2021年北师大版九上数学第四章相似图形培优综合试题（Word版，附答案）

北师大版九上数学相似图形培优综合试题
一．选择题（共12小题）
1．如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°，若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，则BG的长为（　　）
A．8.5 B．9 C．9.5 D．10
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．E是AC边上一动点，过点E作EF∥AB交BC于点F，D为线段EF的中点，当BD平分∠ABC时，AE的长度是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，正方形ABCD的边AB＝3，对角线AC和BD交于点O，P是边CD上靠近点D的三等分点，连接PA，PB，分别交BD，AC于点M，N，连接MN．有下列结论：①OM＝MD；②；③MN＝；④S△MDP＝，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
4．如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，E为BC中点，连接AE交BD于点F，连CF，下列结论：①AE⊥BD；②S矩形ABCD＝10S△CEF；③BC2＝2DO DF；④＝．正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE、AF于M、N，下列结论：①AF⊥BG；②；③S四边形CGNF＝S△ABN；④．其中正确的有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
6．如图，点E在正方形ABCD的对角线BD上，EF⊥AE交BC于点F，AE的延长线交CD于点P，AF交BD于点G，连接PF，则下列结论中；①EA＝EF；②∠DPF＝2∠BGF；③CF+2BF＝BE；④BG2+DG2＝2DG GE；⑤若DP＝PC，则PC：CF：FP＝3：4：5；⑥若BD＝BE，则PF＝2DP，GE2＝2GB2．其中正确的结论有（　　）个．
A．6 B．5 C．4 D．3
7．如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，DE交AC于M，AF交BD于点N，若AF平分∠BAC，DE⊥AF，记x＝，y＝，z＝，则有（　　）
A．x＞y＞z B．x＝y＝z C．x＝y＞z D．x＞y＝z
8．等腰△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，连接CE、BF交于点P，若＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在 ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于点G、H，则图中阴影部分图形的面积与 ABCD的面积之比为（　　）
A．7：12 B．7：24 C．13：36 D．13：72
10．如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG＝BC，连接GM．有如下结论：①DE＝AF；②AN＝AB；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF：S四边形CNFB＝1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
11．如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于G，BG延长交CD于点F，CG延长交BD于点H，交AB于N下列结论：
①DE＝CN；②＝；③S△DEC＝3S△BNH；④∠BGN＝45°；⑤GN+EG＝BG；
其中正确结论的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．如图，两个全等的矩形AEFG，矩形ABCD如图所示放置．CD所在直线与AE，GF分别交于点H，M．若AB＝3，BC＝，CH＝MH．则线段MH的长度是（　　）
A． B． C． D．2
二．填空题（共19小题）
13．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△BDE：S△CDE＝　 　．
14．在△ABC中，∠BAC＝45°，P为△ABC内一点，且∠APB＝∠APC＝120°．若PA＝+1，PB＝2，则PC＝　 　．
15．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠C＝∠E＝60°，点D在BC边上，AC与DE相交于点F，＝3，则＝　 　．
16．如图，∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，点D为动点，连接BD、CD，∠BDC始终保持为90°，线段AC、BD相交于点E，则的最大值为　 　．
17．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝7，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE沿ED折叠，点B的对应点F刚好落在AC上．当△CEF与△ABC相似时，BE的长为　 　．
18．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是边BC上一点，BE＝1，将△ABE，△ADF分别沿折痕AE，AF向内折叠，点B，D在点G处重合，过点E作EH⊥AE，交AF的延长线于H，则线段FH的长为　 　．
19．如图，在 ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE：EB＝1：2，DF＝CF，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若图中阴影部分的面积为51平方厘米，则 ABCD的面积为 　 　．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，AP+BP的最小值为　 　．
21．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，点D在边AC上，将△ABD沿BD翻折，点A的对称点为A'，使得A'D∥BC，则∠BDC＝　 　，＝　 　．
22．如图，在正方形ABCD中，E是线段CD上一点，连接AE，将△ADE沿AE翻折至△AEF，连接BF并延长BF交AE延长线于点P，当PF＝BF时，＝　 　．
23．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P是△ACD内一点，连接PA、PC、PB，若PA＝5，PB＝12，PC＝13，则AC BD＝　 　．
24．如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是　 　．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于点M，交BD于点N，现有下列结论：
①AM＝AD+MC；②AM＝DE+BM；③DE2＝AD CM；④点N为AM的中点
其中正确的结论为　 　．
26．如图，已知CO1是△ABC的中线，过点O1作O1E1∥AC交BC于点E1，连接AE1交CO1于点O2；过点O2作O2E2∥AC交BC于点E2，连接AE2交CO1于点O3；过点O3作O3E3∥AC交BC于点E3，…，如此继续，可以依次得到点O4，O5，…，On和点E4，E5，…，En，则O2020E2020＝　 　AC．
