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2021-2022学年石家庄市九年级上学期期中数学试题（3）
一．选择题（共14小题，满分42分，每小题3分）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+＝1 C．x2﹣1＝0 D．2x+3y﹣5＝0
【答案】C
【解析】A、当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、它是分式方程，故此选项不符合题意；
C、该方程符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）如果代数式x2+mx+36是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A．6 B．﹣12 C．±12 D．±6
【答案】C
【解析】∵x2+mx+36是一个完全平方式，
∴x2+mx+36＝（x±6）2，
∴m＝±12，
故选：C．
3．（3分）如图，已知D、E分别为AB、AC上的两点，且DE∥BC，AE＝3CE，AB＝8，则AD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】∵DE∥BC，
∴＝＝＝，
∴AD＝×8＝6．
故选：D．
4．（3分）点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且x1＜x2＜0，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．0＞y2＞y1 D．0＞y1＞y2
【答案】A
【解析】∵反比例函数y＝中k＝﹣3＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵x1＜x2＜0，
∴A、B都在第二象限，
∴y2＞y1＞0．
故选：A．
5．（3分）如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1：2，背水坡CD的坡比i＝1：1，若坡面CD的长度为米，则斜坡AB的长度为（ ）
A． B． C． D．24
【答案】C
【解析】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，如图所示：
则四边形BEFC是矩形，
∴BE＝CF，
∵背水坡CD的坡比i＝1：1，CD＝米，
∴CF＝DF＝CD＝6（米），
∴BE＝CF＝6米，
又∵斜坡AB的坡比i＝1：2＝，
∴AE＝2BE＝12（米），
∴AB＝＝＝6（米），
故选：C．
6．（3分）关于x的一元二次方程x2＝1的根是（ ）
A．x＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x＝﹣1 D．x1＝x2＝1
【答案】B
【解析】∵x2＝1，
∴x1＝1，x2＝﹣1，
故选：B．
7．（3分）有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则x满足的方程是（ ）
A．（1+x）2＝242 B．（2+x）2＝242
C．2（1+x）2＝242 D．（1+2x）2＝242
【答案】C
【解析】依题意得：2（1+x）2＝242．
故选：C．
8．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．邻边之比相等的两个平行四边形一定相似
B．邻边之比相等的两个矩形一定相似
C．对角线之比相等的两个平行四边形一定相似
D．对角线之比相等的两个矩形一定相似
【答案】B
【解析】A、邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，所以A选项错误；
B、邻边之比相等，则四条边对应成比例，又四个角都是直角，所以两矩形相似，故本选项正确；
C、对角线之比相等的两个平行四边形不一定相似，所以C选项错误；
D、对角线之比相等的两个矩形不一定相似，所以D选项错误；
故选：B．
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：EC＝2：3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF：BF等于（ ）
A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD．
∵DE：EC＝2：3，
∴＝＝＝．
∵AB∥CD，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝＝．
故选：A．
10．（3分）已知一元二次方程3x2+2x＝0的常数项被墨水污染，当此方程有实数根时，被污染的常数项可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【解析】设常数项为c，
由题意可知：△＝4﹣4×3c＝4﹣12c≥0，
∴c≤，
故选：D．
11．（3分）关于反比例函数y＝，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象分布在一、三象限
B．当x＞﹣1时，y＜﹣3
C．当x＞0时，y的值随x的增大而减小
D．若点（a，b）在它的图象上，则（b，a）也在图象上
【答案】B
【解析】∵反比例函数y＝，k＝3，
∴该函数的图象在第一、三象限，故选项A正确；
当﹣1＜x＜0时，y＜﹣3，当x＞0时，y＞0，故选项B错误；
当x＞0时，y的值随x的增大而减小，故选项C正确；
若点（a，b）在它的图象上，则（b，a）也在图象上，故选项D正确；
故选：B．
12．（3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向的A处，已知PA＝6海里，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，则海轮航行的距离AB的长是（ ）
