝∠CON+∠OCN，
∠CMO＝∠CPO+∠MOP，
∴∠CNM＝∠CMN，
∴CM＝CN＝10，
过点C作CG⊥MN于G，
∵tan∠CMO＝2，
∴NG＝MG＝2，CG＝4，
在Rt△OCM中，由勾股定理得：OM＝，
∴ON＝OM﹣MN＝10．
5．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点．AE与过点C的切线垂直，垂足为E，直线EC与直径AB的延长线相交于点P，弦CD交AB于点F，连接AC、AD、BC、BD．
（1）若∠ABC＝∠ABD＝60°，判断△ACD的形状，并证明你的结论；
（2）若CD平分∠ACB，求证：PC＝PF；
（3）在（2）的条件下，若AD＝5，PF＝5，求由线段PC、和线段BP所围成的图形（阴影部分）的面积．
【解答】解：（1）△ACD是等边三角形，
理由如下：
＝，
∴∠ACD＝∠ABD＝60°，
∵＝，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴△ACD是等边三角形；
（2）如图1，
连接OC，OD，
∵PC切⊙O于C，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∴∠OCF+∠PCF＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴＝，
∴∠DOB＝∠AOD＝90°，
∴∠ODF+∠OFD＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠ODF＝∠OCF，
∴∠PCF＝∠OFD，
又∵∠CFP＝∠OFD，
∴∠PFC＝∠CFP，
∴PC＝PF；
（3）由（2）知，
＝，
∴AD＝BD＝5，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝＝10，
∴OC＝5，
∵PC＝PF，
∴PC＝5，
∵tan∠BOC＝＝
∴∠BOC＝60°，
∵S△PCO＝OC PC＝＝，
S扇形BOC＝＝，
∴S阴影＝S△PCO﹣S扇形BOC＝﹣．
6．已知四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD．
（1）如图1，求证：点A到∠C两边的距离相等；
（2）如图2，已知BD与AC相交于点E，BD为⊙O的直径．①求证：tan∠CAD＝；②若∠CBD＝30°，AD＝，求AE的长．
【解答】证明：（1）如图1，连接AC，
∵AB＝AD，
∴，
∴∠ACB＝∠ACD，
∴点A到∠C两边的距离相等；
（2）①∵，
∴∠CAD＝∠CBD，
∵BD为直径，
∴∠BCD＝90°，
∴tan∠CAD＝tan∠CBD＝，
如图2，过点D作DQ∥EC，交BC延长线于点Q，
∴∠ACB＝∠Q，∠ACD＝∠CDQ，
又由（1）知：∠ACB＝∠ACD，
∴∠CDQ＝∠Q，
∴CD＝CQ，
∵CE∥DQ，
∴
∴，
∴tan∠CAD＝，
②如图，
由（2）①得：∠CAD＝∠CBD＝30°，
则tan∠CAD＝＝，
设DE＝a，则BE＝a，
∵BD为直径，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝AD＝3，
∴BD＝6，
∴a+a＝6，
解得：a＝3，
∴DE＝3﹣3，BE＝9﹣3，
又∵∠BCD＝90°，
∴CD＝BD sin∠CBD＝3，
∵∠BDC＝∠BAC，∠ABD＝∠ACD，
∴△BAE∽△CDE，
∴，
∴AE＝（3﹣3）×＝3﹣3．
7．如图，⊙O的内接四边形ABCD的两条对角线相交于点E，两组对边的延长线分别相交于点F，G，且∠F＝67.5°，∠G＝22.5°，＝，边AB过圆心O．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求∠BAC的正切值；
（3）若AB＝2，则CE CA的值等于多少？
【解答】解：（1）如图，∵AB经过圆心O，
∴AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵∠F＝67.5°，
∴∠DAC＝∠ACB﹣∠F＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵，
∴∠DAC＝∠BAC＝22.5°，
∴∠BAD＝22.5°+22.5°＝45°．
（2）如图，设⊙O的半径为r，连接OD，则OD＝OA＝OB＝r，
∴∠ODA＝∠OAD＝45°，
∴∠AOD＝∠GOD＝90°，
∵∠BDC＝∠BAC＝22.5°，∠G＝22.5°，
∴∠BDC＝∠BAC＝∠BGC，
∴BG＝BD＝＝r，
∴tan∠BAC＝tan∠BGC＝＝＝．
（3）如图，∵∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，
∴＝tan∠BAC＝，
∴AC＝（）BC，
由AC2+BC2＝AB2，且AB＝2，得（）2BC2+BC2＝22，
解得，BC2＝；
∵，
∴∠CBE＝∠CAB，
∵∠BCE＝∠ACB，
∴△BCE∽△ACB，
∴，
∴CE CA＝BC2＝．
8．如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，∠B＝2∠ACE，在BA的延长线上有一点P，使得∠P＝∠BAC，弦CE交AB于点F，连接AE．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）试判断△AEF的形状，并说明理由；
（3）若AF＝2，AE＝，求OA的长．
【解答】（1）证明：连接OE，
∴∠AOE＝2∠ACE，
∵∠B＝2∠ACE，
∴∠AOE＝∠B，
∵∠P＝∠BAC，
∴∠ACB＝∠OEP，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OEP＝90°，
∴PE是⊙O的切线；
（2）解：△AEF是等腰三角形，理由如下：
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA．
∵∠AFE＝∠AOE+∠EFO，∠AOE＝∠B，∠B＝∠AEF，
∴∠AOE＝∠AEF．
∴∠AFE＝∠AEF+∠FEO＝∠OEA．
∴∠OAE＝∠AFE．
∴△AEF是等腰三角形；
（3）∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠AFE，
∴∠OAE＝∠OEA＝∠EAF＝∠AFE，
∴△AEF∽△AOE，
∴＝，
∵AF＝2，AE＝EF＝，
∴OA＝5．
9．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）求∠APC和∠BPC的度数；
（2）求证：△ACM≌△BCP；
（3）若PA＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积；
（4）在（3）的条件下，求的长度．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵，，
∴∠APC＝∠ABC＝60°，∠BPC＝∠BAC＝60°；
（2）证明：∵CM∥BP，
∴∠BPM+∠M＝180°，
∠PCM＝∠BPC，
∵∠BPC＝∠BAC＝60°，
∴∠PCM＝∠BPC＝60°，
∴∠M＝180°﹣∠BPM＝180°﹣（∠APC+∠BPC）＝180°﹣120°＝60°，
∴∠M＝∠BPC＝60°，
又∵A、P、B、C四点共圆，
∴∠PAC+∠PCB＝180°，
∵∠MAC+∠PAC＝180°
∴∠MAC＝∠PBC
∵AC＝BC，
在△ACM和△BCP中，
，
∴△ACM≌△BCP（AAS）；
（3）∵CM∥BP，
∴四边形PBCM为梯形，
作PH⊥CM于H，
∵△ACM≌△BCP，
∴CM＝CP，AM＝BP，
又∠M＝60°，
∴△PCM为等边三角形，
∴CM＝CP＝PM＝PA+AM＝PA+AMB＝1+2＝3，
在Rt△PMH中，∠MPH＝30°，
∴PH＝，
∴S四边形PBCM＝（PB+CM）×PH＝（2+3）×＝；
（4）过点B作BQ⊥AP，交AP的延长线于点Q，过点A作AN⊥BC于点N，连接OB，
∵∠APC＝∠BPC＝60°，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠PBQ＝30°，
∴PQ＝PB＝1，
在Rt△BPQ中，BQ＝，
在Rt△AQB中，AB＝，
∵△ABC为等边三角形，
∴AN经过圆心O，
∴BN＝AB＝，
∴AN＝，
在Rt△BON中，设BO＝x，则ON＝，
∴，
解得：x＝，
∵∠BOA＝∠BCA＝120°，
∴的长度为．
10．如图，点B是⊙C上的一点，点A是直径ED延长线上的一点，连接AB，EB，BD，且∠ABD＝∠E．
（1）求证：直线AB是⊙C的切线；
（2）当时，求tanE；
（3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF＝4，求⊙C的半径．
【解答】证明：（1）连接CB，如图，
∵ED为圆的直径，
∴∠DBE＝90°．
∴∠CBD+∠CBE＝90°．
∵CB＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴∠CBD+∠CEB＝90°．
∵∠ABD＝∠E，
∴∠CBD+∠ABD＝90°，
即∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC．
∴直线AB是⊙C的切线；
（2）过点D作DH⊥AB于点H，如图，
则DH∥BC．
∵，
∴设AB＝4x，则BC＝3x．
∵AB⊥BC，
∴AC＝＝5x，
∵CD＝CB＝3x，
∴AD＝AC﹣CD＝2x．
∵DH∥BC，
∴＝．
∴，．
∴DH＝x，AH＝x．
∴BH＝AB﹣AH＝x，
在Rt△BHD中，tan∠HBD＝．
∵∠ABD＝∠E，
∴tanE＝tan∠HBD＝．
（3）过点F作FM⊥CE于M，如图，
∵tanE＝，
∴．
由（2）知：AB＝4x，BC＝3x，AC＝5x，AD＝2x，
∵CE＝CB＝3x，
∴AE＝AD+CD+CE＝8x．
∵AF是∠BAC的平分线，
∴．
∴FE＝BE．
在Rt△BDE中，tanE＝＝，
则BE＝2BD．
∵BD2+BE2＝DE2，
∴BD2+（2BD）2＝（6x）2．
∴BD＝，
∴BE＝2BD＝x．
∴FE＝x．
在Rt△BDE中，tanE＝＝，则ME＝2MF．
∵FM2+ME2＝FE2，
∴．
∴FM＝x．
∴ME＝2FM＝x，
∴AM＝AE﹣ME＝（8﹣）x＝x．
在Rt△AFM中，
∵AM2+FM2＝AF2，
∴．
解得：x＝±（负数不合题意，舍去）．
∴x＝．
∴⊙C的半径CE＝3x＝．
11．如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上的一点，以CD为直径的⊙O交BC于E，连接AE交CD于G，交⊙O于F，连接DF，∠BAC＝∠EFD．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）如图2，若AF：FG＝3：2，
①若AF＝6，求线段CG的长；
②求tan∠CAE的值．
【解答】证明：（1）∵∠BCD＝∠DFE，∠BAC＝∠EFD，
∴∠BCD＝∠BAC．
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∴∠BCD+∠B＝90°．
即∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB．
∴AB与⊙O相切；
解：（2）①连接CF，如图，
∵AF：FG＝3：2，AF＝6，
∴FG＝4．
∴AG＝AF+FG＝10．
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CFD＝90°，
∴∠FCD+∠FDC＝90°．
∵∠CEF＝∠FDC，
∴∠FCD+∠FEC＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠CEF＝90°．
∴∠FCD＝∠CAE．
∵∠CGF＝∠AGC，
∴△CGF∽△AGC．
∴．
∴CG2＝AG GF＝4×10＝40．
∴CG＝2．
②过点F作FH⊥CD于点H，如图，
∵FH⊥CD，AD⊥CD，
∴FH∥AD．
∴．
设DH＝3x，则GH＝2x，
∴CH＝HG+CG＝2+2x．
∵∠CFD＝90°，FH⊥CD，
∴△FHD∽CHF．
∴．
∴FH2＝HD CH＝3x（2+2x）．
在Rt△FGH中，
∵FH2+CH2＝FG2，
∴3x（2+2x）+（2x）2＝42．
解得：x＝或x＝﹣（不合题意，舍去）．
∴GH＝，FH＝，
∴CH＝CG+GH＝．
在Rt△FCH中，tan∠FCH＝．
∵∠FCH＝∠CAE，
∴tan∠CAE＝tan∠FCH＝．
12．如图，AB、CD都是⊙O的直径，连接AD，BC．
（1）求证：AD＝BC；
（2）过D点作⊙O的切线DE交BA的延长线于点E，F是BE上一点，连接CF交⊙O于点M，若ED＝CF，求证：∠BED＝∠CFB．
（3）在（2）的条件下，连接DM交EB于点N，连接CN，若tan∠CNO＝，ON＝2，求DE的长．
【解答】（1）证明：∵在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴AD＝BC；
（2）证明：如图2，过点C作CG⊥AB于G，过点D作DH⊥AB于H，
在△ODH和△OCG中，
，
∴△ODH≌△OCG（AAS），
∴DH＝CG，
在Rt△EDH和Rt△FCG中，
，
∴Rt△EDH≌Rt△FCG（HL），
∴∠BED＝∠CFB；
（3）解：如图3，过点C作CG⊥AB于G，过点D作DH⊥AB于H，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CMD＝90°，
∴∠FMN＝90°，
∴∠MFN+∠FNM＝90°，
∵ED是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠NOD+∠E＝90°，
∵∠BED＝∠CFB，∠FNM＝∠DNO，
∴∠DNO＝∠NOD，
∴DN＝DO，
∵DH⊥AB，ON＝2，
∴NH＝HO＝，
由（2）可知：△ODH≌△OCG，
∴OG＝OH＝，
∴NG＝3，
∵tan∠CNO＝＝，
∴CG＝2，
由勾股定理得：OC＝＝＝5，
∵∠EDO＝∠CGO＝90°，∠EOD＝∠COG，
∴△EOD∽△COG，
∴＝，即＝，
解得：ED＝10．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AB＝2，＝，D是⊙O上一动点，连接BD，过点B作BE⊥BD交直线DC于点E．
（1）当点D是的中点时，求△BCD的面积；
（2）过点B作BF⊥DE于点F，求的值；
（3）在点D运动过程中，求线段AE的最大值．
【解答】解：（1）过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，连接OD交AC于点M，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
设AC＝x，则BC＝2x，
在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，
∴（x）2+（2x）2＝（2）2，
解得x＝2或﹣2（舍去），
∴AC＝2，BC＝4，
∵点D是的中点，
∴OD⊥AC，AM＝CM，
∴四边形CHDM是矩形，
∴DH＝CM＝AC＝，
∴S△BCD＝×DH×BC＝××4＝2；
（2）在Rt△ACB中，cos∠CAB＝＝＝，
∵∠EDB＝∠CAB，
∴cos∠EDB＝∠cosCAB＝，
在Rt△BFD中，cos∠FDB＝，
∴DF＝BD，
在Rt△BED中，cos∠EDB＝，
∴BD＝DE，
∴DF＝DE，
∴＝；
（3）当点D与点A重合时，AE的值最大，此时BD与AB重合，
由（2）知，BD＝DE，且BD＝AB＝2，
∴AE＝DE＝．
14．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE＝CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；