27．如图，在正方形ABCD中，以AB为腰向正方形内部作等腰△ABE，点G在CD上，且CG＝3DG．连接BG并延长，与AE交于点F，与AD延长线交于点H．连接DE交BH于点K，连接CK．若AE2＝BF BH，FG＝，则S四边形EFKC＝　 　．
28．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE∽△ABC，点N是AC的中点，连接NE，当线段NE最短时，线段CD的长为　 　．
29．如图，已知△OAD，△ABE，△BCF是三个直角边长分别为4，8，12的等腰直角三角形，其中点A、B、C分别是直角顶点，且O、A、B、C四点共线，连接OF交AE、BE于G、H，则GH＝　 　．
30．如图，已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC＝60°，等边三角形AEF两边交边DC，CB于点E，F，若点E，F始终分别在边DC，CB上移动．记等边三角形AEF的外心为点P．当△AEF面积最小时，过点P任作一直线交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，则的值为　 　．
31．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝6，∠EDF的顶点D是AB的中点，且∠EDF＝45°，现将∠EDF绕点D旋转一周，在旋转过程中，当∠EDF的两边DE、DF分别交直线AC于点G、H，把△DGH沿DH折叠，点G落在点M处，连接AM，若＝，则AH的长为　 　．
三．解答题（共21小题）
32．已知点E在△ABC内，∠ABC＝∠EBD＝α，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°．
（1）当α＝60°时（如图1），
①判断△ABC的形状，并说明理由； ②求证：BD＝AE；
（2）当α＝90°时（如图2），求的值．
33．阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，＝，AD与BE相交于点P，求的值．
小昊发现，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：的值为　 　．
参考小昊思考问题的方法，解决问题：
（1）如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且．求的值；
（2）如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且，直接写出的值为　 　．
34．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，P为边CD上一点，把△BCP沿直线BP折叠，顶点C折叠到C'，连接BC'与AD交于点E，连接CE与BP交于点Q，若CE⊥BE．
（1）求证：△ABE∽△DEC；
（2）当AD＝13时，AE＞DE，求CE的长；
（3）连接C'Q，①判断四边形C'QCP的形状．请说明理由．
②当CP＝4时，并求CE EQ的值．
35．[基础巩固]
（1）如图①，已知△ABC∽△DBE，求证：△ABD∽△CBE．
[尝试应用]
（2）如图②，在△ABC和△DBE中，∠ABC＝∠DBE＝90°，点D在AC边上，DE与BC相交于点F，AB＝3，BC＝6，BE＝2BD，CD＝2AD，求CF的长．
[拓展提高]
（3）如图③，D是Rt△ABC内一点，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠ADC＝150°，AD＝2，BD＝4，求CD的长．
36．在△ABC中，D为BC上一点．
（1）点E为AC上一点，且∠ADE＝∠B．
①如图1，若AB＝AC，求证：AB：BD＝CD：CE；
②如图2，若CA＝CB，CF∥AB交DE的延长线于点F，点H在BC的延长线上，且FC＝FH，求证：BD＝CH．
（2）如图3，若△ABD∽△FAC，且AB＝CD＝2BD，直接写出的值．
37．（问题背景）如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝∠BAC＝60°，＝＝．
（问题应用）
如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D、E、C三点共线，连接BD．
（1）求证：△ADB≌△AEC；
（2）直接写出AD、BD、CD之间的数量关系；
如图3，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在△ABC内部作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE、CF．
（3）判断△EFC的形状，并给出证明．
（4）若AE＝5，CE＝2，则BF的长为　 　（直接写答案）．
38．已知四边形ABCD中，AB＝AD，对角线AC平分∠DAB，点F为AB上一点，且CF＝CB．
（1）如图1，求证：CD＝CF；
（2）如图2，连接DF，交AC于点G，求证：△DGC∽△ADC．
（3）如图3，若点H为线段DG上一点，连接AH，若∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，求的值．
39．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）当点Q在线段CA上时，如图1，求证：△BPE∽△CEQ；
（2）当点Q在线段CA的延长线上时，如图2，△BPE和△CEQ是否相似？说明理由；
（3）在（2）的条件下，若BP＝1，CQ＝，求PQ的长．
40．（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E、F分别是边BC、CD上的点，连接线段AE、AF、EF，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、DF之间的关系，并说明理由；
（2）如图2，四边形ABCD是菱形，点E、F分别是边BC、CD上的点，连接线段AE、AF，∠B＝120°，∠EAF＝30°，试说明CE CF＝3BE DF；
（3）如图3，若菱形的边长为8cm，点E在CB的延长线上，BF：FC＝1：3，∠ABC＝120°，∠EAF＝30°，求线段BE的长．
41．如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝10，点D为边AB的中点，点E为边BC的中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．
（1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；
（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；
（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，点G的运动路程是　 　．
42．【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD AB．
【尝试应用】
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，则菱形ABCD的边长为　 　．
43．已知AC，EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE＝90°．
（1）当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，求证：△CAE∽△CBF；
（2）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF，若BE＝1，AE＝2，求CE的长．
（3）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且时，若BE＝1，AE＝2，CE＝3，求k的值．
