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2021-2022学年石家庄市九年级上学期期中数学试题（5）
一．选择题（共11小题，满分33分，每小题3分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝1 B．x＝2x3﹣3 C．x2﹣2＝0 D．3x+＝1
【答案】C
【解析】A．是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（3分）要想了解九年级1000名考生的数学成绩，从中抽取了100名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ）
A．这100名考生是总体的一个样本
B．每位考生的数学成绩是个体
C．1000名考生是总体
D．100名考生是样本的容量
【答案】B
【解析】A、这100名考生的数学成绩是总体的一个样本，故本选项不合题意；
B、每位考生的数学成绩是个体，故本选项符合题意；
C、1000名考生的数学成绩是总体，故本选项不合题意；
D、样本的容量是100，故本选项不合题意．
故选：B．
3．（3分）如果2a＝5b（a，b均不为0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【答案】C
【解析】∵2a＝5b，（a，b均不为0），
∴＝或＝或a＝．
故选：C．
4．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣9＝0配方后可变形为（ ）
A．（x﹣1）2＝10 B．（x+1）2＝10 C．（x﹣1）2＝﹣8 D．（x+1）2＝﹣8
【答案】A
【解析】x2﹣2x﹣9＝0，
x2﹣2x+1＝10，
（x﹣1）2＝10．
故选：A．
5．（3分）如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A，B两点的距离为（ ）千米．
A．4 B．4 C．2 D．6
【答案】D
【解析】由题意知，∠PAB＝30°，∠PBC＝60°，
∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°，
∴∠PAB＝∠APB，
∴AB＝PB，
在Rt△PAC中，∵AP＝6千米，
∴PC＝PA＝3千米，
在Rt△PBC中，∵sin∠PBC＝，
∴PB＝＝＝6千米．
故选：D．
6．（3分）甲、乙、丙三个旅行团的游客人数都相等，且每个团游客的平均年龄都是35岁，这三个团游客年龄的方差分别是S甲2＝28，S乙2＝18.6，S丙2＝1.7，导游小李最喜欢带游客年龄相近的团队，若在三个团中选择一个，则他应选（ ）
A．甲团 B．乙团
C．丙团 D．三个团都一样
【答案】C
【解析】∵S甲2＝28，S乙2＝18.6，S丙2＝1.7，
∴S丙2＜S乙2＜S甲2，
∴丙旅游团的游客年龄相近，
∴在三个团中选择一个，他应选丙团，
故选：C．
7．（3分）2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮转发后，共有931人参与了转发活动，则方程列为（ ）
A．（1+n）2＝931 B．n（n﹣1）＝931 C．1+n+n2＝931 D．n+n2＝931
【答案】C
【解析】由题意，得
n2+n+1＝931，
故选：C．
8．（3分）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且AB：DE＝3：2，则△ABC的面积与△DEF面积之比为（ ）
A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．9：5
【答案】C
【解析】∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△DEF，
∴△ABC的面积与△DEF面积之比＝（）2＝（）2＝．
故选：C．
9．（3分）如图，AG：GD＝3：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（ ）
A．8：7 B．8：5 C．3：2 D．6：5
【答案】D
【解析】过点D作DF∥BE交AC于点F，
则＝＝，＝＝3，
∴AE：EC＝6：5，
故选：D．
10．（3分）若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等的实数根，则这两个相等的实数根是（ ）
A．﹣2 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等的实数根，
∴△＝0，即（﹣2）2﹣4a×2＝0，
解得，a＝，
原方程可化为x2﹣2x+2＝0，
整理得，x2﹣4x+4＝0，
解得x1＝x2＝2，
故选：C．
11．（3分）一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为40°，则梯子底端到墙角的距离为（ ）
A．5cos40°米 B．5sin40°米 C．米 D．米
【答案】A
【解析】在Rt△ABC中，cosA＝，
则梯子底端到墙角的距离AC＝AB cosA＝5cos40°，
故选：A．
二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）
12．（3分）已知一组数据1，7，10，8，x，6，0，3，若＝5，则x应等于________．
【答案】5．
【解析】根据题意得：
（1+7+10+8+x+6+0+3）÷8＝5，
35+x＝40，
x＝5．
13．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2021﹣a﹣b的值是________．
【答案】2022．
【解析】把x＝1代入方程ax2+bx+1＝0得a+b+1＝0，
所以a+b＝﹣1，
所以2021﹣a﹣b＝2021﹣（a+b）＝2021+1＝2022．
14．（3分）设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝________．
【答案】2019．
【解析】∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，m2+2m＝2021，
则原式＝m2+2m+m+n
＝m2+2m+（m+n）
＝2021﹣2
＝2019．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝16，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝________时，△BPQ与△BAC相似．
【答案】2或8．
【解析】∵AB＝8，BC＝16，点P是AB边的中点，
∴BP＝4．
当△BPQ∽△BAC时，
则＝，
故＝，
解得：BQ＝8；
当△BPQ∽△BCA时，
则＝，
故＝，
解得：BQ＝2，
综上所述：当BQ＝2或8时，△BPQ与△BAC相似．
16．（3分）1，2，3，4，5的方差为________．
【答案】2．
【解析】因为平均数＝×（1+2+3+4+5）＝3，