（3）如果BE＝10，sinA＝，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵OB＝OA，CE＝CB，
∴∠A＝∠OBA，∠CEB＝∠ABC，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AED＝∠A+∠CEB＝90°，
∴∠OBA+∠ABC＝90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：如图1，连接OF，AF，BF，
∵DA＝DO，CD⊥OA，
∴AF＝OF，
∵OA＝OF，
∴△OAF是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∴∠ABF＝∠AOF＝30°；
（3）解：连接OF，如图2所示：
∵DA＝DO，CD⊥OA，
∴AF＝OF＝OA，
过点O作OG⊥AB于点G，则AG＝BG，
在Rt△AOG中，sin∠BAO＝＝＝，
设DE＝5x，则AE＝13x，AD＝12x，AO＝24x，
∵BE＝10，
∴AB＝10+13x，
则AG＝AB＝5+x，
又∵Rt△AOG中，sin∠BAO＝，则＝，
则＝，
解得x＝，
∴AO＝24x＝．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，且与BC相切于点D，连接OF．解答下列问题：
（1）∠BAC与∠OFA之间的关系是 相等 ；
（2）求证：∠AFO＝2∠BAD；
（3）若＝，求tan的值．
【解答】解：（1）∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA，
即∠BAC＝∠OFA，
故答案为：相等；
（2）证明：连接OD，如图，
∵BC为切线，
∴OD⊥BC，
∵∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠OAC＝2∠OAD，
∵OA＝OF，
∴∠OAC＝∠AFO，
∴∠AFO＝2∠BAD；
（3）作OH⊥AF于H，如图，则AH＝HF，
∵＝，
∴设AH＝HF＝2x，则CF＝3x，
∵∠ODC＝∠C＝∠OHC＝90°，
∴四边形ODCH为矩形，
∴OH＝CD，OD＝CH＝2x+3x＝5x，
在Rt△AOH中，OH＝＝x，
∴CD＝x，
在Rt△ACD中，tan∠CAD＝＝＝．
∴tan的值为．
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当AB＝AC时，若CE＝3，EF＝5，
①求证：DE＝EF；
②求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图（1），连接BD，
∵∠BAD＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝∠DCE＝90°，
∴∠DEC+∠CDE＝90°，
∵∠BAC＝∠BDC，∠BAC＝∠DEC，
∴∠BDC+∠CDE＝90°，即∠BDE＝90°，
∴DE是⊙O的切线．
（2）①证明：由（1）得：∠BDE＝90°，
∴∠ADB+∠EDF＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠ABC+∠F＝90°，
∴∠ADB+∠EDF＝∠ABC+∠F，
∵AB＝AC，
∴∠ADB＝∠ABC，
∴∠EDF＝∠F，
∴DE＝EF．
②解：∵DE＝EF，
∴DE＝EF＝5，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴CD＝＝＝4，
∠BDC+∠DBC＝90°，
又∵∠BDC+∠EDC＝90°，
∴∠DBC＝∠EDC，
∴△CDE∽△CBD，
∴，
∴，
∴BD＝，
∴⊙O的半径为．
17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是的直径，D是AB延长线上的一点，连接DC，∠DCB＝∠A，CE⊥AB于点E．
（1）求证DC是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，tan∠BCE＝，求DC的长；
（3）在（2）的条件下，若M是线段AC上一动点，求OM+AM的最小值．
【解答】（1）证明：如图，
根据题意连接OC，则有OC＝OA，
∴∠A＝∠OCA＝∠BCD，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，即∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∴DC是⊙O的切线．
（2）由（1）可知∠A+∠ABC＝90°，∠ECB+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠ECB，
∴Rt△ABC～Rt△CBE，
∴＝，
∵AC＝4，tan∠BCE＝，
∴＝＝，解得BC＝2，
∴AB＝＝2，
∴OC＝OB＝，
∵＝，即，解得BE＝，
∴CE＝，
∵Rt△DCE与Rt△DOC有公共角∠D，
∴Rt△DCE～Rt△DOC，
∴＝，即DC2＝DO DE＝（+BD）（+BD），
在Rt△DOC中有：DC2+OC2＝OD2，
即（+BD）（+BD）+＝（+BD）2，
解得BD＝，
∴DC＝＝．
（3）如图，作点O关于AC的对称点O′，连接AO′，CO′，OC，O′M，过点M作MH⊥AO于H．过点O′作O′P⊥AB于P．
∵tan∠MAH＝＝，
∴MH＝AM，
∵MO＝MO′，
∴OM+AM＝O′M+MH≤O′P，
∴当M，H在O′P上时，OM+AM的值最小，最小值为线段O′P的长，
∵OA＝OC＝AO′＝CO′，
∴四边形AOCO′是菱形，
∴S菱形AOCO′＝ AC OO′＝AO PO′，
∴PO′＝＝，
故OM+AM的最小值为．
18．如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠ADC＝，AC＝2，求⊙O的半径；
（3）如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE．求sin∠DBE的值．
【解答】解：（1）CD与⊙O相切，理由：
如图1，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠CDA＝∠ODB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD与⊙O相切；
（2）由（1）知，∠CBD＝∠ADC，
∵tan∠ADC＝，
∴tan∠CBD＝，
在Rt△ADB中，tan∠CBD＝＝，
∵∠C＝∠C，∠ADC＝∠CBD，
∴△CAD∽△CDB，
∴，
∴CD＝2CA＝4，
∴CB＝2CD＝8，
∴AB＝CB﹣CA＝8﹣2＝6，
∴OA＝OB＝AB＝3；
（3）如图2，连接OE，过点E作EG⊥BD于G，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠BDE＝45°，
∴∠BOE＝2∠BDE＝90°，
∴BE＝＝3，
在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2＝62，
∵，
∴AD＝，BD＝，
∵EG⊥BD，∠BDE＝45°，
∴∠DEG＝∠BDE＝45°，
∴DG＝EG，
设DG＝EG＝x，则BG＝BD﹣DG＝﹣x，
在Rt△BEG中，EG2+BG2＝BE2＝（3）2＝18，
∴x2+（﹣x）2＝18，
∴x＝或x＝（舍），
∴EG＝，
∴sin∠DBE＝＝．
19．如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F．
（1）求证：△ADG∽△CFG．
（2）若G是的中点，当CG与△ADE的一边平行时，求的值．
（3）如图2，点E是OB的中点，AB＝8，连接BG，BD，BC．当DG+CG＝6时，求cosF的值．
【解答】解：（1）∵四边形AGCD为⊙O的内接四边形，
∴∠AGC+∠ADC＝180°，∠DAG+∠DCG＝180°，
∵∠AGC+∠CGF＝180°，∠DCG+∠GCF＝180°，
∴∠CGF＝∠ADC，∠DAG＝∠GCF，
∴△ADG∽△CFG；
（2）①当CG∥AD时，
∵G是的中点，
∴
∴AG＝CG，
则△ADG≌△CFG（AAS），
∴∠ADG＝∠F，∠DAG＝∠DAG，
∴△DAG∽△AFD，
∴，
设CF＝x，AG＝y，
∴，
解得x＝y，
∴；
②当CD∥AE时，
∴∠GCF＝90°
∵∠DOB＝∠AOG，
∴，
∴，
∴∠AOG＝60°，
∴∠GDA＝∠F＝30°，
∴＝tanF＝tan30°＝；
（3）延长CD至点M，使DM＝CG，连BM，过B作BN⊥MG，连OD，
∵MD＝CG，∠MDB＝∠BCG，BD＝BC，
∴△MDB≌△GCB（SAS），
∴BM＝GB，
∵E为OB中点，CD⊥AB，
∴OD＝BD＝OB，
∴△BDO为等边三角形，
∴∠DOB＝60°，
∴∠DGB＝30°，
∴GM＝DG+DM＝DG+GC＝6，
∴GN＝GM＝3，GB＝6，
由（1）得，∠F＝∠ADG＝∠ABG，
在Rt△ABG中，cosF＝cos∠ABG＝．
20．如图，四边形BCDE是⊙O的内接四边形，DE是⊙O的直径，BC、ED的延长线交于点A，连接CE、BD交于点F，DF2＝FC FE，点H是线段CE上一点连接BH、DH．
（1）求证：DF＝BF；
（2）若∠BEC＝∠DBH，∠BDE＝45°，求；
（3）在（2）的条件下，若AE＝AC，CB+DE＝2+2．求线段AC的长度．
【解答】（1）证明：∵∠BCE＝∠EDB，∠CBD＝∠DEC，
∴△BCF∽△EDF，
∴＝，
∴DF BF＝FC FE，
∵DF2＝FC FE，
∴DF2＝DF BF，
∴DF＝BF；
（2）解：∵∠BEC＝∠BDC，∠BEC＝∠DBH，
∴∠BEC＝∠BDC＝∠DBH，
∴CD∥BH，
∴△CFD∽△HFB，
∴＝，
∵DF＝BF，
∴CF＝HF，
∴四边形CDHB是平行四边形，
∴BC∥DH，
∴∠DHC＝∠BCE＝∠BDE＝45°，∠BHC＝∠DCE＝90°，
∴△DHC、△BHC是等腰直角三角形，
∴＝，
∵CF＝HF，
∴CH＝2CF，
∴＝2；
（3）解：∵四边形CDHB是平行四边形，
∴HD∥BC，HD＝BC，CD∥BH，CD＝BH，
∴＝，
∴，
∵AE＝AC，
∴DE＝DH，
∵CB+DE＝2+2．
∵HD＝BC，
∴DH+DH＝2+2．
解得：DH＝2，
∴DE＝2．
∵△DHC、△BHC是等腰直角三角形，
∴CD＝CH＝BH＝，BE＝，
∵∠CHB＝90°，
∴∠EHB＝90°，
∴EH＝＝2，
∴CE＝CH+EH＝3，
∵四边形BCDE是⊙O的内接四边形，
∴∠CDE+∠EBC＝180°,
∵∠CDE+∠ADC＝180°,
∴∠ADC＝∠EBC，
∵∠DCE＝90°，∠BCE＝45°，
∴∠ACD＝∠ECB＝45°，
∴△ACD∽△ECB，
∴，即＝，
∴AC＝3．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与⊙O交于点F，延长BA到点G，使得∠BGF＝∠GBC，连接FG．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3．
①当OD＝2，求AD的长度；
②当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积．
【解答】（1）证明：连接AF，
∵BF为⊙O的直径，
∴∠BAF＝90°，∠FAG＝90°，
∴∠BGF+∠AFG＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠AFB，∠BGF＝∠ABC，
∴∠BGF＝∠AFB，
∴∠AFB+∠AFG＝90°，即∠OFG＝90°，
∴OF⊥FG，
又∵OF为半径，
∴FG是⊙O的切线；
（2）解：①连接CF，则∠ACF＝∠ABF，
∵AB＝AC，AO＝AO，BO＝CO，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠ABO＝∠BAO＝∠CAO＝∠ACO，
∴∠CAO＝∠ACF，
∴AO∥CF，
∴＝，
∵半径是3，OD＝2，
∴DF＝OF﹣OD＝1，BD＝OB+OD＝5，
∴＝＝2，即CD＝AD，
∵∠ABD＝∠FCD，∠ADB＝∠FDC，
∴△ADB∽△FDC，
∴＝，
∴AD CD＝BD DF，
∴AD CD＝5，即AD2＝5，
∴AD＝（负值舍去）；
②∵△ODC为直角三角形，∠DCO不可能等于90°，
∴存在∠ODC＝90°或∠COD＝90°，
当∠ODC＝90°时，
由①知∠ACO＝∠ACF，
∴OD＝DF＝，BD＝，
∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
由①可知AD CD＝BD DF，
∴AD CD＝AD2＝×＝，
∴AD＝，
∴AC＝2AD＝3，
∴S△ABC＝×AC×BD＝×3×＝；
当∠COD＝90°时，
∵OB＝OC＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴BC＝3，
延长AO交BC于点M，则AM⊥BC，
∴MO＝，
∴AM＝3+，
∴S△ABC＝×BC×AM＝×3×（3+）＝，
∴△ABC的面积为或．
22．如图，△ABC内接于⊙O，∠CBG＝∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD．
（1）求证：PG与⊙O相切：
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为4，PD＝OD，求EC的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OB，则OB＝OD，
∴∠BDC＝∠DBO，
∵∠BAC＝∠BDC、∠BDC＝∠GBC，
∴∠GBC＝∠BDC，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBO+∠OBC＝90°，
∴∠GBC+∠OBC＝90°，
∴∠GBO＝90°，
∴PG与⊙O相切；
（2）解：过点O作OM⊥AC于点M，连接OA，
则∠AOM＝∠COM＝∠AOC，
∵＝，
∴∠ABC＝∠AOC，
又∵∠EFB＝∠OMA＝90°，
∴△BEF∽△OAM，
∴＝，
∵AM＝AC，OA＝OC，
∴＝，
又∵＝，
∴＝2×＝2×＝2×＝；
（3）解：∵PD＝OD，∠PBO＝90°，
∴BD＝OD＝4，
在Rt△DBC中，BC＝＝＝4，
又∵OD＝OB，
∴△DOB是等边三角形，
∴∠DOB＝60°，
∵∠DOB＝∠OBC+∠OCB，OB＝OC，
∴∠OCB＝30°，
∴＝，＝，
∴可设EF＝x，则EC＝2x、FC＝x，
∴BF＝4﹣x，
∵＝，且OC＝4，
∴BE＝5，
在Rt△BEF中，BE2＝EF2+BF2，
∴100＝x2+（4﹣x）2，
解得：x＝6±，
∵＞4，舍去，
∴x＝，
∴EC＝6﹣，
∴OE＝4﹣（6﹣）＝﹣2．
23．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是边AC上一动点，且不与A，C两点重合，连接BD，过点D作DE⊥BD交边BC于点E，△BDE的外接圆交边AB于另一点F，连接DF．
（1）求证：△ADF∽△DBE．
（2）当AB＝6，AC＝8时．
①若AD＝3AF，求AD的长．
②当线段DE，DF，BF中有两条相等时，求出所有符合条件的tan∠ADF的值．
（3）若BD平分∠ABC，S△ADF＝1，S△BDE＝6，则S△CDE＝ ．
【解答】解：（1）证明：∵四边形FBED为圆内接四边形，
∴∠DFA＝∠DEB，
∵DE⊥BD，
∴∠EDB＝∠A＝90°，
∴△ADF∽△DBE；
（2）连接EF，
①设AF＝t，AD＝3t，
则BF＝6﹣t，BD＝，
∵∠EDB＝90°，
∴EB为直径，
∴∠EFB＝∠A＝90°，
∵∠EBF＝∠CBA，
∴△EFB∽△CAB，
∴＝，
∴BE＝（6﹣t），
∵△ADF∽△DBE，
∴＝，