44．如图①，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）【证明与推断】：①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为　 　；
（2）【探究与证明】：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α度（0°＜α＜45°），如图②所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展与运用】：正方形CEGF在旋转过程中，当A，G，F三点在同一直线上时，如图③所示，延长CG交AD于点H．
①求证：△ACH∽△GAH；
②若AG＝6，GH＝2，求BC的长．
45．已知在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为射线BC上的一个动点，AE与边CD交于点G．
（1）如图1，连接对角线BD交AE于点F，连接CF，若AF2＝CG CD，试求∠CFE的度数；
（2）如图2，点F为AE上一点，且∠ADF＝∠AED，若菱形的边长为2，则当DE⊥BC时，求△CFE的面积；
（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，试求的最小值．
46．如图，E是矩形ABCD的边BC上的一点，AC是其对角线，连接AE，过点E作EF⊥AE，EF交AC于点M，EF交DC于点F，过点B作BG⊥AC于点G，BG交AE于点H．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）求证：AH CM＝BH EM；
（3）若E是BC的中点，＝，AB＝9，求EM的长．
47．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以点D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过A作AF⊥AD交射线DE于F，连接CF．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；
（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，写出此时BD的长；若不存在，请说明理由．
48．在平行四边形ABCD中，AD＝8，DC＝6，∠FED的顶点在BC上，EF交直线AB于F点．
（1）如图1，若∠FED＝∠B＝90°，BE＝5，求BF的长；
（2）如图2，在AB上取点G，使BG＝BE，连接EG，若∠B＝∠FED＝60°，求证：；
（3）如图3，若∠ABC＝90°，点C关于BD的对称点为点C'，CC′交BD于点M，对角线AC、BD交于点O，连接OC'交AD于点G，求AG的长．
49．在边 ABCD中，点F、E分别为AB、BC上的两点．
（1）如图1，若∠B＝90°，AB＝7，BC＝10且BF＝CE＝3，连接EF、DE，判断EF与DE的数量关系及位置关系，并说明理由；
（2）如图2，若∠B＝∠FED＝60°，求证：；
（3）如图3，若∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点C关于BD的对称点为点C'，点O为 ABCD对角线BD的中点，连接OC'交AD于点G，求GD的长．
50．如图1，在矩形ABCD中，AB＝nBC，点E为射线BC上的一个动点，过点E作EF⊥AE，连接AF，使∠EAF＝∠BAC，连接CF．
（1）求证：△ABE∽△ACF；
（2）如图2，若n＝，AC＝5，连接DF．
①若∠CDF＝45°，求BE；
②当E点在射线BC上运动时，则DF+AE的最小值为　 　．
51．在△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别在BC、AB边上．
（1）如图1，EF⊥AB，求证：＝；
（2）点D在AC边上，AE⊥DF，且＝＝m．
①如图2，若＝，求m的值； ②如图3，若∠C＝2∠ADF，m＝，直接写出的值．
52．已知菱形ABCD中BD为对角线，P、Q两点分别在AB、BD上，且满足∠PCQ＝∠ABD．
（1）如图1，当∠BAD＝90°时，求证：△APC∽△DQC；
（2）如图2，当∠BAD＝120°时，过点C作CK⊥BC交BD于点K，
①求证：∠ACP＝∠KCQ；
②探究：三条线段DQ，BP，CD的数量关系？
（3）如图3，在（2）的条件下，延长CQ交AD边于点E交BA的延长线于点M，作∠DCE的平分线交AD边于点F，若，EF＝，求线段CD的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．D． 2．B． 3．D． 4．C． 5．D． 6．A．
7．D． 8．A． 9．B． 10．C． 11．D． 12．D．
二．填空题（共19小题）
13．　　． 14．　2﹣2　． 15．　　． 16．　　． 17．　或　．
18．　　． 19． 　210平方厘米　． 20．　　． 21．　52.5°　，　　．
22．　﹣1　． 23．　180+169　． 24．　　 25．　①③　．
26．　 　． 27．　　． 28．　　． 29．　2　． 30．　2　．
31．　或或3　．
三．解答题（共21小题）
32．已知点E在△ABC内，∠ABC＝∠EBD＝α，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°．
（1）当α＝60°时（如图1），
①判断△ABC的形状，并说明理由；
②求证：BD＝AE；
（2）当α＝90°时（如图2），求的值．
【解答】解：（1）①判断：△ABC是等边三角形．
理由：∵∠ABC＝∠ACB＝60°
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°＝∠ABC＝∠ACB
∴△ABC是等边三角形
②证明：同理△EBD也是等边三角形
连接DC，
则AB＝BC，BE＝BD，∠ABE＝60°﹣∠EBC＝∠CBD
∴△ABE≌△CBD
∴AE＝CD，∠AEB＝∠CDB＝150°
∴∠EDC＝150°﹣∠BDE＝90°∠CED＝∠BEC﹣∠BED＝90°﹣60°＝30°
在Rt△EDC中，
∴．
（2）连接DC，
∵∠ABC＝∠EBD＝90°，∠ACB＝∠EDB＝60°
∴△ABC∽△EBD
∴
又∵∠ABE＝90°﹣∠EBC＝∠CBD
∴△ABE∽△CBD，∠AEB＝∠CDB＝150°，
∴∠EDC＝150°﹣∠BDE＝90°，∠CED＝∠BEC﹣∠BED＝90°﹣（90°﹣∠BDE）＝60°
设BD＝x在Rt△EBD中DE＝2x，BE＝
在Rt△EDC中CD＝
∴，即．
33．阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，＝，AD与BE相交于点P，求的值．
小昊发现，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：的值为　　．
参考小昊思考问题的方法，解决问题：
（1）如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且．求的值；
（2）如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且，直接写出的值为　　．
【解答】解：如图2，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，
∴∠F＝∠APF，∠FCE＝∠EAP，
∵BE为AC边的中线，
∴AE＝CE，
∴△AEP≌△CEF（AAS），
∴AP＝FC，
∵PD∥FC，
∴△BPD∽△BFC，
∴＝，
∴＝，
故答案为：；
（1）如图3，过A作AF∥BC，交BP延长线于点F，
∴△AFE∽△CBE，
∴，
∵，
∴，
设AF＝3x，BC＝2x，
∵，
∴BD＝3x，
