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2021-2022学年上海市九年级上学期期中数学试题（3）
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】连接BD．
则BD＝，AD＝2，
则tanA＝＝＝．
故选：D．
2．（4分）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（ ）
A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
【答案】C
【解析】设另一个三角形的最长边长为xcm，
根据题意，得：＝，
解得：x＝4.5，
即另一个三角形的最长边长为4.5cm，
故选：C．
3．（4分）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，可得：2y＝5（x﹣2y），
解得：5x＝12y，
所以的值为，
故选：D．
4．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，AD＝1，BD＝2，那么的值为（ ）
A．1：2 B．2：3 C．1：4 D．1：3
【答案】D
【解析】∵DE∥BC，
∴＝，
∵AD＝1，DB＝2，
∴＝，
则＝；
故选：D．
5．（4分）如果是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．+＝0 D．+＝0
【答案】A
【解析】∵是非零向量，
∴||＝||．
故选：A．
6．（4分）一辆汽车沿坡角为α的斜坡前进500米，则它上升的最大高度为（ ）
A．500sinα B． C．500cosα D．
【答案】A
【解析】如图，∠A＝α，AE＝500．
则EF＝500sinα．
故选：A．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为________米（结果保留根号）．
【答案】12．
【解析】根据题意可知：
在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝9，
∴CD＝AD tan30°＝9×＝3，
在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，AD＝9，
∴BD＝AD tan60°＝9，
∴BC＝CD+BD＝3+9＝12（米）．
答；该建筑物的高度BC为12米．
8．（4分）在△ABC中，++＝ ．
【答案】．
【解析】如图，+＝，则++＝+＝．
9．（4分）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为________cm．
【答案】7.8．
【解析】根据已知条件得下半身长是165×0.6＝99cm，
设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：，
解得：y≈7.8cm．
10．（4分）化简：＝________．
【答案】 ．
【解析】∵＝﹣＝+＝．
11．（4分）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，DE∥CB，点E在AB上，且EB＝4，若梯形ABCD的周长为24，则△AED的周长为________．
【答案】16．
【解析】∵AB∥CD，DE∥CB，
∴四边形EBCD是平行四边形，EB＝4，
∴EB＝CD＝4，ED＝BC，
又∵梯形ABCD的周长为24，
∴AB+BC+CD+AD＝24，EB+CD＝8，
∴AE+BC+AD＝16，
∴AE+DE+AD＝16，
即△AED的周长为16；
12．（4分）已知：四边形ABCD，对角线AC，BD交于点E，AB⊥BD于B，∠BCD+2∠ABC＝360°，BD＝2，AC＝，则tan∠AEB＝________．
【答案】3．
【解析】作CH⊥BD于H，CF⊥AB于F，如图，
∵AB⊥BD，
∴CF∥BD，∠ABE＝90°，
∴∠AEB＝∠ACF，
∵∠BCD+2∠ABC＝360°，
即∠BCD+2（∠1+90°）＝360°，
∴∠BCD+2∠1＝180°，
而∠BCD+∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝∠2，
∴△BCD为等腰三角形，
∴BH＝DH＝BD＝1，
易得四边形BFCH为矩形，
∴CF＝BH＝1，
在Rt△ACF中，AF＝＝3，
∴tan∠ACF＝3，
∴tan∠AEB＝3．
13．（4分）如图，△ABC中，cosB＝，sinC＝，AC＝5，则△ABC的面积是________．
【答案】．
【解析】过点A作AD⊥BC，
∵△ABC中，cosB＝，sinC＝，AC＝5，
∴cosB＝＝，
∴∠B＝45°，
∵sinC＝＝＝，
∴AD＝3，
∴CD＝4，
∴BD＝3，
则△ABC的面积是：×AD×BC＝×3×（3+4）＝．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC上，EC＝2DE，若AC与BE相交于点F，AF＝6，则FC的长为________．
【答案】4．
【解析】在 ABCD中，
∵AB＝CD，
∵EC＝2DE，
∴CE：CD＝CE：AB＝2：3，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴，
∵AF＝6，
∴CF＝4．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，过B作A1B⊥AC，过A1作A1B1⊥BC，得阴影Rt△A1B1B；再过B1作B1A2⊥AC，过A2作A2B2⊥BC，得阴影Rt△A2B2B1；…如此下去．请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为________．
