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2021-2022学年石家庄市九年级上学期期中数学试题（4）
一．选择题（共16小题，满分64分，每小题4分）
1．（4分）已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于（ ）
A．70° B．60° C．50° D．30°
【答案】A
【解析】∵sin（α﹣10°）＝，
∴α﹣10°＝60°，
∴α＝70°．
故选：A．
2．（4分）下列命题正确的是（ ）
A．方程x2﹣x+1＝0有两个不相等实数根
B．对角线相等的四边形是矩形
C．平分弦的直径垂直于弦
D．等腰三角形底边上的中线平分顶角
【答案】D
【解析】A．方程x2﹣x+1＝0中，△＝1﹣4＝﹣3＜0，所以方程没有实数根，故本选项错误；
B．对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；
C．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；故本选项错误；
D．等腰三角形底边上的中线平分顶角，故本选项正确．
故选：D．
3．（4分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】连接BD．
则BD＝，AD＝2，
则tanA＝＝＝．
故选：D．
4．（4分）已知甲、乙两地相距30千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时）关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得：t＝，
当t＝1时，v＝30，
故只有选项D符合题意．
故选：D．
5．（4分）一次中学生田径运动会上，21名参加男子跳高项目的运动员成绩统计如下：
成绩（m） 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70
人数 ■ 8 6 ■ 1
其中有两个数据被雨水淋湿模糊不清了，则在这组数据中能确定的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】C
【解析】∵一共有21个数据，
∴1.50m和1.65m的人数和为21﹣（8+6+1）＝6＜8，
∴这组数据的众数为1.55m，
故选：C．
6．（4分）已知反比例函数y＝的图象经过点（3，2），小良说了四句话，其中正确的是（ ）
A．当x＜0时，y＞0
B．函数的图象只在第一象限
C．y随x的增大而增大
D．点（﹣3，2）不在此函数的图象上
【答案】D
【解析】∵反比例函数y＝的图象经过点（3，2），
∴k＝2×3＝6，
∴y＝，
∴图象在一三象限，在每个象限y随x的增大而减小，故A，B，C错误，选项D正确，
故选：D．
7．（4分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学参加某区“中华魂”主题教育演讲比赛的相关数据：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加市级比赛，应该选择（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数（分） 90 80 90 80
方差 2.4 2.2 5.4 2.4
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【解析】从平均数看，成绩最好的是甲、丙同学，
从方差看，甲、丁方差小，发挥最稳定，
所以要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加市级比赛，应该选择甲，
故选：A．
8．（4分）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AB的长度为（ ）
A．6m B．3m C．9m D．6m
【答案】A
【解析】∵迎水坡AB的坡比为1：，
∴＝，即＝，
解得，AC＝3，
由勾股定理得，AB＝＝6（m），
故选：A．
9．（4分）一元二次方程x2+4x+5＝0的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一个实根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【解析】∵△＝42﹣4×5＝﹣4＜0，
∴方程无实数根．
故选：A．
10．（4分）如图，已知零件的外径25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC＝OD）量零件的内孔直径AB，若OC：AC＝1：3，量的CD＝10mm，则零件的厚度为（ ）
A．2mm B．2.5mm C．3mm D．3.5mm
【答案】B
【解析】∵两条尺长AC和BD相等，OC＝OD，
∴OA＝OB，
∵OC：AC＝1：3，
∴OC：OA＝1：2，
∴OD：OB＝OC：OA＝1：2，
∵∠COD＝∠AOB，
∴△AOB∽△COD，
∴CD：AB＝OC：OA＝1：2，
∵CD＝10mm，
∴AB＝20（mm），
∴2x+20＝25，
∴x＝2.5（mm），
故选：B．
11．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，FE交AC于O点，交CB的延长线于G点，那么S△AOF：S△COG＝（ ）
A．1：4 B．1：9 C．1：16 D．1：25
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AB的中点，F为AD的中点，
∴AE＝BE，AF＝AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△BGE，
∴，
∵AE＝BE，
∴AF＝BG＝BC，
∴＝
∵AD∥BC，
∴△AFO∽△CGO，
∴＝（）2＝，
即S△AOF：S△COG＝1：9，
故选：B．
