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2021-2022学年石家庄市九年级上学期期中数学试题（1）
一．选择题（共16小题，满分42分）
1．（3分）a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则线段d的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
2．（3分）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（ ）
A．3x+1＝0 B．x2+3＝0 C．3x2﹣1＝0 D．3x2+6x+1＝0
3．（3分）如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC＝2m，BC＝8m，则旗杆的高度是（ ）
A．6.4m B．7m C．8m D．9m
4．（3分）下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个菱形 B．两个矩形
C．两个正方形 D．两个等腰梯形
5．（3分）方程x（x﹣1）＝2的两根为（ ）
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝2
6．（3分）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于（ ）
A．2020 B．2019 C．2029 D．2028
7．（3分）一元二次方程x2﹣6x+1＝0配方后变形正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝35 B．（x﹣3）2＝8 C．（x+3）2＝8 D．（x+3）2＝35
8．（3分）如图是小芹4月1日～7日每天课外体育锻炼时间统计图，则小芹这七天平均每天的课外体育锻炼的时间是（ ）
A．1小时 B．1.5小时 C．2小时 D．3小时
9．（3分）如图，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（ ）
A．4 B．5 C．20 D．3.2
10．（3分）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（ ）
A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣2019
11．（2分）已知，P是线段AB上的点，且AP2＝BP AB，那么AP：AB的值是（ ）
A． B． C． D．
12．（2分）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2分）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
14．（2分）若＝10，＝5，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．6
15．（2分）在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0，9.2，9.0，8.8，9.0（单位：分），这五个有效评分的平均数和众数分别是（ ）
A．9.0，8.9 B．8.9，8.9 C．9.0，9.0 D．8.9，9.0
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB于D，下列结论错误的有（ ）个①图中有两对相似三角形；②sinB＝；③BC AC＝AB CD；④若BC＝2，AD＝8，则CD＝4．
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共3小题，满分12分）
17．（3分）一元二次方程4x（x﹣2）＝x﹣2的解为 ．
18．（3分）如图，∠1＝∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB，可添加的条件是 ．
19．（6分）如图，要使△ABC∽△DEF，则x的值是 ，△ABC与△DEF的相似比是 ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
20．（8分）解方程：9x2﹣4＝0．
21．（8分）我校举行八年级汉字听写大赛，每班各派五名同学参加（满分为100分）．其中八（1）班和八（2）班五位参赛同学的成绩如图所示：
（1）根据条形统计图完成表格
平均数 中位数 众数
八（1）班 83 90
八（2）班 85
（2）已知八（1）班参赛选手成绩的方差为56分2，请计算八（2）班参赛选手成绩的方差，并分析哪一个班级的成绩比较稳定．
22．（9分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分别在AB、AC上，BD＝2，CE＝5．求证：△AED∽△ABC．
23．（9分）某校数学实践社团开展了一次“利用数学知识测量学校操场上旗杆高度”的实践活动，该校九年级学生积极参与．小红和小华决定利用下午课间的时间，用测量影长的方式求出旗杆高度．同一时刻测量站在旗杆旁边的小红（CD）和旗杆AB的影长时，发现旗杆的影子一部分落在地面上（BF），另一部分落在了距离旗杆24m的教学楼上（EF）．经测量，小红落在地面上的影长DG为2.4m，教学楼上的影长EF为2m．已知小红的身高是1.6m，请根据小红和小华的测量结果，求出旗杆AB的高度．
24．（10分）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：
（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）经过几秒后，P，Q两点间距离是cm？
25．（10分）在边长为1的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC为格点三角形（顶点是网格线的交点）．
（1）画出△ABC先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在第一象限画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1．
26．（12分）如图1，矩形ABCD中，已知AB＝6．BC＝8，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F．将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B'，延长AB'交CD于点M．
（1）如图1，若点E为线段BC的中点，求证：AM＝FM；
（2）如图2，若点B'恰好落在对角线AC上，求的值；
（3）若＝，求线段AM的长．
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2021-2022学年石家庄市九年级上学期期中数学试题（1）
一．选择题（共16小题，满分42分）
