中小学教育资源及组卷应用平台
2021-2022学年上海市九年级上学期期中数学试题（5）
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）已知线段a、b、c，求作第四比例线段x，则以下正确的作图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
3．（3分）如图，B为∠A一边上的任意一点，BC⊥AC于点C，那么tanA＝（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列命题中，正确的是（ ）
A．如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线一定平行于三角形的第三边
B．不同向量的单位向量的长度都相等，方向也都相同
C．一般来说，一条线段的黄金分割点有两个
D．相似三角形的中线的比等于相似比
5．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝2：3，若△ADE的周长为2a，则△ABC的周长是（ ）
A．3a B．9a C．5a D．25a
6．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，P为BC边上一点，在下列条件中：
①∠APB＝∠EPC；②∠APE＝90°；③P为BC的中点；④PB：BC＝2：3．其中能得到△ABP与△ECP相似的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③
二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）
7．（3分）如果2x＝5y（y≠0），那么＝ ．
8．（3分）已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是 厘米．
9．（3分）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD＝1，则AB的长是 ．
10．（3分）如图，在△ABC中，BD＝DC，AE＝EB，AD与CE相交于点O，若DO＝2cm，则AO＝ cm．
11．（3分）计算：2（﹣2）+3（2+）＝ ．
12．（3分）计算：＝ ．
13．（3分）已知高为2m的标杆在水平地面上的影子长1.5m，此时测得附近旗杆的影子长7.5m．则旗杆的高为 m．
14．（3分）如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝6，DE＝2，则EF的值为 ．
15．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥EF∥BC，EF分别交边AB、DC于点E、F．如果AE：EB＝3：2，AD＝2cm，EF＝5cm，那么BC＝ cm．
16．（3分）在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．如图，点A、B、C是4×4网格中的格点（每个小正方形的边长为1），在网格中画出一个与△ABC相似且面积最大的格点△DEF，△DEF的面积为 ．
17．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD＝1，BD＝AE＝2，则EC的长为 ．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝15，AD＝8，E为AB边上一点，将△BEC沿CE翻折，点B落在点F处，当△AEF为直角三角形时，AE＝ ．
三．解答题（共7小题，满分46分）
19．（5分）如图，已知向量、，用直尺与圆规先作向量，再作向量．（不写画法，保留画图痕迹，并在答案中注明所求作的向量．）
20．（5分）小明同学用两块含30°的直角三角板如图放置，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，C是DE的中点．求证：
（1）AD⊥BD；
（2）BD＝DE．
21．（5分）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且＝，
（1）求∠ACB的大小；
（2）求证BC2＝BD AB．
22．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，延长CB至点D，使BD＝AB．
（1）求∠D的度数；
（2）求tan75°的值．（结果可以保留根号）
23．（8分）如图，菱形ABCD中，点E为CD上一点，AE与BD交于点O，交BC的延长线于点F，已知OE＝4，EF＝5，试求OC的长．
24．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD．
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）若E是线段AD的中点，求的值．
25．（10分）如图，矩形ABCD中，已知AB＝6．BC＝8，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F．将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B'．
（1）如图1，若点E为线段BC的中点，延长AB'交CD于点M，求证：AM＝FM；
（2）如图2，若点B'恰好落在对角线AC上，求的值；
（3）若＝，求∠DAB'的正弦值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2021-2022学年上海市九年级上学期期中数学试题（5）
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）已知线段a、b、c，求作第四比例线段x，则以下正确的作图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵线段x为线段a、b、c的第四比例线段，
∴＝，
∴正确的作图是B；
故选：B．
2．（3分）如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
【答案】C
【解析】①和③相似，
∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；
