中小学教育资源及组卷应用平台
2021-2022学年上海市九年级上学期期中数学试题（1）
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）下列各组线段中，成比例线段的组是（ ）
A．3cm，4cm，5cm，8cm B．1cm，3cm，4cm，8cm
C．0.2cm，0.3cm，4cm，6cm D．1.5cm，2cm，4cm，6cm
【答案】C
【解析】A、3×8≠4×5，不成比例线段；
B、1×8≠3×4，不成比例线段；
C、0.2×6＝0.3×4，成比例线段；
D、1.5×6≠2×4，不成比例线段．
故选：C．
2．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，对角线AC、BD交于点O，EF是梯形ABCD的中位线，EF与BD、AC分别交于点G、H，如果△OGH的面积为1，那么梯形ABCD的面积为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【解析】∵AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF＝（AD+BC），EF∥AD＝BC，
∵BC＝3AD，
设AD＝x，则BC＝3AD＝3x，EF＝2x，
∵EF∥AD，且E，F为AB，DC的中点，
∴EG＝AD＝x，FH＝AD＝x，
∴GH＝x，
∵GH∥BC，
∴△OGH∽△OBC，
∴＝（）2＝＝，
∵△OGH的面积为1，
∴S△OBC＝9，
同理，△OAD∽△OBC，
∴＝，
∴S△OAD＝1，
∵OB＝3OD，
∴S△AOB＝3S△AOD＝3，
∵OC＝3OA，
∴S△COD＝3S△AOD＝3，
∴梯形ABCD的面积为：9+1+3+3＝16．
故选：C．
3．（4分）如图，点G、F分别是△BCD的边BC、CD上的点，BD的延长线与GF的延长线相交于点A，DE∥BC交GA于点E，则下列结论错误的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【答案】C
【解析】∵DE∥BC交GA于点E，
∴，，，
A，B，D正确，
故选：C．
4．（4分）下列关于相似三角形的说法，正确的是（ ）
A．等腰三角形都相似
B．直角三角形都相似
C．两边对应成比例，且其中一组对应角相等的两个三角形相似
D．一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似
【答案】D
【解析】等腰三角形不一定都相似，如∠A＝∠B＝30°的△ABC和∠D＝∠E＝60°的△DEF，它们不相似，故选项A错误；
直角三角形不一定相似，如∠A＝60°，∠B＝30°的Rt△ABC和∠D＝40°，∠E＝50°的Rt△DEF，它们不相似，故选项B错误；
两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，但是两边对应成比例，且其中一组对应角相等的两个三角形不一定相似，故选项C错误；
一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似，故选项D正确；
故选：D．
5．（4分）下列关于向量的运算中，错误的是（ ）
A．+＝+ B．﹣＝+（﹣）
C．+（﹣）＝0 D．+（+）＝（+）+
【答案】C
【解析】A、+＝+，正确，本选项不符合题意．
B、﹣＝+（﹣），正确，本选项不符合题意．
C、+（﹣）＝0，错误应该等于，本选项符合题意．
D、+（+）＝（+）+，本选项不符合题意．
故选：C．
6．（4分）在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，ED∥CB交AB于点D，已知：AD＝1，DE＝2，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】∵ED∥CB，
∴∠1＝∠3，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴BD＝DE＝2，
又∵ED∥CB，
∴＝，
∵AD＝1，DE＝2，
∴AB＝AD+BD＝AD+DE＝3，
即＝，
∴BC＝6．
故选：D．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）若＝，则等于________．
【答案】﹣6．
【解析】∵＝，
∴b＝，
∴＝＝﹣6．
8．（4分）已知tanA＝1，则锐角∠A＝________度．
【答案】45．
【解析】∵tanA＝1，
∴锐角∠A＝45°．
9．（4分）化简：＝ ．
【答案】 ．
【解析】∵＝﹣＝+＝．
10．（4分）如果点G是△ABC的重心，且AG＝6，那么BC边上的中线长为________．
【答案】9．
【解析】延长AG交BC于D，如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴DG＝AG＝×6＝3，AD为BC边上的中线，
∵AD＝AG+DG＝6+3＝9，
∴BC边上的中线长为9．
11．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y与自变量x的部分对应值如表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
y ﹣9 ﹣4 ﹣1 0 ﹣1
当x＝4时，对应的函数值y＝________．
【答案】﹣9．
【解析】由表格可得，
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝＝1，
∴x＝4和x＝﹣2时的函数值相等，
∵x＝﹣2时，y＝﹣9，
∴x＝4时，y＝﹣9，
