中小学教育资源及组卷应用平台
2021-2022学年石家庄市九年级上学期期中数学试题（6）
一．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）
1．（2分）若a：b：c＝3：5：8，且3a+b﹣c＝24，则a＝________．
【答案】12．
【解析】设a＝3k，b＝5k，c＝8k（k≠0）
∵3a+b﹣c＝24，
∴3×3k+5k﹣8k＝24
6k＝24，
解得：k＝4，
∴a＝3k＝12，
2．（2分）如图，∠1＝∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB，可添加的条件是________．
【答案】∠D＝∠B或∠E＝∠C或
【解析】∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠DAE＝∠BAC．
当∠D＝∠B或∠E＝∠C或时，△ADE∽△ACB．
3．（2分）方程x2﹣16＝0的解为________．
【答案】x＝±4．
【解析】方程x2﹣16＝0，
移项，得x2＝16，
开平方，得x＝±4，
4．（2分）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于________．
【答案】40°．
【解析】∵∠A＝30°，∠APD＝70°，
∴∠C＝∠APD﹣∠A＝40°，
∵∠B与∠C是对的圆周角，
∴∠B＝∠C＝40°．
5．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣x+k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围为________．
【答案】k≤．
【解析】根据题意得△＝（﹣1）2﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≤．
6．（2分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD的交点为E，AC∥OD．若∠BEC＝72°，则∠B＝________．
【答案】42．
【解析】连接OC，
∵AC∥OD
∴∠ACD＝∠CDO，
∵OD＝OC，
∴∠CDO＝∠DCO，
∴∠ACD＝∠DCO，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠A＝2∠ACD，
∵∠BEC＝∠A+∠ACD＝72°，
∴3∠ACD＝72°，
∴∠ACD＝24°，
∴∠A＝48°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣48°＝42°．
7．（2分）某种植物的一个主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为133，则每个支干长出多少个小分支？设每个支干长出x个小分支，依题意列方程，化成一般式为________．
【答案】x2+x﹣132＝0．
【解析】依题意得：1+x+x2＝133，
整理得：x2+x﹣132＝0．
8．（2分）如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是________．
【答案】50°．
【解析】∵＝，
∴∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣80°＝100°，
∴∠BPC＝∠BOC＝50°，
9．（2分）如图，已知直线a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AB：CD＝1：2，如果△ABC的面积为3，那么△BCD的面积等于________．
【答案】6．
【解析】∵a∥b，
∴△BCD的面积：△ABC的面积＝CD：AB＝2：1，
∴△BCD的面积＝3×2＝6．
10．（2分）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解________．
【答案】x3＝0，x4＝﹣3．
【解析】∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，
解得x＝0或x＝﹣3．
11．（2分）在△ABC中，边BC、AC上的中线AD、BE相交于点G，AD＝6，那么AG＝________．
【答案】4．
【解析】∵AD、BE为△ABC的中线，且AD与BE相交于点G，
∴G点是三角形ABC的重心，
∴AG＝＝＝4，
故答案为4．
12．（2分）如图，△ABC中，AC＝BC，CD是△ABC的高，AB＝8，CD＝3，以点C为圆心，半径为2作⊙C，点E是⊙C上一动点，连接AE，点F是AE的中点，则线段DF的最小值是________．
【答案】．
【解析】如图，连接BE，CE．
∵CA＝CB，CD⊥AB，
∴AD＝DB＝AB＝4，
∵∠CDB＝90°，CD＝3，
∴BC＝＝＝5，
∵EC＝2，
∵5﹣2≤BE≤5+2，
∴3≤BE≤7，
∴BE的最小值为3，
∵AF＝FE，AD＝DB，
∴DF＝BE，
∴DF的最小值为，
二．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）一元二次方程x2﹣6x+1＝0配方后变形正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝35 B．（x﹣3）2＝8 C．（x+3）2＝8 D．（x+3）2＝35
【答案】B
【解析】∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x＝﹣1，
x2﹣6x+9＝﹣1+9，
∴（x﹣3）2＝8．
故选：B．
14．（3分）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝（ ）
A．70° B．110° C．120° D．140°
【答案】D
【解析】作所对的圆周角∠ADB，如图，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝140°．
故选：D．
15．（3分）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【答案】C
【解析】∵∠BAC＝∠D，，
∴△ABC∽△DEA．
故选：C．
16．（3分）过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（ ）
A． B．x（x﹣1）＝380
C．2x（x﹣1）＝380 D．x（x+1）＝380
【答案】B
【解析】设全班有x名同学，由题意得：
x（x﹣1）＝380，
故选：B．
17．（3分）如图，半径为10的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝12，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（ ）
A．18 B．16 C．10 D．8
【答案】B
【解析】作直径CF，连接BF，如图，
则∠FBC＝90°，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
而∠BAC+∠BAF＝180°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴＝，
∴DE＝BF＝12，
∴BC＝＝＝16．
解法二：如图，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N．
∵AM⊥BC，AN⊥DE，
∴CM＝MB，DN＝NE＝6，
∵AC＝AB＝AD＝AE，
∴∠BAC＝2∠MAC，∠EAD＝2∠DAN，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
∴2∠CAM+2∠DAN＝180°，
∴∠CAM+∠DAN＝90°，
∵∠ACM+∠CAM＝90°，
∴∠ACM＝∠DAN，
∵∠AMC＝∠AND＝90°，
∴△AMC≌△DNA（AAS），
∴AM＝DN＝6，
∴CM＝＝8，
∴BC＝2CM＝16．
故选：B．