【答案】
【解析】易得△ABA1∽△BA1B1，
则相似比为A1B：AB＝sin∠A＝4：5，
那么阴影部分面积与空白部分面积之比为16：25，
同理可得到其他三角形之间也是这个情况，
那么所有的阴影部分面积之和应等于＝3×4÷2×＝．
16．（4分）在菱形ABCD中，对角线AC与BD之比是3：4，那么sin∠BAC＝________．
【答案】．
【解析】如图，
设AC＝6x，BD＝8x，
则AO＝3x，OB＝4x，
∴AB＝＝5x，
在RT△BAO中，sin∠BAC＝＝＝．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0），点B（0，2），点P是直线y＝﹣x﹣1上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为________．
【答案】（3，﹣4）．
【解析】将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，
∵B（0，2），A（6，0），
∴D（﹣2，﹣4），
取AD的中点K（2，﹣2），
直线BK与直线y＝﹣x﹣1的交点即为点P．
设直线BK的解析式为y＝kx+b，
把B和K的坐标代入得：，
解得：k＝﹣2，b＝2，
则直线BK的解析式是y＝﹣2x+2，
由，解得：，
∴点P坐标为（3，﹣4），
18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，则AP的长为 4.8 ．
【答案】4.8．
【解析】设CD与BE交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，
由折叠的性质可知△ABP≌△EBP，
∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，
在△ODP和△OEG中，
，
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP＝OG，PD＝GE，
∴DG＝EP，
设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，
∴CG＝8﹣x，BG＝8﹣（6﹣x）＝2+x，
根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，
即62+（8﹣x）2＝（x+2）2，
解得：x＝4.8，
∴AP＝4.8，
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）求下列各式的值．
（1）sin45° cos45°+tan60° sin60°
（2）．
【答案】见解析
【解析】（1）原式＝×+×
＝+
＝2；
（2）原式＝﹣12+×（）2﹣
＝﹣1+﹣
＝﹣．
20．（10分）如图，已知点F在AB上，且AF：BF＝1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD＝2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．
【答案】见解析
【解析】过点F作FE∥BD，交AC于点E，
∴＝，
∵AF：BF＝1：2，
∴＝，
∴＝，
即FE＝BC，
∵BC：CD＝2：1，
∴CD＝BC，
∵FE∥BD，
∴＝＝＝．
即FN：ND＝2：3．
证法二、连接CF、AD，
∵AF：BF＝1：2，BC：CD＝2：1，
∴＝＝，
∵∠B＝∠B，
∴△BCF∽△BDA，
∴＝＝，∠BCF＝∠BDA，
∴FC∥AD，
∴△CNF∽△AND，
∴＝＝．
21．（10分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E是边CD上的一点，DE：CE＝1：2，联结AE与对角线BD相交于点F，AE＝4，
（1）求AF的长；
（2）设＝，＝，用，的线性组合表示．
【答案】见解析
【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB
∵DE：CE＝1：2
∴DE：CD＝DE：AB＝1：3
∵DC∥AB
∴△DEF∽△BAF
∴＝＝
∴EF＝AF
∵AE＝4，AF+EF＝AE
∴AF＝4
∴AF＝3；
（2）∵EF＝AF
∴AF＝AE
∵＝，＝
∴＝（+）
＝（+）
＝+
22．（10分）智能手机如果安装了一款测量软件“SmartMeasure”后，就可以测量物高、宽度和面积等，如图，打开软件后将手机摄像头对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度．测量者AB用其数学原理如图②所示，测量一棵大树CD，手机显示AC＝20m，AD＝25m，∠CAD＝53°，求此时CD的高．（结果保留根号）（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
【答案】见解析
【解析】如图②中，过点D作DH⊥AC于H，
在Rt△ADH中，cos∠CAD＝，sin∠CAD＝，
∴AH＝AD cos53°≈25×＝15（m），DH＝AD sin53°≈25×＝20（m），
∵AC＝20m，
∴CH＝AC﹣AH＝5（m），
∴CD＝＝＝5（m）．
23．（12分）如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．
（1）求证：AG＝CG．
（2）求证：AG2＝GE GF．
【答案】见解析
【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，
∴∠F＝∠FCD，
在△ADG与△CDG中，，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG＝CG；
（2）∵△ADG≌△CDG，
∴∠EAG＝∠F，