12．（4分）有下列说法：①弦是直径 ②半圆是弧 ③圆中最长的弦是直径 ④半圆是圆中最长的弧 ⑤垂直平分弦的直线必经过圆心 ⑥平分弦的直径垂直于弦，其中错误的有________个．
【答案】3．
【解析】圆上任意两点的连线段叫弦，所以①错误；半圆是弧，所以②正确；直径是圆中最长的弦，所以③正确；大于半圆的弧为优弧，所以④错误；垂直平分弦的直线必经过圆心，所以⑤正确；平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以⑥错误．
13．（4分）已知：⊙O的半径为13cm，弦AB＝24cm，弦CD＝10cm，AB∥CD．则这两条平行弦AB，CD之间的距离是________．
【答案】17或7．
【解析】过O作OM⊥AB于M，OM交CD于N，
∵AB∥CD，
∴ON⊥CD，
①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，
∵AB＝24cm，CD＝10cm，
∴AE＝12cm，CF＝5cm，
∵OA＝OC＝13cm，
∴EO＝5cm，OF＝12cm，
∴EF＝12﹣5＝7cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，
∵AB＝24cm，CD＝10cm，
∴AE＝12cm，CF＝5cm，
∵OA＝OC＝13cm，
∴EO＝5cm，OF＝12cm，
∴EF＝OF+OE＝17cm．
∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．
14．（4分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后3s滑行的距离是________m．
【答案】13.5．
【解析】当y取得最大值时，飞机停下来，
y＝60t﹣＝﹣（t﹣20）2+600，
即当t＝20时，飞机滑行600才停下来，
当t＝17时，y＝586.5，
600﹣586.5＝13.5，
15．（4分）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体在暗盒中所成的像CD的高度为4cm，那么物体AB的高度应为________m．
【答案】3．
【解析】∵△ABO∽△CDO，
∴＝，
又∵CD＝4cm，
∴AB＝3（m）．
16．（4分）如图，将边长为2的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到正方形AB′C′D′，连接BB'、BC′，在旋转角从0°到180°的整个旋转过程中，当BB'＝BC′时，△BB′C′的面积为________．
【答案】2+或2﹣．
【解析】当点D'在直线AB右侧时，如图，过点B作BE⊥B'C'于E，延长EB交AD'于F，
∵将边长为2的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，
∴AB＝AB'＝B'C'＝AD'＝2，∠BAD＝∠B'AD'＝90°＝∠C'B'A，
∵BB'＝BC′，BE⊥B'C'，
∴B'E＝C'E＝1，
∵BE⊥B'C'，∠B'AD'＝∠AB'C'＝90°，
∴四边形B'EFA是矩形，
∴AF＝B'E＝1，EF＝AB'＝2，
∴BF＝＝＝，
∴BE＝2﹣，
∴△BB′C′的面积＝B'C'×BE＝×2×（2﹣）＝2﹣；
若点D'在直线AB的左侧时，过点B作BM⊥B'C'于M，交A'D'于N，
同理可求BN＝，
∴BM＝MN+BN＝2+，
∴△BB′C′的面积＝B'C'×BM＝×2×（2+）＝2+；
综上所述：△BB′C′的面积为2+或2﹣．
17．（4分）把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E为AD的中点，连接BE交AC于点F．则＝________．
【答案】．
【解析】连接CE，∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，E是AD的中点，
∴AC＝AD，CE＝AD＝AE，
∴∠ACE＝∠CAE＝30°
∵∠BAC＝30°，∠ABC＝90°，
∴AB＝AC＝AD，∠BAC＝∠ACE，
∴AB∥CE，
∴△ABF∽△CEF，
∴，
∴，
18．（4分）如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD＝________．
【答案】2+或4+2．
【解析】如图1所示：作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T，
当四边形ABCE为平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCE是菱形，
∵∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°，BC∥AN，
∴∠ADC＝30°，∠BAN＝∠BCE＝30°，
则∠NAD＝60°，
∴∠AND＝90°，
∵四边形ABCE面积为2，
∴设BT＝x，则BC＝EC＝2x，
故2x2＝2，
解得：x＝1（负数舍去），
则AE＝EC＝2，EN＝＝，
故AN＝2+，
则AD＝DC＝4+2；
如图2，当四边形BEDF是平行四边形，
∵BE＝BF，
∴平行四边形BEDF是菱形，
∵∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°，
∴∠ADB＝∠BDC＝15°，
∵BE＝DE，
∴∠AEB＝30°，
∴设AB＝y，则BE＝2y，AE＝y，
∵四边形BEDF面积为2，
∴AB×DE＝2y2＝2，
解得：y＝1，故AE＝，DE＝2，
则AD＝2+，
综上所述：CD的值为：2+或4+2．