12．（4分）与点（2，﹣3）在同一反比例函数图象上的点是（ ）
A．（﹣1.5，4） B．（﹣1，﹣6） C．（6，1） D．（﹣2，﹣3）
【答案】A
【解析】设反比例数为y＝，
∵反比例数为y＝的图象过点（2，﹣3），
∴k＝xy＝2×（﹣3）＝﹣6，
四个答案中只有A的横纵坐标的积等于﹣6，
故选：A．
13．（4分）能够用如图中已有图形的面积说明的等式是（ ）
A．a（a+4）＝a2+4a B．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16
C．（a+2）2＝a2+4a+4 D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4
【答案】D
【解析】如图，由题意得，长方形③与长方形②的面积相等，正方形④的面积为2×2＝4，
于是有S①+S②＝（a+2）（a﹣2）＝S①+S③＝（S①+S③+S④）﹣S④＝S正方形﹣S④＝a2﹣4，
所以（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，
故选：D．
14．（4分）如图，矩形EFGH的顶点E、G分别在菱形ABCD的边AD和BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上，点E是AD的中点，∠ABC＝2α（0°＜α＜45°），则S菱形ABCD：S矩形EFGH的值为（ ）
A．4 B．4sinα C．4cosα D．4tanα
【答案】C
【解析】如图，连接EG，过点E作EM⊥BD于点M，连接AC，交BD于点O，
由对称性可知，EG过点O，
∴△DOE≌△BOG（AAS），
∴DE＝BG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，AC⊥BD，∠ABC＝∠ADC＝2α，BD平分∠ABC及∠ADC，
∵E为AD中点，
∴AE＝ED＝AD，
∵BG＝DE，
∴AE＝BG，AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴EG＝AB，
∴FH＝EG＝AB，
设菱形的边长为a，则FH＝AB＝AD＝a，
在Rt△EMD中，EM＝EDsinα＝，
∴S矩形EFGH＝2S△EFH＝2××FH EM＝a ＝，
在Rt△AOD中，AO＝ADsinα＝asinα，OD＝ADcosα＝acosα，
∴S菱形ABCD＝4S△AOD＝4××AO OD＝2asinα acosα＝2a2sinαcosα，
∴S菱形ABCD：S矩形EFGH＝2a2sinαcosα：＝4cosα．
故选：C．
15．（4分）如图所示为反比例函数的部分图象，AB⊥OA，AB交反比例函数的图象于点D，且AD：BD＝1：3，若S△AOB＝8，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
【答案】B
【解析】连接OD，如图，
∵BA⊥x轴于点A，AD：BD＝1：3，
∴S△AOD＝S△AOB＝2，
而S△AOD＝|k|＝2，
又∵k＜0，
∴k＝﹣4．
故选：B．
16．（4分）如图所示的4个三角形中，相似三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】A
【解析】第一个三角形的三边的三边之比为：1：2：，
第二个三角形的三边的三边之比为：：：，
第三个三角形的三边的三边之比为：1：2：，
第一个四角形的三边的三边之比为：1：1：，
只有第一和第三个三角形的三边成比例，
所以只有第一和第三个三角形相似，
故选：A．
二．填空题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17．（6分）已知＝＝≠0，则＝________．
【答案】．
【解析】设＝＝＝k（k≠0），
则，
解得：a＝﹣k．b＝k，c＝k，
所以
＝
＝，
18．（6分）a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2a2﹣2a+5＝________．
【答案】7．
【解析】根据题意，得
a2﹣a﹣1＝0，即a2﹣a＝1；
∴2a2﹣2a+5＝2（a2﹣a）+5＝2×1+5＝7，即2a2﹣2a+5＝7．
19．（6分）如图，BD、CE是△ABC的高，F为BC的中点，连接DE、DF、EF，下列结论：
①DF＝EF；②AD：AB＝AE：AC；③BE+CD＝BC；④若∠A＝60°，则△DEF是等边三角形，其中正确的是________（在横线上填上你认为所有正确结论的序号）
【答案】①②④．
【解析】①∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°，
∵F为BC的中点，
∴EF＝DF＝BC，
故①正确；
②∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADB∽△AEC，
∴，
∴AD：AB＝AE：AC；
故②正确；
③∵∠BAC＝60°，BD、CE为高，
∴∠ABD＝∠ACE＝30°，
∴∠DBC+∠ECB＝180°﹣∠A﹣∠ABD﹣∠ACE＝60°，
∴∠CBD＝60°﹣∠BCE，
∴BE+CD＝BC sin∠BCE+BC sin∠CBD＝BC （sin∠BCE+sin∠CBD）＝BC [sin∠BCE+sin（60°﹣∠BCE）]，
不一定等于BC，故③不正确；
④∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∵DF＝CF，EF＝BF，
∴∠BEF+∠CDF＝120°，
∴∠BFE+∠CFD＝120°，
∴∠DFE＝60°，
又∵DF＝EF，
∴△DEF是等边三角形；故④正确；
∴正确的结论是①②④，
三．解答题（共7小题，满分68分）
20．（8分）用配方法解方程：2x2﹣4x﹣16＝0．
【答案】见解析
【解析】
x2﹣2x﹣8＝0，
x2﹣2x＝8，
x2﹣2x+1＝8+1，即（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