∴＝，
整理得，13t2+60t﹣108＝0，
解得，t＝或t＝﹣6（舍去），
∴AD＝3t＝．
②设AF＝t，tan∠ADF＝m，
则AD＝，DB＝，BE＝（6﹣t），
1°．当BF＝DF＝6﹣t时，
∵△ADF∽△DBE；
∴＝，
∴＝，
解得m＝t，
∴AD＝，
在Rt△ADF中，由勾股定理得，
AF2+AD2＝FD2，
即t2+（）2＝（6﹣t）2，
解得t＝，
∴tan∠ADF＝m＝t＝；
2°．当DF＝DE＝时，
∵△ADF∽△DBE；
∴＝，
∴＝，
＝10t﹣t2①，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
BD2+DE2＝BE2，
即36+++t2＝[（6﹣t）]2②，
将①代入②得，
36+10t﹣t2+10t﹣t2+t2＝[（6﹣t）]2，
整理得，2t2﹣15t+18＝0
解得t＝6（舍去）或t＝，
将t＝代入①得，
m2＝，
∴m＝；
3°．当BF＝DE＝6﹣t时，
∵BE＝BE，
∴Rt△EFB≌Rt△BDE（HL），
∴∠DBE＝∠FEB，
∵△ADF∽△DBE，
∴∠ADF＝∠DBE，
∴∠ADF＝∠FEB，
∵∠EFB＝∠A＝90°
∴EF∥AC，
∴∠FEB＝∠ACB，
∴∠ADF＝∠ACB，
∴tan∠ADF＝tan∠ACB＝＝，
综上所有符合条件的tan∠ADF的值为：或或；
（3）设AF＝t，
∵S△ADF＝AF AD＝1，
∴AD＝，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ADF，
∴△ADF∽△ABD，
∴＝，
∴AB＝，
∴BF＝﹣t，
∵△ADF∽△DBE，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴BD＝AD＝，
BE＝DF＝×，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AD2+AB2＝BD2，
即（）2+（）2＝（）2，
t4＝，
∵△EFB∽△CAB，
∴＝，
∴BC＝＝＝＝4××＝×，
∴AC2＝BC2﹣AB2＝（×）2﹣（）2＝（t2+）﹣＝×（+4×）﹣16×（）3＝，
AB2＝（）2＝16×（）3＝10，
∴AC2 AB2＝10×＝625，
∴S△ABC＝AB AC＝，
∵△ADF∽△ABD，
∴＝（）2＝＝，
∴S△ADB＝5S△ADF＝5，
∴S△CDE＝S△ABC﹣S△ADB﹣S△BDE＝﹣5﹣6＝．
24．如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CF AF＝FO AH；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．
【解答】（1）证明：如图1中，连接BC．
∵＝，
∴∠DCB＝∠DBC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠BCE＝90°，
∴∠E+∠DBC＝90°，∠ECD+∠DCB＝90°，
∴∠E＝∠DCE，
∴CD＝ED．
（2）①证明：如图2中，
∵CF＝CH，
∴∠CFH＝∠CHF，
∵∠AFO＝∠CFH，
∴∠AFO＝∠CHF，
∵＝，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴△AFO∽△AHC，
∴＝，
∴＝，
∴CF AF＝OF AH．
②解：如图3中，连接OD交BC于G．设OG＝x，则DG＝2﹣x．
∵＝，
∴∠COD＝∠BOD，
∵OC＝OB，
∴OD⊥BC，CG＝BG，
在Rt△OCG和Rt△BGD中，则有22﹣x2＝12﹣（2﹣x）2，
∴x＝，即OG＝，
∵OA＝OB，
∴OG是△ABC的中位线，
∴OG＝AC，
∴AC＝．
25．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若＝，求BF的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠BCO，
又∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）过C作CM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图：
∵⊙O的半径为，
∴AB＝2，
∵△ABC的面积为2，
∴AB CM＝2，即×2 CM＝2，
∴CM＝2，
Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣∠CBA，
Rt△ABC中，∠A＝90°﹣∠CBA，
∴∠BCM＝∠A，
∴tan∠BCM＝tanA，即＝，
∴＝，
解得BM＝﹣1，（BM＝+1已舍去），
∵∠BCD＝∠A，∠BCM＝∠A，
∴∠BCD＝∠BCM，
而∠BMC＝∠BNC＝90°，BC＝BC，
∴△BCM≌△BCN（AAS），
∴CN＝CM＝2，BN＝BM＝﹣1，
∵∠DNB＝∠DMC＝90°，∠D＝∠D，
∴△DBN∽△DCM，
∴＝＝，
即＝＝，
解得DN＝2﹣2，
∴CD＝DN+CN＝2；
方法二：过C作CM⊥AB于M，连接OC，如图：
∵⊙O的半径为，
∴AB＝2，
∵△ABC的面积为2，
∴AB CM＝2，即×2 CM＝2，
∴CM＝2，
Rt△MOC中，OM＝＝1，
∵∠DMC＝∠CMO＝90°，∠CDM＝90°﹣∠DCM＝∠OCM，
∴△DCM∽△COM，
∴＝，即＝，
∴CD＝2；
（3）过C作CM⊥AB于M，过E作EH⊥AB于H，连接OE，如图：
∵CM⊥AB，EH⊥AB，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝＝，
由（2）知CM＝2，BM＝﹣1，
∴HE＝1，MF＝2HF，
Rt△OEH中，OH＝＝＝2，
∴AH＝OA﹣OH＝﹣2，
设HF＝x，则MF＝2x，
由AB＝2可得：BM+MF+HF+AH＝2，
∴（﹣1）+2x+x+（﹣2）＝2，
解得：x＝1，
∴HF＝1，MF＝2，
∴BF＝BM+MF＝（﹣1）+2＝+1．
26．如图1，以△ABC的边AC为直径作⊙O交BC于点D，连接AD，点E为AD上一点（不与端点重合），连接CE，作DF⊥CE于点F，延长DF交AC于点M，交BA的延长线于点G，∠BGD＝∠ACE．
（1）求证：BG是⊙O的切线；
（2）求证：；
（3）如图2，延长CE交AB于点H，若HE＝4，∠ACH＝∠BCH，sin∠BGD＝，求BC的长．
【解答】解：（1）∵∠BGD＝∠ACE，且∠AMG＝∠CMF，
∴180°﹣∠BGD﹣∠AMG＝180°﹣∠ACE﹣∠CMF，即∠GAM＝∠CFM，
∵DF⊥CE，
∴∠GAM＝∠CFM＝90°，
∴OA⊥BG，
∴BG是⊙O的切线；
（2）∵AC为⊙O直径，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵OA⊥BG，
∴∠B＝90°﹣∠ACB＝∠DAC，
∴△ADB∽△CDA，
∴＝，
∴AB AD＝AC BD，
∵∠B＝∠DAC，∠BGD＝∠ACE，
∴△BGD∽△ACE，
∴＝，
∴AC BD＝BG AE，
∴AB AD＝BG AE，
∴；
（3）设CH交⊙O于N，连接AN，如图：
∵AC为⊙O直径，
∴∠ADC＝90°＝∠ANC，
∵DF⊥CE，
∴∠FCD＝90°﹣∠FDC＝∠EDF，AN∥DG，
∴∠BGD＝∠HAN，∠NAD＝∠ADG，
∵∠ACH＝∠BCH，∠BGD＝∠ACE，
∴∠ACH＝∠BCH＝∠EDF＝∠BGD＝∠HAN＝∠NAD，
在△AHN和△AEN中，
∴△AHN≌△AEN（ASA），
∴HN＝EN＝HE，AH＝AE，
∵HE＝4，
∴HN＝EN＝2，
∵sin∠BGD＝，
∴sin∠HAN＝，
Rt△AHN中，＝可得AH＝5＝AE，
Rt△AHC中，sin∠ACH＝sin∠BGD＝，
∴＝，可得CH＝，
∴AC＝＝，EC＝CH﹣HE＝，
∵∠B＝∠DAC，∠ACE＝∠BCH，
∴△AEC∽△BHC，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝．
27．如图，点I是O△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD，BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，BE＝5，求DI的长；
（3）若sin∠ACD＝，CD＝10，求△ACD的内心到点O的距离．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵点I是△ABC的内心，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴＝，
∴OD⊥AC，DC＝DA，
∴∠ODA＝∠CDA，
∵DG平分∠ADF，
∴∠ADG＝∠ADF，
∴∠ODG＝∠ODA+∠ADG＝（∠CDA+∠ADF）＝90°，
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切线．
（2）解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAI＝∠CAI，
∵∠EIA＝∠IBA+∠IAB＝∠CAD+∠CAI，
即∠DIA＝∠DAI，
∴DA＝DI，
∵∠DAE＝∠DBA，∠ADE＝∠BDA，
∴△DAE∽△DBA，
∴AD：DB＝DE：DA，
即AD：9＝4：AD，
∴AD＝6，
∴DI＝6．
（3）解：如图，连接OD交AC于T，设G是△ACD的内心，连接CG，OC．
∵DC＝DA，OD⊥AC，
∴OD平分∠CDA，
∴△ACD的内心在DT上，
在Rt△CDT中，CD＝10，sin∠DCT＝＝，
∴DT＝6，
∴CT＝AT＝＝＝8，
设OD＝OC＝x，
在Rt△OCE中，则有x2＝82+（x﹣6）2，
∴x＝，
∴OT＝﹣6＝，
∵G是△ACD的内心，
∴ （CD+AD+AC） GT＝ AC DT，
∴GT＝＝，
∴OG＝OT+GT＝+＝5．
∴△ACD的内心到点O的距离为5．
28．如图，以Rt△ABC的斜边AC为直径作⊙O，点D在半径OC上，过点D作AC的垂线，分别交弦BC于点E，交⊙O于F．在射线DE上取点G，连接GB并延长交CA的延长线于点H，且满足GB＝GE．
（1）求证：HG是⊙O的切线；
（2）若GE＝BE，HB＝．
（i）求⊙O的半径；
（ii）如图2，连接AF，交弦BC于点M，若AF∥HG，求线段OD的长．
【解答】解：（1）连接OB，如图：
∵GB＝GE，
∴∠GBE＝∠GEB＝∠CED，
∵GD⊥AC，
∴∠CED+∠ECD＝90°，
∴∠GBE+∠ECD＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠ECD＝∠OBC，
∴∠GBE+∠OBC＝90°，
∴OB⊥HG，
∴HG是⊙O的切线；
（2）（i）过G作GM⊥BC于M，如图：
∵GB＝GE，GM⊥BC，
∴ME＝BE，
∵GE＝BE
∴＝，
∴cos∠GEM＝，
∴cos∠CED＝，
∵AC为⊙O直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠C＝∠CED，
∴cos∠BAC＝，
设AB＝k，则AC＝k，BC＝2k，
∵HG为⊙O切线，
∴∠C＝∠HBA，
而∠H＝∠H，
∴△HBA∽△HCB，
∴＝＝＝＝，
∵HB＝，
∴HC＝，HA＝，
∴AC＝HC﹣HA＝2，
∴⊙O的半径为；
（ii）连接CF，过F作FN⊥BC于N，如图：
由（i）知：AC＝2，cos∠BAC＝，
∴AB＝2，BC＝4，
∵AF∥HG，
∴∠AMB＝∠GBC，
∵GB＝GE，
∴∠GBC＝∠GEM，
∴∠AMB＝∠GEM，
∴cos∠AMB＝cos∠GEM＝，
Rt△ABM中，设BM＝t，则AM＝t，AB＝2t，
∴2t＝2，解得t＝1，
∴BM＝1，AM＝，
∴CM＝BC﹣BM＝3，
∵BC与AF是⊙O的相交弦，
∴AM MF＝BM CM，即 MF＝1×3，
∴MF＝，
Rt△FNM中，cos∠FMN＝cos∠AMB＝，
∴＝，
∴MN＝，ME＝，
∴CE＝CM﹣ME＝，
Rt△CED中，cos∠CED＝cos∠GEB＝，
∴ED＝，CD＝，
∴OD＝OC﹣CD＝．
29．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E，连接AD，CD．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AB＝6，tanA＝，求BE的长；
（3）线段AB，BE，CE之间有何数量关系？写出你的结论并证明．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BE，
∵BE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝6，tanA＝，
∴BD＝AD，
设AD＝m，则BD＝m，
∴m2+2m2＝36，
∴m＝2或﹣2（舍弃），
∴AD＝2，BD＝2，
∵BE⊥DE，
∴∠ADB＝∠BED＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴△ABD∽△DBE，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝4．
（3）解：结论CE＝AB﹣BE，
理由：过D作DH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，
∴DH＝DE，
在Rt△BED与Rt△BHD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△BHD（HL），
∴BH＝BE，
∵∠DCE＝∠A，∠DHA＝∠DEC＝90°，
∴△ADH≌△CDE（AAS），
∴AH＝CE，
∵AB＝AH+BH，
∴AB＝BE+CE，
∴CE＝AB﹣BE．
30．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点E在圆外，OE⊥AC于点D，BE交⊙O于点F，连接BD、BC、CF，∠BFC＝∠AED．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）求证：OB2＝OD OE；
（3）设△BAD的面积为S1，△BDE的面积为S2，若tan∠ODB＝，求的值．
【解答】解：（1）证明：∵∠BFC＝∠AED，
又∠BFC＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠AED，
∵OE⊥AC于点D，
∴∠ADE＝∠ADO＝90°，
∴∠AED+∠EAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝90°，即∠OAE＝90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（2）∵∠OAE＝∠ADO＝90°，∠AOD＝∠EOA，
∴△AOD∽△EOA，
∴，
∴OA2＝OD OE，
∵OB＝OA，
∴OB2＝OD OE；
（3）∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADO＝90°，
∴∠ACB＝∠ADO，
∴OE∥BC，
∴∠ODB＝∠DBC，
在Rt△BCD中，tan∠DBC＝tan∠ODB＝＝，
设DC＝2m，则BC＝3m，
∴OD＝BC＝，
∵OE⊥AC于点D，
∴AD＝DC＝2m，
∴OA＝OB＝＝，
由（2）知OB2＝OD OE，
∴，
而∠BOD＝∠EOB，
∴△BOD∽△EOB，
∴，
∴设S△BOD＝9k，则S△EOB＝25k，
∴△BDE的面积为S2＝S△EOB﹣S△BOD＝16k，
而△BAD的面积为S1＝2S△BOD＝18k，
∴＝＝．
31．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，D为圆上一点，且B，D两点位于AC异侧，连接BD，交AC于E，点F为BD延长线上一点，连接AF，使得∠DAF＝∠ABD．
（1）求证：AF为⊙O的切线；