由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，
∴＝，
＝，
即＝＝，
∴两三角形的三边对应边成比例，
∴①③相似．
故选：C．
3．（3分）如图，B为∠A一边上的任意一点，BC⊥AC于点C，那么tanA＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在Rt△ABC中，
tanA＝．
故选：D．
4．（3分）下列命题中，正确的是（ ）
A．如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线一定平行于三角形的第三边
B．不同向量的单位向量的长度都相等，方向也都相同
C．一般来说，一条线段的黄金分割点有两个
D．相似三角形的中线的比等于相似比
【答案】C
【解析】A、如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，故本选项错误．
B、不同向量的单位向量的长度不一定相等，方向也不一定相同，故本选项错误．
C、一般来说，一条线段的黄金分割点有两个，正确．
D、相似三角形的对应中线的比等于相似比，故本选项错误．
故选：C．
5．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝2：3，若△ADE的周长为2a，则△ABC的周长是（ ）
A．3a B．9a C．5a D．25a
【答案】C
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴C△ABC＝×2a＝5a，
故选：C．
6．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，P为BC边上一点，在下列条件中：
①∠APB＝∠EPC；②∠APE＝90°；③P为BC的中点；④PB：BC＝2：3．其中能得到△ABP与△ECP相似的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠APB＝∠EPC，
∴△ABP和△ECP相似，故①正确；
∵∠APE＝∠B＝90°，
∴∠BAP+∠APB＝90°，∠APB+∠EPC＝90°，
∴∠BAP＝∠EPC，
∴△ABP和△ECP相似，故②正确；
∵P为BC的中点，E为DC的中点，
∴BP＝CP＝BC，CE＝CD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，
∴BP＝CP＝CE，
∴＝＝2，＝1，
即≠，
即△ABP和△ECP不相似，故③错误；
设PB＝2x，BC＝3x，
则PC＝3x﹣2x＝x，AB＝BC＝3x，CE＝BC＝x，
∴＝＝，＝＝，
即＝，
∴＝，
∵∠B＝∠C＝90°，
即△ABP和△ECP相似，故④正确；
所以正确的为①②④，
故选：C．
二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）
7．（3分）如果2x＝5y（y≠0），那么＝________．
【答案】．
【解析】∵2x＝5y（y≠0），
∴＝．
8．（3分）已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是________厘米．
【答案】4．
【解析】∵线段b是a、c的比例中项，
∴b2＝ac＝16，
解得b＝±4，
又∵线段是正数，
∴b＝4．
9．（3分）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD＝1，则AB的长是________．
【答案】+2．
【解析】∵C、D两点都是AB的黄金分割点，
∴AC＝AB，BD＝AB，
∴AC+BD＝（﹣1）AB，
即AB+CD＝（﹣1）AB，
∴AB＝+2，
10．（3分）如图，在△ABC中，BD＝DC，AE＝EB，AD与CE相交于点O，若DO＝2cm，则AO＝________cm．
【答案】4．
【解析】∵BD＝DC，AE＝EB，AD与CE相交于点O，
∴O是△ABC的重心，
∴AO＝2DO＝2×2＝4cm．
11．（3分）计算：2（﹣2）+3（2+）＝________．
【答案】8﹣．
【解析】原式＝2﹣4+6+3＝8﹣．
12．（3分）计算：＝________．
【答案】3+．
【解析】原式＝
＝
＝3+．
13．（3分）已知高为2m的标杆在水平地面上的影子长1.5m，此时测得附近旗杆的影子长7.5m．则旗杆的高为________m．
【答案】10．
【解析】设旗杆的高度为x米，根据题意得：＝
解得：x＝10．
14．（3分）如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝6，DE＝2，则EF的值为________．
【答案】4．
【解析】∵AD∥BE∥CF，
∴＝，
∵AB＝3，BC＝6，DE＝2，
∴EF＝＝＝4，
15．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥EF∥BC，EF分别交边AB、DC于点E、F．如果AE：EB＝3：2，AD＝2cm，EF＝5cm，那么BC＝________cm．
【答案】7．
【解析】作AM∥CD交BC于M，交EF于N，如图，
∵AD∥EF∥BC，
∴四边形ADFE和四边形ADCM都是平行四边形，
∴NF＝CM＝AD＝2，
∴EN＝EF﹣NF＝5﹣2＝3，
∵EN∥BM，
∴△AEN∽△ABM，
∴＝，
∵AE：EB＝3：2，
∴AE：AB＝3：5，
∴＝，解得BM＝5，
∴BC＝BM+CM＝5+2＝7（cm）．
16．（3分）在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．如图，点A、B、C是4×4网格中的格点（每个小正方形的边长为1），在网格中画出一个与△ABC相似且面积最大的格点△DEF，△DEF的面积为________．
【答案】2.5．
【解析】如图，△DEF即为所求．
S△DEF＝3×4﹣×3×4﹣1×1﹣×1×2﹣×1×3＝2.5，
17．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD＝1，BD＝AE＝2，则EC的长为________．
【答案】4．
【解析】∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得：EC＝4；
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝15，AD＝8，E为AB边上一点，将△BEC沿CE翻折，点B落在点F处，当△AEF为直角三角形时，AE＝________．