∴x1＝4，x2＝﹣2．
21．（10分）如图，已知正三角形ABC的边长为4，矩形DEFG的DE两个点在正三角形BC边上，F，G点在AB，AC边上，求矩形DEFG的面积最大值是多少？
【答案】见解析
【解析】
如图，过点A作AN⊥BC于点N，交FG于点M，
∵四边形DEFG为矩形，
∴FG∥ED，FG＝ED，
∴AM⊥FG，
∵△ABC为边长为4的正三角形，
∴∠BAC＝∠B＝60°，AB＝BC＝4，
∵AN⊥BC，
∴∠BAN＝30°，∠ANB＝90°，
∴BN＝2，AN＝AB sin60°＝4×＝2，
设FG＝ED＝x，
∵FG∥ED，
∴△AFG∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AM＝，
∴S矩形DEFG＝x（2﹣）
＝﹣x2+2x
＝﹣（x﹣2）2+，
∴当x＝2时，矩形DEFG的面积有最大值2．
∴矩形DEFG的面积最大值是2．
22．（10分）受新冠肺炎疫情的影响，运城市某化工厂从2020年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2020年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，其图象如图所示，试解决下列问题：
（1）分别写出该化工厂对生产线进行升级改造前后，y与x的函数表达式．
（2）到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？
（3）当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？
【答案】见解析
【解析】
（1）（0＜x≤5，且x为整数）y＝10x﹣30（x＞5且x为整数）．
（2）在函数y＝10x﹣30中，令y＝100，得10x﹣30＝100，
解得：x＝13，
答：到第13个月时，该化工厂月利润再次达到100万元．
（3）在函数中，
当y＝50时，x＝2，
∵100＞0，y随x的增大而减小，
∴当y＜50时，x＞2，
在函数y＝10x﹣30中，
当y＜50时，得10x﹣30＜50
解得：x＜8
∴2＜x＜8且x为整数；
∴x可取3，4，5，6，7；共5个月．
答：该化工厂资金紧张期共有5个月．
23．（10分）我校初三年级共有1200名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
（1）A课程成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
（2）A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 72 74 74 76 78 78 78 79 79 79 79
（3）A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
课程 平均数 中位数 众数
A 75.8 m 84.5
B 72.2 70 83
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为78分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是“A”还是“B”？并说明理由．
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75分的人数．
【答案】见解析
【解析】
（1）抽样中60名学生的A课程的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为＝78.5，因此中位数是78.5，即m＝78.5；
答：m＝78.5；
（2）B课程成绩排名靠前，理由为：A课程的中位数是78.5，而B课程的中位数是71，这个同学A课程的成绩是78，在中位数以下，B课程成绩是71，是中位数，因此他在B课程的成绩排名在前；
（3）1200×＝680（人），
答：A课程成绩超过75分的人数为680人．
24．（10分）如图1，这是一款升降电脑桌，它的升降范围在0～40cm，图2是它的示意图．已知EF∥MN，点A，B在MN上滑动，点D，C在EF上滑动，AC，BD相交于点O，OA＝OB＝OC＝OD＝30cm．
（1）如图2，当∠OAB＝30°时，求这款电脑桌当前的高度．
（2）当电脑桌从图2位置升到最大高度（如图3）时，求∠OAB的大小及点A滑动的距离．
（结果精确到0.1；参考数据：≈1.73，sin42.1°≈0.67，cos42.1°≈0.74，sin47.9°≈0.74，cos47.9°≈0.67）
【答案】见解析
【解析】
（1）如图1，过O点作GH⊥MN，交EF于G，交MN于H，
∵EF∥MN，
∴GH⊥EF，
∴∠OHA＝90°，
∵∠OAB＝30°，OA＝30cm，
∴OH＝AO＝15cm，
∵OA＝OC，EF∥MN，
∴OG＝OH＝15cm，
∴GH＝30cm，
即这款电脑桌当前的高度为30cm，
（2）如图2，
过O点作GH⊥MN，交EF于G，交MN于H，
则GH⊥EF，
由题意知，GH＝40cm，
∴GO＝HO＝20cm，
在Rt△AOH中，sin∠OAH＝，
∴∠OAH＝42.1°，
即∠OAB＝42.1°，
在（1）中，AH＝（cm），
在图2中，cos42.1°＝，
∴AH＝30×0.74≈22.2（cm），
∴A点滑动距离为25.95﹣22.2＝3.75≈3.8（cm）．
25．（10分）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（2，8），B（8，2）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C．
（1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式；
（2）当y1＜y2，时，直接写出自变量x的取值范围为________；
（3）点P是x轴上一点，当S△PAC＝S△AOB时，请直接写出点P的坐标为________．