（2）当点D为EF的中点时，求证：AD2＝AO AE；
（3）在（2）的条件下，若sin∠BAC＝，AF＝2，求BF的长．
【解答】（1）证明：连接CD．
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ABD＝∠ACD，∠DAF＝∠ABD，
∴∠DAF＝∠ACD，
∴∠DAF+∠DAC＝90°，
∴∠FAC＝90°，
∴AF为⊙O的切线．
（2）证明：∵∠FAE＝90°，DF＝DE，
∴AD＝DE＝DF，
∴∠DAE＝∠AED，
∵OA＝OD，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴∠ADO＝∠AED，
∵∠OAD＝∠DAE，
∴△ADO∽△AED，
∴＝，
∴AD2＝AO AE．
（3）解：过点B作BJ⊥EC于J．
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴sin∠BAC＝＝，
∴可以假设BC＝a，AC＝3a，
∵BJ⊥AC，
∴∠AJB＝90°，
∴∠BAC+∠ABJ＝90°，∠ABJ+∠CBJ＝90°，
∴∠CBJ＝∠BAC，
∴sin∠CBJ＝sin∠BAC＝＝，
∴CJ＝a，
∴BJ＝＝＝a，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠AED＝∠CEB，
∵∠DAE＝∠CBE，
∴∠CEB＝∠CBE，
∴CE＝CB＝a，
∴EJ＝EC﹣CJ＝a﹣a＝a，AE＝AC﹣EC＝2a，
∵AF∥BJ，
∴＝，
∴＝，
∴a＝，
∴AE＝2，EJ＝，BJ＝，
∴EF＝＝＝6，BE＝＝＝2，
∴BF＝EF+BE＝6+2＝8．
32．如图1，O是△ABC的边BC的中点，⊙O与BC交于E、F两点，与AB相切于点D，连接AO交⊙O于点P，＝．
（1）猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想．
（2）如图2，延长AO交⊙O于Q点，连接DE、DF，DQ，FQ，FQ＝，ED＝5，求DQ的长．
（3）如图3，若DE＝5，连接DF、DP、PF，设DP＝x，△DPF的面积为y，求y与x之间的函数关系式．
【解答】解：（1）结论：AC与⊙O相切，
理由：过点O作OH⊥AC于H，
∵⊙O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∵，点O是圆心，
∴∠BOP＝∠COP＝90°，
又∵O是BC的中点，
∴AB＝AC，
∴∠BAO＝∠OAC，
又∵OD⊥AB，OH⊥AC，
∴OD＝OH，
∴OH是半径，
∴AC与⊙O相切．
（2）如图2中，过点Q作QN⊥CD于N，QM⊥DE交DE的延长线于M，连接QE．
∵AO⊥BC，O是圆心，
∴PQ是直径，
∴OQ＝OF，
∴FQ＝OF＝，
∴FO＝，
∴EF＝13，
∵EC是直径，
∴∠EDC＝90°，
∵FD2＝EF2﹣DE2，DE＝5，
∴FD＝12，
∵∠QDF＝∠QOF＝45°，
∴∠QDM＝∠QDN＝45°，
∴＝，
∴EQ＝FQ，
∵QM⊥DM，QN⊥DN，
∴QM＝QN，
∵∠M＝∠QNF＝90°，
∴Rt△QME≌Rt△QNF（HL），
∴EM＝FN，
∵∠M＝∠MDN＝∠DNQ＝90°，
∴四边形DMQN是矩形，
∵QM＝QN，
∴四边形DMQN是正方形，
∴DM＝DN，
∴DE+DF＝DM﹣EM+DN+NF＝2DM＝17，
∴DM＝DN＝，
∴DQ＝DN＝．
（3）如图3中，过点F作FH⊥DP交DP的延长线于H．
∵∠PDF＝∠POC＝45°，∠H＝90°，
∴∠HDF＝∠DFH＝45°，
∴DH＝FH，DF＝FH，
∵∠EDF＝∠H＝90°，∠EFP＝∠DFH＝45°，
∴∠EFD＝∠PFH，
∴△EFD∽△PFH，
∴＝＝，
∵DE＝5，
∴PH＝，
∴DH＝FH＝x+，
∴y＝S△PDF＝ DP FH，
∴y＝×x×（x+）＝x2+x（x＞0）．
33．如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过C作CD∥AB，CD交⊙O于D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）求证：AB2﹣BE2＝BE EC；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC BE＝64，求BG的长．
【解答】解：（1）如图1，连接OA，
∵AB＝AC，
∴＝，∠ACB＝∠B，
∴OA⊥BC，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∵CD∥AB，
∴∠BCD＝∠B，
∴∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，
∵∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝2∠ACB，
∴∠CAF＝∠ACB，
∴AF∥BC，
∴OA⊥AF，
∴AF为⊙O的切线；
（2）∵∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，∠B＝∠B，
∴△ABE∽△CBA，
∴，
∴AB2＝BC BE＝BE（BE+CE）＝BE2+BE CE，
∴AB2﹣BE2＝BE EC；
（3）由（2）知：AB2＝BC BE，
∵BC BE＝64，
∴AB＝8，
如图2，连接AG，
∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，
∵点G为内心，
∴∠DAG＝∠GAC，
又∵∠BAD＝∠ACB，
∴∠BAD+∠DAG＝∠GAC+∠ACB，
∴∠BAG＝∠BGA，
∴BG＝AB＝8
1．如图①，Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，经过顶点B，C作⊙O，分别交边AB，AC于点D，E，连接DE，DC．
（1）求证：AD＝ED．
（2）当AE＝4，CE＝2时，求⊙O的半径．
（3）设＝x，tan∠DCB＝y．
①求y关于x的函数表达式；
②如图②，连接OE，OD，若＝，求y的值．
2．已知AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD．
（1）如图1，求证弧AC＝弧BD；
（2）如图2，连接AC、BC、OA、BD，弦BC与半径OA交于点G，延长AO交CD于点E，连接BE，使BE＝BD，若OA⊥BC，求证：四边形ABEC为菱形；
（3）在（2）的条件下，CH与⊙O相切于点C，连接CO并延长交BE于点F，延长BE交CH于点H，OF＝11，sin∠BDC＝，求CH长．
3．如图，以Rt△BCE的直角边BC为直径作⊙O，交斜边EC于点A，AD⊥BC于点D，点F是BE的中点，连接CF与AD相交于点G，延长AF与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）求证：点G为AD的中点；
（3）若2FG＝EB，且⊙O的半径长为3，求BD的长度．
4．如图1，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的点，PD为⊙O的切线，切点为D，CD⊥AB，垂足为E，C在⊙O上，连接CO，PC．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）如图2，M是线段PC上一点，若OM平分∠COP，OM与线段CE交于点N．
①求证：△OMP∽△ONC；
②若CM＝10，tan∠CMO＝2，求ON的长．
5．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点．AE与过点C的切线垂直，垂足为E，直线EC与直径AB的延长线相交于点P，弦CD交AB于点F，连接AC、AD、BC、BD．
（1）若∠ABC＝∠ABD＝60°，判断△ACD的形状，并证明你的结论；
（2）若CD平分∠ACB，求证：PC＝PF；
（3）在（2）的条件下，若AD＝5，PF＝5，求由线段PC、和线段BP所围成的图形（阴影部分）的面积．
6．已知四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD．
（1）如图1，求证：点A到∠C两边的距离相等；
（2）如图2，已知BD与AC相交于点E，BD为⊙O的直径．①求证：tan∠CAD＝；②若∠CBD＝30°，AD＝，求AE的长．
7．如图，⊙O的内接四边形ABCD的两条对角线相交于点E，两组对边的延长线分别相交于点F，G，且∠F＝67.5°，∠G＝22.5°，＝，边AB过圆心O．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求∠BAC的正切值；
（3）若AB＝2，则CE CA的值等于多少？
8．如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，∠B＝2∠ACE，在BA的延长线上有一点P，使得∠P＝∠BAC，弦CE交AB于点F，连接AE．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）试判断△AEF的形状，并说明理由；
（3）若AF＝2，AE＝，求OA的长．
9．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）求∠APC和∠BPC的度数；
（2）求证：△ACM≌△BCP；
（3）若PA＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积；
（4）在（3）的条件下，求的长度．
10．如图，点B是⊙C上的一点，点A是直径ED延长线上的一点，连接AB，EB，BD，且∠ABD＝∠E．
（1）求证：直线AB是⊙C的切线；
（2）当时，求tanE；
（3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF＝4，求⊙C的半径．
11．如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上的一点，以CD为直径的⊙O交BC于E，连接AE交CD于G，交⊙O于F，连接DF，∠BAC＝∠EFD．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）如图2，若AF：FG＝3：2，
①若AF＝6，求线段CG的长；
②求tan∠CAE的值．
12．如图，AB、CD都是⊙O的直径，连接AD，BC．
（1）求证：AD＝BC；
（2）过D点作⊙O的切线DE交BA的延长线于点E，F是BE上一点，连接CF交⊙O于点M，若ED＝CF，求证：∠BED＝∠CFB．
（3）在（2）的条件下，连接DM交EB于点N，连接CN，若tan∠CNO＝，ON＝2，求DE的长．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AB＝2，＝，D是⊙O上一动点，连接BD，过点B作BE⊥BD交直线DC于点E．
（1）当点D是的中点时，求△BCD的面积；
（2）过点B作BF⊥DE于点F，求的值；
（3）在点D运动过程中，求线段AE的最大值．
14．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE＝CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；
（3）如果BE＝10，sinA＝，求⊙O的半径．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，且与BC相切于点D，连接OF．解答下列问题：
（1）∠BAC与∠OFA之间的关系是 ；
（2）求证：∠AFO＝2∠BAD；
（3）若＝，求tan的值．
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当AB＝AC时，若CE＝3，EF＝5，
①求证：DE＝EF；
②求⊙O的半径．
17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是的直径，D是AB延长线上的一点，连接DC，∠DCB＝∠A，CE⊥AB于点E．
（1）求证DC是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，tan∠BCE＝，求DC的长；
（3）在（2）的条件下，若M是线段AC上一动点，求OM+AM的最小值．
18．如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠ADC＝，AC＝2，求⊙O的半径；
（3）如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE．求sin∠DBE的值．
19．如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F．
（1）求证：△ADG∽△CFG．
（2）若G是的中点，当CG与△ADE的一边平行时，求的值．
（3）如图2，点E是OB的中点，AB＝8，连接BG，BD，BC．当DG+CG＝6时，求cosF的值．
20．如图，四边形BCDE是⊙O的内接四边形，DE是⊙O的直径，BC、ED的延长线交于点A，连接CE、BD交于点F，DF2＝FC FE，点H是线段CE上一点连接BH、DH．
（1）求证：DF＝BF；
（2）若∠BEC＝∠DBH，∠BDE＝45°，求；
（3）在（2）的条件下，若AE＝AC，CB+DE＝2+2．求线段AC的长度．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与⊙O交于点F，延长BA到点G，使得∠BGF＝∠GBC，连接FG．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3．
①当OD＝2，求AD的长度； ②当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积．
22．如图，△ABC内接于⊙O，∠CBG＝∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD．
（1）求证：PG与⊙O相切：
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为4，PD＝OD，求EC的长．
23．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是边AC上一动点，且不与A，C两点重合，连接BD，过点D作DE⊥BD交边BC于点E，△BDE的外接圆交边AB于另一点F，连接DF．
（1）求证：△ADF∽△DBE．
（2）当AB＝6，AC＝8时．
①若AD＝3AF，求AD的长．
②当线段DE，DF，BF中有两条相等时，求出所有符合条件的tan∠ADF的值．
（3）若BD平分∠ABC，S△ADF＝1，S△BDE＝6，则S△CDE＝ ．
24．如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CF AF＝FO AH；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．
25．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若＝，求BF的长．
26．如图1，以△ABC的边AC为直径作⊙O交BC于点D，连接AD，点E为AD上一点（不与端点重合），连接CE，作DF⊥CE于点F，延长DF交AC于点M，交BA的延长线于点G，∠BGD＝∠ACE．
（1）求证：BG是⊙O的切线；
（2）求证：；
（3）如图2，延长CE交AB于点H，若HE＝4，∠ACH＝∠BCH，sin∠BGD＝，求BC的长．
27．如图，点I是O△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD，BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，BE＝5，求DI的长；