∴AF＝BD＝3x，
∵AF∥BD，
∴△AFP∽△DBP，
∴＝＝1；
（2）如图4，过C作CF∥AP交PB于F，
∴△BCF∽△BDP，
∴，
设CF＝2x，PD＝3x，
∵CF∥AP，
∴△ECF∽△EAP，
∴，
∴AP＝7x，AD＝4x，
∴．
故答案为：．
34．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，P为边CD上一点，把△BCP沿直线BP折叠，顶点C折叠到C'，连接BC'与AD交于点E，连接CE与BP交于点Q，若CE⊥BE．
（1）求证：△ABE∽△DEC；
（2）当AD＝13时，AE＞DE，求CE的长；
（3）连接C'Q，①判断四边形C'QCP的形状．请说明理由．
②当CP＝4时，并求CE EQ的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEB+∠ABE＝90°，
∵CE⊥BE，
∴∠BEC＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠ABE＝∠DEC，
∴△ABE∽△DEC；
（2）设AE＝x，则DE＝13﹣x，
由（1）可知：△ABE∽△DEC，
∴，
∴，
∴x2﹣13x+36＝0，
解得：x1＝4，x2＝9，
∵AE＞DE，
∴AE＝9，DE＝4，
在Rt△DEC中，CE＝＝＝2；
（3）①四边形C'QCP为菱形，
理由：如图，
∵折叠，
∴CP＝C′P，CQ＝C′Q，∠C′PQ＝∠CPQ，∠BC′P＝∠BCP＝90°，
∵CE⊥BC′，∠BC′P＝90°，
∴CE∥PC′，
∴∠C′PQ＝∠CQP，
∴∠CQP＝∠CPQ，
∴CQ＝CP，
∴CQ＝CP＝QC′＝C′P，
∴四边形C′QCP为菱形；
②∵四边形C′QCP为菱形，
∴C′Q∥CP，C′Q＝CP＝4，
∴∠EQC′＝∠ECD，
∵∠C′EQ＝∠D＝90°，
∴△C′EQ∽△EDC，
∴，
∴CE EQ＝DC C′Q＝6×4＝24．
35．[基础巩固]
（1）如图①，已知△ABC∽△DBE，求证：△ABD∽△CBE．
[尝试应用]
（2）如图②，在△ABC和△DBE中，∠ABC＝∠DBE＝90°，点D在AC边上，DE与BC相交于点F，AB＝3，BC＝6，BE＝2BD，CD＝2AD，求CF的长．
[拓展提高]
（3）如图③，D是Rt△ABC内一点，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠ADC＝150°，AD＝2，BD＝4，求CD的长．
【解答】（1）证明：如图①，∵△ABC∽△DBE，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵，
∴，
∴△ABD∽△CBE．
（2）如图②，作FG⊥AC于点G，则∠FGD＝∠FGC＝90°，
∵AB＝3，BC＝6，BE＝2DB，
∴＝，
∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE＝90°﹣∠DBC，
∴△ABD∽△CBE，
∴∠ADB＝∠CEB，
∴∠CEB+∠BDC＝∠ADB+∠BDC＝180°，
∴∠DCE+∠DBE＝360°﹣180°＝180°，
∴∠DCE＝180°﹣∠DBE＝90°，
∵AC＝＝＝3，CD＝2AD，
∴AD＝AC＝×3＝，CD＝AC＝×3＝2，
∵，
∴CE＝2AD＝2，
∴CD＝CE＝2，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠GDF＝∠GFD＝45°，
∴DG＝FG，
∵＝tan∠ACB，
∴GC＝2FG＝2DG，
∴DG+2DG＝CD＝2，
∴FG＝DG＝，
∴GC＝2FG＝2×＝，
∴CF＝＝＝．
（3）如图③，在△ABC外部作△GAC，使∠GAC＝∠DAB，∠ACG＝∠ABD，连结DG，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴＝cos30°＝；
∵△ACG∽△ABD，
∴＝＝，
∵AD＝2，BD＝4，
∴CG＝×4＝2，
由得，
∵∠DAG＝∠DAC+∠GAC＝∠DAC+∠DAB＝∠CAB＝30°，
∴△ADG∽△ABC，
∴∠AGD＝∠ACB＝90°，
∴DG＝AD＝×2＝，∠ADG＝90°﹣∠DAG＝60°，
∵∠ADC＝150°，
∴∠CDG＝∠ADC﹣∠ADG＝150°﹣60°＝90°，
∴CD＝＝＝3．
36．在△ABC中，D为BC上一点．
（1）点E为AC上一点，且∠ADE＝∠B．
①如图1，若AB＝AC，求证：AB：BD＝CD：CE；
②如图2，若CA＝CB，CF∥AB交DE的延长线于点F，点H在BC的延长线上，且FC＝FH，求证：BD＝CH．
（2）如图3，若△ABD∽△FAC，且AB＝CD＝2BD，直接写出的值．
【解答】（1）①证明：如图1．∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴，
∴．
②证明：如图2，连结AF.
∵CF∥AB，
∴∠FCE＝∠CAB，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠B＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠FCE，
∵∠AED＝∠FEC，
∴△ADE∽△FCE，
∴，
∴，
∵∠AEF＝∠DFC，
∴△AEF∽△DEC，
∴∠FAC＝∠FDH；
∵FC＝FH，
∴∠FCH＝∠H，
∵∠FCH＝∠B＝∠CAB＝∠ACF，
∴∠ACF＝∠H，
∴△ACF≌△DHF（AAS），
∴CA＝HD，
∴CB＝HD，
∴CB﹣CD＝HD﹣CD，
∴BD＝CH．
（2）如图3，作∠AFE＝∠CAB，FE交BA的延长线于点E，设BD＝a，则AB＝CD＝2a，BC＝3a．
∵△ABD∽△FAC，
∴，
∴＝2；
∵∠ABC＝∠FAC，∠ABC+∠CAB+∠ACB＝180°，
∴∠FAC+∠CAB+∠ACB＝180°，
∵∠FAC+∠CAB+∠FAE＝180°，
∴∠FAE＝∠ACB，
∴△EFA∽△BAC，
∴，
∴EF＝2AB＝4a，AE＝2BC＝6a，
∴BE＝2a+6a＝8a；
∵＝2，
∴，
∴，
∵∠E＝∠ABD，
∴△BEF∽△ABD，
∴＝4．
37．（问题背景）如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝∠BAC＝60°，＝＝．
（问题应用）
如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D、E、C三点共线，连接BD．
（1）求证：△ADB≌△AEC；
（2）直接写出AD、BD、CD之间的数量关系；
如图3，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在△ABC内部作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE、CF．
（3）判断△EFC的形状，并给出证明．
（4）若AE＝5，CE＝2，则BF的长为　3　（直接写答案）．
【解答】解：（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝120°，
∴∠DAB＝∠CAE，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS）．
（2）结论：CD＝AD+BD，
理由：如图2﹣1中，作AH⊥CD于H，
∵△DAB≌△EAC，
∴BD＝CE，
在Rt△ADH中，DH＝AD，
∵AD＝AE，AH⊥DE，
∴DH＝HE，
∴CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD．
（3）证明：如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴△ABD，△BD是等边三角形，
∴BA＝BD＝BC，