A．6海里 B．6cos55°海里
C．6sin55°海里 D．6tan55°海里
【答案】B
【解析】如图所示：
由题意可知∠NPA＝55°，PA＝6海里，∠ABP＝90°．
∵AB∥NP，
∴∠A＝∠NPA＝55°．
在Rt△ABP中，∵∠ABP＝90°，∠A＝55°，PA＝6海里，
∴AB＝AP cos∠A＝6cos55°海里．
故选：B．
13．（3分）如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝60mm，高AD＝45mm，要把它加工成矩形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC，且EH＝2EF，则这个矩形零件的长为（ ）
A．36mm B．40mm C．72mm D．80mm
【答案】A
【解析】设矩形的宽EF＝xmm，则长EH＝2xmm，
∵四边形EFGH为矩形，
∴EH∥BC，EF∥AD，
∴△AEH∽△ABC，△BEF∽△BAD，
∴，，
∴＝，＝，
∵BE+AE＝AB，
∴+＝+＝＝1，
解得：x＝18，
∴EF＝18mm，EH＝36mm，
故选：A．
14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN，则以下结论中：①F为CD的中点；②3AM＝2DE；③tan∠EAF＝；④PN＝；⑤△PMN∽△DPE，正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】①∵正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠C＝∠ADF＝90°，CE＝BE＝1，
∵AF⊥DE，
∴∠DAF+∠ADN＝∠ADN+∠CDE＝90°，
∴∠DAN＝∠EDC，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（ASA），
∴DF＝CE＝1，AF＝DE，
∴DF＝CF．
故①正确；
②∵AB∥DF，
∴△ABM∽△FDM，
∴，
∴．
∴，
即3AM＝2DE．
故②正确；
③由勾股定理可知：AF＝DE＝AE＝＝，
∵×AD×DF＝×AF×DN，
∴DN＝，
∴EN＝，AN＝＝，
∴tan∠EAF＝，故③正确，
④作PH⊥AN于H．
∵BE∥AD，
∴，
∴PA＝，
∵PH∥EN，
∴，
∴AH＝，HN＝，
∴PN＝＝，
故④正确，
⑤∵PN≠DN，
∴∠DPN≠∠PDE，
∴△PMN与△DPE不相似，
故⑤错误．
故选：D．
二．填空题（共3小题，满分15分）
15．（3分）若线段a＝4，b＝9，则线段a，b的比例中项为________．
【答案】6．
【解析】设线段a，b的比例中项为x，
∴，
∵a＝4，b＝9．
∴，
解得：x＝6．
16．（6分）如图，P（15，a）在反比例函数y＝图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为________．
【答案】．
【解析】∵P（15，a）在反比例函数y＝图象上，
∴a＝＝4，
∵PH⊥x轴于H，
∴PH＝4，OH＝15，
∴tan∠POH＝，
17．（6分）如图是一个3×3的正方形格子，要求横、竖、对角线上的三个数之和相等，请根据图中提供的信息求出m等于________．
【答案】7．
【解析】由题意知：2+6＝m+1，
解得m＝7．
三．解答题（共6小题，满分63分）
18．（20分）计算：
（1）x2+2x＝48
（2）2x2﹣4x﹣5＝0
（3）sin60°+cos230°﹣tan45°
（4）﹣3tan60°﹣（﹣1）0+
【答案】见解析
【解析】
（1）∵x2+2x﹣48＝0，
∴（x+8）（x﹣6）＝0，
则x+8＝0或x﹣6＝0，
解得x1＝﹣8，x2＝6；
（2）∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣5，
∴△＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣5）＝56＞0，
则x＝＝，
即x1＝，x2＝；
（3）原式＝+（）2﹣×1
＝+﹣
＝﹣；
（4）原式＝2﹣3﹣1+2
＝1﹣．
19．（7分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上．
（1）以原点O为位似中心，画出△ABC的位似图形，使它与△ABC的相似比是；
（2）点C的对应点的坐标为________；
（3）∠A的正切值是________．
【答案】见解析
【解析】
（1）如图所示：△A1B1C1和△A2B2C2，即为所求；
（2）点C的对应点的坐标为：（﹣2，2）或（2，﹣2）；
故答案为：（﹣2，2）或（2，﹣2）；
（3）连接BD，
∠A的正切值是：tan∠BAD＝＝＝．
故答案为：．
20．（7分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，夹边BC的长为6，求△ABC的面积．
【答案】见解析
【解析】
如图，作CD⊥AB于点D．
∵∠B＝45°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝45°，
∵BC＝6，
∴CD＝BD＝3，
在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣45°＝30°，
∴tan30°＝，
∴AD＝，
∴S△ABC＝ AB CD＝ （3+） 3＝9+3，
∴△ABC的面积是9+3．
21．（7分）如图，小亮在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为60°，此时他距地面的高度AE为21米，电梯再上升9米到达D点，此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为45°，求大楼BC的高度．（结果保留根号）