（3）若sin∠ACD＝，CD＝10，求△ACD的内心到点O的距离．
28．如图，以Rt△ABC的斜边AC为直径作⊙O，点D在半径OC上，过点D作AC的垂线，分别交弦BC于点E，交⊙O于F．在射线DE上取点G，连接GB并延长交CA的延长线于点H，且满足GB＝GE．
（1）求证：HG是⊙O的切线；
（2）若GE＝BE，HB＝．
（i）求⊙O的半径；
（ii）如图2，连接AF，交弦BC于点M，若AF∥HG，求线段OD的长．
29．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E，连接AD，CD．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AB＝6，tanA＝，求BE的长；
（3）线段AB，BE，CE之间有何数量关系？写出你的结论并证明．
30．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点E在圆外，OE⊥AC于点D，BE交⊙O于点F，连接BD、BC、CF，∠BFC＝∠AED．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）求证：OB2＝OD OE；
（3）设△BAD的面积为S1，△BDE的面积为S2，若tan∠ODB＝，求的值．
31．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，D为圆上一点，且B，D两点位于AC异侧，连接BD，交AC于E，点F为BD延长线上一点，连接AF，使得∠DAF＝∠ABD．
（1）求证：AF为⊙O的切线；
（2）当点D为EF的中点时，求证：AD2＝AO AE；
（3）在（2）的条件下，若sin∠BAC＝，AF＝2，求BF的长．
32．如图1，O是△ABC的边BC的中点，⊙O与BC交于E、F两点，与AB相切于点D，连接AO交⊙O于点P，＝．
（1）猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想．
（2）如图2，延长AO交⊙O于Q点，连接DE、DF，DQ，FQ，FQ＝，ED＝5，求DQ的长．
（3）如图3，若DE＝5，连接DF、DP、PF，设DP＝x，△DPF的面积为y，求y与x之间的函数关系式．
33．如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过C作CD∥AB，CD交⊙O于D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）求证：AB2﹣BE2＝BE EC；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC BE＝64，求BG的长．
答案与解析
1．如图①，Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，经过顶点B，C作⊙O，分别交边AB，AC于点D，E，连接DE，DC．
（1）求证：AD＝ED．
（2）当AE＝4，CE＝2时，求⊙O的半径．
（3）设＝x，tan∠DCB＝y．
①求y关于x的函数表达式；
②如图②，连接OE，OD，若＝，求y的值．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，且⊙O经过B、C、E，
∴直线BE为⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，
∴∠CBD+∠CED＝180°，
∵∠AED+∠CED＝180°，
∴∠AED＝∠CBD，
∵CA＝CB，
∴∠CAD＝∠CBA，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴AD＝ED．
（2）解：∵∠EDA＝∠ACB＝90°，∠DAE＝∠CBA＝45°，
∴△ADE∽△CAB，
∴AE＝4，AD＝DE，
∴AD＝DE＝＝2，CA＝AE+CE＝2+4＝6，且，
即，
∴AB＝6，
∴DB＝AB﹣AD＝4，
∴BE＝＝＝2，
∴⊙O的半径为．
（3）①∵tan∠DCB＝y，
∴，，
∴sin∠DCB＝ sin∠CBD＝，cos∠BCD＝，
∴tan∠DCB＝＝＝y，
设EC＝m，
∴AE＝mx，
∴BC＝m+mx＝m（1+x），BD＝BC﹣AD，AD＝AE，
∴BD＝m（1+x）﹣mx＝m（1+），
∴∠CED＝45°，
∴cos∠CED＝﹣＝，
∴CD2＝m2+m2x2+m2x，
∴y＝＝＝，
②设CE＝n，AE＝nx，
∴DE＝，AC＝n（1+x）＝BC，
∴S△ABC＝AC BC＝n2（1+x）2，BE＝＝＝n，
∴OE＝BE＝且△OED为等腰三角形，
∴O点到DE的距离为：＝＝n，
∴S△OED＝×nx n＝n2，
∵＝，
∴＝，
∵x＞0，
∴x＝3，
∴y＝＝．
2．已知AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD．
（1）如图1，求证弧AC＝弧BD；
（2）如图2，连接AC、BC、OA、BD，弦BC与半径OA交于点G，延长AO交CD于点E，连接BE，使BE＝BD，若OA⊥BC，求证：四边形ABEC为菱形；
（3）在（2）的条件下，CH与⊙O相切于点C，连接CO并延长交BE于点F，延长BE交CH于点H，OF＝11，sin∠BDC＝，求CH长．
【解答】（1）证明：连接BC，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴＝；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
∴∠BAC+∠BDC＝180°，
∴∠ACD＝∠BDC，
∵＝，
∴AC＝BD，
∵BE＝BD，
∴AC＝BE，∠BED＝∠BDC，
∴∠BED＝∠ACD，
∴AC∥BE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵OA⊥BC，
∴平行四边形ABEC是菱形；
（3）解：如图3，延长CF交⊙O于点N，连接BN，
∵CN是直径，
∴∠CBN＝90°，
∵AE⊥BC，
∴AE∥BN，
∴∠AOC＝∠BNC，
∵∠BDC＝∠BNC，
∴∠AOC＝∠BDC，
∵sin∠BDC＝，
∴sin∠AOC＝＝，
设CO＝25x，CG＝24x，
∴GO＝＝＝7x，
∵∠ACD＝∠BDC，
∴∠ACD＝∠AOC，
又∵∠CAE＝∠CAO，
∴△ACO∽△AEC，
∴∠AEC＝∠OCA，
∵四边形ABEC是菱形，
∴AC＝CE，AE⊥BC，AG＝GE，
∴∠CAE＝∠CEA，
∴∠CAE＝∠ACO，
∴AO＝CO＝25x，
∴AG＝18x＝GE，
∴OE＝11x，
∵AC∥EB，
∴，
∴＝，
∴x＝1，
∴CO＝25，AG＝18，CG＝24，
∴CF＝36，
∵AC∥BE，
∴∠ACF＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠CAO，
∵CH与⊙O相切于点C，
∴CH⊥CF，
∴∠FCH＝90°＝∠AGC，
∴△AGC∽△FCH，
∴，
∴＝，
∴CH＝48．
3．如图，以Rt△BCE的直角边BC为直径作⊙O，交斜边EC于点A，AD⊥BC于点D，点F是BE的中点，连接CF与AD相交于点G，延长AF与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）求证：点G为AD的中点；
（3）若2FG＝EB，且⊙O的半径长为3，求BD的长度．
【解答】解：（1）证明：如图，连接AO，AB，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，
∴AF＝FB＝EF，
∴∠FBA＝∠FAB，
又∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO，
∵∠EBO＝90°，
∵∠EBO＝∠FBA+∠ABO＝∠FAB+∠BAO＝∠FAO＝90°，
∴PA是⊙O的切线；
（2）证明：∵BC是⊙O的直径，∠EBO＝90°，，
∴EB⊥BC．BE是⊙O的切线
又∵AD⊥BC，
∴AD∥BE，
∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，
∴，，
∴，
∵F是斜边BE的中点，
∴BF＝EF，
∴DG＝AG，
∴点G为AD的中点；
（3）解：过点F作FH⊥AD于点H，如图，
∵BD⊥AD，FH⊥AD，
∴FH∥BC．
由（2）知，∠FBA＝∠BAF，
∴BF＝AF．
由已知，有2FG＝EB，点F是BE的中点，
∴BF＝FG，
∴AF＝FG，即△AFG是等腰三角形．
∵FH⊥AD，
∴AH＝GH，
∵DG＝AG，
∴DG＝2HG，
即，
∵FH∥BD，BF∥AD，∠FBD＝90°，
∴四边形BDHF是矩形，BD＝FH，
∵FH∥BC，
∴△HFG∽△DCG，
∴，
∵⊙O的半径长为3，
∴BC＝6．
∴，
解得BD＝2．
∴BD＝2．
4．如图1，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的点，PD为⊙O的切线，切点为D，CD⊥AB，垂足为E，C在⊙O上，连接CO，PC．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）如图2，M是线段PC上一点，若OM平分∠COP，OM与线段CE交于点N．
①求证：△OMP∽△ONC；
②若CM＝10，tan∠CMO＝2，求ON的长．
【解答】证明：（1）连接OD，如图1，
∵PD为⊙O切线，
∴∠ODP＝90°，
∵AB⊥CD，且AB为⊙O直径，
∴AB垂直平分CD，
∴PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC，
又∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠OCP＝∠OCD+∠PCD＝∠ODC+∠PDC＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC为⊙O的切线；
（2）①∵AB⊥CD，
∴∠CEP＝90°，
∴∠ECP+∠MPO＝90°，
又∠OCD+∠ECP＝90°，
∴∠MPO＝∠OCD，
又OM平分∠COP，
∴∠CON＝∠MOP，
∴△OMP∽△ONC；
（2）②∵∠CNM＝∠CON+∠OCN，
∠CMO＝∠CPO+∠MOP，
∴∠CNM＝∠CMN，
∴CM＝CN＝10，
过点C作CG⊥MN于G，
∵tan∠CMO＝2，
∴NG＝MG＝2，CG＝4，
在Rt△OCM中，由勾股定理得：OM＝，
∴ON＝OM﹣MN＝10．
5．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点．AE与过点C的切线垂直，垂足为E，直线EC与直径AB的延长线相交于点P，弦CD交AB于点F，连接AC、AD、BC、BD．
（1）若∠ABC＝∠ABD＝60°，判断△ACD的形状，并证明你的结论；
（2）若CD平分∠ACB，求证：PC＝PF；
（3）在（2）的条件下，若AD＝5，PF＝5，求由线段PC、和线段BP所围成的图形（阴影部分）的面积．
【解答】解：（1）△ACD是等边三角形，
理由如下：
＝，
∴∠ACD＝∠ABD＝60°，
∵＝，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴△ACD是等边三角形；
（2）如图1，
连接OC，OD，
∵PC切⊙O于C，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∴∠OCF+∠PCF＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴＝，
∴∠DOB＝∠AOD＝90°，
∴∠ODF+∠OFD＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠ODF＝∠OCF，
∴∠PCF＝∠OFD，
又∵∠CFP＝∠OFD，
∴∠PFC＝∠CFP，
∴PC＝PF；
（3）由（2）知，
＝，
∴AD＝BD＝5，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝＝10，
∴OC＝5，
∵PC＝PF，
∴PC＝5，
∵tan∠BOC＝＝
∴∠BOC＝60°，
∵S△PCO＝OC PC＝＝，
S扇形BOC＝＝，
∴S阴影＝S△PCO﹣S扇形BOC＝﹣．
6．已知四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD．
（1）如图1，求证：点A到∠C两边的距离相等；
（2）如图2，已知BD与AC相交于点E，BD为⊙O的直径．①求证：tan∠CAD＝；②若∠CBD＝30°，AD＝，求AE的长．
【解答】证明：（1）如图1，连接AC，
∵AB＝AD，
∴，
∴∠ACB＝∠ACD，
∴点A到∠C两边的距离相等；
（2）①∵，
∴∠CAD＝∠CBD，
∵BD为直径，
∴∠BCD＝90°，
∴tan∠CAD＝tan∠CBD＝，
如图2，过点D作DQ∥EC，交BC延长线于点Q，
∴∠ACB＝∠Q，∠ACD＝∠CDQ，
又由（1）知：∠ACB＝∠ACD，
∴∠CDQ＝∠Q，
∴CD＝CQ，
∵CE∥DQ，
∴
∴，
∴tan∠CAD＝，
②如图，
由（2）①得：∠CAD＝∠CBD＝30°，
则tan∠CAD＝＝，
设DE＝a，则BE＝a，
∵BD为直径，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝AD＝3，
∴BD＝6，
∴a+a＝6，
解得：a＝3，
∴DE＝3﹣3，BE＝9﹣3，
又∵∠BCD＝90°，
∴CD＝BD sin∠CBD＝3，
∵∠BDC＝∠BAC，∠ABD＝∠ACD，
∴△BAE∽△CDE，
∴，
∴AE＝（3﹣3）×＝3﹣3．
7．如图，⊙O的内接四边形ABCD的两条对角线相交于点E，两组对边的延长线分别相交于点F，G，且∠F＝67.5°，∠G＝22.5°，＝，边AB过圆心O．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求∠BAC的正切值；
（3）若AB＝2，则CE CA的值等于多少？
【解答】解：（1）如图，∵AB经过圆心O，
∴AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵∠F＝67.5°，
∴∠DAC＝∠ACB﹣∠F＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵，
∴∠DAC＝∠BAC＝22.5°，
∴∠BAD＝22.5°+22.5°＝45°．
（2）如图，设⊙O的半径为r，连接OD，则OD＝OA＝OB＝r，
∴∠ODA＝∠OAD＝45°，
∴∠AOD＝∠GOD＝90°，
∵∠BDC＝∠BAC＝22.5°，∠G＝22.5°，
∴∠BDC＝∠BAC＝∠BGC，
∴BG＝BD＝＝r，
∴tan∠BAC＝tan∠BGC＝＝＝．
（3）如图，∵∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，
∴＝tan∠BAC＝，
∴AC＝（）BC，
由AC2+BC2＝AB2，且AB＝2，得（）2BC2+BC2＝22，
解得，BC2＝；
∵，
∴∠CBE＝∠CAB，
∵∠BCE＝∠ACB，
∴△BCE∽△ACB，
∴，
∴CE CA＝BC2＝．
8．如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，∠B＝2∠ACE，在BA的延长线上有一点P，使得∠P＝∠BAC，弦CE交AB于点F，连接AE．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）试判断△AEF的形状，并说明理由；
（3）若AF＝2，AE＝，求OA的长．
【解答】（1）证明：连接OE，
∴∠AOE＝2∠ACE，
∵∠B＝2∠ACE，
∴∠AOE＝∠B，
∵∠P＝∠BAC，
∴∠ACB＝∠OEP，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OEP＝90°，