∵E、C关于BM对称，
∴BC＝BE＝BD＝BA，FE＝FC，
∴A、D、E、C四点共圆，
∴∠ADC＝∠AEC＝120°，
∴∠FEC＝60°，
∴△EFC是等边三角形；
（4）∵AE＝5，EC＝EF＝2，
∴AH＝HE＝2.5，FH＝4.5，
在Rt△BHF中，因为∠BFH＝30°，
∴＝，
∴BF＝＝3．
故答案为3．
38．已知四边形ABCD中，AB＝AD，对角线AC平分∠DAB，点F为AB上一点，且CF＝CB．
（1）如图1，求证：CD＝CF；
（2）如图2，连接DF，交AC于点G，求证：△DGC∽△ADC．
（3）如图3，若点H为线段DG上一点，连接AH，若∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，求的值．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
在△ADC和△ABC中
∴△ADC≌△ABC（SAS），
∴CD＝CB，
∵CF＝CB，
∴CD＝CF；
（2）解：∵△ADC≌△ABC，
∴∠ADC＝∠B，
∵CF＝CB，
∴∠CFB＝∠B，
∴∠ADC＝∠CFB，
∴∠ADC+∠AFC＝180°，
∵四边形AFCD的内角和等于360°，
∴∠DCF+∠DAF＝180°，
∵CD＝CF，
∴∠CDG＝∠CFD，
∵∠DCF+∠CDF+∠CFD＝180°，
∴∠DAF＝∠CDF+∠CFD＝2∠CDG，
∵∠DAB＝2∠DAC，
∴∠CDG＝∠DAC，
∵∠DCG＝∠ACD，
∴△DGC∽△ADC；
（3）解：∵△DGC∽△ADC，
∴∠DGC＝∠ADC，＝，
∵∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，
∴∠HAG＝∠DGC，，
∴∠HAG＝∠AHG，＝，
∴HG＝AG，
∵∠GDC＝∠DAC＝∠FAG，∠DGC＝∠AGF，
∴△DGC∽△AGF，
∴＝＝，
∴＝．
39．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）当点Q在线段CA上时，如图1，求证：△BPE∽△CEQ；
（2）当点Q在线段CA的延长线上时，如图2，△BPE和△CEQ是否相似？说明理由；
（3）在（2）的条件下，若BP＝1，CQ＝，求PQ的长．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，
∵∠BEQ＝∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°＝∠EQC+45°，
∴∠BEP＝∠EQC，
∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CEQ；
（2）解：结论：△BPE∽△CEQ．
理由：如图2中，
∵∠BEQ＝∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°＝∠EQC+45°，
∴∠BEP＝∠EQC，
又∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CEQ；
（3）解：∵△BPE∽△CEQ，
∴，
∵BE＝CE，
∴，解得：BE＝CE＝，
∴BC＝，
∴AB＝AC＝，
∴AQ＝CQ﹣AC＝，AP＝AB﹣BP＝3﹣1＝2，
在Rt△APQ中，PQ＝．
40．（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E、F分别是边BC、CD上的点，连接线段AE、AF、EF，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、DF之间的关系，并说明理由；
（2）如图2，四边形ABCD是菱形，点E、F分别是边BC、CD上的点，连接线段AE、AF，∠B＝120°，∠EAF＝30°，试说明CE CF＝3BE DF；
（3）如图3，若菱形的边长为8cm，点E在CB的延长线上，BF：FC＝1：3，∠ABC＝120°，∠EAF＝30°，求线段BE的长．
【解答】（1）解：结论：BE+DF＝EF．
理由：如图1中，延长CD到G，使得DG＝BE，连接AG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠ADG＝90°，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠1＝∠2，
∵∠EAF＝45°，
∴∠1+∠3＝45°，
∴∠2+∠3＝45°，
∴∠EAF＝∠GAF，
∵AF＝AF，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG＝DF+DG＝DF+BE．
（2）证明：如图2中，分别在AB，AD上取点M，N，使得BM＝BE，DN＝DF，连接EM，FN．
∴四边形ABCD是菱形，∠B＝120°，
∴∠B＝∠D＝120°，∠BAD＝60°，
∴∠BME＝∠1+∠3＝30°，
∵∠EAF＝30°，
∴∠1+∠2＝30°，∠DNF＝30°，
∴∠3＝∠2，
∵∠ANF＝∠AME＝150°，
∴△AME∽△FNA，
∴＝，
∵菱形的四边相等，BM＝BE，DN＝DF，
∴AM＝CE，AN＝CF，
∴＝＝＝，
∴CE CF＝3BE DF．
（3）解：连接AC．在AC上取一点M，使得FM＝MC．
∵∠BAC＝∠ACB＝∠EAF＝30°，
∴∠1＝∠2，
∴MF＝MC，
∴∠MFC＝∠MCF＝30°，
∴∠AMF＝∠MFC+∠MCF＝60°，
∵∠ABE＝180°﹣120°＝60°，
∴∠AMF＝∠ABE，
∴△AEB∽△AFM，
∴＝，
∵菱形的边长为8cm，BF：FC＝1：3，FC＝6cm，
∴AC＝BC＝8（cm），MF＝＝＝2（cm），
∴AM＝8﹣2＝6（cm），
∴＝，
∴EB＝（cm）．
41．如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝10，点D为边AB的中点，点E为边BC的中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．
（1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；
（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；
（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，点G的运动路程是　　．
【解答】解：（1）如图②中，
由图①，∵点D为边AB中点，点E为边BC中点，
∴DE∥AC，
∴，
∴，
∵∠DBE＝∠ABC，
∴∠DBA＝∠EBC，
∴△DBA∽△EBC；
（2）∠AGC的大小不发生变化，∠AGC＝30°．
理由：如图③中，设AB交CG于点O．
∵△DBA∽△EBC，
∴∠DAB＝∠ECB，
∵∠DAB+∠AOG+∠G＝180°，∠ECB+∠COB+∠ABC＝180°，∠AOG＝∠COB，
∴∠G＝∠ABC＝30°．
（3）如图③﹣1中．设AB的中点为K，连接DK，以AC为边向左边等边△ACO，连接OG，OB．
以O为圆心，OA为半径作⊙O，
∵∠AGC＝30°，∠AOC＝60°，
∴∠AGC＝∠AOC，
∴点G在⊙O上运动，
以B为圆心，BD为半径作⊙B，当直线与⊙B相切时，BD⊥AD，
∴∠ADB＝90°，
∵BK＝AK，
∴DK＝BK＝AK，
∵BD＝BK，
∴BD＝DK＝BK，
∴△BDK是等边三角形，
∴∠DBK＝60°，
∴∠DAB＝30°，
∴∠BOG＝2∠DAB＝60°，
∴的长＝＝，
观察图象可知，点G的运动路程是的长的两倍＝．
故答案为：．
42．【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD AB．
【尝试应用】
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，则菱形ABCD的边长为　5﹣2　．