所以S2＝×[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，则BF的长为________．
【答案】
【解析】在矩形ABCD中，∵CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠BAD＝∠D＝90°，
∵E是边CD的中点，
∴DE＝CD＝1，
∴AE＝＝＝，
∵BF⊥AE，
∴∠BAE+∠DAE＝∠DAE+∠AED＝90°，
∴∠BAE＝∠AED，
∴△ABF∽△AED，
∴＝，
∴，
∴BF＝．
18．（3分）如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为________海里（精确到1海里，参考数据≈1.414，≈1.732）．
【答案】38．
【解析】根据题意可知：
AB＝30×（10﹣8）＝60（海里），∠ACD＝45°，∠BCD＝30°，
如图，作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，CD＝AD，
在Rt△CBD中，BD＝AB﹣AD＝60﹣CD，
∴tan30°＝，
即＝，
解得CD≈38（海里）．
答：轮船在航行中离小岛最近的距离约为38海里．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）如图6，在△ABC中，∠C＝90°，，AB＝5，BD平分∠ABC．
（1）求BC的长；
（2）求∠CBD的正切值．
【答案】见解析
【解析】
（1）在△ABC中，∠C＝90°，
∴sin∠A＝＝，
∵AB＝5，
∴BC＝3；
（2）如图，过D点作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，
∴DC＝DE．
在Rt△BDE与Rt△BDC中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BDC（HL），
∴BE＝BC＝3，
∴AE＝AB﹣BE＝5﹣3＝2．
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC＝＝＝4．
设CD＝x，则DE＝x，AD＝4﹣x．
在Rt△ADE中，∵∠AED＝90°，
∴AD2＝AE2+DE2，
∴（4﹣x）2＝22+x2，
解得x＝，
∴CD＝．
在Rt△DBC中，∵∠C＝90°，
∴tan∠CBD＝＝＝．
20．（8分）某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．
（1）求该商品平均每月的价格增长率；
（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每月的利润可达到4000元．
【答案】见解析
【解析】
（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，
依题意，得：50（1+m）2＝72，
解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商品平均每月的价格增长率为20%．
（2）依题意，得：（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000，
整理，得：x2﹣300x+14400＝0，
解得：x1＝60，x2＝240．
∵商家需尽快将这批商品售出，
∴x＝60．
答：x为60元时商品每天的利润可达到4000元．
21．（8分）如图，一个人拿着一把长为12cm的刻度尺站在离电线杆20m的地方．他把手臂向前伸直，尺子竖直，尺子两端恰好遮住电线杆，已知臂长约为40cm，求电线杆的高度．
【答案】见解析
【解析】
作AN⊥EF于N，交BC于M，
∵BC∥EF，
∴AM⊥BC于M，
∴△ABC∽△AEF，
∴＝，
∵AM＝0.4m，AN＝20m，BC＝0.12m，
∴EF＝＝6（m）．
答：电线杆的高度为6m．
22．（10分）某学校在体育周活动中组织了一次体育知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成统计图，如图所示：
（1）把一班竞赛成绩统计图补充完整．
（2）求出下表中a，b，c的值．
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差
一班 a b 90 106.24
二班 87.6 80 c 138.24
（3）根据（2）中的数据，请你从平均数和方差的角度对这次竞赛成绩的结果进行分析．
【答案】见解析
【解析】
（1）一班C等级人数为25﹣（6+12+5）＝2（人），
补全条形图如下：
（2）一班成绩的平均数a＝＝87.6（分），中位数是第13个数据，即中位数b＝90分，
二班成绩的众数c＝100分；
（3）从平均数和方差的角度，一班和二班平均数相等，一班的方差小于二班的方差，故一班成绩好于二班．
23．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
【答案】见解析
【解析】
（1）∵a＝1，b＝2（k﹣1），c＝k2﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＞0，即[2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，
∴k＜1．
（2）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1．
∵x12+x22＝16，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝16，即[﹣2（k﹣1）]2﹣2（k2﹣1）＝16，
整理，得：k2﹣4k﹣5＝0，
解得：k1＝5，k2＝﹣1．
又∵k＜1，
∴k＝﹣1．
24．（10分）如图，三个景点A，B，C之间各建有笔直的健身小道．经测量，景点B在景点A的正东方向，景点C在景点A北偏东60°的方向上，同时也在景点B北偏东45°的方向上，已知BC＝4km．“运动达人”小敏从景点C出发，沿着C﹣B﹣A﹣C的路径健步走到景点B，景点A，再回到景点C．
求：（1）景点A，B间的距离；
（2）小敏健步走的总路程．
【答案】见解析
【解析】
（1）延长AB，过点C作CH⊥AB延长线于点H，如图所示：
由题意知：∠CAH＝90°﹣60°＝30°，∠CBH＝90°﹣45°＝45°，
∵，
∴，
∵∠CBH＝∠HCB＝45°，
∴CH＝BH＝4，
在Rt△CAH中，CH＝4，∠CAH＝30°，
∵，
∴，
∴，
即景点A，B间的距离为；
（2）在Rt△CAH中，∠CAH＝30°，
∴AC＝2CH＝2×4＝8，
∴BC+AB+AC＝4+4﹣4+8＝4+4+4，
即小敏健步走的总路程为（4+4+4）km．
25．（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？
（2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
【答案】见解析
【解析】
（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2．