【答案】见解析
【解析】
（1）将A（2，8），B（8，2）代入y＝ax+b得，
解得，
∴一次函数为y＝﹣x+10，
将A（2，8）代入y2＝得8＝，解得k＝16，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由图象可知，当y1＜y2时，自变量x的取值范围为：x＞8或0＜x＜2，
故答案为x＞8或0＜x＜2；
（3）由题意可知OA＝OC，
∴S△APC＝2S△AOP，
把y＝0代入y1＝﹣x+10得，0＝﹣x+10，解得x＝10，
∴D（10，0），
∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝﹣＝30，
∵S△PAC＝S△AOB＝×30＝24，
∴2S△AOP＝24，
∴2××yA＝24，即2×OP×8＝24，
∴OP＝3，
∴P（3，0）或P（﹣3，0），
故答案为P（3，0）或P（﹣3，0）．
26．（10分）如图，已知点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC．
（1）如图①，若点O在BC上，求证：△ABC是等腰三角形；
（2）如图②，若点O在△ABC内部，求证：AB＝AC；
（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC还成立吗？请画图说明．
【答案】见解析
【解析】
（1）证明：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
由题意知，∠OEB＝∠OFC＝90°，
在Rt△OEB和Rt△OFC中，
，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
（2）证明：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
由题意知，OE＝OF．∠BEO＝∠CFO＝90°，
∵在Rt△OEB和Rt△OFC中，
，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠OBE＝∠OCF，
又∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
（3）解：不一定成立，当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时AB＝AC，否则AB≠AC．（如示例图）
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2021-2022学年石家庄市九年级上学期期中数学试题（4）
一．选择题（共16小题，满分64分，每小题4分）
1．（4分）已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于（ ）
A．70° B．60° C．50° D．30°
2．（4分）下列命题正确的是（ ）
A．方程x2﹣x+1＝0有两个不相等实数根
B．对角线相等的四边形是矩形
C．平分弦的直径垂直于弦
D．等腰三角形底边上的中线平分顶角
3．（4分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
A． B． C．2 D．
4．（4分）已知甲、乙两地相距30千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时）关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）一次中学生田径运动会上，21名参加男子跳高项目的运动员成绩统计如下：
成绩（m） 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70
人数 ■ 8 6 ■ 1
其中有两个数据被雨水淋湿模糊不清了，则在这组数据中能确定的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
6．（4分）已知反比例函数y＝的图象经过点（3，2），小良说了四句话，其中正确的是（ ）
A．当x＜0时，y＞0
B．函数的图象只在第一象限
C．y随x的增大而增大
D．点（﹣3，2）不在此函数的图象上
7．（4分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学参加某区“中华魂”主题教育演讲比赛的相关数据：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加市级比赛，应该选择（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数（分） 90 80 90 80
方差 2.4 2.2 5.4 2.4
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（4分）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AB的长度为（ ）
A．6m B．3m C．9m D．6m
9．（4分）一元二次方程x2+4x+5＝0的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一个实根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
10．（4分）如图，已知零件的外径25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC＝OD）量零件的内孔直径AB，若OC：AC＝1：3，量的CD＝10mm，则零件的厚度为（ ）
A．2mm B．2.5mm C．3mm D．3.5mm
11．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，FE交AC于O点，交CB的延长线于G点，那么S△AOF：S△COG＝（ ）
A．1：4 B．1：9 C．1：16 D．1：25