【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB．
∴＝．
∴AC2＝AD AB．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
又∵∠BFE＝∠A，
∴∠BFE＝∠C．
又∵∠FBE＝∠CBF，
∴△BFE∽△BCF．
∴＝．
∴BF2＝BE BC．
∴BC＝＝＝．
∴AD＝．
（3）解：如图，分别延长EF，DC相交于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，
∵AC∥EF，
∴四边形AEGC为平行四边形，
∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，
∵∠EDF＝∠BAD，
∴∠EDF＝∠BAC．
∴∠EDF＝∠G．
又∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD．
∴＝．
∴DE2＝EF EG．
又∵EG＝AC＝2EF，
∴DE2＝2EF2．
∴DE＝EF．
又∵＝，
∴DG＝DF＝5．
∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2．
故答案是：5﹣2．
43．已知AC，EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE＝90°．
（1）当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，求证：△CAE∽△CBF；
（2）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF，若BE＝1，AE＝2，求CE的长．
（3）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且时，若BE＝1，AE＝2，CE＝3，求k的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，
∴＝＝，
∵∠ACB＝∠ECF＝45°，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△CAE∽△CBF；
（2）如图①，
∵△CAE∽△CBF，
∴∠CBF＝∠CAE，＝＝，
∵AE＝2，
∴BF＝，
∵∠CAE+∠CBE＝90°，
∴∠CBF+∠CBE＝90°，
在Rt△EBF中，EF＝＝，
∵四边形EFCG为正方形，
∴CE＝EF＝；
（3）如图②，连接BF，
由题意知：AC＝ BC．
∵＝，∠ABC＝∠EFC＝90°，
∴Rt△ABC∽Rt△CEF，
∴＝，
又∠ACB＝∠ECF，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE∽△BCF，
∴＝＝，
∵AE＝2，
∴BF＝，
∵∠EBF＝90°，
∴EF2＝BE2+BF2＝1+，
∵CE2＝EF2+CF2＝EF2+，
∴CE＝EF，
∴CE2＝（1+）（1+）＝9，
解得k＝或k＝﹣（不合题意，舍去）．
即k的值是．
44．如图①，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）【证明与推断】：①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为　　；
（2）【探究与证明】：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α度（0°＜α＜45°），如图②所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展与运用】：正方形CEGF在旋转过程中，当A，G，F三点在同一直线上时，如图③所示，延长CG交AD于点H．
①求证：△ACH∽△GAH；
②若AG＝6，GH＝2，求BC的长．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，
∴EG＝EC，
∴四边形CEGF是正方形；
②由①知四边形CEGF是正方形，
∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，
∴＝，GE∥AB，
∴＝＝，
故答案为：；
（2）连接CG，
由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，
在Rt△CEG和Rt△CBA中，
＝cos45°＝，＝cos45°＝，
∴＝＝，
∴△ACG∽△BCE，
∴＝＝，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；
（3）①由（2）知△BCE∽△ACG，
∴∠AGC＝∠BEC＝135°，
∵∠CGF＝45°，
∴∠AGC+∠CGF＝180°，
∴A、G、F三点共线．
∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC＝135°，
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC＝∠BEC＝135°，
∴∠AGH＝∠CAH＝45°，
∵∠CHA＝∠AHG，
∴△ACH∽△GAH；
②由①知，△ACH∽△GAH，则＝＝，
设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，
∴＝，
∴＝，
∴AH＝a，
则DH＝AD﹣AH＝a，CH＝＝a，
∴＝得＝，
解得：a＝3，即BC＝3．
45．已知在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为射线BC上的一个动点，AE与边CD交于点G．
（1）如图1，连接对角线BD交AE于点F，连接CF，若AF2＝CG CD，试求∠CFE的度数；
（2）如图2，点F为AE上一点，且∠ADF＝∠AED，若菱形的边长为2，则当DE⊥BC时，求△CFE的面积；
（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，试求的最小值．
【解答】解：（1）如图1，∵AF2＝CG CD，
∴＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF，
∴，
∵∠FCG＝∠FCG，
∴△FCG∽△DCF，
∴∠CFE＝∠FDC，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ADC＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠FDC＝∠ADC＝30°，
∴∠CFE＝30°；
（2）如图2，过点F作MN⊥BC于N，交AD于M，
∵AD∥BC，
∴MN⊥AD，
Rt△DCE中，∠DCE＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∵CD＝2，
∴CE＝1，DE＝＝，
Rt△ADE中，AE＝＝＝，
∵∠ADF＝∠AED，∠FAD＝∠FAD，
∴∠AFD∽△ADE，
∴，即，
∴AF＝，
∴EF＝﹣＝，
∵AD∥BC，
∴△AFM∽△EFN，
∴＝，
∵MN＝DE＝，
∴FN＝，
∴S△CEF＝＝＝；
（3）如图3，过点E作EH⊥CD于H，过点A作AN⊥BC于N，
设菱形ABCD的边长为a，CE＝x，
在Rt△CEH中，∠ECH＝60°，
∴∠CEH＝30°，
∴CH＝x，EH＝x，
∴DH＝a﹣x，
在Rt△DEH中，DE2＝DH2+EH2
＝（a﹣x）2+（x）2
＝a2﹣ax+x2，
在Rt△ABN中，∠B＝60°，AB＝a，
∴∠BAN＝30°，
∴BN＝a，AN＝a，
∴CN＝BC﹣BN＝a，
∴EN＝EC+CN＝a+x，
Rt△ANE中，AE2＝AN2+EN2
