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2021-2022学年上海市九年级上学期期中数学试题（6）
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）若＝，则＝（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，那么下列结论正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
3．（4分）如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（a，3）且OP与x轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）已知线段a，b，c，求作线段x，使x＝，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）下列关于向量的运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（4分）如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）已知三角形的三边长为a、b、c，满足，如果其周长为36，那么该三角形的最大边长为 ．
8．（4分）已知a，b，c，d是成比例线段，a＝3cm，b＝2cm，d＝6cm，则线段c的长为 cm．
9．（4分）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD＝1，则AB的长是 ．
10．（4分）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为 ．
11．（4分）化简：＝ ．
12．（4分）已知α是锐角，sin（α+15°）＝，则cosα＝ ．
13．（4分）如图，在△ABC中，点D，E在AC边上，且AE＝ED＝DC．点F，M在AB边上，且FE∥MD∥BC，延长FD交BC的延长线于点N，则的值＝ ．
14．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连接AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为 ．
15．（4分）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA＝ ．
16．（4分）边长分别为1和2的两个正方形按如图所示放置，图中阴影部分的面积是 ．
17．（4分）如图，点P在线段BC上，AB⊥BC，DP⊥AP，CD⊥DP，如果BC＝10，AB＝2，tanC＝，那么DP的长是 ．
18．（4分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点P是边AD上一动点，将△ABP沿BP折叠得到△BEP，连接DE，CE，已知AB＝4，AD＝3，BC＝6，则△CDE面积的最小值为 ．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）如图，已知两个不平行的向量、，先化简，再求作：﹣（3﹣）．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD＝BD，AE∥CD，CE∥AB，BE交CD于O．
（1）判断四边形ADCE的形状，并证明．
（2）若AC＝BC＝，直接写出线段BO的长．
22．（10分）如图，在△ABC中，AC，BC边上的中线BE，AD交于点F，且AD⊥BE，AC＝20，AD＝12．
求：（1）BE的长；
（2）求∠ABE的余弦值．
23．（12分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于点M，N．
（1）证明：AM2＝MN MP；
（2）若AD＝6，DC：CP＝2：1，求BN的长．
24．（12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝a，E为AB上任意一点，连接ED，作ED的中垂线交AD于点M，交DC延长线于点N，连接EN交BC于点F．当△BEF的周长与△AEM的周长之差为时，求∠EFB的正弦值．
25．（14分）问题提出：
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．则△ABC的面积＝ ．
问题探究：
（2）如图②，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠AOB＝θ（0°＜θ≤90°），AC＝8，BD＝6．请用含θ的代数式表示四边形ABCD的面积．
问题解决：
（3）如图③，四边形ABCD是某高新开发区的一块空地，经测量∠A＝150°，∠D＝90°，CD＝604米，BC＝784米，AB＝533米，高新区规划办准备在空地上修建一个三角形形状的人工湖（如图③中的△EFG），按照设计要求，E，F，G分别在BC，AB，CD边上，且EF＝BE，EG＝EC．设BE为x米，人工湖△EFG面积为y平方米．
①写出y与x的函数关系式；
②已知cosB≈0.6，cosC≈0.4，当x＝392米时，人工湖面积y最符合要求，请问是否存在这样的人工湖面积y？若存在，求出该面积；若不存在，说明理由．
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2021-2022学年上海市九年级上学期期中数学试题（6）
