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2021-2022学年上海市九年级上学期期中数学试题（4）
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）在比例尺为1：24000的黄浦江交通游览图上，某隧道长约7cm，它的实际长度约为（ ）
A．168km B．16.8km C．1.68km D．0.168km
2．（4分）下列说法中，错误的是（ ）
A．全等图形一定是相似图形
B．两个等边三角形一定相似
C．两个等腰直角三角形一定相似
D．两个直角三角形一定相似
3．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，AC＝5，则下列三角函数表示正确的是（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．tanB＝
4．（4分）如图，AG：GD＝3：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（ ）
A．8：7 B．8：5 C．3：2 D．6：5
5．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，已知＝，＝，E为AB中点，则+＝（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，下列说法中，错误的是（ ）
A．S△AOB＝S△DOC B．＝
C．＝ D．＝
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）若＝，则等于 ．
8．（4分）已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是 厘米．
9．（4分）两个相似三角形的相似比是3：4，其中较小的三角形的面积是8，则另一个三角形的面积是 ．
10．（4分）已知线段a＝2cm，b＝8cm，线段c是线段a和b的比例中项，线段c＝ cm．
11．（4分）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD＝1，则AB的长是 ．
12．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE过重心G，且分别与AB、AC交于点D、E，如果△ADE的面积为16cm2，那么四边形BCED的面积为 cm2．
13．（4分）已知，如图，ED∥BC，且，则＝ ．
14．（4分）如图，DE交△ABC边AC、BC的延长线分别于D、E两点，且DE∥AB，若＝，则△CDE与△ABC的面积比为 ．
15．（4分）如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝，则点F的坐标是 ．
16．（4分）如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC，QB，分别交AB，AC于点M，N，连接MN，若MN＝1，BC＝3，则线段PQ＝ ．
17．（4分）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设＝，＝，那么向量关于、的分解式为 ．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，则DE的长为 ．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）求下列各式的值．
（1）sin45° cos45°+tan60° sin60°
（2）．
20．（10分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB，AD：AB＝1：3．
（1）当DE＝5时，求FC的长；
（2）设＝，＝，那么＝ ，＝ （用向量，表示）．
21．（10分）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，若AB＝2，求AC的长．
22．（10分）如图，Rt△ABC为一块铁板余料，∠B＝90°，BC＝6cm，AB＝8cm，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．
23．（12分）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．
（1）求证：△ABE∽△DCA；
（2）在旋转过程中，试判断等式BD2+CE2＝DE2是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
24．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E．
（1）求证：CD2＝DE AD；
（2）求证：∠BED＝∠ABC．
25．（14分）已知：如图1，在△ABC和△ADE中，∠C＝∠E，∠CAE＝∠DAB，BC＝DE．
（1）请说明△ABC≌△ADE．
（2）如图2，连接CE和BD，DE，AD与BC分别交于点M和N，∠DMB＝56°，求∠ACE的度数．
（3）在（2）的条件下，若CN＝EM，请直接写出∠CBA的度数．
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2021-2022学年上海市九年级上学期期中数学试题（4）
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）在比例尺为1：24000的黄浦江交通游览图上，某隧道长约7cm，它的实际长度约为（ ）
A．168km B．16.8km C．1.68km D．0.168km
【答案】C
【解析】设隧道的实际长度是xcm，根据题意得：7：x＝1：24000．
解得：x＝168000cm＝1.68千米．
故选：C．
2．（4分）下列说法中，错误的是（ ）
A．全等图形一定是相似图形
B．两个等边三角形一定相似
C．两个等腰直角三角形一定相似
D．两个直角三角形一定相似
【答案】D
【解析】A、全等图形一定是相似图形，正确，不合题意；
B、两个等边三角形一定相似，正确，不合题意；
C、两个等腰直角三角形一定相似，正确，不合题意；
D、两个直角三角形不一定相似，原说法错误，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，AC＝5，则下列三角函数表示正确的是（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．tanB＝