18．（3分）如图，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB两个内角平分线的交点，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F，已知△ABC的周长为8，BC＝x，△AEF的周长为y，则表示y与x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵点O是△ABC的内心，
∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠CBO，∠FOC＝∠BCO，
∴∠ABO＝∠EOB，∠ACO＝∠FOC，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴△AEF的周长y＝AE+EF+AF＝AE+OE+OF+AF＝AB+AC，
∵△ABC的周长为8，BC＝x，
∴AB+AC＝8﹣x，
∴y＝8﹣x，
∵AB+AC＞BC，
∴y＞x，
∴8﹣x＞x，
∴0＜x＜4，
即y与x的函数关系式为y＝8﹣x（x＜4），
故选：A．
三．解答题（共10小题，满分78分）
19．（8分）选用适当方法解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）3x2+x﹣1＝0．
【答案】见解析
【解析】
（1）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0，x+1＝0，
x1＝5，x2＝﹣1；
（2）3x2+x﹣1＝0，
a＝3，b＝1，c＝﹣1，
△＝b2﹣4ac＝13＞0，
则x＝，
x1＝，x2＝．
20．（6分）已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED＝∠ABC，联结BE、CD相交于点F．
（1）求证：∠ABE＝∠ACD；
（2）如果ED＝EC，求证：．
【答案】见解析
【解析】
（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ADC∽△AEB，
∴∠ABE＝∠ACD；
（2）证明：∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠EDC＝∠EBD，
∵∠DEF＝∠DEB，
∴△EDF∽△EBD，
∴＝＝，
（）2＝ ，
∴．
21．（6分）已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝CD．求证：∠AOC＝∠DOB．
【答案】见解析
【解析】
∵弦AB＝CD（已知），
∴＝；
∴∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD．
22．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣1＝0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．
【答案】见解析
【解析】
（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣1＝0有实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4（a﹣1）＝﹣4a+13≥0，
解得：a≤，
即a的取值范围是a≤；
（2）∵a的取值范围是a≤，
∴整数a的最大值是3，
把a＝3代入方程x2﹣3x+a﹣1＝0得：x2﹣3x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝2．
23．（7分）如图，在正方形网格纸中有一条美丽可爱的小金鱼，其中每个小正方形的边长为1．
（1）在同一网格纸中，在y轴的右侧将原小金鱼图案以原点O为位似中心放大，使它们的位似比为1：2，画出放大后小金鱼的图案；
（2）求放大后金鱼的面积．
【答案】见解析
【解析】
（1）如图所示，
（2）S金鱼＝×4×（6+2）＝16．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，平行四边形ACDE的一边在直径AB上，点E在⊙O上．
（1）如图1，当点D在⊙O上时，请你仅用无刻度的直尺在AB上取点P，使DP⊥AB于P；
（2）如图2，当点D在⊙O内时，请你仅用无刻度的直尺在AB上取点Q，使EQ⊥AB于Q．
【答案】见解析
【解析】
（1）如图，延长AO交⊙O于点F，连接DF交AB于点P，点P即为所求；
（2）延长ED交⊙O于M，作直径MF，连接EF交OA于点Q，点Q即为所求．
25．（7分）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同
（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【答案】见解析
【解析】
（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50（1﹣a）2＝32，
解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2，
答：每次下降的百分率为20%；
（2）设每千克应涨价x元，由题意，得
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
整理，得 x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意．
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
26．（9分）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ．
【答案】见解析
【解析】
根据题意得出：QR∥ST，
则△PQR∽△PST，
故＝，
∵QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，
∴＝，
解得：PQ＝90（m），
∴河的宽度为90米．
27．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．
（1）求证：OE所在直线是线段BC的垂直平分线；
（2）已知，求O，E两点之间的距离．
【答案】见解析
【解析】
（1）证明：如图，连接OC，则OC＝OB，
∴点O在BC垂直平分线上，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，则∠BCD＝90°，
∵CE是Rt△BCD斜边BD上的中线，
∴CE＝BE，
∴点E在BC垂直平分线，
∴直线OE是BC垂直平分线；
（2）解:∵AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，
∴∠ABD＝90°＝∠BCD，
∵∠D＝∠D，
∴△BCD∽△ABD，
∴＝，即(3)2＝5AD，
∴AD＝9，
∵BE＝DE，BO＝AO，
∵OE是△ABD的中位线，
∴OE＝AD＝，
即O，E两点之间的距离为．
28．（11分）（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB＞DE），连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系________，位置关系________；
（2）如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），连接AG，CE交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG＝6，AB＝2DE＝8，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长．
【答案】见解析
【解析】
（1）如图1，
在正方形ABCD和正方形DEFG中，∠ADC＝∠EDG＝90°，
∴∠ADE+∠EDG＝∠ADC+∠ADE，
即∠ADG＝∠CDE，
∵DG＝DE，DA＝DC，
∴△GDA≌△EDC（SAS），
∴AG＝CE，∠GAD＝∠ECD，
∵∠COD＝∠AOH，
∴∠AHO＝∠CDO＝90°，
∴AG⊥CE，