【答案】见解析
【解析】
过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G．
由已知得，∠BDH＝45°，∠CEG＝60°，AE＝21米，DE＝9米．
在Rt△CEG中，CG＝AE＝21米，tan∠CEG＝，
∴EG＝＝＝7（米）．
∴DH＝EG＝7米．
在Rt△BDH中，∵∠BDH＝45°，
∴BH＝DH＝7米．
∴BC＝CG+HG+BH＝CG+DE+BH＝21+9+7＝（30+7）米．
答：大楼BC的高度是（30+7）米．
22．（9分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是2cm/秒，点Q的速度是1cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝2秒时，P，Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
【答案】见解析
【解析】
（1）由题意得：AP＝2t，CQ＝t，则CP＝8﹣2t，
∴Rt△CPQ的面积为S＝CP×CQ＝（0≤t≤4）；
（2）由题意得：AP＝2t，CQ＝t，则CP＝8﹣2t，
当t＝2秒时，CP＝8﹣2t＝4cm，CQ＝2cm．
在Rt△CPQ中，由勾股定理得：PQ＝；
（3）由题意得：AP＝2t，CQ＝t，则CP＝8﹣2t，
∵以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，且∠ABC＝∠PCQ＝90°，
∴分Rt△CPQ∽Rt△CAB或Rt△CPQ∽Rt△CBA两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，则，
∴，
解得：t＝秒；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，则，
∴，
解得：t＝秒；
因此t＝秒或t＝秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
23．（13分）已知在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为射线BC上的一个动点，AE与边CD交于点G．
（1）如图1，连接对角线BD交AE于点F，连接CF，若AF2＝CG CD，试求∠CFE的度数；
（2）如图2，点F为AE上一点，且∠ADF＝∠AED，若菱形的边长为2，则当DE⊥BC时，求△CFE的面积；
（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，试求的最小值．
【答案】见解析
【解析】
（1）如图1，∵AF2＝CG CD，
∴＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF，
∴，
∵∠FCG＝∠FCG，
∴△FCG∽△DCF，
∴∠CFE＝∠FDC，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ADC＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠FDC＝∠ADC＝30°，
∴∠CFE＝30°；
（2）如图2，过点F作MN⊥BC于N，交AD于M，
∵AD∥BC，
∴MN⊥AD，
Rt△DCE中，∠DCE＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∵CD＝2，
∴CE＝1，DE＝＝，
Rt△ADE中，AE＝＝＝，
∵∠ADF＝∠AED，∠FAD＝∠FAD，
∴∠AFD∽△ADE，
∴，即，
∴AF＝，
∴EF＝﹣＝，
∵AD∥BC，
∴△AFM∽△EFN，
∴＝，
∵MN＝DE＝，
∴FN＝，
∴S△CEF＝＝＝；
（3）如图3，过点E作EH⊥CD于H，过点A作AN⊥BC于N，
设菱形ABCD的边长为a，CE＝x，
在Rt△CEH中，∠ECH＝60°，
∴∠CEH＝30°，
∴CH＝x，EH＝x，
∴DH＝a﹣x，
在Rt△DEH中，DE2＝DH2+EH2
＝（a﹣x）2+（x）2
＝a2﹣ax+x2，
在Rt△ABN中，∠B＝60°，AB＝a，
∴∠BAN＝30°，
∴BN＝a，AN＝a，
∴CN＝BC﹣BN＝a，
∴EN＝EC+CN＝a+x，
Rt△ANE中，AE2＝AN2+EN2
＝（a）2+（a+x）2
＝a2+ax+x2，
∴＝＝＝1﹣＝1﹣＝1﹣（a＞0，x＞0），
∴当＝时，即x＝a时，有最小值，
则此时＝1﹣＝，
∴＝．
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2021-2022学年石家庄市九年级上学期期中数学试题（3）
一．选择题（共14小题，满分42分，每小题3分）
1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+＝1 C．x2﹣1＝0 D．2x+3y﹣5＝0
2．（3分）如果代数式x2+mx+36是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A．6 B．﹣12 C．±12 D．±6
3．（3分）如图，已知D、E分别为AB、AC上的两点，且DE∥BC，AE＝3CE，AB＝8，则AD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（3分）点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且x1＜x2＜0，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．0＞y2＞y1 D．0＞y1＞y2