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）若＝，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵＝，
∴＝，
∴＝＝，
故选：B．
2．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，那么下列结论正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【答案】B
【解析】∵AD∥BE∥CF，
∴，，
故A、D、C错误，B正确．
故选：B．
3．（4分）如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（a，3）且OP与x轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过点P作PE⊥x轴于E，如图所示：
∵P（a，3），
∴OE＝a，PE＝3，
∵tan∠α＝＝，
∴a＝OE＝4，
∴OP＝＝＝5，
∴sinα＝＝，
故选：A．
4．（4分）已知线段a，b，c，求作线段x，使x＝，以下作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A．由平行线分线段成比例可得，即，选项错误；
B．由平行线分线段成比例可得，即，选项错误；
C．由平行线分线段成比例可得，，即，选项正确，
D．由平行线分线段成比例可得，即x＝，选项错误．
故选：C．
5．（4分）下列关于向量的运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A、，故本选项错误．
B、，故本选项正确．
C、+（﹣）＝，故本选项错误．
D、+＝，故本选项错误．
故选：B．
6．（4分）如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
【答案】C
【解析】①和③相似，
∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；
由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，
∴＝，
＝，
即＝＝，
∴两三角形的三边对应边成比例，
∴①③相似．
故选：C．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）已知三角形的三边长为a、b、c，满足，如果其周长为36，那么该三角形的最大边长为________．
【答案】16．
【解析】设＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵三角形的周长为36，
∴a+b+c＝36，即2k+3k+4k＝36，解得k＝4，
∴a＝8，b＝12，c＝16，
即该三角形的最大边长为16．
8．（4分）已知a，b，c，d是成比例线段，a＝3cm，b＝2cm，d＝6cm，则线段c的长为________cm．
【答案】9．
【解析】已知a，b，c，d是成比例线段，
根据比例线段的定义得：ad＝bc，
代入a＝3，b＝2，d＝6，
3×6＝2c
解得：c＝9，
9．（4分）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD＝1，则AB的长是________．
【答案】+2．
【解析】∵C、D两点都是AB的黄金分割点，
∴AC＝AB，BD＝AB，
∴AC+BD＝（﹣1）AB，
即AB+CD＝（﹣1）AB，
∴AB＝+2，
10．（4分）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为________．
【答案】8.4或2或12．
【解析】设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴当时，△ABP∽△CDP，即；
解得x＝，
BP＝14﹣＝8.4；
当时，△ABP∽△PDC，即；
整理得x2﹣14x+24＝0，
解得x1＝2，x2＝12，
BP＝14﹣2＝12，BP＝14﹣12＝2，
∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．
11．（4分）化简：＝________．
【答案】 ．
【解析】∵＝﹣＝+＝．
12．（4分）已知α是锐角，sin（α+15°）＝，则cosα＝________．
【答案】．
【解析】∵sin60°＝，
∴α+15°＝60°，
∴α＝45°，
则cosα＝cos45°＝，
13．（4分）如图，在△ABC中，点D，E在AC边上，且AE＝ED＝DC．点F，M在AB边上，且FE∥MD∥BC，延长FD交BC的延长线于点N，则的值＝________．
【答案】．
【解析】∵EF∥DM∥BC，AE＝DE＝CD，
∴，
在△EFD与△CND中，
，
∴△EFD≌△CND（AAS），
∴EF＝CN，
∵CN：BC＝1：3，
∴CN：BN＝1：4，
∴，
14．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连接AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为________．
【答案】1+．
【解析】∵矩形CDFE∽矩形ADCB，
∴＝，即＝，
整理得，AD2﹣2AD﹣4＝0，
