2021-2022学年数学苏教版（2019）必修第一册第二章第三节第1课时 全称量词命题与存在量词命题 讲义（学生版 教师版）

编号：009 课题:§2.3.1 全称量词命题与存在量词命题
目标要求
1、通过已知的数学实例，理解全称量词的意义．
2、通过已知的数学实例，理解存在量词的意义．
3、会判断全称量词命题和存在量词命题的真假．
重点难点
重点：理解全称量词、存在量词的意义；
难点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假．
学科素养目标
在日常生活中，人们无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都经常涉及到一些逻辑上的问题，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思想，需要人们进行判断和推理．因此正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质，学一点逻辑知识是很有必要的．另一方面，数学是一门逻辑性很强的学科，几乎处处涉及到命题之间的逻辑关系和推理论证，因此数学基础需要用逻辑来阐明．尤其在信息技术高度发达的现代社会，计算机成了普及的工具，而计算机的“智能”装置是以数学逻辑为基础进行设计的．本章主要学习简单的常用逻辑用语，利用逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，从而体现逻辑知识在数学学习中的价值，发展学生利用数学语言描述问题、阐述论证过程的能力．
基础知识积累
1. 全称量词与存在量词
全称量词 存在量词
量词 “所有”“____”“每一个”等表示____的词 “存在”“____”“有一个”等表示____或____的词
符号 用“____”表示“对任意x” 用“____”表示“存在x”
2.全称量词命题与存在量词命题
全称量词命题 存在量词命题
定义 含有________的命题称为全称量词命题 含有________的命题称为存在量词命题
表示 一般形式可表示为：_____________ 一般形式可表示为：____________
【课前小题演练】
题1．下列语句是存在量词命题的是 ( )
A．整数n是2和5的倍数 B．存在整数n，使n能被7整除
C．x>7 D． x∈M，p(x)成立
题2．下列命题中全称量词命题的个数是 ( )
① x∈R，x2＞0； ② x∈R，x2≤0； ③平行四边形的对边平行； ④矩形的任一组对边相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
题3．下列存在量词命题中，是假命题的是 ( )
A． x∈Z，x2－2x－3＝0 B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除
C．有的三角形没有外接圆 D． x∈R，
题4．命题“自然数的平方大于零”是________量词命题(填“全称”或“存在”)，其省略的量词是________．
【解析】自然数的平方大于零意思是说所有自然数的平方都大于零，故该命题是全称量词命题，其省略的量词是“所有”．
题5．给出下列命题：
(1)所有一次函数的图象都是直线；
(2)对顶角相等；
(3) x∈R，x2－4x＋4≤0；
(4)对任意的整数x，5x－1是整数．其中全称量词命题是________，存在量词命题是________．(填序号)
题6．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．
(1)对某些实数x，有2x＋1>0.
(2) x∈{3，5，7}，3x＋1是偶数．
(3)存在实数x，.
(4) x∈Q，方程有解．
(5)至少有一个x∈R，使x能被5和8整除．
【课堂题组训练】
题7．命题“存在实数a，使方程x2＋ax＋1＝0有实根”是 ( )
A．存在量词命题，真命题 B．存在量词命题，假命题
C．全称量词命题，真命题 D．全称量词命题，假命题
题8．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称量词命题是 ( )
A． a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 B． a＜0，b＞0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
C． a＞0，b＞0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 D． a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
题9．下列各命题中，真命题是 ( )
A． x∈R，1－x2＜0 B． x∈N，x2≥1 C． x∈Z，x3＜1 D． x∈Q，x2＝2
题10．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是 ( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使
题11．有下列四个命题：
①；② x∈{1，－1，0}，2x＋1＞0；③ x∈，x2≤x；④ x∈，x为29的约数．其中真命题的个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
题12．若“任意，”是真命题，则实数m的最小值为 ( )
A． B． C． D．
题13．（多选）下列语句是全称量词命题的是 ( )
A．梯形的对角线相等 B．存在一个四边形有外接圆
C．二次函数都与x轴相交 D．菱形的四条边都相等
题14．（多选）下列命题正确的是 ( )
A．存在x<0，x2－2x－3＝0 B．对一切实数x<0，都有|x|>x
C． x∈R， D．已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N*，an≠bm
题15．给出下列命题：①；②矩形都不是梯形；③ x，y∈R，x2＋y2≤1；④等腰三角形的底边的高线、中线重合．其中全称量词命题是________．
题16．若“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题，则实数m的取值范围是________．
题17．用符号“ ”与“ ”表示下列含有量词的命题，并判断真假：
(1)实数都能写成小数形式．
(2)有的有理数没有倒数．
(3)不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根．
(4)存在一个实数x，使x2＋x＋4≤0.