5．（3分）如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1：2，背水坡CD的坡比i＝1：1，若坡面CD的长度为米，则斜坡AB的长度为（ ）
A． B． C． D．24
6．（3分）关于x的一元二次方程x2＝1的根是（ ）
A．x＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x＝﹣1 D．x1＝x2＝1
7．（3分）有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则x满足的方程是（ ）
A．（1+x）2＝242 B．（2+x）2＝242
C．2（1+x）2＝242 D．（1+2x）2＝242
8．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．邻边之比相等的两个平行四边形一定相似
B．邻边之比相等的两个矩形一定相似
C．对角线之比相等的两个平行四边形一定相似
D．对角线之比相等的两个矩形一定相似
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：EC＝2：3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF：BF等于（ ）
A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
10．（3分）已知一元二次方程3x2+2x＝0的常数项被墨水污染，当此方程有实数根时，被污染的常数项可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
11．（3分）关于反比例函数y＝，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象分布在一、三象限
B．当x＞﹣1时，y＜﹣3
C．当x＞0时，y的值随x的增大而减小
D．若点（a，b）在它的图象上，则（b，a）也在图象上
12．（3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向的A处，已知PA＝6海里，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，则海轮航行的距离AB的长是（ ）
A．6海里 B．6cos55°海里
C．6sin55°海里 D．6tan55°海里
13．（3分）如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝60mm，高AD＝45mm，要把它加工成矩形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC，且EH＝2EF，则这个矩形零件的长为（ ）
A．36mm B．40mm C．72mm D．80mm
14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN，则以下结论中：①F为CD的中点；②3AM＝2DE；③tan∠EAF＝；④PN＝；⑤△PMN∽△DPE，正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共3小题，满分15分）
15．（3分）若线段a＝4，b＝9，则线段a，b的比例中项为 ．
16．（6分）如图，P（15，a）在反比例函数y＝图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为 ．
17．（6分）如图是一个3×3的正方形格子，要求横、竖、对角线上的三个数之和相等，请根据图中提供的信息求出m等于 ．
三．解答题（共6小题，满分63分）
18．（20分）计算：
（1）x2+2x＝48
（2）2x2﹣4x﹣5＝0
（3）sin60°+cos230°﹣tan45°
（4）﹣3tan60°﹣（﹣1）0+
19．（7分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上．
（1）以原点O为位似中心，画出△ABC的位似图形，使它与△ABC的相似比是；
（2）点C的对应点的坐标为 ；
（3）∠A的正切值是 ．
20．（7分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，夹边BC的长为6，求△ABC的面积．
21．（7分）如图，小亮在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为60°，此时他距地面的高度AE为21米，电梯再上升9米到达D点，此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为45°，求大楼BC的高度．（结果保留根号）
22．（9分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是2cm/秒，点Q的速度是1cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝2秒时，P，Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
23．（13分）已知在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为射线BC上的一个动点，AE与边CD交于点G．
（1）如图1，连接对角线BD交AE于点F，连接CF，若AF2＝CG CD，试求∠CFE的度数；
（2）如图2，点F为AE上一点，且∠ADF＝∠AED，若菱形的边长为2，则当DE⊥BC时，求△CFE的面积；
（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，试求的最小值．
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