【答案】7或．
【解析】①如图，若∠AEF＝90°，
∵∠B＝∠BCD＝90°＝∠AEF，
∴四边形BCFE是矩形，
∵将△BEC沿着CE翻折，
∴CB＝CF，
∴四边形BCFE是正方形，
∴BE＝BC＝AD＝8，
∴AE＝AB﹣BE＝15﹣8＝7；
②如图，若∠AFE＝90°，
∵将△BEC沿着CE翻折，
∴CB＝CF＝8，∠B＝∠EFC＝90°，BE＝EF，
∵∠AFE+∠EFC＝180°，
∴点A，点F，点C三点共线，
∴AC＝＝＝17，
∴AF＝AC﹣CF＝9，
∵AE2＝AF2+EF2，
∴AE2＝81+（15﹣AE）2，
∴AE＝，
③若∠EAF＝90°，
∵CD＝15＞CF＝BC＝8，
∴点F不可能落在直线AD上，
∴不存在∠EAF＝90°，
综上所述：AE＝7或．
三．解答题（共7小题，满分46分）
19．（5分）如图，已知向量、，用直尺与圆规先作向量，再作向量．（不写画法，保留画图痕迹，并在答案中注明所求作的向量．）
【答案】见解析
【解析】如图，＝+，＝﹣．
20．（5分）小明同学用两块含30°的直角三角板如图放置，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，C是DE的中点．求证：
（1）AD⊥BD；
（2）BD＝DE．
【答案】见解析
【解析】证明：（1）∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
∴△ACB∽△AED，
∴，
∵∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴AD⊥BD．
（2）由（1）得△ABD∽△ACE，
∴，
∴BD＝2CE，
又∵C是DE中点，
∴DE＝2CE，
∴BD＝DE．
21．（5分）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且＝，
（1）求∠ACB的大小；
（2）求证BC2＝BD AB．
【答案】见解析
【解析】（1）解：∵CD是边AB上的高，
∴CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠BDC＝90°，
又 ＝，
∴△CDA∽△BDC，
∴∠A＝∠DCB，
又∠A+∠ACD＝90°，
∴∠DCB+∠ACD＝90°，
即∠ACB＝90°；
（2）证明：∠B＝∠B，∠BCA＝∠BDC＝90°，
∴△BCA∽△BDC．
∴＝，
∴BC2＝BD AB．
22．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，延长CB至点D，使BD＝AB．
（1）求∠D的度数；
（2）求tan75°的值．（结果可以保留根号）
【答案】见解析
【解析】（1）∵BD＝AB，
∴∠D＝∠BAC，
∵∠ABC＝30°，
∴∠D＝∠DAB＝15°，
（2）∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，
∴AB＝BD＝2，BC＝，
∴CD＝2+，
∵∠D＝15°，
∴∠DAC＝75°，
∴tan75°＝tan∠CAD＝＝2+．
23．（8分）如图，菱形ABCD中，点E为CD上一点，AE与BD交于点O，交BC的延长线于点F，已知OE＝4，EF＝5，试求OC的长．
【答案】见解析
【解析】∵OE＝4，EF＝5，
∴OF＝OE+EF＝9，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∠ABO＝∠CBO，AB＝CB，
∴△AOB∽△EOD，△AOD∽△FOB，
∴＝①，＝②，
①×②得：OA2＝OE×OF＝4×9＝36，
∴OA＝6，
在△BOC和△BOA中，，
∴△BOC≌△BOA（SAS），
∴OC＝OA＝6．
24．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD．
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）若E是线段AD的中点，求的值．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE，
∴∠AEB＝∠ADC，
∴△ABE∽△ACD；
（2）解：∵E是线段AD的中点，
∴AE＝AD，
∵△ABE∽△ACD，
∴＝＝，
∴BE＝CD，
∵BE＝BD，
∴BD＝CD，
∴＝．
25．（10分）如图，矩形ABCD中，已知AB＝6．BC＝8，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F．将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B'．
（1）如图1，若点E为线段BC的中点，延长AB'交CD于点M，求证：AM＝FM；
（2）如图2，若点B'恰好落在对角线AC上，求的值；
（3）若＝，求∠DAB'的正弦值．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠F＝∠BAF，
由折叠可知：∠BAF＝∠MAF，
∴∠F＝∠MAF，
∴AM＝FM．
（2）解：同（1）的证法可得△ACF是等腰三角形，AC＝CF，
在Rt△ABC中，∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∴CF＝AC＝10，
∵AB∥CF，
∴△ABE∽△FCE，
∴；
（3）①当点E在线段BC上时，如图3，AB'的延长线交CD于点M，
由AB∥CF可得：△ABE∽△FCE，
∴，即，
∴CF＝4，
同（1）的证法可得AM＝FM．
设DM＝x，则MC＝6﹣x，则AM＝FM＝10﹣x，
在Rt△ADM中，AM2＝AD2+DM2，即（10﹣x）2＝82+x2，
解得：x＝，
则AM＝10﹣x＝10﹣＝，
∴sin∠DAB'＝＝．
②当点E在BC的延长线上时，如图4，
由AB∥CF可得：△ABE∽△FCE，
∴，即，
∴CF＝4，
则DF＝6﹣4＝2，
设DM＝x，同（1）的证法可得AM＝FM＝2+x，
在Rt△ADM中，AM2＝AD2+DM2，即（2+x）2＝82+x2，
解得：x＝15，
则AM＝2+x＝17，
∴sin∠DAB'＝．
综上所述：当时，∠DAB'的正弦值为或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