【答案】A
【解析】A、sinA＝＝，故原题说法正确；
B、cosA＝＝，故原题说法错误；
C、tanA＝＝，故原题说法错误；
D、tanB＝＝，故原题说法错误；
故选：A．
4．（4分）如图，AG：GD＝3：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（ ）
A．8：7 B．8：5 C．3：2 D．6：5
【答案】D
【解析】过点D作DF∥BE交AC于点F，
则＝＝，＝＝3，
∴AE：EC＝6：5，
故选：D．
5．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，已知＝，＝，E为AB中点，则+＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵＝，
∴＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴＝＝，
∴+＝+＝，
故选：A．
6．（4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，下列说法中，错误的是（ ）
A．S△AOB＝S△DOC B．＝
C．＝ D．＝
【答案】C
【解析】如图，
∵AD∥BC，
∴S△ABC＝S△DCB，
即S△AOB+S△OBC＝S△OBC+S△DOC，
S△AOB＝S△DOC，所以A选项的结论正确；
∵AD∥BC，
∴＝，
∵＝，
∴＝；所以B选项的结论正确；
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴＝（）2，所以C选项的结论错误；
∵AD∥BC，
∴点B到AD的距离等于点A到BC的距离，
∴＝，所以D选项的结论正确；
故选：C．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）若＝，则等于________．
【答案】﹣6．
【解析】∵＝，
∴b＝，
∴＝＝﹣6．
8．（4分）已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是________厘米．
【答案】4．
【解析】∵线段b是a、c的比例中项，
∴b2＝ac＝16，
解得b＝±4，
又∵线段是正数，
∴b＝4．
9．（4分）两个相似三角形的相似比是3：4，其中较小的三角形的面积是8，则另一个三角形的面积是________．
【答案】．
【解析】∵两个相似三角形的相似比是3：4，
∴这两个相似三角形的面积比是9：16，
∵较小的三角形的面积是8，
∴另一个三角形的面积是．
10．（4分）已知线段a＝2cm，b＝8cm，线段c是线段a和b的比例中项，线段c＝________cm．
【答案】4．
【解析】根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得比例中项的平方等于两条线段的乘积．
即c2＝ab，则c2＝2×8，
解得c＝±4，（线段是正数，负值舍去）．
11．（4分）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD＝1，则AB的长是________．
【答案】+2．
【解析】∵C、D两点都是AB的黄金分割点，
∴AC＝AB，BD＝AB，
∴AC+BD＝（﹣1）AB，
即AB+CD＝（﹣1）AB，
∴AB＝+2，
12．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE过重心G，且分别与AB、AC交于点D、E，如果△ADE的面积为16cm2，那么四边形BCED的面积为________cm2．
【答案】20．
【解析】如图连接AG，延长AG交BC于H．
∵G是重心，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴＝＝，△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵S△ADE＝16cm2，
∴S△ABC＝36cm2，
∴S四边形BCED＝S△ABC﹣S△ADE＝36﹣16＝20cm2，
13．（4分）已知，如图，ED∥BC，且，则＝________．
【答案】．
【解析】∵ED∥BC，
∴△ABC∽△AED，
∵＝，
∴＝．
14．（4分）如图，DE交△ABC边AC、BC的延长线分别于D、E两点，且DE∥AB，若＝，则△CDE与△ABC的面积比为________．
【答案】4：9．
【解析】∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∵＝，
∴＝＝，
15．（4分）如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝，则点F的坐标是________．
【答案】（8，12）．
【解析】过点F作直线FA∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥FA于点H，则∠FAE＝90°，
∵FA∥OG，
∴∠FGO＝∠HFG．
∵∠EFG＝90°，
∴∠FEA+∠AFE＝90°，∠HFG+∠AFE＝90°，
∴∠FEA＝∠HFG＝∠FGO，
∵cos∠FGO＝，
∴cos∠FEA＝，
在Rt△AEF中，EF＝10，
∴AE＝EFcos∠FEA＝10×＝6，
∴根据勾股定理得，AF＝8，
∵∠FAE＝90°，∠AOG＝90°，∠GHA＝90°
∴四边形OGHA为矩形，
∴AH＝OG，
∵OG＝17，
∴AH＝17，
∴FH＝17﹣8＝9，
∵在Rt△FGH中，＝cos∠HFG＝cos∠FGO＝，
∴FG＝9÷＝15，
∴由勾股定理得：HG＝＝12，
∴F（8，12）．
16．（4分）如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC，QB，分别交AB，AC于点M，N，连接MN，若MN＝1，BC＝3，则线段PQ＝________．
【答案】3．
【解析】∵PQ∥BC，
∴＝，＝，
∴MN∥BC，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝＝，AP＝BC，
∵AP＝AQ，
∴PQ＝3．
17．（4分）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设＝，＝，那么向量关于、的分解式为________．
【答案】﹣．