∵∠AGE＝∠AGE，
∴△AEG∽△FAG，
∴，
∴AG2＝GE GF．
24．（12分）点E是矩形ABCD边AB延长线上的一动点，在矩形ABCD外作Rt△ECF，其中∠ECF＝90°，过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，连接DF，交CG于点H．
（1）发现
如图1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想线段DH与HF的数量关系是________；
（2）探究
如图2，若AB＝nAD，CF＝nCE，则（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展
在（2）的基础上，若射线FC过AD的三等分点，AD＝3，AB＝4，则直接写出线段EF的长．
【答案】见解析
【解析】（1）DH＝HF；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠ABC＝∠EBC＝∠BCD＝90°，
∴CD⊥BC，
∵FG⊥BC，∠ECF＝90°，
∴CD∥GF，∠CGF＝∠ECF＝∠EBC＝90°，
∴∠GCF+∠BCE＝90°，
∵∠BCE+∠BEC＝90°，
∴∠GCF＝∠BEC，
在△GCF和△BEC中，，
∴△GCF≌△BEC（AAS），
∴BC＝GF，
∴CD＝GF，
∵CD∥GF，
∴∠HDC＝∠HFG，∠HCD＝∠HGF，
在△HCD和△HGF中，，
∴△HCD≌△HGF（ASA），
∴DH＝HF，
故答案为：DH＝HF；
（2）DH＝HF仍然成立；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，FG⊥BC，∠ECF＝90°，
∴∠CGF＝∠ECF＝∠EBC＝90°，
∴∠FCG+∠BCE＝90°，
∵∠BCE+∠CEB＝90°，
∴∠FCG＝∠CEB，
∴△FCG∽△CEB，
∴＝＝n，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝nAD，
∴＝n，
∴＝，
∴GF＝CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD⊥BC，
∵FG⊥BC，
∴CD∥GF，
∴∠HDC＝∠HFG，∠HCD＝∠HGF，
在△HCD和△HGF中，，
∴△HCD≌△HGF（ASA），
∴DH＝HF；
（3）如图3所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，∠RDC＝90°，RD∥CH，
∵AB＝nAD，CF＝nCE，
∴n＝＝，
∴CE＝CF，
分两种情况：
①当AR＝AD时，
∵AD＝3，
∴AR＝1，DR＝2，
在Rt△CDR中，由勾股定理得：CR＝＝＝2，
∵RD∥CH，DH＝FH，
∴RC＝CF＝2，
∴CE＝×2＝，
由勾股定理得：EF＝＝＝；
②当DR＝AD时，同理可得：DR＝1，RC＝，CF＝RC＝，CE＝，
由勾股定理得：EF＝＝＝；
综上所述，若射线FC过AD的三等分点，AD＝3，AB＝4，则线段EF的长为或．
25．（14分）已知：如图，正方形ABCD，对角线AC、BD相交于O，Q为线段DB上的一点，∠MQN＝90°，点M、N分别在直线BC、DC上，
（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：DN+BM＝BC；
（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为________；
（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若MB：MC＝3：1，NQ＝，求EF的长．
【答案】见解析
【解析】（1）如图1，过Q点作QP⊥BD交DC于P，
∴∠PQB＝90°．
∵∠MQN＝90°，
∴∠NQP＝∠MQB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠BDC＝∠DBC＝45°．DO＝BO
∴∠DPQ＝45°，DQ＝PQ．
∴∠DPQ＝∠DBC，
∴△QPN∽△QBM，
∴．
∵Q是OD的中点，且PQ⊥BD，
∴DO＝2DQ，DP＝DC
∴BQ＝3DQ．DN+NP＝BC，
∴BQ＝3PQ，
∴，
∴NP＝BM．
∴DN+BM＝BC．
（2）如图2，过Q点作QH⊥BD交BC于H，
∴∠BQH＝∠DQH＝90°，
∴∠BHQ＝45°．
∵∠COB＝45°，
∴QH∥OC．
∵Q是OB的中点，
∴BH＝CH＝BC．
∵∠NQM＝90°，
∴∠NQD＝∠MQH，
∵∠QND+∠NQD＝45°，∠MQH+∠QMH＝45°
∴∠QND＝∠QMH，
∴△QHM∽△QDN，
∴，
∴HM＝ND，
∵BM﹣HM＝HB，
∴．
故答案为：
（3）∵MB：MC＝3：1，设CM＝x，
∴MB＝3x，
∴CB＝CD＝4x，
∴HB＝2x，
∴HM＝x．
∵HM＝ND，
∴ND＝3x，
∴CN＝7x
∵四边形ABCD是正方形，
∴ED∥BC，
∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF，
∴，，
∴，
∴DE＝，
∴
∵NQ＝，
∴QM＝3，
在Rt△MNQ中，由勾股定理得：
MN＝＝15．
∴，
∴NE＝
∴EM＝
设EF＝a，则FM＝7a，
∴a+7a＝
∴a＝
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2021-2022学年上海市九年级上学期期中数学试题（3）
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
A． B． C．2 D．
2．（4分）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（ ）