解得，AD1＝1﹣（舍去），AD2＝1+，
15．（4分）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA＝________．
【答案】．
【解析】如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，
由勾股定理得AB＝AC＝2，BC＝2，AD＝3，
可以得知△ABC是等腰三角形，
由面积相等可得，BC AD＝AB CE，
即CE＝＝，
sinA＝＝＝，
16．（4分）边长分别为1和2的两个正方形按如图所示放置，图中阴影部分的面积是________．
【答案】．
【解析】如图所示：
∵正方形ABCD的边长为2，
正方形AEFM的边长为1，
∴AB＝AD＝2，EF＝AM＝1，
又∵EB＝EA+AB，
∴EB＝3
又∵AN∥EF，
∴△ABN∽△EBF，
∴，
∴AN＝，
又∵AM＝AN+MN，
∴MN＝，
＝
＝；
17．（4分）如图，点P在线段BC上，AB⊥BC，DP⊥AP，CD⊥DP，如果BC＝10，AB＝2，tanC＝，那么DP的长是________．
【答案】．
【解析】∵DP⊥AP，CD⊥DP，
∴AP∥CD，
∴∠C＝∠APB，
∵AB⊥BC，
∴tan∠APB＝，
∵tanC＝，
∴＝，
∴BP＝4，
∴PC＝BC﹣BP＝10﹣4＝6，
在Rt△CDP中，tanC＝，CD＝＝，
∴＝，
解得：DP＝或DP＝﹣（不合题意舍去），
18．（4分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点P是边AD上一动点，将△ABP沿BP折叠得到△BEP，连接DE，CE，已知AB＝4，AD＝3，BC＝6，则△CDE面积的最小值为________．
【答案】2．
【解析】如图，过点D作DH⊥BC，过点B作BF⊥CD，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴AD⊥AB，且DH⊥BC，AB⊥BC，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AB＝DH＝4，AD＝BH＝3，
∴CH＝BC﹣BH＝3，
∴CD＝＝＝5，
∵sin∠DCH＝，
∴
∴BF＝，
∵将△ABP沿BP折叠得到△BEP，
∴AB＝BE＝4，
∴点E在以B点为圆心，AB长为半径的圆上，
∴当点E在BF上时，点E到CD的距离最小，最小值值＝﹣4＝，
∴△CDE面积的最小值＝×5×＝2，
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：．
【答案】见解析
【解析】原式＝×1+×+×
＝+1+
＝3．
20．（10分）如图，已知两个不平行的向量、，先化简，再求作：﹣（3﹣）．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）．
【答案】见解析
【解析】﹣（3﹣）＝﹣3+＝﹣2，
如图，即为所求．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD＝BD，AE∥CD，CE∥AB，BE交CD于O．
（1）判断四边形ADCE的形状，并证明．
（2）若AC＝BC＝，直接写出线段BO的长．
【答案】见解析
【解析】（1）四边形ADCE菱形．理由如下：
∵AE∥CD，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，AD＝BD，
∴CD＝AB＝AD，
∴四边形ADCE是菱形．
（2）∵AC＝BC＝，∠ACB＝90°，
∴CD⊥AB，AB＝AC＝2，
∴EA⊥AB，AD＝1，
∵四边形ADCE是菱形，
∴AE＝AD＝1，
在Rt△BAE中，BE＝＝＝，
∵AE∥DO，
∴△BOD∽△BEA，
∴＝＝，
∴BO＝BE＝．
22．（10分）如图，在△ABC中，AC，BC边上的中线BE，AD交于点F，且AD⊥BE，AC＝20，AD＝12．
求：（1）BE的长；
（2）求∠ABE的余弦值．
【答案】见解析
【解析】（1）∵中BE，AD交于点F，
∴点F是△ABC的重心
∴AF＝AD，BF＝2EF，
∵AD＝12，
∴AF＝8，
∵BE是边AC的中线，
∴AE＝EC＝AC＝10，
∵AD⊥BE，
∴EF＝＝＝6，
∴BF＝12，BE＝18
答：BE的长为18．
（2）在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，由勾股定理知：
AB＝＝＝4，
∴cos∠ABE＝＝，
答：∠ABE的余弦值为．
23．（12分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于点M，N．
（1）证明：AM2＝MN MP；
（2）若AD＝6，DC：CP＝2：1，求BN的长．
【答案】见解析
【解析】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADM＝∠NBM，∠DAM＝∠BNM，
∴△ADM∽△NBM，
∴＝，
∵AB∥DC，
∴∠P＝∠BAM，∠MDP＝∠ABM，
∴△PDM∽△ABM，
∴＝，
∴＝，
∴AM2＝MN MP；
（2）∵AD∥BC，
∴∠PCN＝∠PDA，∠P＝∠P，
∴△PCN∽△PDA，
∴＝，
∵DC：CP＝2：1，
∴＝＝，
又∵AD＝6，
∴NC＝2，
∴BN＝4．