∴PE是⊙O的切线；
（2）解：△AEF是等腰三角形，理由如下：
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA．
∵∠AFE＝∠AOE+∠EFO，∠AOE＝∠B，∠B＝∠AEF，
∴∠AOE＝∠AEF．
∴∠AFE＝∠AEF+∠FEO＝∠OEA．
∴∠OAE＝∠AFE．
∴△AEF是等腰三角形；
（3）∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠AFE，
∴∠OAE＝∠OEA＝∠EAF＝∠AFE，
∴△AEF∽△AOE，
∴＝，
∵AF＝2，AE＝EF＝，
∴OA＝5．
9．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）求∠APC和∠BPC的度数；
（2）求证：△ACM≌△BCP；
（3）若PA＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积；
（4）在（3）的条件下，求的长度．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵，，
∴∠APC＝∠ABC＝60°，∠BPC＝∠BAC＝60°；
（2）证明：∵CM∥BP，
∴∠BPM+∠M＝180°，
∠PCM＝∠BPC，
∵∠BPC＝∠BAC＝60°，
∴∠PCM＝∠BPC＝60°，
∴∠M＝180°﹣∠BPM＝180°﹣（∠APC+∠BPC）＝180°﹣120°＝60°，
∴∠M＝∠BPC＝60°，
又∵A、P、B、C四点共圆，
∴∠PAC+∠PCB＝180°，
∵∠MAC+∠PAC＝180°
∴∠MAC＝∠PBC
∵AC＝BC，
在△ACM和△BCP中，
，
∴△ACM≌△BCP（AAS）；
（3）∵CM∥BP，
∴四边形PBCM为梯形，
作PH⊥CM于H，
∵△ACM≌△BCP，
∴CM＝CP，AM＝BP，
又∠M＝60°，
∴△PCM为等边三角形，
∴CM＝CP＝PM＝PA+AM＝PA+AMB＝1+2＝3，
在Rt△PMH中，∠MPH＝30°，
∴PH＝，
∴S四边形PBCM＝（PB+CM）×PH＝（2+3）×＝；
（4）过点B作BQ⊥AP，交AP的延长线于点Q，过点A作AN⊥BC于点N，连接OB，
∵∠APC＝∠BPC＝60°，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠PBQ＝30°，
∴PQ＝PB＝1，
在Rt△BPQ中，BQ＝，
在Rt△AQB中，AB＝，
∵△ABC为等边三角形，
∴AN经过圆心O，
∴BN＝AB＝，
∴AN＝，
在Rt△BON中，设BO＝x，则ON＝，
∴，
解得：x＝，
∵∠BOA＝∠BCA＝120°，
∴的长度为．
10．如图，点B是⊙C上的一点，点A是直径ED延长线上的一点，连接AB，EB，BD，且∠ABD＝∠E．
（1）求证：直线AB是⊙C的切线；
（2）当时，求tanE；
（3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF＝4，求⊙C的半径．
【解答】证明：（1）连接CB，如图，
∵ED为圆的直径，
∴∠DBE＝90°．
∴∠CBD+∠CBE＝90°．
∵CB＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴∠CBD+∠CEB＝90°．
∵∠ABD＝∠E，
∴∠CBD+∠ABD＝90°，
即∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC．
∴直线AB是⊙C的切线；
（2）过点D作DH⊥AB于点H，如图，
则DH∥BC．
∵，
∴设AB＝4x，则BC＝3x．
∵AB⊥BC，
∴AC＝＝5x，
∵CD＝CB＝3x，
∴AD＝AC﹣CD＝2x．
∵DH∥BC，
∴＝．
∴，．
∴DH＝x，AH＝x．
∴BH＝AB﹣AH＝x，
在Rt△BHD中，tan∠HBD＝．
∵∠ABD＝∠E，
∴tanE＝tan∠HBD＝．
（3）过点F作FM⊥CE于M，如图，
∵tanE＝，
∴．
由（2）知：AB＝4x，BC＝3x，AC＝5x，AD＝2x，
∵CE＝CB＝3x，
∴AE＝AD+CD+CE＝8x．
∵AF是∠BAC的平分线，
∴．
∴FE＝BE．
在Rt△BDE中，tanE＝＝，
则BE＝2BD．
∵BD2+BE2＝DE2，
∴BD2+（2BD）2＝（6x）2．
∴BD＝，
∴BE＝2BD＝x．
∴FE＝x．
在Rt△BDE中，tanE＝＝，则ME＝2MF．
∵FM2+ME2＝FE2，
∴．
∴FM＝x．
∴ME＝2FM＝x，
∴AM＝AE﹣ME＝（8﹣）x＝x．
在Rt△AFM中，
∵AM2+FM2＝AF2，
∴．
解得：x＝±（负数不合题意，舍去）．
∴x＝．
∴⊙C的半径CE＝3x＝．
11．如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上的一点，以CD为直径的⊙O交BC于E，连接AE交CD于G，交⊙O于F，连接DF，∠BAC＝∠EFD．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）如图2，若AF：FG＝3：2，
①若AF＝6，求线段CG的长；
②求tan∠CAE的值．
【解答】证明：（1）∵∠BCD＝∠DFE，∠BAC＝∠EFD，
∴∠BCD＝∠BAC．
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∴∠BCD+∠B＝90°．
即∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB．
∴AB与⊙O相切；
解：（2）①连接CF，如图，
∵AF：FG＝3：2，AF＝6，
∴FG＝4．
∴AG＝AF+FG＝10．
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CFD＝90°，
∴∠FCD+∠FDC＝90°．
∵∠CEF＝∠FDC，
∴∠FCD+∠FEC＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠CEF＝90°．
∴∠FCD＝∠CAE．
∵∠CGF＝∠AGC，
∴△CGF∽△AGC．
∴．
∴CG2＝AG GF＝4×10＝40．
∴CG＝2．
②过点F作FH⊥CD于点H，如图，
∵FH⊥CD，AD⊥CD，
∴FH∥AD．
∴．
设DH＝3x，则GH＝2x，
∴CH＝HG+CG＝2+2x．
∵∠CFD＝90°，FH⊥CD，
∴△FHD∽CHF．
∴．
∴FH2＝HD CH＝3x（2+2x）．
在Rt△FGH中，
∵FH2+CH2＝FG2，
∴3x（2+2x）+（2x）2＝42．
解得：x＝或x＝﹣（不合题意，舍去）．
∴GH＝，FH＝，
∴CH＝CG+GH＝．
在Rt△FCH中，tan∠FCH＝．
∵∠FCH＝∠CAE，
∴tan∠CAE＝tan∠FCH＝．
12．如图，AB、CD都是⊙O的直径，连接AD，BC．
（1）求证：AD＝BC；
（2）过D点作⊙O的切线DE交BA的延长线于点E，F是BE上一点，连接CF交⊙O于点M，若ED＝CF，求证：∠BED＝∠CFB．
（3）在（2）的条件下，连接DM交EB于点N，连接CN，若tan∠CNO＝，ON＝2，求DE的长．
【解答】（1）证明：∵在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴AD＝BC；
（2）证明：如图2，过点C作CG⊥AB于G，过点D作DH⊥AB于H，
在△ODH和△OCG中，
，
∴△ODH≌△OCG（AAS），
∴DH＝CG，
在Rt△EDH和Rt△FCG中，
，
∴Rt△EDH≌Rt△FCG（HL），
∴∠BED＝∠CFB；
（3）解：如图3，过点C作CG⊥AB于G，过点D作DH⊥AB于H，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CMD＝90°，
∴∠FMN＝90°，
∴∠MFN+∠FNM＝90°，
∵ED是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠NOD+∠E＝90°，
∵∠BED＝∠CFB，∠FNM＝∠DNO，
∴∠DNO＝∠NOD，
∴DN＝DO，
∵DH⊥AB，ON＝2，
∴NH＝HO＝，
由（2）可知：△ODH≌△OCG，
∴OG＝OH＝，
∴NG＝3，
∵tan∠CNO＝＝，
∴CG＝2，
由勾股定理得：OC＝＝＝5，
∵∠EDO＝∠CGO＝90°，∠EOD＝∠COG，
∴△EOD∽△COG，
∴＝，即＝，
解得：ED＝10．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AB＝2，＝，D是⊙O上一动点，连接BD，过点B作BE⊥BD交直线DC于点E．
（1）当点D是的中点时，求△BCD的面积；
（2）过点B作BF⊥DE于点F，求的值；
（3）在点D运动过程中，求线段AE的最大值．
【解答】解：（1）过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，连接OD交AC于点M，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
设AC＝x，则BC＝2x，
在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，
∴（x）2+（2x）2＝（2）2，
解得x＝2或﹣2（舍去），
∴AC＝2，BC＝4，
∵点D是的中点，
∴OD⊥AC，AM＝CM，
∴四边形CHDM是矩形，
∴DH＝CM＝AC＝，
∴S△BCD＝×DH×BC＝××4＝2；
（2）在Rt△ACB中，cos∠CAB＝＝＝，
∵∠EDB＝∠CAB，
∴cos∠EDB＝∠cosCAB＝，
在Rt△BFD中，cos∠FDB＝，
∴DF＝BD，
在Rt△BED中，cos∠EDB＝，
∴BD＝DE，
∴DF＝DE，
∴＝；
（3）当点D与点A重合时，AE的值最大，此时BD与AB重合，
由（2）知，BD＝DE，且BD＝AB＝2，
∴AE＝DE＝．
14．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE＝CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；
（3）如果BE＝10，sinA＝，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵OB＝OA，CE＝CB，
∴∠A＝∠OBA，∠CEB＝∠ABC，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AED＝∠A+∠CEB＝90°，
∴∠OBA+∠ABC＝90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：如图1，连接OF，AF，BF，
∵DA＝DO，CD⊥OA，
∴AF＝OF，
∵OA＝OF，
∴△OAF是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∴∠ABF＝∠AOF＝30°；
（3）解：连接OF，如图2所示：
∵DA＝DO，CD⊥OA，
∴AF＝OF＝OA，
过点O作OG⊥AB于点G，则AG＝BG，
在Rt△AOG中，sin∠BAO＝＝＝，
设DE＝5x，则AE＝13x，AD＝12x，AO＝24x，
∵BE＝10，
∴AB＝10+13x，
则AG＝AB＝5+x，
又∵Rt△AOG中，sin∠BAO＝，则＝，
则＝，
解得x＝，
∴AO＝24x＝．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，且与BC相切于点D，连接OF．解答下列问题：
（1）∠BAC与∠OFA之间的关系是 相等 ；
（2）求证：∠AFO＝2∠BAD；
（3）若＝，求tan的值．
【解答】解：（1）∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA，
即∠BAC＝∠OFA，
故答案为：相等；
（2）证明：连接OD，如图，
∵BC为切线，
∴OD⊥BC，
∵∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠OAC＝2∠OAD，
∵OA＝OF，
∴∠OAC＝∠AFO，
∴∠AFO＝2∠BAD；
（3）作OH⊥AF于H，如图，则AH＝HF，
∵＝，
∴设AH＝HF＝2x，则CF＝3x，
∵∠ODC＝∠C＝∠OHC＝90°，
∴四边形ODCH为矩形，
∴OH＝CD，OD＝CH＝2x+3x＝5x，
在Rt△AOH中，OH＝＝x，
∴CD＝x，
在Rt△ACD中，tan∠CAD＝＝＝．
∴tan的值为．
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当AB＝AC时，若CE＝3，EF＝5，
①求证：DE＝EF；
②求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图（1），连接BD，
∵∠BAD＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝∠DCE＝90°，
∴∠DEC+∠CDE＝90°，
∵∠BAC＝∠BDC，∠BAC＝∠DEC，
∴∠BDC+∠CDE＝90°，即∠BDE＝90°，
∴DE是⊙O的切线．
（2）①证明：由（1）得：∠BDE＝90°，
∴∠ADB+∠EDF＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠ABC+∠F＝90°，
∴∠ADB+∠EDF＝∠ABC+∠F，
∵AB＝AC，
∴∠ADB＝∠ABC，
∴∠EDF＝∠F，
∴DE＝EF．
②解：∵DE＝EF，
∴DE＝EF＝5，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴CD＝＝＝4，
∠BDC+∠DBC＝90°，
又∵∠BDC+∠EDC＝90°，
∴∠DBC＝∠EDC，
∴△CDE∽△CBD，
∴，
∴，
∴BD＝，
∴⊙O的半径为．
17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是的直径，D是AB延长线上的一点，连接DC，∠DCB＝∠A，CE⊥AB于点E．
（1）求证DC是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，tan∠BCE＝，求DC的长；
（3）在（2）的条件下，若M是线段AC上一动点，求OM+AM的最小值．
【解答】（1）证明：如图，
根据题意连接OC，则有OC＝OA，
∴∠A＝∠OCA＝∠BCD，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，即∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∴DC是⊙O的切线．
（2）由（1）可知∠A+∠ABC＝90°，∠ECB+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠ECB，
∴Rt△ABC～Rt△CBE，
∴＝，
∵AC＝4，tan∠BCE＝，
∴＝＝，解得BC＝2，
∴AB＝＝2，
∴OC＝OB＝，
∵＝，即，解得BE＝，
∴CE＝，
∵Rt△DCE与Rt△DOC有公共角∠D，
∴Rt△DCE～Rt△DOC，
∴＝，即DC2＝DO DE＝（+BD）（+BD），
在Rt△DOC中有：DC2+OC2＝OD2，
即（+BD）（+BD）+＝（+BD）2，
解得BD＝，
∴DC＝＝．
（3）如图，作点O关于AC的对称点O′，连接AO′，CO′，OC，O′M，过点M作MH⊥AO于H．过点O′作O′P⊥AB于P．
∵tan∠MAH＝＝，
∴MH＝AM，
∵MO＝MO′，
∴OM+AM＝O′M+MH≤O′P，
∴当M，H在O′P上时，OM+AM的值最小，最小值为线段O′P的长，