1．（3分）a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则线段d的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】B
【解析】根据题意得a：b＝c：d，即3：2＝6：d，
所以d＝＝4（cm）．
故选：B．
2．（3分）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（ ）
A．3x+1＝0 B．x2+3＝0 C．3x2﹣1＝0 D．3x2+6x+1＝0
【答案】D
【解析】已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是3x2+6x+1＝0，
故选：D．
3．（3分）如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC＝2m，BC＝8m，则旗杆的高度是（ ）
A．6.4m B．7m C．8m D．9m
【答案】C
【解析】设旗杆高度为h，
由题意得＝，h＝8米．
故选：C．
4．（3分）下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个菱形 B．两个矩形
C．两个正方形 D．两个等腰梯形
【答案】C
【解析】A、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
B、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；
C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；
D、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；
故选：C．
5．（3分）方程x（x﹣1）＝2的两根为（ ）
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝2
【答案】D
【解析】方程移项并化简得x2﹣x﹣2＝0，
a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2
△＝1+8＝9＞0
∴x＝
解得x1＝﹣1，x2＝2．故选D．
6．（3分）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于（ ）
A．2020 B．2019 C．2029 D．2028
【答案】D
【解析】∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2020+2×4
＝2020+8
＝2028．
故选：D．
7．（3分）一元二次方程x2﹣6x+1＝0配方后变形正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝35 B．（x﹣3）2＝8 C．（x+3）2＝8 D．（x+3）2＝35
【答案】B
【解析】∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x＝﹣1，
x2﹣6x+9＝﹣1+9，
∴（x﹣3）2＝8．
故选：B．
8．（3分）如图是小芹4月1日～7日每天课外体育锻炼时间统计图，则小芹这七天平均每天的课外体育锻炼的时间是（ ）
A．1小时 B．1.5小时 C．2小时 D．3小时
【答案】B
【解析】由图可得，这7天每天的学习时间为：2，1，1，1，1，1.5，3，
则平均数为：＝1.5（小时）．
故选：B．
9．（3分）如图，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（ ）
A．4 B．5 C．20 D．3.2
【答案】B
【解析】∵△ADE∽△ACB，
∴＝，
∵AB＝10，AC＝8，AD＝4，
∴＝，
解得：AE＝5．
故选：B．
10．（3分）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（ ）
A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣2019
【答案】C
【解析】∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣1＝a，﹣a2+a＝﹣1，
∴﹣a3+2a+2020＝﹣a（a2﹣1）+a+2020＝﹣a2+a+2020＝2019．
故选：C．
11．（2分）已知，P是线段AB上的点，且AP2＝BP AB，那么AP：AB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设AB为1，AP为x，则BP为1﹣x，
∵AP2＝BP AB，
∴x2＝（1﹣x）×1
解得x1＝，x2＝（舍去）．
∴AP：AB＝．
故选：A．
12．（2分）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，可得：2y＝5（x﹣2y），
解得：5x＝12y，
所以的值为，
故选：D．
13．（2分）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【答案】C
【解析】∵AB∥CD∥EF，
∴＝，A错误；
＝，B错误；
＝，
∴＝，C正确；
＝，D错误，
故选：C．
14．（2分）若＝10，＝5，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】A
【解析】∵＝5，
∴y＝5z，
∵＝10，
∴x＝10y＝50z，
∴＝＝．
故选：A．
15．（2分）在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0，9.2，9.0，8.8，9.0（单位：分），这五个有效评分的平均数和众数分别是（ ）
A．9.0，8.9 B．8.9，8.9 C．9.0，9.0 D．8.9，9.0
【答案】C
【解析】＝＝9.0,
该组数众数为：9.0，
∴这五个有效评分的平均数和众数分别为9.0，9.0，
故选：C．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB于D，下列结论错误的有（ ）个①图中有两对相似三角形；②sinB＝；③BC AC＝AB CD；④若BC＝2，AD＝8，则CD＝4．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴△ACD∽△ABC∽△CBD，故①错误，
∵∠ACB＝∠CDB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴sinB＝sin∠ACD＝，故②正确，
∵S△ACB＝ AC BC＝ AB CD，
∴BC AC＝AB CD，故③正确，
∵△CBD∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝2或﹣10（舍弃），
在Rt△CDB中，CD＝＝＝4，故④正确，
故选：B．
二．填空题（共3小题，满分12分）
17．（3分）一元二次方程4x（x﹣2）＝x﹣2的解为________．
【答案】x1＝2，x2＝．
【解析】4x（x﹣2）＝x﹣2