＝（a）2+（a+x）2
＝a2+ax+x2，
∴＝＝＝1﹣＝1﹣＝1﹣（a＞0，x＞0），
∴当＝时，即x＝a时，有最小值，
则此时＝1﹣＝，
∴＝．
46．如图，E是矩形ABCD的边BC上的一点，AC是其对角线，连接AE，过点E作EF⊥AE，EF交AC于点M，EF交DC于点F，过点B作BG⊥AC于点G，BG交AE于点H．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）求证：AH CM＝BH EM；
（3）若E是BC的中点，＝，AB＝9，求EM的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE＝∠ECF＝90°．
∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC＝90°．
∴∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF．
（2）证明：∵BG⊥AC，
∴∠ABG+∠BAG＝90°，
∴∠ABH＝∠ECM，
由（1）知，∠BAH＝∠CEM，
∴△ABH∽△ECM；，
∴＝，
∴AH CM＝BH EM．
（3）解：作MR⊥BC，垂足为R，
∵＝，AB＝9，
∴BC＝12，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC＝6，
∵△ABE∽△ECF，
∴＝，即＝，
∴CF＝4，
∵CD∥RM∥AB，
∴△ERM∽△ECF，△CRM∽△CBA，
∴＝，＝，即＝，＝，
∴RM＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∵△ABE∽△ECF，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EM＝．
47．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以点D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过A作AF⊥AD交射线DE于F，连接CF．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；
（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，写出此时BD的长；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠ACB，
∴△BAD∽△DCE．
（2）解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∵△CDE∽△ABD，
∴△ABD∽△CBA，
∴＝，即＝，
解得，BD＝，
∵DE∥AB，
∴＝，即＝，
解得，AE＝．
（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．
理由：如图3，作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．
则四边形AMHN为矩形，
∴∠MAN＝90°，MH＝AN，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝BC＝16，
在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝＝＝12，
∴tanB＝＝，
∵∠ADE＝∠B，
∴tan∠ADE＝＝，
∵AN⊥FH，AM⊥BC，
∴∠ANF＝90°＝∠AMD，
∵∠DAF＝90°＝∠MAN，
∴∠NAF＝∠MAD，
∴△AFN∽△ADM，
∴＝＝，即，
解得，AN＝9，
∴MH＝AN＝9，
∴CH＝CM﹣MH＝7，
∵FD＝FC，FH⊥CD，
∴CD＝2CH＝14，
∴BD＝BC﹣CD＝18．
48．在平行四边形ABCD中，AD＝8，DC＝6，∠FED的顶点在BC上，EF交直线AB于F点．
（1）如图1，若∠FED＝∠B＝90°，BE＝5，求BF的长；
（2）如图2，在AB上取点G，使BG＝BE，连接EG，若∠B＝∠FED＝60°，求证：；
（3）如图3，若∠ABC＝90°，点C关于BD的对称点为点C'，CC′交BD于点M，对角线AC、BD交于点O，连接OC'交AD于点G，求AG的长．
【解答】（1）解：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝8，
∵BE＝5，
∴EC＝BC﹣BE＝8﹣5＝3，
∵∠DEF＝90°，
∴∠FEB+∠DEC＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠BEF＝∠EDC，
∴△EBF∽△DCE，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝．
（2）证明：如图2，在AB上取点G，使BG＝BE，连接EG，则△BEG为等边三角形，
∴∠BGE＝∠BEG＝60°，
∴∠EGF＝180°﹣∠BGE＝120°．
∵四边形ABCD为平行四边形，∠B＝60°，
∴∠C＝120°＝∠EGF，
∴∠CED+∠CDE＝60°．
∵∠DEF＝60°，∠BEG＝60°，
∴∠GEF+∠CED＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠CDE＝∠GEF，
∴△CDE∽△GEF，
∴＝，
∵BE＝GE，
∴＝．
（3）解：如图3中，
由题意得，BD为线段CC'的垂直平分线，设CC'与BD交点为M，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形，
∴BD＝＝10，OC＝AC＝BD＝5，CM＝＝，
∴OM＝＝，
∵点O为AC的中点，点M为CC'的中点，
∴AC′＝2OM＝，且AC'∥BD，
∴△AGC'∽△DGO，
∴＝＝＝，
∴AG＝ AD＝．
49．在边 ABCD中，点F、E分别为AB、BC上的两点．
（1）如图1，若∠B＝90°，AB＝7，BC＝10且BF＝CE＝3，连接EF、DE，判断EF与DE的数量关系及位置关系，并说明理由；
（2）如图2，若∠B＝∠FED＝60°，求证：；
（3）如图3，若∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点C关于BD的对称点为点C'，点O为 ABCD对角线BD的中点，连接OC'交AD于点G，求GD的长．
【解答】（1）解：EF＝DE，EF⊥DE．理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，∠B＝90°，
∴∠C＝∠B＝90°．
∵AB＝7，BC＝10，BF＝CE＝3，
∴BE＝BC﹣CE＝7＝CD，
在△BEF和△CDE中，
，
∴△BEF≌△CDE（SAS），
∴EF＝DE，∠BEF＝∠CDE．
∵∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠BEF+∠CED＝90°，
∴∠DEF＝90°，即EF⊥DE．
（2）证明：如图2，在AB上取点G，使BG＝BE，连接EG，则△BEG为等边三角形，
∴∠BGE＝∠BEG＝60°，
∴∠EGF＝180°﹣∠BGE＝120°．
∵四边形ABCD为平行四边形，∠B＝60°，
∴∠C＝120°＝∠EGF，
∴∠CED+∠CDE＝60°．
∵∠DEF＝60°，∠BEG＝60°，
∴∠GEF+∠CED＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠CDE＝∠GEF，
∴△CDE∽△GEF，
∴＝，即＝．
（3）解：连接AC、CC′、AC′，设CC′交BD于点M，如图3所示，则BD为线段CC′的垂直平分线．
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形，