题18．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
(1)存在两个正实数x，y，使x2＋y2＝0.
(2)所有有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形．
(3)能被5整除的整数末位数是0.
(4)所有的二次函数的图象都是开口向上的抛物线．
【综合突破拔高】
题19．下列命题中，存在量词命题的个数是 ( )
①实数的绝对值是非负数； ②正方形的四条边相等； ③存在整数n，使n能被11整除．
A．1 B．2 C．3 D．0
题20．下列命题：① x∈R，－x2<0 ；② x∈Q，x2＝5；③ x∈R，x2－x－1＝0；④ x∈N，x2≥1.其中是真命题的是 ( )
A．①③ B．②④ C．①④ D．③
题21．已知 x∈[0，2]，p>x； x∈[0，2]，q>x.那么p，q的取值范围分别为 ( )
A．p∈(0，＋∞)，q∈(0，＋∞) B．p∈(0，＋∞)，q∈(2，＋∞)
C．p∈(2，＋∞)，q∈(0，＋∞) D．p∈(2，＋∞)，q∈(2，＋∞)
题22．下列命题：① x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；② x∈Q，x2＝2；③ x∈R，x2＋1＝0；④ x∈R，4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．
题23．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“ ”或“ ”可表述为________．
题24．指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假．
(1)有的集合中存在两个相同的元素．
(2) a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.
(3)存在一个x∈R，使.
题25．是否存在整数m，使得命题“ ，－5＜3－4m＜x＋1”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
编号：009 课题:§2.3.1 全称量词命题与存在量词命题
目标要求
1、通过已知的数学实例，理解全称量词的意义．
2、通过已知的数学实例，理解存在量词的意义．
3、会判断全称量词命题和存在量词命题的真假．
重点难点
重点：理解全称量词、存在量词的意义；
难点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假．
学科素养目标
在日常生活中，人们无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都经常涉及到一些逻辑上的问题，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思想，需要人们进行判断和推理．因此正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质，学一点逻辑知识是很有必要的．另一方面，数学是一门逻辑性很强的学科，几乎处处涉及到命题之间的逻辑关系和推理论证，因此数学基础需要用逻辑来阐明．尤其在信息技术高度发达的现代社会，计算机成了普及的工具，而计算机的“智能”装置是以数学逻辑为基础进行设计的．本章主要学习简单的常用逻辑用语，利用逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，从而体现逻辑知识在数学学习中的价值，发展学生利用数学语言描述问题、阐述论证过程的能力．
基础知识积累
1. 全称量词与存在量词
全称量词 存在量词
量词 “所有”“任意”“每一个”等表示全体的词 “存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词
符号 用“ x”表示“对任意x” 用“ x”表示“存在x”
2.全称量词命题与存在量词命题
全称量词命题 存在量词命题
定义 含有全称量词的命题称为全称量词命题 含有存在量词的命题称为存在量词命题
表示 一般形式可表示为： x∈M，p(x) 一般形式可表示为： x∈M，p(x)
【课前小题演练】
题1．下列语句是存在量词命题的是 ( )
A．整数n是2和5的倍数 B．存在整数n，使n能被7整除
C．x>7 D． x∈M，p(x)成立
【解析】选B.AC不是命题，B是存在量词命题，D是全称量词命题．
题2．下列命题中全称量词命题的个数是 ( )
① x∈R，x2＞0； ② x∈R，x2≤0； ③平行四边形的对边平行； ④矩形的任一组对边相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选C.①含有全称量词符号“ ”，为全称量词命题，
②含有存在量词符号“ ”，为存在量词命题，
③隐含着全称量词“所有”，为全称量词命题，
④隐含着全称量词“所有”，为全称量词命题．
题3．下列存在量词命题中，是假命题的是 ( )
A． x∈Z，x2－2x－3＝0 B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除
C．有的三角形没有外接圆 D． x∈R，
【解析】选C.A中，x＝－1满足题意，是真命题；B中，x＝6满足题意，是真命题；C中，所有的三角形都有外接圆，是假命题．D中，当x＝0或1时，，是真命题．
题4．命题“自然数的平方大于零”是________量词命题(填“全称”或“存在”)，其省略的量词是________．
【解析】自然数的平方大于零意思是说所有自然数的平方都大于零，故该命题是全称量词命题，其省略的量词是“所有”．
答案：全称 所有
题5．给出下列命题：
(1)所有一次函数的图象都是直线；
(2)对顶角相等；
(3) x∈R，x2－4x＋4≤0；
(4)对任意的整数x，5x－1是整数．其中全称量词命题是________，存在量词命题是________．(填序号)
【解析】(1)含有全称量词“所有”，是全称量词命题；(2)省略了全称量词“所有”，是全称量词命题；(3)含有存在量词符号“ ”，是存在量词命题；(4)含有全称量词“任意”，是全称量词命题．
答案：(1)(2)(4) (3)
题6．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．
(1)对某些实数x，有2x＋1>0.