【解析】如图所示，＝，＝，则＝﹣＝﹣．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，则DE的长为________．
【答案】5．
【解析】∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝10，
∵将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，
∴AC＝AE＝10，DC＝DE，
∴BE＝AE﹣AB＝10﹣6＝4，
在Rt△BDE中，设DE＝x，则BD＝8﹣x，
∵BD2+BE2＝DE2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
∴DE＝5．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）求下列各式的值．
（1）sin45° cos45°+tan60° sin60°
（2）．
【答案】见解析
【解析】（1）原式＝×+×
＝+
＝2；
（2）原式＝﹣12+×（）2﹣
＝﹣1+﹣
＝﹣．
20．（10分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB，AD：AB＝1：3．
（1）当DE＝5时，求FC的长；
（2）设＝，＝，那么＝________，＝________（用向量，表示）．
【答案】见解析
【解析】（1）∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴DE＝BF＝5，
∵AD：AB＝DE：BC＝1：3，
∴BC＝15，
∴CF＝BC﹣BF＝15﹣5＝10．
（2）∵AD：AB＝1：3，
∴＝2＝2，
∵EF＝BD，EF∥BD，
∴＝﹣＝﹣2，
∵CF＝2DE，
∴＝＝，
∴＝+＝﹣，
21．（10分）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，若AB＝2，求AC的长．
【答案】见解析
【解析】过A点作AD⊥BC于D点，
在直角三角形ABD中，∠B＝45°，AB＝2，
∴AD＝AB sinB＝2，
在直角三角形ADC中，∠C＝30°，
∴AC＝2AD＝4．
22．（10分）如图，Rt△ABC为一块铁板余料，∠B＝90°，BC＝6cm，AB＝8cm，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．
【答案】见解析
【解析】设方案①正方形的边长为xcm，
∵∠ABC＝90°，四边形BDFE是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得x＝，
即加工成正方形的边长为cm．
设方案②正方形的边长为ycm，作BH⊥AC于H，交DE于K，
∵四边形EDGF是正方形，
∴DE∥AC，∠EDG＝∠DGF＝90°．
∴BH⊥DE于K．
∴∠DKH＝90°．
∴四边形DKHG为矩形．
故设HK＝DG＝y．
∴DE∥AC．
∴△BDE∽△BCA．
∴＝．
∵AC＝＝10．
∴S△ABC＝＝×BH．
∴BH＝4.8．
∴BK＝4.8﹣y．
∴＝．
解得y＝．
即方案②加工成正方形的边长为cm．
23．（12分）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．
（1）求证：△ABE∽△DCA；
（2）在旋转过程中，试判断等式BD2+CE2＝DE2是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：∵∠BAE＝∠BAD+45°，∠CDA＝∠BAD+45°，
∴∠BAE＝∠CDA，
又∠B＝∠C＝45°，
∴△ABE∽△DCA；
（2）解：成立．如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，
则CE＝BH，AE＝AH，∠ABH＝∠C＝45°，旋转角∠EAH＝90°．
连接HD，在△EAD和△HAD中，
，
∴△EAD≌△HAD（SAS）．
∴DH＝DE．
又∠HBD＝∠ABH+∠ABD＝90°，
∴BD2+BH2＝HD2，即BD2+CE2＝DE2．
24．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E．
（1）求证：CD2＝DE AD；
（2）求证：∠BED＝∠ABC．
【答案】见解析
【解析】证明（1）∵CE⊥AD，
∴∠CED＝∠ACB＝90°，
∵∠CDE＝∠ADC，
∴△CDE∽△ADC，
∴CD：AD＝DE：CD，
∴CD2＝DE AD．
（2）∵D是BC的中点，
∴BD＝CD；
∵CD2＝DE AD，
∴BD2＝DE AD
∴BD：AD＝DE：BD；
又∵∠ADB＝∠BDE，
∴△BDE∽△ADB，
∴∠BED＝∠ABC．
25．（14分）已知：如图1，在△ABC和△ADE中，∠C＝∠E，∠CAE＝∠DAB，BC＝DE．
（1）请说明△ABC≌△ADE．
（2）如图2，连接CE和BD，DE，AD与BC分别交于点M和N，∠DMB＝56°，求∠ACE的度数．
（3）在（2）的条件下，若CN＝EM，请直接写出∠CBA的度数．
【答案】见解析
【解析】（1）∵∠CAE＝∠DAB，
∴∠CAE+∠CAD＝∠DAB+∠CAD，
即∠CAB＝∠EAD，
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（AAS）；
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴∠CBA＝∠EDA，AC＝AE，
在△MND和△ANB中，
∵∠EDA+∠MND+∠DMB＝180°，
∠CBA+∠ANB+∠DAB＝180°，
又∵∠MND＝∠ANB，
∴∠DAB＝∠DMB＝56°，
∴∠CAE＝∠DAB＝56°，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC＝，
∴∠ACE＝62°；
（3）连接AM，
由图（1）的∠E＝∠C得∠MEA＝∠ACN，
而AE＝AC，CN＝EM，
∴△AME≌△ANC（SAS），
∴AM＝AN，∠EAM＝∠CAN，
∵∠EAM＝∠CAN，
∴∠MAD＝∠EAC＝56°，
∵AM＝AN，
∴∠AMN＝∠ANM＝（180°﹣∠MAD）＝（180°﹣56°）＝62°＝∠BND，
由（2）知∠DAB＝56°，
∴∠CBA＝∠BND﹣∠DAB＝62°﹣56°＝6°．
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