三．解答题（共7小题，满分73分）
19．（10分）计算：
（﹣1）2021+2cos30°+|1﹣tan60°|+sin30°+tan45°．
【答案】见解析
【解析】（﹣1）2021+2cos30°+|1﹣tan60°|+sin30°+tan45°
＝﹣1+2×+﹣1++×1
＝﹣1++﹣1++
＝2﹣1．
20．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，0）和点（﹣1，2）．
（I）求抛物线的解析式；
（II）P（m，t）为抛物线上的一个动点，点P关于原点的对称点为P'．当点P'落在该抛物线上时，求m的值；
（III）P（m，t）（m＜2）是抛物线上一动点，连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG，随着点P的运动，正方形的大小与位置也随之改变，当顶点F或G恰好落在y轴上时，求对应的P点坐标．
【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，0）和点（﹣1，2），
∴，得，
即该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+；
（Ⅱ）∵P（m，t）为抛物线上的一个动点，点P关于原点的对称点为P'，
∴点P'（﹣m，﹣t），
∵点P和点P'落在该抛物线y＝﹣x2+x+上，
∴，
∴（﹣m2+m+）+（﹣m2﹣m+）＝0，
解得，m1＝，m2＝﹣，
即m的值是或﹣；
（Ⅲ）当点G落在y轴上时，如右图1所示，
过点P作PM⊥OA于点M，
∵四边形APFG是正方形，
∴AP＝GA，∠PAG＝90°，
∴∠PAM+∠GAO＝90°，
∵∠AOG＝90°，
∴∠AGO+∠GAO＝90°，
∴∠PAM＝∠AGO，
又∵∠PMA＝∠AOG＝90°，
∴△PMA≌△AOG（AAS），
∴PM＝AO＝2，
∴t＝2，
∴﹣m2+m+＝2，
解得，m1＝，m2＝﹣1，
∴点P的坐标为（，2）或（﹣1，2）；
当点F落在y轴上时，如图2所示，
过点P作PM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥PM于点N，
同理可证，△PFN≌△APM，
∴FN＝PM，
∴t＝m，
∴m＝﹣m2+m+，
解得，m3＝，m4＝，
∴点P的坐标为（，）或（，）；
综上所述，点P的坐标为：（，2）、（﹣1，2）、（，）或（，）．
21．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△CGE；
（2）若AF＝2FD，求的值．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB＝∠ECG，∠EBA＝∠EGC，
∴△ABE∽△CGE；
（2）∵AF＝2FD，
∴AD＝3DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，DF∥CB，
∴BC＝3FD，△GFD∽△GBC，
∴，
∴，
∴，
∴＝，
∵△ABE∽△CGE，
∴＝，
即的值是．
22．（10分）如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）求证：DF BF＝EF CF．
【答案】见解析
【解析】证明：（1）∵BD＝2AD，CE＝2AE，
∴AB＝3AD，CE＝2AE，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC；
（2）∵，
∴DE∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴，
∴DF BF＝EF CF．
23．（12分）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．
（1）求证：BD2＝BA BE；
（2）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．
【答案】见解析
【解析】证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
又∵∠BDE＝∠BAD＝90°，
∴△ABD∽△DBE，
∴，
∴BD2＝BA BE；
（2）∵AB＝6，BE＝8，BD2＝BA BE，
∴BD＝4，
∴DE＝＝＝4，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝∠BDE+∠EDC，
∴∠ABD＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠DBC，
又∵∠C＝∠C，
∴△BCD∽△DCE，
∴，
∴，
∴EC＝4，CD＝4．
方法二、∵sin∠DBE＝＝＝，
∴∠DBE＝30°，
∴∠ABD＝∠DBE＝30°，
∴∠C＝30°，
∴∠C＝∠DBC，
∴BD＝CD，
∵∠ABD＝30°，
∴cos∠ABD＝＝
∴BD＝4，
∴CD＝4．
24．（12分）如图①，抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与直线y＝kx+k交于点A、B，其中A点在x轴上，它们与y轴交点分别为C和D，P为抛物线的顶点，且点P纵坐标为4，抛物线的对称轴交直线于点Q．
（1）求点A的坐标，并用含k的代数式表示点B的坐标；
（2）如图②，当四边形CDQP为平行四边形时，
①求k的值；
②设E、F为线段DB上的点（含端点），横坐标分别为a，a+n（n为正整数），EG∥y轴交抛物线于点G．问是否存在正整数n，使满足tan∠EGF＝的点E有两个？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）∵直线y＝kx+k交x轴于点A、