(2) x∈{3，5，7}，3x＋1是偶数．
(3)存在实数x，.
(4) x∈Q，方程有解．
(5)至少有一个x∈R，使x能被5和8整除．
【解析】(1)命题中含有存在量词“某些”，因此是存在量词命题，是真命题．
(2)命题中含有全称量词的符号“ ”，因此是全称量词命题．把3，5，7分别代入3x＋1，得10，16，22，都是偶数，因此，该命题是真命题．
(3)存在量词命题．当x＜0时，，所以该命题为真命题．
(4)存在量词命题．方程的解为，所以此命题是假命题．
(5)存在量词命题．因为40能被5和8整除，所以此命题是真命题．
【课堂题组训练】
题7．命题“存在实数a，使方程x2＋ax＋1＝0有实根”是 ( )
A．存在量词命题，真命题 B．存在量词命题，假命题
C．全称量词命题，真命题 D．全称量词命题，假命题
【解析】选A.命题是存在量词命题，a＝2时方程有根为1，故选A.
题8．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称量词命题是 ( )
A． a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 B． a＜0，b＞0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
C． a＞0，b＞0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 D． a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
【解析】选D.命题对应的全称量词命题为： a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.
题9．下列各命题中，真命题是 ( )
A． x∈R，1－x2＜0 B． x∈N，x2≥1 C． x∈Z，x3＜1 D． x∈Q，x2＝2
【解析】选C.A是假命题，例如当x＝0∈R时，
1－x2＝1＞0；B是假命题，例如当x＝0∈N时，
x2＝0＜1；C是真命题，例如当x＝0∈Z时，
x3＝0＜1；D是假命题，x2＝2解得x＝± Q.
题10．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是 ( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使
【解析】选B.A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有，所以D是假命题．
题11．有下列四个命题：
①；② x∈{1，－1，0}，2x＋1＞0；③ x∈，x2≤x；④ x∈，x为29的约数．其中真命题的个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选C.对于①，这是全称量词命题，因为≥0对任意实数都成立，所以，故①为真命题；
对于②，这是全称量词命题，因为当x＝－1时，2x＋1＞0不成立，故②为假命题；
对于③，这是存在量词命题，当x＝0或x＝1时，有x2≤x成立，故③为真命题；
对于④，这是存在量词命题，当x＝1时，x为29的约数成立，所以④为真命题．
题12．若“任意，”是真命题，则实数m的最小值为 ( )
A． B． C． D．
【解析】选D.因为“任意，”是真命题，所以，
所以实数m的最小值为.
题13．（多选）下列语句是全称量词命题的是 ( )
A．梯形的对角线相等 B．存在一个四边形有外接圆
C．二次函数都与x轴相交 D．菱形的四条边都相等
【解析】选ACD.对于A，可完整地表述为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称量词命题；
对于B，含存在量词，所以为存在量词命题；
对于C，可完整地表述为“所有的二次函数都与x轴相交”，故为全称量词命题；
对于D，可完整地表述为“任意菱形的四条边都相等”，故为全称量词命题．
题14．（多选）下列命题正确的是 ( )
A．存在x<0，x2－2x－3＝0 B．对一切实数x<0，都有|x|>x
C． x∈R， D．已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N*，an≠bm
【解析】选AB.因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或3，所以存在x＝－1<0，使x2－2x－3＝0，故A为真命题；B显然为真命题；C.故C为假命题；
D．当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故D为假命题．
题15．给出下列命题：①；②矩形都不是梯形；③ x，y∈R，x2＋y2≤1；④等腰三角形的底边的高线、中线重合．其中全称量词命题是________．
【解析】①②④是全称量词命题，③是存在量词命题．
答案：①②④
题16．若“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题，则实数m的取值范围是________．
【解析】当m≤5时，“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题．
答案：(－∞，5]
题17．用符号“ ”与“ ”表示下列含有量词的命题，并判断真假：
(1)实数都能写成小数形式．
(2)有的有理数没有倒数．
(3)不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根．
(4)存在一个实数x，使x2＋x＋4≤0.