故答案为：相等，垂直；
（2）不成立，CE＝2AG，AG⊥CE，理由如下：
如图2，由（1）知，∠EDC＝∠ADG，
∵AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，
∴，＝＝，
∴＝，
∴△GDA∽△EDC，
∴＝，即CE＝2AG，
∵△GDA∽△EDC，
∴∠ECD＝∠GAD，
∵∠COD＝∠AOH，
∴∠AHO＝∠CDO＝90°，
∴AG⊥CE；
（3）①当点E在线段AG上时，如图3，
在Rt△EGD中，DG＝3，ED＝4，则EG＝5，
过点D作DP⊥AG于点P，
∵∠DPG＝∠EDG＝90°，∠DGP＝∠EGD，
∴△DGP∽△EGD，
∴＝，即，
∴PD＝，PG＝，
则AP＝＝＝，
则AE＝AG﹣GE＝AP+GP﹣GE＝+﹣5＝；
②当点G在线段AE上时，如图4，
过点D作DP⊥AG于点P，
∵∠DPG＝∠EDG＝90°，∠DGP＝∠EGD，
同理得：PD＝，AP＝，
由勾股定理得：PE＝＝，
则AE＝AP+PE＝+＝；
综上，AE的长为．
2﹣3）或（，）、（0，9﹣4）或（，）、（0，9+4）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2021-2022学年石家庄市九年级上学期期中数学试题（6）
一．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）
1．（2分）若a：b：c＝3：5：8，且3a+b﹣c＝24，则a＝ ．
2．（2分）如图，∠1＝∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB，可添加的条件是 ．
3．（2分）方程x2﹣16＝0的解为 ．
4．（2分）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于 ．
5．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣x+k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围为 ．
6．（2分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD的交点为E，AC∥OD．若∠BEC＝72°，则∠B＝ °．
7．（2分）某种植物的一个主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为133，则每个支干长出多少个小分支？设每个支干长出x个小分支，依题意列方程，化成一般式为 ．
8．（2分）如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是 ．
9．（2分）如图，已知直线a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AB：CD＝1：2，如果△ABC的面积为3，那么△BCD的面积等于 ．
10．（2分）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解 ．
11．（2分）在△ABC中，边BC、AC上的中线AD、BE相交于点G，AD＝6，那么AG＝ ．
12．（2分）如图，△ABC中，AC＝BC，CD是△ABC的高，AB＝8，CD＝3，以点C为圆心，半径为2作⊙C，点E是⊙C上一动点，连接AE，点F是AE的中点，则线段DF的最小值是 ．
二．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）一元二次方程x2﹣6x+1＝0配方后变形正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝35 B．（x﹣3）2＝8 C．（x+3）2＝8 D．（x+3）2＝35
14．（3分）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝（ ）
A．70° B．110° C．120° D．140°
15．（3分）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
16．（3分）过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（ ）
A． B．x（x﹣1）＝380
C．2x（x﹣1）＝380 D．x（x+1）＝380
17．（3分）如图，半径为10的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝12，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（ ）
A．18 B．16 C．10 D．8
18．（3分）如图，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB两个内角平分线的交点，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F，已知△ABC的周长为8，BC＝x，△AEF的周长为y，则表示y与x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
三．解答题（共10小题，满分78分）
19．（8分）选用适当方法解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）3x2+x﹣1＝0．
20．（6分）已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED＝∠ABC，联结BE、CD相交于点F．
（1）求证：∠ABE＝∠ACD；
（2）如果ED＝EC，求证：．
21．（6分）已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝CD．求证：∠AOC＝∠DOB．
22．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣1＝0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．
23．（7分）如图，在正方形网格纸中有一条美丽可爱的小金鱼，其中每个小正方形的边长为1．
（1）在同一网格纸中，在y轴的右侧将原小金鱼图案以原点O为位似中心放大，使它们的位似比为1：2，画出放大后小金鱼的图案；
（2）求放大后金鱼的面积．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，平行四边形ACDE的一边在直径AB上，点E在⊙O上．
（1）如图1，当点D在⊙O上时，请你仅用无刻度的直尺在AB上取点P，使DP⊥AB于P；
（2）如图2，当点D在⊙O内时，请你仅用无刻度的直尺在AB上取点Q，使EQ⊥AB于Q．
25．（7分）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同
（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
26．（9分）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ．
27．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．
（1）求证：OE所在直线是线段BC的垂直平分线；
（2）已知，求O，E两点之间的距离．
28．（11分）（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB＞DE），连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系 ，位置关系 ；
（2）如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），连接AG，CE交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG＝6，AB＝2DE＝8，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