∵OA＝OC＝AO′＝CO′，
∴四边形AOCO′是菱形，
∴S菱形AOCO′＝ AC OO′＝AO PO′，
∴PO′＝＝，
故OM+AM的最小值为．
18．如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠ADC＝，AC＝2，求⊙O的半径；
（3）如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE．求sin∠DBE的值．
【解答】解：（1）CD与⊙O相切，理由：
如图1，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠CDA＝∠ODB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD与⊙O相切；
（2）由（1）知，∠CBD＝∠ADC，
∵tan∠ADC＝，
∴tan∠CBD＝，
在Rt△ADB中，tan∠CBD＝＝，
∵∠C＝∠C，∠ADC＝∠CBD，
∴△CAD∽△CDB，
∴，
∴CD＝2CA＝4，
∴CB＝2CD＝8，
∴AB＝CB﹣CA＝8﹣2＝6，
∴OA＝OB＝AB＝3；
（3）如图2，连接OE，过点E作EG⊥BD于G，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠BDE＝45°，
∴∠BOE＝2∠BDE＝90°，
∴BE＝＝3，
在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2＝62，
∵，
∴AD＝，BD＝，
∵EG⊥BD，∠BDE＝45°，
∴∠DEG＝∠BDE＝45°，
∴DG＝EG，
设DG＝EG＝x，则BG＝BD﹣DG＝﹣x，
在Rt△BEG中，EG2+BG2＝BE2＝（3）2＝18，
∴x2+（﹣x）2＝18，
∴x＝或x＝（舍），
∴EG＝，
∴sin∠DBE＝＝．
19．如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F．
（1）求证：△ADG∽△CFG．
（2）若G是的中点，当CG与△ADE的一边平行时，求的值．
（3）如图2，点E是OB的中点，AB＝8，连接BG，BD，BC．当DG+CG＝6时，求cosF的值．
【解答】解：（1）∵四边形AGCD为⊙O的内接四边形，
∴∠AGC+∠ADC＝180°，∠DAG+∠DCG＝180°，
∵∠AGC+∠CGF＝180°，∠DCG+∠GCF＝180°，
∴∠CGF＝∠ADC，∠DAG＝∠GCF，
∴△ADG∽△CFG；
（2）①当CG∥AD时，
∵G是的中点，
∴
∴AG＝CG，
则△ADG≌△CFG（AAS），
∴∠ADG＝∠F，∠DAG＝∠DAG，
∴△DAG∽△AFD，
∴，
设CF＝x，AG＝y，
∴，
解得x＝y，
∴；
②当CD∥AE时，
∴∠GCF＝90°
∵∠DOB＝∠AOG，
∴，
∴，
∴∠AOG＝60°，
∴∠GDA＝∠F＝30°，
∴＝tanF＝tan30°＝；
（3）延长CD至点M，使DM＝CG，连BM，过B作BN⊥MG，连OD，
∵MD＝CG，∠MDB＝∠BCG，BD＝BC，
∴△MDB≌△GCB（SAS），
∴BM＝GB，
∵E为OB中点，CD⊥AB，
∴OD＝BD＝OB，
∴△BDO为等边三角形，
∴∠DOB＝60°，
∴∠DGB＝30°，
∴GM＝DG+DM＝DG+GC＝6，
∴GN＝GM＝3，GB＝6，
由（1）得，∠F＝∠ADG＝∠ABG，
在Rt△ABG中，cosF＝cos∠ABG＝．
20．如图，四边形BCDE是⊙O的内接四边形，DE是⊙O的直径，BC、ED的延长线交于点A，连接CE、BD交于点F，DF2＝FC FE，点H是线段CE上一点连接BH、DH．
（1）求证：DF＝BF；
（2）若∠BEC＝∠DBH，∠BDE＝45°，求；
（3）在（2）的条件下，若AE＝AC，CB+DE＝2+2．求线段AC的长度．
【解答】（1）证明：∵∠BCE＝∠EDB，∠CBD＝∠DEC，
∴△BCF∽△EDF，
∴＝，
∴DF BF＝FC FE，
∵DF2＝FC FE，
∴DF2＝DF BF，
∴DF＝BF；
（2）解：∵∠BEC＝∠BDC，∠BEC＝∠DBH，
∴∠BEC＝∠BDC＝∠DBH，
∴CD∥BH，
∴△CFD∽△HFB，
∴＝，
∵DF＝BF，
∴CF＝HF，
∴四边形CDHB是平行四边形，
∴BC∥DH，
∴∠DHC＝∠BCE＝∠BDE＝45°，∠BHC＝∠DCE＝90°，
∴△DHC、△BHC是等腰直角三角形，
∴＝，
∵CF＝HF，
∴CH＝2CF，
∴＝2；
（3）解：∵四边形CDHB是平行四边形，
∴HD∥BC，HD＝BC，CD∥BH，CD＝BH，
∴＝，
∴，
∵AE＝AC，
∴DE＝DH，
∵CB+DE＝2+2．
∵HD＝BC，
∴DH+DH＝2+2．
解得：DH＝2，
∴DE＝2．
∵△DHC、△BHC是等腰直角三角形，
∴CD＝CH＝BH＝，BE＝，
∵∠CHB＝90°，
∴∠EHB＝90°，
∴EH＝＝2，
∴CE＝CH+EH＝3，
∵四边形BCDE是⊙O的内接四边形，
∴∠CDE+∠EBC＝180°,
∵∠CDE+∠ADC＝180°,
∴∠ADC＝∠EBC，
∵∠DCE＝90°，∠BCE＝45°，
∴∠ACD＝∠ECB＝45°，
∴△ACD∽△ECB，
∴，即＝，
∴AC＝3．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与⊙O交于点F，延长BA到点G，使得∠BGF＝∠GBC，连接FG．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3．
①当OD＝2，求AD的长度；
②当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积．
【解答】（1）证明：连接AF，
∵BF为⊙O的直径，
∴∠BAF＝90°，∠FAG＝90°，
∴∠BGF+∠AFG＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠AFB，∠BGF＝∠ABC，
∴∠BGF＝∠AFB，
∴∠AFB+∠AFG＝90°，即∠OFG＝90°，
∴OF⊥FG，
又∵OF为半径，
∴FG是⊙O的切线；
（2）解：①连接CF，则∠ACF＝∠ABF，
∵AB＝AC，AO＝AO，BO＝CO，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠ABO＝∠BAO＝∠CAO＝∠ACO，
∴∠CAO＝∠ACF，
∴AO∥CF，
∴＝，
∵半径是3，OD＝2，
∴DF＝OF﹣OD＝1，BD＝OB+OD＝5，
∴＝＝2，即CD＝AD，
∵∠ABD＝∠FCD，∠ADB＝∠FDC，
∴△ADB∽△FDC，
∴＝，
∴AD CD＝BD DF，
∴AD CD＝5，即AD2＝5，
∴AD＝（负值舍去）；
②∵△ODC为直角三角形，∠DCO不可能等于90°，
∴存在∠ODC＝90°或∠COD＝90°，
当∠ODC＝90°时，
由①知∠ACO＝∠ACF，
∴OD＝DF＝，BD＝，
∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
由①可知AD CD＝BD DF，
∴AD CD＝AD2＝×＝，
∴AD＝，
∴AC＝2AD＝3，
∴S△ABC＝×AC×BD＝×3×＝；
当∠COD＝90°时，
∵OB＝OC＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴BC＝3，
延长AO交BC于点M，则AM⊥BC，
∴MO＝，
∴AM＝3+，
∴S△ABC＝×BC×AM＝×3×（3+）＝，
∴△ABC的面积为或．
22．如图，△ABC内接于⊙O，∠CBG＝∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD．
（1）求证：PG与⊙O相切：
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为4，PD＝OD，求EC的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OB，则OB＝OD，
∴∠BDC＝∠DBO，
∵∠BAC＝∠BDC、∠BDC＝∠GBC，
∴∠GBC＝∠BDC，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBO+∠OBC＝90°，
∴∠GBC+∠OBC＝90°，
∴∠GBO＝90°，
∴PG与⊙O相切；
（2）解：过点O作OM⊥AC于点M，连接OA，
则∠AOM＝∠COM＝∠AOC，
∵＝，
∴∠ABC＝∠AOC，
又∵∠EFB＝∠OMA＝90°，
∴△BEF∽△OAM，
∴＝，
∵AM＝AC，OA＝OC，
∴＝，
又∵＝，
∴＝2×＝2×＝2×＝；
（3）解：∵PD＝OD，∠PBO＝90°，
∴BD＝OD＝4，
在Rt△DBC中，BC＝＝＝4，
又∵OD＝OB，
∴△DOB是等边三角形，
∴∠DOB＝60°，
∵∠DOB＝∠OBC+∠OCB，OB＝OC，
∴∠OCB＝30°，
∴＝，＝，
∴可设EF＝x，则EC＝2x、FC＝x，
∴BF＝4﹣x，
∵＝，且OC＝4，
∴BE＝5，
在Rt△BEF中，BE2＝EF2+BF2，
∴100＝x2+（4﹣x）2，
解得：x＝6±，
∵＞4，舍去，
∴x＝，
∴EC＝6﹣，
∴OE＝4﹣（6﹣）＝﹣2．
23．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是边AC上一动点，且不与A，C两点重合，连接BD，过点D作DE⊥BD交边BC于点E，△BDE的外接圆交边AB于另一点F，连接DF．
（1）求证：△ADF∽△DBE．
（2）当AB＝6，AC＝8时．
①若AD＝3AF，求AD的长．
②当线段DE，DF，BF中有两条相等时，求出所有符合条件的tan∠ADF的值．
（3）若BD平分∠ABC，S△ADF＝1，S△BDE＝6，则S△CDE＝ ．
【解答】解：（1）证明：∵四边形FBED为圆内接四边形，
∴∠DFA＝∠DEB，
∵DE⊥BD，
∴∠EDB＝∠A＝90°，
∴△ADF∽△DBE；
（2）连接EF，
①设AF＝t，AD＝3t，
则BF＝6﹣t，BD＝，
∵∠EDB＝90°，
∴EB为直径，
∴∠EFB＝∠A＝90°，
∵∠EBF＝∠CBA，
∴△EFB∽△CAB，
∴＝，
∴BE＝（6﹣t），
∵△ADF∽△DBE，
∴＝，
∴＝，
整理得，13t2+60t﹣108＝0，
解得，t＝或t＝﹣6（舍去），
∴AD＝3t＝．
②设AF＝t，tan∠ADF＝m，
则AD＝，DB＝，BE＝（6﹣t），
1°．当BF＝DF＝6﹣t时，
∵△ADF∽△DBE；
∴＝，
∴＝，
解得m＝t，
∴AD＝，
在Rt△ADF中，由勾股定理得，
AF2+AD2＝FD2，
即t2+（）2＝（6﹣t）2，
解得t＝，
∴tan∠ADF＝m＝t＝；
2°．当DF＝DE＝时，
∵△ADF∽△DBE；
∴＝，
∴＝，
＝10t﹣t2①，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
BD2+DE2＝BE2，
即36+++t2＝[（6﹣t）]2②，
将①代入②得，
36+10t﹣t2+10t﹣t2+t2＝[（6﹣t）]2，
整理得，2t2﹣15t+18＝0
解得t＝6（舍去）或t＝，
将t＝代入①得，
m2＝，
∴m＝；
3°．当BF＝DE＝6﹣t时，
∵BE＝BE，
∴Rt△EFB≌Rt△BDE（HL），
∴∠DBE＝∠FEB，
∵△ADF∽△DBE，
∴∠ADF＝∠DBE，
∴∠ADF＝∠FEB，
∵∠EFB＝∠A＝90°
∴EF∥AC，
∴∠FEB＝∠ACB，
∴∠ADF＝∠ACB，
∴tan∠ADF＝tan∠ACB＝＝，
综上所有符合条件的tan∠ADF的值为：或或；
（3）设AF＝t，
∵S△ADF＝AF AD＝1，
∴AD＝，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ADF，
∴△ADF∽△ABD，
∴＝，
∴AB＝，
∴BF＝﹣t，
∵△ADF∽△DBE，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴BD＝AD＝，
BE＝DF＝×，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AD2+AB2＝BD2，
即（）2+（）2＝（）2，
t4＝，
∵△EFB∽△CAB，
∴＝，
∴BC＝＝＝＝4××＝×，
∴AC2＝BC2﹣AB2＝（×）2﹣（）2＝（t2+）﹣＝×（+4×）﹣16×（）3＝，
AB2＝（）2＝16×（）3＝10，
∴AC2 AB2＝10×＝625，
∴S△ABC＝AB AC＝，
∵△ADF∽△ABD，
∴＝（）2＝＝，
∴S△ADB＝5S△ADF＝5，
∴S△CDE＝S△ABC﹣S△ADB﹣S△BDE＝﹣5﹣6＝．
24．如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CF AF＝FO AH；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．
【解答】（1）证明：如图1中，连接BC．
∵＝，
∴∠DCB＝∠DBC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠BCE＝90°，
∴∠E+∠DBC＝90°，∠ECD+∠DCB＝90°，
∴∠E＝∠DCE，
∴CD＝ED．
（2）①证明：如图2中，
∵CF＝CH，
∴∠CFH＝∠CHF，
∵∠AFO＝∠CFH，
∴∠AFO＝∠CHF，
∵＝，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴△AFO∽△AHC，
∴＝，
∴＝，
∴CF AF＝OF AH．
②解：如图3中，连接OD交BC于G．设OG＝x，则DG＝2﹣x．
∵＝，
∴∠COD＝∠BOD，
∵OC＝OB，
∴OD⊥BC，CG＝BG，
在Rt△OCG和Rt△BGD中，则有22﹣x2＝12﹣（2﹣x）2，
∴x＝，即OG＝，
∵OA＝OB，
∴OG是△ABC的中位线，
∴OG＝AC，
∴AC＝．
25．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若＝，求BF的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠BCO，
又∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）过C作CM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图：
∵⊙O的半径为，
∴AB＝2，
∵△ABC的面积为2，
∴AB CM＝2，即×2 CM＝2，
∴CM＝2，
Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣∠CBA，
Rt△ABC中，∠A＝90°﹣∠CBA，
∴∠BCM＝∠A，
∴tan∠BCM＝tanA，即＝，
∴＝，
解得BM＝﹣1，（BM＝+1已舍去），
∵∠BCD＝∠A，∠BCM＝∠A，
∴∠BCD＝∠BCM，
而∠BMC＝∠BNC＝90°，BC＝BC，
∴△BCM≌△BCN（AAS），
∴CN＝CM＝2，BN＝BM＝﹣1，
∵∠DNB＝∠DMC＝90°，∠D＝∠D，
∴△DBN∽△DCM，
∴＝＝，
即＝＝，
解得DN＝2﹣2，
∴CD＝DN+CN＝2；
方法二：过C作CM⊥AB于M，连接OC，如图：
∵⊙O的半径为，
∴AB＝2，
∵△ABC的面积为2，
∴AB CM＝2，即×2 CM＝2，
∴CM＝2，
Rt△MOC中，OM＝＝1，
∵∠DMC＝∠CMO＝90°，∠CDM＝90°﹣∠DCM＝∠OCM，
∴△DCM∽△COM，
∴＝，即＝，
∴CD＝2；
（3）过C作CM⊥AB于M，过E作EH⊥AB于H，连接OE，如图：
∵CM⊥AB，EH⊥AB，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝＝，
由（2）知CM＝2，BM＝﹣1，
∴HE＝1，MF＝2HF，