12．（4分）与点（2，﹣3）在同一反比例函数图象上的点是（ ）
A．（﹣1.5，4） B．（﹣1，﹣6） C．（6，1） D．（﹣2，﹣3）
13．（4分）能够用如图中已有图形的面积说明的等式是（ ）
A．a（a+4）＝a2+4a B．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16
C．（a+2）2＝a2+4a+4 D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4
14．（4分）如图，矩形EFGH的顶点E、G分别在菱形ABCD的边AD和BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上，点E是AD的中点，∠ABC＝2α（0°＜α＜45°），则S菱形ABCD：S矩形EFGH的值为（ ）
A．4 B．4sinα C．4cosα D．4tanα
15．（4分）如图所示为反比例函数的部分图象，AB⊥OA，AB交反比例函数的图象于点D，且AD：BD＝1：3，若S△AOB＝8，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
16．（4分）如图所示的4个三角形中，相似三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
二．填空题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17．（6分）已知＝＝≠0，则＝ ．
18．（6分）a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2a2﹣2a+5＝ ．
19．（6分）如图，BD、CE是△ABC的高，F为BC的中点，连接DE、DF、EF，下列结论：
①DF＝EF；②AD：AB＝AE：AC；③BE+CD＝BC；④若∠A＝60°，则△DEF是等边三角形，其中正确的是 （在横线上填上你认为所有正确结论的序号）
三．解答题（共7小题，满分68分）
20．（8分）用配方法解方程：2x2﹣4x﹣16＝0．
21．（10分）如图，已知正三角形ABC的边长为4，矩形DEFG的DE两个点在正三角形BC边上，F，G点在AB，AC边上，求矩形DEFG的面积最大值是多少？
22．（10分）受新冠肺炎疫情的影响，运城市某化工厂从2020年1月开始产量下降．借此机会，为了贯彻“发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2020年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，其图象如图所示，试解决下列问题：
（1）分别写出该化工厂对生产线进行升级改造前后，y与x的函数表达式．
（2）到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到100万元？
（3）当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几个月？
23．（10分）我校初三年级共有1200名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
（1）A课程成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
（2）A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 72 74 74 76 78 78 78 79 79 79 79
（3）A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
课程 平均数 中位数 众数
A 75.8 m 84.5
B 72.2 70 83
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为78分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是“A”还是“B”？并说明理由．
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75分的人数．
24．（10分）如图1，这是一款升降电脑桌，它的升降范围在0～40cm，图2是它的示意图．已知EF∥MN，点A，B在MN上滑动，点D，C在EF上滑动，AC，BD相交于点O，OA＝OB＝OC＝OD＝30cm．
（1）如图2，当∠OAB＝30°时，求这款电脑桌当前的高度．
（2）当电脑桌从图2位置升到最大高度（如图3）时，求∠OAB的大小及点A滑动的距离．
（结果精确到0.1；参考数据：≈1.73，sin42.1°≈0.67，cos42.1°≈0.74，sin47.9°≈0.74，cos47.9°≈0.67）
25．（10分）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（2，8），B（8，2）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C．
（1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式；
（2）当y1＜y2，时，直接写出自变量x的取值范围为 ；
（3）点P是x轴上一点，当S△PAC＝S△AOB时，请直接写出点P的坐标为 ．
26．（10分）如图，已知点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC．
（1）如图①，若点O在BC上，求证：△ABC是等腰三角形；
（2）如图②，若点O在△ABC内部，求证：AB＝AC；
（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC还成立吗？请画图说明．
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