A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
3．（4分）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，AD＝1，BD＝2，那么的值为（ ）
A．1：2 B．2：3 C．1：4 D．1：3
5．（4分）如果是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．+＝0 D．+＝0
6．（4分）一辆汽车沿坡角为α的斜坡前进500米，则它上升的最大高度为（ ）
A．500sinα B． C．500cosα D．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为 米（结果保留根号）．
8．（4分）在△ABC中，++＝ ．
9．（4分）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 cm．
10．（4分）化简：＝ ．
11．（4分）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，DE∥CB，点E在AB上，且EB＝4，若梯形ABCD的周长为24，则△AED的周长为 ．
12．（4分）已知：四边形ABCD，对角线AC，BD交于点E，AB⊥BD于B，∠BCD+2∠ABC＝360°，BD＝2，AC＝，则tan∠AEB＝ ．
13．（4分）如图，△ABC中，cosB＝，sinC＝，AC＝5，则△ABC的面积是 ．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC上，EC＝2DE，若AC与BE相交于点F，AF＝6，则FC的长为 ．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，过B作A1B⊥AC，过A1作A1B1⊥BC，得阴影Rt△A1B1B；再过B1作B1A2⊥AC，过A2作A2B2⊥BC，得阴影Rt△A2B2B1；…如此下去．请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为 ．
16．（4分）在菱形ABCD中，对角线AC与BD之比是3：4，那么sin∠BAC＝ ．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0），点B（0，2），点P是直线y＝﹣x﹣1上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为 ．
18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，则AP的长为 ．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）求下列各式的值．
（1）sin45° cos45°+tan60° sin60°
（2）．
20．（10分）如图，已知点F在AB上，且AF：BF＝1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD＝2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．
21．（10分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E是边CD上的一点，DE：CE＝1：2，联结AE与对角线BD相交于点F，AE＝4，
（1）求AF的长；
（2）设＝，＝，用，的线性组合表示．
22．（10分）智能手机如果安装了一款测量软件“SmartMeasure”后，就可以测量物高、宽度和面积等，如图，打开软件后将手机摄像头对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度．测量者AB用其数学原理如图②所示，测量一棵大树CD，手机显示AC＝20m，AD＝25m，∠CAD＝53°，求此时CD的高．（结果保留根号）（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
23．（12分）如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．
（1）求证：AG＝CG．
（2）求证：AG2＝GE GF．
24．（12分）点E是矩形ABCD边AB延长线上的一动点，在矩形ABCD外作Rt△ECF，其中∠ECF＝90°，过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，连接DF，交CG于点H．
（1）发现
如图1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想线段DH与HF的数量关系是 ；
（2）探究
如图2，若AB＝nAD，CF＝nCE，则（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展
在（2）的基础上，若射线FC过AD的三等分点，AD＝3，AB＝4，则直接写出线段EF的长．
25．（14分）已知：如图，正方形ABCD，对角线AC、BD相交于O，Q为线段DB上的一点，∠MQN＝90°，点M、N分别在直线BC、DC上，
（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：DN+BM＝BC；
（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ；
（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若MB：MC＝3：1，NQ＝，求EF的长．
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