∴BD＝＝＝10，OC＝AC＝BD＝5，
∵CC′⊥BD，
∴CM＝＝，
∴OM＝＝＝，
∵点O为AC的中点，点M为CC′的中点，
∴AC′＝2OM＝，且AC′∥BD，
∴△AGC′∽△DGO，
∴＝＝＝，
∴DG＝AD＝．
50．如图1，在矩形ABCD中，AB＝nBC，点E为射线BC上的一个动点，过点E作EF⊥AE，连接AF，使∠EAF＝∠BAC，连接CF．
（1）求证：△ABE∽△ACF；
（2）如图2，若n＝，AC＝5，连接DF．
①若∠CDF＝45°，求BE；
②当E点在射线BC上运动时，则DF+AE的最小值为　2　．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝∠B＝90°，
∵∠EAF＝∠BAC，
∴△ABC∽AEF，
∴∠ACB＝∠AFE，
∴A，E，C，F四点共圆，
∴∠ACF＝∠AEF＝90°，
∴∠ACF＝∠ABE，
∵BAC＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△ABE∽△ACF．
（2）①解：如图2中，过点F作FH⊥CD于H．
∵Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，AB＝BC，
∴可以假设AB＝3k，BC＝4k，
则有（3k）2+（4k）2＝5，
∴k＝1，
∴AB＝3，BC＝4，
∵△ABE∽△ACF，
∴∠ACF＝∠B＝90°，＝＝，设BE＝3m，则CF＝5m，
∵∠BCD＝∠ACF＝90°，
∴∠DCF＝∠ACB，
∵FH⊥CD，
∴∠FHC＝∠B＝90°，
∴△CHF∽△CBA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴CH＝4m，FH＝3m，
∵∠CDF＝45°，∠DHF＝90°，
∴∠DFH＝∠HDF＝45°，
∴DH＝FH＝3m，
∴CD＝CH+DH＝7m＝3，
∴m＝，
∴BE＝3m＝．
②如图3中，延长AC到A′，使得CA′＝CA，连接A′D，A′F，过点A′作A′H⊥DC交DC的延长线于H．
∵△ABE∽△ACF，
∴∠B＝∠ACF＝90°，＝＝，
∴AF＝AE，CF⊥AC，
∴A，A′关于CF对称，
∴DF+AE＝DF+AF＝DF+FA′≥A′D，
∴当D，F，A′共线时，DF+AE的值最小，最小值为线段DA′的长，
∵AC＝CA′，∠ACD＝∠A′CH，∠ADC＝∠H＝90°，
∴△ADC≌△A′HC（AAS），
∴AD＝A′H＝4，DC＝CH＝3，
∴DH＝6，
∴DA′＝＝＝2，
∴DF+AE的最小值为2．
故答案为2．
51．在△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别在BC、AB边上．
（1）如图1，EF⊥AB，求证：＝；
（2）点D在AC边上，AE⊥DF，且＝＝m．
①如图2，若＝，求m的值；
②如图3，若∠C＝2∠ADF，m＝，直接写出的值．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵EF⊥AB，∠A＝90°，
∴∠EFB＝∠A＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BFE∽△BAC，
∴＝．
（2）①解：如图2中，过点E作EM⊥AB于M，连接DM．
由（1）可知：＝，
∴＝，
∵＝＝m，
∴＝＝m，
∴CD＝EM，
∵∠EMB＝∠BAC＝90°，
∴EM∥CD，
∴四边形ECDM是平行四边形，
∴DM∥BC，
∴＝，
∵AE⊥DF，
∴∠EAM+∠AFD＝90°，
∵∠AFD+∠ADF＝90°，
∴∠EAM＝∠ADF，
∵∠AME＝∠DAF＝90°，
∴△AFD∽△MEA，
∴＝＝，设AD＝2m，AM＝3m，
∴DM＝＝＝m，
∴＝＝＝．
②解：过点E作EM⊥AB于M，连接DM，过点F作FH⊥DM于H．
由①可知，四边形ECDM是平行四边形，
∴DM∥BC，
∴＝＝m＝，设AD＝3k，DM＝5k，则AM＝4k，
∵∠C＝2∠ADF，∠C＝∠ADM，
∴∠ADF＝∠FDM，
∵FA⊥AD，FH⊥DM，
∴∠DAF＝∠DHF＝90°，
∵DF＝DF，
∴△DFA≌△DFH（AAS），
∴AF＝FH，AD＝DH＝3k，设AF＝FH＝y，
∴MH＝DM﹣DH＝2k，
在Rt△FMH中，∵FM2＝FH2+MH2，
∴（4k﹣y）2＝y2+（2k）2，
解得y＝k，
∴AF＝k，
∴DF＝＝＝k，
由①可知，＝，
∴＝，
∴AE＝2k，
∴＝＝．
52．已知菱形ABCD中BD为对角线，P、Q两点分别在AB、BD上，且满足∠PCQ＝∠ABD．
（1）如图1，当∠BAD＝90°时，求证：△APC∽△DQC；
（2）如图2，当∠BAD＝120°时，过点C作CK⊥BC交BD于点K，
①求证：∠ACP＝∠KCQ；
②探究：三条线段DQ，BP，CD的数量关系？
（3）如图3，在（2）的条件下，延长CQ交AD边于点E交BA的延长线于点M，作∠DCE的平分线交AD边于点F，若，EF＝，求线段CD的长．
【解答】（1）证明：如图1，连接AC，在菱形ABCD中，
∵∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
∴∠PCQ＝∠CDQ＝45°，∠PAC＝∠QDC＝∠ACD＝45°
∴∠ACP+∠ACQ＝∠ACQ+∠QCD＝45°，
∴∠ACP＝∠QCD
∴△APC∽△DQC．
（2）①证明：如图2﹣1中，连接AC，过点C作CK⊥BC交BD于点K．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC，AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ABC＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∵∠BCK＝90°，
∴∠ACK＝30°，
∵∠PCQ＝∠ABD＝30°，
∴∠PCQ＝∠ACK，
∴∠ACP＝∠QCK．
②解：结论：DQ+BP＝2CD．
理由：如图2﹣2中，作∠QCM＝∠PCQ，过B作BL∥CM．
∵BL∥CM，LM∥BC，
∴四边形BCML是平行四边形，
∴BC＝LM＝AD，
∴AL＝DM，
∵∠QCM＝∠ADB，
∴∠CQD＝∠CMD，
∵CM∥BL，
∴∠CMD＝∠BLD，
∴△DLB∽△DQC．
∴DL＝DQ，
∵CD＝AD，AL＝DM，
∴CD+DM＝DQ，
又∵∠CAP＝∠CDM＝60°，∠ACD＝∠PCM＝60°，
∴∠ACP＝∠DCM，
∵CA＝CD，
∴△ACP≌△DCM（ASA），
∴DM＝AP，
∴CD+DM＝CD+AP＝2CD﹣BP＝DQ，
即DQ+BP＝2CD．
（3）解：如图3中，
在菱形ABCD中，∠ABD＝∠BDC＝30°，
∵∠PCQ＝∠ABD＝30°，
∴∠PCQ＝∠CDQ．
∵BM∥CD，
∴∠PMC＝∠DCQ，
∴△DQC∽△MPC
∴CQ：PM＝DC：MC＝5：7，
∴BC：MC＝5：7．
设BC＝5k，则MC＝7k，如图3，过C作CG⊥AB于G，则∠CGB＝90°
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°．
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴BG＝k，CG＝k．
在Rt△MGC中，MG＝＝k，
∴BM＝8k．
∵AB＝BC＝5k，
∴AM＝BM﹣AB＝3k．
∵AM∥CD，
∴∠AMC＝∠DCM，
∵∠AEM＝∠DEC，
∴△AME∽△DCE，
∴AM：DC＝AE：DE．
∴AE＝k．
延长CF、BM交于H，则∠DCF＝∠MHC
∵FC平分∠ECD，
∴∠ECF＝∠DCF，
∴∠MCH＝∠MHC，
∴MH＝MC＝7k，
∴AH＝AM+MH＝10k．
∵∠HFA＝∠CFD，
∴△DFC∽△AFH，
∴DF：AF＝DC：AH
∴AF＝k，EF＝AF﹣AE＝k，
∵EF＝，
∴k＝1．
∴DC＝5。