∴当y＝0时，x＝﹣1，
∴点A（﹣1，0），
∵抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的顶点P的纵坐标为4，
∴，
解得：m1＝3，m2＝﹣5，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
解得：m＞1，
∴m＝3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
∵抛物线的对称轴交直线y＝kx+k于点Q．
∴点Q（1，2k），
联立方程组可得：，
∴﹣x2+（2﹣k）x+3﹣k＝0，
∴xA+xB＝2﹣k，
∴xB＝3﹣k，
∴点B（3﹣k，4k﹣k2）；
（3）①∵C（0，3），P（1，4），
∴直线CP解析式为y＝x+3，
∵四边形CDQP为平行四边形，
∴DQ∥CP，即直线y＝kx+k平行直线CP，
∴k＝1；
②不存在满足条件的正整数n．
如图②，过点F作FH⊥EG于点H，
∴∠FHE＝∠FHG＝90°，
∵k＝1，
∴直线AB：y＝x+1，
∵点E在线段DB上横坐标为a，EG∥y轴交抛物线于点G，
∴E（a，a+1），G（a，﹣a2+2a+3），
∵点F在线段DB上横坐标为a+n，
∴FH＝xF﹣xE＝n，F（a+n，a+n+1），
∴GH＝yG﹣yF＝﹣a2+2a+3﹣（a+n+1）＝﹣a2+a+2﹣n，
∵Rt△FGH中，tan∠EGF＝，
∴GH＝2FH，
∴﹣a2+a+2﹣n＝2n，整理得：a2﹣a+3n﹣2＝0，
∵满足tan∠EGF＝的点E有两个，
∴关于a的方程a2﹣a+3n﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝1﹣4（3n﹣2）＞0，
解得：0＜n＜，
∴不存在正整数n，使满足tan∠EGF＝的点E有两个．
25．（14分）（1）如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝30°，连接CD，BE交于点F．＝________；∠BFD＝________；
（2）如图2，在矩形ABCD和△DEF中，AB＝AD，∠EDF＝90°，∠DEF＝60°，连接AF交CE的延长线于点G．求的值及∠AGC的度数，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，将△DEF绕点D在平面内旋转，AF，CE所在直线交于点P，若DE＝1，AD＝，求出当点P与点E重合时AF的长．
【答案】见解析
【解析】（1）∵∠BAC＝∠DAE＝30°，
∴∠BAC+∠BAD＝∠DAE+∠BAD，
∴∠CAD＝∠BAE，
∵AC＝AB，AD＝AE，
∴△CAD≌△BAE（SAS），
∴CD＝BE，
∴＝1，
∵△CAD≌△BAE（SAS），
∴∠ACD＝∠ABE，
∴∠BFD＝∠DCB+∠CBE＝∠DCB+∠ABE+∠ABC＝∠DCB+∠ACD+∠ABC＝∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠BAC＝150°，
故答案为1，150°；
（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AB＝CD，
∵AB＝AD，
∴＝，
在Rt△DEF中，∠DEF＝60°，
∴tan∠DEF＝，
∴＝，
∴，
∵∠EDF＝90°＝∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDE，
∴△ADF∽△CDE，
∴＝，∠DAF＝∠DCE，
AD与CD的交点记作点O，
∵∠DCE+∠COD＝90°，
∴∠DAF+∠AOG＝90°，
∴∠AGC＝90°；
备用图1
（3）当点E在AF上时，如备用图，
连接AC，在Rt△ADC中，AD＝，
∴AB＝AD＝，
根据勾股定理得，AC＝2，
由（2）知，，
∴AF＝CE，
设CE＝x．则AF＝x，
在Rt△DEF中，∠DEF＝60°，DE＝1，
∴EF＝2，
∴AE＝AF﹣EF＝x﹣2，
由（2）知，∠AEC＝90°，
在Rt△ACE中，AE2+CE2＝AC2，
∴（x﹣2）2+x2＝28，
∴x＝﹣（舍）或x＝2，
∴AF＝x＝6，
当点F在AE上时，如备用图1，
设CE＝a，则AF＝a，∴AE＝AF+EF＝a+2，
在Rt△ACE中，AC＝2，根据勾股定理得，（a+2）2+a2＝28，
∴a＝（舍去负值），
∴AF＝3，
即满足条件的AF的长为3或6．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2021-2022学年上海市九年级上学期期中数学试题（1）
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）下列各组线段中，成比例线段的组是（ ）
A．3cm，4cm，5cm，8cm B．1cm，3cm，4cm，8cm
C．0.2cm，0.3cm，4cm，6cm D．1.5cm，2cm，4cm，6cm
2．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，对角线AC、BD交于点O，EF是梯形ABCD的中位线，EF与BD、AC分别交于点G、H，如果△OGH的面积为1，那么梯形ABCD的面积为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
3．（4分）如图，点G、F分别是△BCD的边BC、CD上的点，BD的延长线与GF的延长线相交于点A，DE∥BC交GA于点E，则下列结论错误的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4．（4分）下列关于相似三角形的说法，正确的是（ ）