Rt△OEH中，OH＝＝＝2，
∴AH＝OA﹣OH＝﹣2，
设HF＝x，则MF＝2x，
由AB＝2可得：BM+MF+HF+AH＝2，
∴（﹣1）+2x+x+（﹣2）＝2，
解得：x＝1，
∴HF＝1，MF＝2，
∴BF＝BM+MF＝（﹣1）+2＝+1．
26．如图1，以△ABC的边AC为直径作⊙O交BC于点D，连接AD，点E为AD上一点（不与端点重合），连接CE，作DF⊥CE于点F，延长DF交AC于点M，交BA的延长线于点G，∠BGD＝∠ACE．
（1）求证：BG是⊙O的切线；
（2）求证：；
（3）如图2，延长CE交AB于点H，若HE＝4，∠ACH＝∠BCH，sin∠BGD＝，求BC的长．
【解答】解：（1）∵∠BGD＝∠ACE，且∠AMG＝∠CMF，
∴180°﹣∠BGD﹣∠AMG＝180°﹣∠ACE﹣∠CMF，即∠GAM＝∠CFM，
∵DF⊥CE，
∴∠GAM＝∠CFM＝90°，
∴OA⊥BG，
∴BG是⊙O的切线；
（2）∵AC为⊙O直径，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵OA⊥BG，
∴∠B＝90°﹣∠ACB＝∠DAC，
∴△ADB∽△CDA，
∴＝，
∴AB AD＝AC BD，
∵∠B＝∠DAC，∠BGD＝∠ACE，
∴△BGD∽△ACE，
∴＝，
∴AC BD＝BG AE，
∴AB AD＝BG AE，
∴；
（3）设CH交⊙O于N，连接AN，如图：
∵AC为⊙O直径，
∴∠ADC＝90°＝∠ANC，
∵DF⊥CE，
∴∠FCD＝90°﹣∠FDC＝∠EDF，AN∥DG，
∴∠BGD＝∠HAN，∠NAD＝∠ADG，
∵∠ACH＝∠BCH，∠BGD＝∠ACE，
∴∠ACH＝∠BCH＝∠EDF＝∠BGD＝∠HAN＝∠NAD，
在△AHN和△AEN中，
∴△AHN≌△AEN（ASA），
∴HN＝EN＝HE，AH＝AE，
∵HE＝4，
∴HN＝EN＝2，
∵sin∠BGD＝，
∴sin∠HAN＝，
Rt△AHN中，＝可得AH＝5＝AE，
Rt△AHC中，sin∠ACH＝sin∠BGD＝，
∴＝，可得CH＝，
∴AC＝＝，EC＝CH﹣HE＝，
∵∠B＝∠DAC，∠ACE＝∠BCH，
∴△AEC∽△BHC，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝．
27．如图，点I是O△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD，BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，BE＝5，求DI的长；
（3）若sin∠ACD＝，CD＝10，求△ACD的内心到点O的距离．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵点I是△ABC的内心，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴＝，
∴OD⊥AC，DC＝DA，
∴∠ODA＝∠CDA，
∵DG平分∠ADF，
∴∠ADG＝∠ADF，
∴∠ODG＝∠ODA+∠ADG＝（∠CDA+∠ADF）＝90°，
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切线．
（2）解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAI＝∠CAI，
∵∠EIA＝∠IBA+∠IAB＝∠CAD+∠CAI，
即∠DIA＝∠DAI，
∴DA＝DI，
∵∠DAE＝∠DBA，∠ADE＝∠BDA，
∴△DAE∽△DBA，
∴AD：DB＝DE：DA，
即AD：9＝4：AD，
∴AD＝6，
∴DI＝6．
（3）解：如图，连接OD交AC于T，设G是△ACD的内心，连接CG，OC．
∵DC＝DA，OD⊥AC，
∴OD平分∠CDA，
∴△ACD的内心在DT上，
在Rt△CDT中，CD＝10，sin∠DCT＝＝，
∴DT＝6，
∴CT＝AT＝＝＝8，
设OD＝OC＝x，
在Rt△OCE中，则有x2＝82+（x﹣6）2，
∴x＝，
∴OT＝﹣6＝，
∵G是△ACD的内心，
∴ （CD+AD+AC） GT＝ AC DT，
∴GT＝＝，
∴OG＝OT+GT＝+＝5．
∴△ACD的内心到点O的距离为5．
28．如图，以Rt△ABC的斜边AC为直径作⊙O，点D在半径OC上，过点D作AC的垂线，分别交弦BC于点E，交⊙O于F．在射线DE上取点G，连接GB并延长交CA的延长线于点H，且满足GB＝GE．
（1）求证：HG是⊙O的切线；
（2）若GE＝BE，HB＝．
（i）求⊙O的半径；
（ii）如图2，连接AF，交弦BC于点M，若AF∥HG，求线段OD的长．
【解答】解：（1）连接OB，如图：
∵GB＝GE，
∴∠GBE＝∠GEB＝∠CED，
∵GD⊥AC，
∴∠CED+∠ECD＝90°，
∴∠GBE+∠ECD＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠ECD＝∠OBC，
∴∠GBE+∠OBC＝90°，
∴OB⊥HG，
∴HG是⊙O的切线；
（2）（i）过G作GM⊥BC于M，如图：
∵GB＝GE，GM⊥BC，
∴ME＝BE，
∵GE＝BE
∴＝，
∴cos∠GEM＝，
∴cos∠CED＝，
∵AC为⊙O直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠C＝∠CED，
∴cos∠BAC＝，
设AB＝k，则AC＝k，BC＝2k，
∵HG为⊙O切线，
∴∠C＝∠HBA，
而∠H＝∠H，
∴△HBA∽△HCB，
∴＝＝＝＝，
∵HB＝，
∴HC＝，HA＝，
∴AC＝HC﹣HA＝2，
∴⊙O的半径为；
（ii）连接CF，过F作FN⊥BC于N，如图：
由（i）知：AC＝2，cos∠BAC＝，
∴AB＝2，BC＝4，
∵AF∥HG，
∴∠AMB＝∠GBC，
∵GB＝GE，
∴∠GBC＝∠GEM，
∴∠AMB＝∠GEM，
∴cos∠AMB＝cos∠GEM＝，
Rt△ABM中，设BM＝t，则AM＝t，AB＝2t，
∴2t＝2，解得t＝1，
∴BM＝1，AM＝，
∴CM＝BC﹣BM＝3，
∵BC与AF是⊙O的相交弦，
∴AM MF＝BM CM，即 MF＝1×3，
∴MF＝，
Rt△FNM中，cos∠FMN＝cos∠AMB＝，
∴＝，
∴MN＝，ME＝，
∴CE＝CM﹣ME＝，
Rt△CED中，cos∠CED＝cos∠GEB＝，
∴ED＝，CD＝，
∴OD＝OC﹣CD＝．
29．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E，连接AD，CD．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AB＝6，tanA＝，求BE的长；
（3）线段AB，BE，CE之间有何数量关系？写出你的结论并证明．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BE，
∵BE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝6，tanA＝，
∴BD＝AD，
设AD＝m，则BD＝m，
∴m2+2m2＝36，
∴m＝2或﹣2（舍弃），
∴AD＝2，BD＝2，
∵BE⊥DE，
∴∠ADB＝∠BED＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴△ABD∽△DBE，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝4．
（3）解：结论CE＝AB﹣BE，
理由：过D作DH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，
∴DH＝DE，
在Rt△BED与Rt△BHD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△BHD（HL），
∴BH＝BE，
∵∠DCE＝∠A，∠DHA＝∠DEC＝90°，
∴△ADH≌△CDE（AAS），
∴AH＝CE，
∵AB＝AH+BH，
∴AB＝BE+CE，
∴CE＝AB﹣BE．
30．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点E在圆外，OE⊥AC于点D，BE交⊙O于点F，连接BD、BC、CF，∠BFC＝∠AED．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）求证：OB2＝OD OE；
（3）设△BAD的面积为S1，△BDE的面积为S2，若tan∠ODB＝，求的值．
【解答】解：（1）证明：∵∠BFC＝∠AED，
又∠BFC＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠AED，
∵OE⊥AC于点D，
∴∠ADE＝∠ADO＝90°，
∴∠AED+∠EAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝90°，即∠OAE＝90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（2）∵∠OAE＝∠ADO＝90°，∠AOD＝∠EOA，
∴△AOD∽△EOA，
∴，
∴OA2＝OD OE，
∵OB＝OA，
∴OB2＝OD OE；
（3）∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADO＝90°，
∴∠ACB＝∠ADO，
∴OE∥BC，
∴∠ODB＝∠DBC，
在Rt△BCD中，tan∠DBC＝tan∠ODB＝＝，
设DC＝2m，则BC＝3m，
∴OD＝BC＝，
∵OE⊥AC于点D，
∴AD＝DC＝2m，
∴OA＝OB＝＝，
由（2）知OB2＝OD OE，
∴，
而∠BOD＝∠EOB，
∴△BOD∽△EOB，
∴，
∴设S△BOD＝9k，则S△EOB＝25k，
∴△BDE的面积为S2＝S△EOB﹣S△BOD＝16k，
而△BAD的面积为S1＝2S△BOD＝18k，
∴＝＝．
31．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，D为圆上一点，且B，D两点位于AC异侧，连接BD，交AC于E，点F为BD延长线上一点，连接AF，使得∠DAF＝∠ABD．
（1）求证：AF为⊙O的切线；
（2）当点D为EF的中点时，求证：AD2＝AO AE；
（3）在（2）的条件下，若sin∠BAC＝，AF＝2，求BF的长．
【解答】（1）证明：连接CD．
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ABD＝∠ACD，∠DAF＝∠ABD，
∴∠DAF＝∠ACD，
∴∠DAF+∠DAC＝90°，
∴∠FAC＝90°，
∴AF为⊙O的切线．
（2）证明：∵∠FAE＝90°，DF＝DE，
∴AD＝DE＝DF，
∴∠DAE＝∠AED，
∵OA＝OD，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴∠ADO＝∠AED，
∵∠OAD＝∠DAE，
∴△ADO∽△AED，
∴＝，
∴AD2＝AO AE．
（3）解：过点B作BJ⊥EC于J．
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴sin∠BAC＝＝，
∴可以假设BC＝a，AC＝3a，
∵BJ⊥AC，
∴∠AJB＝90°，
∴∠BAC+∠ABJ＝90°，∠ABJ+∠CBJ＝90°，
∴∠CBJ＝∠BAC，
∴sin∠CBJ＝sin∠BAC＝＝，
∴CJ＝a，
∴BJ＝＝＝a，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠AED＝∠CEB，
∵∠DAE＝∠CBE，
∴∠CEB＝∠CBE，
∴CE＝CB＝a，
∴EJ＝EC﹣CJ＝a﹣a＝a，AE＝AC﹣EC＝2a，
∵AF∥BJ，
∴＝，
∴＝，
∴a＝，
∴AE＝2，EJ＝，BJ＝，
∴EF＝＝＝6，BE＝＝＝2，
∴BF＝EF+BE＝6+2＝8．
32．如图1，O是△ABC的边BC的中点，⊙O与BC交于E、F两点，与AB相切于点D，连接AO交⊙O于点P，＝．
（1）猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想．
（2）如图2，延长AO交⊙O于Q点，连接DE、DF，DQ，FQ，FQ＝，ED＝5，求DQ的长．
（3）如图3，若DE＝5，连接DF、DP、PF，设DP＝x，△DPF的面积为y，求y与x之间的函数关系式．
【解答】解：（1）结论：AC与⊙O相切，
理由：过点O作OH⊥AC于H，
∵⊙O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∵，点O是圆心，
∴∠BOP＝∠COP＝90°，
又∵O是BC的中点，
∴AB＝AC，
∴∠BAO＝∠OAC，
又∵OD⊥AB，OH⊥AC，
∴OD＝OH，
∴OH是半径，
∴AC与⊙O相切．
（2）如图2中，过点Q作QN⊥CD于N，QM⊥DE交DE的延长线于M，连接QE．
∵AO⊥BC，O是圆心，
∴PQ是直径，
∴OQ＝OF，
∴FQ＝OF＝，
∴FO＝，
∴EF＝13，
∵EC是直径，
∴∠EDC＝90°，
∵FD2＝EF2﹣DE2，DE＝5，
∴FD＝12，
∵∠QDF＝∠QOF＝45°，
∴∠QDM＝∠QDN＝45°，
∴＝，
∴EQ＝FQ，
∵QM⊥DM，QN⊥DN，
∴QM＝QN，
∵∠M＝∠QNF＝90°，
∴Rt△QME≌Rt△QNF（HL），
∴EM＝FN，
∵∠M＝∠MDN＝∠DNQ＝90°，
∴四边形DMQN是矩形，
∵QM＝QN，
∴四边形DMQN是正方形，
∴DM＝DN，
∴DE+DF＝DM﹣EM+DN+NF＝2DM＝17，
∴DM＝DN＝，
∴DQ＝DN＝．
（3）如图3中，过点F作FH⊥DP交DP的延长线于H．
∵∠PDF＝∠POC＝45°，∠H＝90°，
∴∠HDF＝∠DFH＝45°，
∴DH＝FH，DF＝FH，
∵∠EDF＝∠H＝90°，∠EFP＝∠DFH＝45°，
∴∠EFD＝∠PFH，
∴△EFD∽△PFH，
∴＝＝，
∵DE＝5，
∴PH＝，
∴DH＝FH＝x+，
∴y＝S△PDF＝ DP FH，
∴y＝×x×（x+）＝x2+x（x＞0）．
33．如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过C作CD∥AB，CD交⊙O于D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）求证：AB2﹣BE2＝BE EC；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC BE＝64，求BG的长．
【解答】解：（1）如图1，连接OA，
∵AB＝AC，
∴＝，∠ACB＝∠B，
∴OA⊥BC，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∵CD∥AB，
∴∠BCD＝∠B，
∴∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，
∵∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝2∠ACB，
∴∠CAF＝∠ACB，
∴AF∥BC，
∴OA⊥AF，
∴AF为⊙O的切线；
（2）∵∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，∠B＝∠B，
∴△ABE∽△CBA，
∴，
∴AB2＝BC BE＝BE（BE+CE）＝BE2+BE CE，
∴AB2﹣BE2＝BE EC；
（3）由（2）知：AB2＝BC BE，
∵BC BE＝64，
∴AB＝8，
如图2，连接AG，
∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，
∵点G为内心，
∴∠DAG＝∠GAC，
又∵∠BAD＝∠ACB，
∴∠BAD+∠DAG＝∠GAC+∠ACB，
∴∠BAG＝∠BGA，
∴BG＝AB＝8