24．（12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝a，E为AB上任意一点，连接ED，作ED的中垂线交AD于点M，交DC延长线于点N，连接EN交BC于点F．当△BEF的周长与△AEM的周长之差为时，求∠EFB的正弦值．
【答案】见解析
【解析】设AE＝x，AM＝y，则BE＝a﹣x，MD＝a﹣y，
∵MN是DE的中垂线，
∴DM＝ME＝a﹣y，EN＝DN，
∵ME2＝AM2+AE2，
∴（a﹣y）2＝x2+y2，
∴y＝，
∵ME＝DM，EN＝DN，
∴∠MED＝∠MDE，∠NED＝∠NDE，
∴∠MED+∠NED＝∠MDE+∠NDE，
∴∠MEN＝∠MDN＝90°，
∴∠AEM+∠BEF＝90°，
又∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠AEM＝∠BFE，
又∵∠B＝∠A＝90°，
∴△AEM∽△BFE，
∴＝，
∴C△BEF＝（a+x） ＝＝2a，
∵BE＝a﹣x＞0，
∴x＜a，
∴C△AEM＝a+x＜2a＝C△BEF，
∴C△BEF﹣C△AEM＝2a﹣（a+x）＝，
∴x＝a，
∴BE＝a，AM＝y＝a，
∴BF＝a，EF＝a，
∴sin∠EFB＝＝＝．
25．（14分）问题提出：
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．则△ABC的面积＝________．
问题探究：
（2）如图②，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠AOB＝θ（0°＜θ≤90°），AC＝8，BD＝6．请用含θ的代数式表示四边形ABCD的面积．
问题解决：
（3）如图③，四边形ABCD是某高新开发区的一块空地，经测量∠A＝150°，∠D＝90°，CD＝604米，BC＝784米，AB＝533米，高新区规划办准备在空地上修建一个三角形形状的人工湖（如图③中的△EFG），按照设计要求，E，F，G分别在BC，AB，CD边上，且EF＝BE，EG＝EC．设BE为x米，人工湖△EFG面积为y平方米．
①写出y与x的函数关系式；
②已知cosB≈0.6，cosC≈0.4，当x＝392米时，人工湖面积y最符合要求，请问是否存在这样的人工湖面积y？若存在，求出该面积；若不存在，说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）AB＝AC＝5，BC＝6，过A作AD⊥BC于D，如图：
∴BD＝DC＝3，
Rt△ABD中，AD＝＝4，
∴S△ABC＝BC AD＝12，
故答案为：12；
（2）过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥BD于F，如图：
Rt△AOE中，AE＝OA sin∠AOB＝OA sinθ，
Rt△COD中，CF＝OC sin∠COD＝OC sinθ，
∴S△ABD＝BD AE＝BD OA sinθ，
S△CBD＝BD CF＝BD OC sinθ，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△CBD
＝BD OA sinθ+BD OC sinθ
＝BD sinθ（OA+OC）
＝BD sinθ AC
＝AC BDsinθ，
∵AC＝8，BD＝6，
∴S四边形ABCD＝24sinθ；
（3）①过F作FH⊥EG于H，如图：
∵∠A＝150°，∠D＝90°，
∴∠B+∠C＝360°﹣（∠A+∠D）＝120°，
∵EF＝BE，EG＝EC，
∴∠B＝∠BFE，∠C＝∠CGE，
∴∠BEF＝180°﹣（∠B+∠BFE）＝180°﹣2∠B，
∠CEG＝180°﹣（∠C+∠CGE）＝180°﹣2∠C，
∴∠BEF+∠CEG＝360°﹣2（∠B+∠C）＝120°，
∴∠FEG＝60°，
∵BE为x米，EF＝BE，BC＝784米，EG＝EC，
∴EF＝x，EG＝784﹣x，
在Rt△EFG中，FH＝EF sin60°＝x，
∴S△EFG＝EG FH＝（784﹣x） x＝﹣x2+196x，
即y＝﹣x2+196x；
②人工湖不存在最符合要求的面积，理由如下：
过E作EM⊥AB于M，过E作EN⊥CD于N，过F作FH⊥BC于H，过G作GP⊥BC于P，过G作GQ⊥FH于Q，
当cosB≈0.6，cosC≈0.4，x＝392米时，
∵BC＝784，
∴BE＝CE＝392，
∵BE＝EF，CE＝EG，
∴EF＝EG＝392，
由①可知，∠FEG＝60°，
∴△EFG是等边三角形，FG＝392，
另一方面有：
Rt△BEM中，BM＝BE cosB＝392×0.6，
Rt△CEN中，CN＝CE cosC＝392×0.4
∵BE＝EF，EM⊥AB，CE＝EG，EN⊥CD，
∴BF＝2BM＝392×1.2，
CG＝2CN＝392×0.8，
Rt△BFH中，cosB＝0.6，则sinB＝0.8，
∴FH＝BF sinB＝392×1.2×0.8＝392×，
BH＝BF cosB＝392×1.2×0.6＝392×，
Rt△CPG中，cosC＝0.4，则sinC＝，
∴CP＝CG cosC＝392×0.8×0.4＝392×，
PG＝CG sinC＝392×0.8×＝392×，
∴HP＝GQ＝BC﹣BH﹣CP＝784﹣392×﹣392×＝392×，
FQ＝FH﹣QH＝FH﹣PG＝392×﹣392×＝392×，
Rt△FGQ中，GQ＝392×，FQ＝392×，而FG＝392，
∵（392×）2+（392×）2≠3922，
∴这与勾股定理矛盾，
∴人工湖不存在最符合要求的面积．
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