由题意得，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，
则（6﹣x） 2x＝8，
整理得x2﹣6x+8＝0，
解得x1＝2，x2＝4．
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2．
（2）设t秒后以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm．
当△PCQ∽△ACB时，＝，即＝，
解得：t＝．
当△PCQ∽△BCA时，＝，即＝，
解得：t＝．
综上所述，经过秒或秒时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
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2021-2022学年石家庄市九年级上学期期中数学试题（5）
一．选择题（共11小题，满分33分，每小题3分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝1 B．x＝2x3﹣3 C．x2﹣2＝0 D．3x+＝1
2．（3分）要想了解九年级1000名考生的数学成绩，从中抽取了100名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ）
A．这100名考生是总体的一个样本
B．每位考生的数学成绩是个体
C．1000名考生是总体
D．100名考生是样本的容量
3．（3分）如果2a＝5b（a，b均不为0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣9＝0配方后可变形为（ ）
A．（x﹣1）2＝10 B．（x+1）2＝10 C．（x﹣1）2＝﹣8 D．（x+1）2＝﹣8
5．（3分）如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A，B两点的距离为（ ）千米．
A．4 B．4 C．2 D．6
6．（3分）甲、乙、丙三个旅行团的游客人数都相等，且每个团游客的平均年龄都是35岁，这三个团游客年龄的方差分别是S甲2＝28，S乙2＝18.6，S丙2＝1.7，导游小李最喜欢带游客年龄相近的团队，若在三个团中选择一个，则他应选（ ）
A．甲团 B．乙团
C．丙团 D．三个团都一样
7．（3分）2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮转发后，共有931人参与了转发活动，则方程列为（ ）
A．（1+n）2＝931 B．n（n﹣1）＝931 C．1+n+n2＝931 D．n+n2＝931
8．（3分）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且AB：DE＝3：2，则△ABC的面积与△DEF面积之比为（ ）
A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．9：5
9．（3分）如图，AG：GD＝3：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（ ）
A．8：7 B．8：5 C．3：2 D．6：5
10．（3分）若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等的实数根，则这两个相等的实数根是（ ）
A．﹣2 B． C．2 D．
11．（3分）一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为40°，则梯子底端到墙角的距离为（ ）
A．5cos40°米 B．5sin40°米 C．米 D．米
二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）
12．（3分）已知一组数据1，7，10，8，x，6，0，3，若＝5，则x应等于 ．
13．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2021﹣a﹣b的值是 ．
14．（3分）设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝ ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝16，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝ 时，△BPQ与△BAC相似．
16．（3分）1，2，3，4，5的方差为 ．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，则BF的长为 ．
18．（3分）如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为 海里（精确到1海里，参考数据≈1.414，≈1.732）．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）如图6，在△ABC中，∠C＝90°，，AB＝5，BD平分∠ABC．
（1）求BC的长；
（2）求∠CBD的正切值．
20．（8分）某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．
（1）求该商品平均每月的价格增长率；
（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每月的利润可达到4000元．
21．（8分）如图，一个人拿着一把长为12cm的刻度尺站在离电线杆20m的地方．他把手臂向前伸直，尺子竖直，尺子两端恰好遮住电线杆，已知臂长约为40cm，求电线杆的高度．
22．（10分）某学校在体育周活动中组织了一次体育知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成统计图，如图所示：
（1）把一班竞赛成绩统计图补充完整．
（2）求出下表中a，b，c的值．
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差
一班 a b 90 106.24
二班 87.6 80 c 138.24
（3）根据（2）中的数据，请你从平均数和方差的角度对这次竞赛成绩的结果进行分析．
23．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
24．（10分）如图，三个景点A，B，C之间各建有笔直的健身小道．经测量，景点B在景点A的正东方向，景点C在景点A北偏东60°的方向上，同时也在景点B北偏东45°的方向上，已知BC＝4km．“运动达人”小敏从景点C出发，沿着C﹣B﹣A﹣C的路径健步走到景点B，景点A，再回到景点C．
求：（1）景点A，B间的距离；
（2）小敏健步走的总路程．
25．（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？
（2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
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