【解析】(1) a∈R，a都能写成小数形式，此命题是真命题．
(2) x∈Q，x没有倒数，有理数0没有倒数，故此命题是真命题．
(3) m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根．
当m＝－1时，方程无实根，是假命题．
(4) x∈R，使x2＋x＋4≤0.恒成立，所以为假命题．
题18．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
(1)存在两个正实数x，y，使x2＋y2＝0.
(2)所有有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形．
(3)能被5整除的整数末位数是0.
(4)所有的二次函数的图象都是开口向上的抛物线．
【解析】(1)是存在量词命题，因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故此命题是假命题．
(2)是全称量词命题，有两个角是45°的三角形，第三个角必是直角，所以此三角形是等腰直角三角形，故此命题是真命题．
(3)是全称量词命题，因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题．
(4)是全称量词命题，有的二次函数的图象是开口向下的抛物线，所以该命题是假命题．
【综合突破拔高】
题19．下列命题中，存在量词命题的个数是 ( )
①实数的绝对值是非负数； ②正方形的四条边相等； ③存在整数n，使n能被11整除．
A．1 B．2 C．3 D．0
【解析】选A.①②是全称量词命题，③是存在量词命题．
题20．下列命题：① x∈R，－x2<0 ；② x∈Q，x2＝5；③ x∈R，x2－x－1＝0；④ x∈N，x2≥1.其中是真命题的是 ( )
A．①③ B．②④ C．①④ D．③
【解析】选D.命题① x∈R，－x2<0，当x＝0时不成立，故错误；命题② x∈Q，x2＝5，由于x2＝5的解为x＝±为无理数，故错误；命题③ x∈R，x2－x－1＝0，由于Δ＝1＋4＝5>0，因此方程有解，故正确；命题④当x＝0时，不成立，④错误，
题21．已知 x∈[0，2]，p>x； x∈[0，2]，q>x.那么p，q的取值范围分别为 ( )
A．p∈(0，＋∞)，q∈(0，＋∞) B．p∈(0，＋∞)，q∈(2，＋∞)
C．p∈(2，＋∞)，q∈(0，＋∞) D．p∈(2，＋∞)，q∈(2，＋∞)
【解析】选C.由 x∈[0，2]，p>x；得p>2.
由 x∈[0，2]，q>x；得q>0.所以p，q的取值范围分别为(2，＋∞)，(0，＋∞).
题22．下列命题：① x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；② x∈Q，x2＝2；③ x∈R，x2＋1＝0；④ x∈R，4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．
【解析】 ①当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；②因为时，x2＝2，而为无理数，故②为假命题；③因为x2＋1>0(x∈R)恒成立，故③为假命题；④原不等式可化为x2－2x＋1>0，即(x－1)2>0，当x＝1时(x－1)2＝0，故④为假命题．
答案：0
题23．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“ ”或“ ”可表述为________．
答案： x<0，(1＋x)(1－9x)>0
题24．指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假．
(1)有的集合中存在两个相同的元素．
(2) a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.
(3)存在一个x∈R，使.
(4)对任意直角三角形的两个锐角A，B，都有sin A＝cos B.
【解析】(1)是存在量词命题，由集合中元素的互异性可知，此命题是假命题．
(2)是全称量词命题， a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3是真命题．
(3)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使成立，所以该命题是假命题．
(4)是全称量词命题，根据锐角三角函数的定义可知，对任意直角三角形的两个锐角A，B，都有sin A＝cos B，是真命题．
题25．是否存在整数m，使得命题“ ，－5＜3－4m＜x＋1”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【解析】假设存在整数m，使得命题“ ，－5＜3－4m＜x＋1”是真命题．
因为当时，，所以，解得，
又m为整数，所以m＝1，故存在整数m＝1，使得命题“ ，－5＜3－4m＜x＋1”是真命题．
PAGE