4x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0
（x﹣2）（4x﹣1）＝0
x﹣2＝0或4x﹣1＝0
解得x1＝2，x2＝．
18．（3分）如图，∠1＝∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB，可添加的条件是________．
【答案】∠D＝∠B或∠E＝∠C或
【解析】∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC．
当∠D＝∠B或∠E＝∠C或时，△ADE∽△ACB．
19．（6分）如图，要使△ABC∽△DEF，则x的值是________，△ABC与△DEF的相似比是________．
【答案】40；3：5
【解析】要使△ABC∽△DEF，则有＝，
∵AB＝12，BC＝24，DE＝20，
∴EF＝＝＝40，
则x的值为40，△ABC与△DEF的相似比是12：20＝3：5，
三．解答题（共7小题，满分66分）
20．（8分）解方程：9x2﹣4＝0．
【答案】见解析
【解析】
∵9x2﹣4＝0，
∴9x2＝4，
则x2＝，
∴x1＝，x2＝﹣．
21．（8分）我校举行八年级汉字听写大赛，每班各派五名同学参加（满分为100分）．其中八（1）班和八（2）班五位参赛同学的成绩如图所示：
（1）根据条形统计图完成表格
平均数 中位数 众数
八（1）班 83 ________ 90
八（2）班 ________ 85 ________
（2）已知八（1）班参赛选手成绩的方差为56分2，请计算八（2）班参赛选手成绩的方差，并分析哪一个班级的成绩比较稳定．
【答案】见解析
【解析】
（1）八（1）班的成绩从大到小排列为70，80，85，90，90，处于第三位的是85，因此中位数为85，
八（2）班平均数为（70+85+85+90+95）÷5＝85，出现次数最多的数是85，
所以表格中依次填写85，85，85．
（2）八（2）班的方差：S2＝[（95﹣85）2+（70﹣85）2+（90﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2]＝70，
∵56＜70，
∴八（1）班成绩比较稳定，
答：八（1）班成绩比较稳定．
22．（9分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分别在AB、AC上，BD＝2，CE＝5．求证：△AED∽△ABC．
【答案】见解析
【解析】
证明：∵AB＝6，BD＝2，
∴AD＝4，
∵AC＝8，CE＝5，
∴AE＝3，
∴，，
∴，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴△AED∽△ABC．
23．（9分）某校数学实践社团开展了一次“利用数学知识测量学校操场上旗杆高度”的实践活动，该校九年级学生积极参与．小红和小华决定利用下午课间的时间，用测量影长的方式求出旗杆高度．同一时刻测量站在旗杆旁边的小红（CD）和旗杆AB的影长时，发现旗杆的影子一部分落在地面上（BF），另一部分落在了距离旗杆24m的教学楼上（EF）．经测量，小红落在地面上的影长DG为2.4m，教学楼上的影长EF为2m．已知小红的身高是1.6m，请根据小红和小华的测量结果，求出旗杆AB的高度．
【答案】见解析
【解析】
延长AE交BF延长线于点M，
由题意知，△DCG∽△FEM，
∴，
∵CD＝1.6m，DG＝2.4m，EF＝2m，
∴，
解得：FM＝3（m），
∴BM＝BF+FM＝27（m），
由题意得，△DCG∽△BAM，
∴，
∴，
∴AB＝18（m），
答：旗杆AB的高度为18m．
24．（10分）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：
（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）经过几秒后，P，Q两点间距离是cm？
【答案】见解析
【解析】
（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，
依题意，得：（6﹣x）×2x＝8，
化简，得：x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4．
答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2ycm，
依题意，得：（6﹣y）2+（2y）2＝（）2，
化简，得：5y2﹣12y﹣17＝0，
解得：y1＝，y2＝﹣1（不合题意，舍去）．
答：经过秒后，P，Q两点间距离是cm．
25．（10分）在边长为1的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC为格点三角形（顶点是网格线的交点）．
（1）画出△ABC先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在第一象限画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1．
【答案】见解析
【解析】
（1）△A1B1C1；如图所示．
（2）△A2B2C2如图所示．
26．（12分）如图1，矩形ABCD中，已知AB＝6．BC＝8，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F．将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B'，延长AB'交CD于点M．
（1）如图1，若点E为线段BC的中点，求证：AM＝FM；
（2）如图2，若点B'恰好落在对角线AC上，求的值；
（3）若＝，求线段AM的长．
【答案】见解析
【解析】
（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠F＝∠BAF，
由折叠可知：∠BAF＝∠MAF，
∴∠F＝∠MAF，
∴AM＝FM．
（2）解：由（1）可知△ACF是等腰三角形，AC＝CF，
在Rt△ABC中，∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∴CF＝AC＝10，
∵AB∥CF，
∴△ABE∽△FCE，
∴；
（3）①当点E在线段BC上时，如图3，AB'的延长线交CD于点M，
由AB∥CF可得：△ABE∽△FCE，
∴，即，
∴CF＝4，
由（1）可知AM＝FM．
设DM＝x，则MC＝6﹣x，则AM＝FM＝10﹣x，
在Rt△ADM中，AM2＝AD2+DM2，即（10﹣x）2＝82+x2，
解得：x＝，
∴AM＝10﹣x＝10﹣＝．
②当点E在BC的延长线上时，如图4，
由AB∥CF可得：△ABE∽△FCE，
∴，即，
∴CF＝4，
则DF＝6﹣4＝2，
设DM＝x，则AM＝FM＝2+x，
在Rt△ADM中，AM2＝AD2+DM2，即（2+x）2＝82+x2，
解得：x＝15，
∴AM＝2+x＝17．
综上所述：当时，AM的长为或17．
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