A．等腰三角形都相似
B．直角三角形都相似
C．两边对应成比例，且其中一组对应角相等的两个三角形相似
D．一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似
5．（4分）下列关于向量的运算中，错误的是（ ）
A．+＝+ B．﹣＝+（﹣）
C．+（﹣）＝0 D．+（+）＝（+）+
6．（4分）在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，ED∥CB交AB于点D，已知：AD＝1，DE＝2，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）若＝，则等于 ．
8．（4分）已知tanA＝1，则锐角∠A＝ 度．
9．（4分）化简：＝ ．
10．（4分）如果点G是△ABC的重心，且AG＝6，那么BC边上的中线长为 ．
11．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y与自变量x的部分对应值如表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
y ﹣9 ﹣4 ﹣1 0 ﹣1
当x＝4时，对应的函数值y＝ ．
12．（4分）有下列说法：①弦是直径 ②半圆是弧 ③圆中最长的弦是直径 ④半圆是圆中最长的弧 ⑤垂直平分弦的直线必经过圆心 ⑥平分弦的直径垂直于弦，其中错误的有 个．
13．（4分）已知：⊙O的半径为13cm，弦AB＝24cm，弦CD＝10cm，AB∥CD．则这两条平行弦AB，CD之间的距离是 ．
14．（4分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后3s滑行的距离是 m．
15．（4分）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体在暗盒中所成的像CD的高度为4cm，那么物体AB的高度应为 m．
16．（4分）如图，将边长为2的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到正方形AB′C′D′，连接BB'、BC′，在旋转角从0°到180°的整个旋转过程中，当BB'＝BC′时，△BB′C′的面积为 ．
17．（4分）把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E为AD的中点，连接BE交AC于点F．则＝ ．
18．（4分）如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD＝ ．
三．解答题（共7小题，满分73分）
19．（10分）计算：
（﹣1）2021+2cos30°+|1﹣tan60°|+sin30°+tan45°．
20．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，0）和点（﹣1，2）．
（I）求抛物线的解析式；
（II）P（m，t）为抛物线上的一个动点，点P关于原点的对称点为P'．当点P'落在该抛物线上时，求m的值；
（III）P（m，t）（m＜2）是抛物线上一动点，连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG，随着点P的运动，正方形的大小与位置也随之改变，当顶点F或G恰好落在y轴上时，求对应的P点坐标．
21．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△CGE；
（2）若AF＝2FD，求的值．
22．（10分）如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）求证：DF BF＝EF CF．
23．（12分）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．
（1）求证：BD2＝BA BE；
（2）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．
24．（12分）如图①，抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与直线y＝kx+k交于点A、B，其中A点在x轴上，它们与y轴交点分别为C和D，P为抛物线的顶点，且点P纵坐标为4，抛物线的对称轴交直线于点Q．
（1）求点A的坐标，并用含k的代数式表示点B的坐标；
（2）如图②，当四边形CDQP为平行四边形时，
①求k的值；
②设E、F为线段DB上的点（含端点），横坐标分别为a，a+n（n为正整数），EG∥y轴交抛物线于点G．问是否存在正整数n，使满足tan∠EGF＝的点E有两个？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．
25．（14分）（1）如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝30°，连接CD，BE交于点F．＝ ；∠BFD＝ ；
（2）如图2，在矩形ABCD和△DEF中，AB＝AD，∠EDF＝90°，∠DEF＝60°，连接AF交CE的延长线于点G．求的值及∠AGC的度数，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，将△DEF绕点D在平面内旋转，AF，CE所在直线交于点P，若DE＝1，AD＝，求出当点P与点E重合时AF的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
