一元二次方程解决实际问题

教学案例设计
----用一元二次方程解决实际问题
十里铺乡初级中学 赵彦波
教学目标
知识与技能：
能够根据具体的问题情境正确找出等量关系，正确列出方程并求解，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性；
提高分析问题、解决问题的能力，进一步增强数学的应用意识．
过程与方法：
经历对实际问题的分析、概括、总结、理解的过程，体验并掌握“化未知为已知”等思想内涵，理解运用数学知识、建立数学模型、解决实际问题的基本思路，能灵活运用数学知识解决实际问题；
经历用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步认识方程模型的重要性．
情感态度价值观：
在解决实际问题中增强学数学、用数学的自觉性，在发现的过程中提高思维品质和探究学习能力．
在自主探索和交流合作的过程中，尝试解决问题，在实践中获得成功的经验，经历数学的发展过程，体验获得成功的喜悦。
在课堂交流合作中，培养合作精神，增进班级凝聚力，进一步激发数学学习的热情和数学自信心
教学重难点
重点：会用列一元二次方程的方法解有关增长率问题的应用题
难点：审清题意找出能反映全部含义的等量关系。
教学过程设计
一、复习引入
上一节课我们利用空间图形的周长、面积、体积之间的等量关系，构造一元二次方程解决实际问题，在这个过程中我们经历了几个步骤？（审、设、列、解、验和答）
今天我们要学习与日常生活密切有关的增长率问题，
二 、情境创建：
用教师多媒体演示文稿 ( 教师演示文稿：用一元二次方程解决实际问题.ppt )中的三个具体实例，用由浅入深的方法，分析每道题的答案由来，让学生体会每道题中三个量的关系，结合这三个题中三个量的共同特点，分析出增加后的产量、基数以及增长率之间的关系，进而总结出增长后的产量、增长率和基数之间的关系。
三个具体的实例为：
1、某饮料厂一月份生产饮料的产量为5000吨，二月份比一月份增产10％，则二月份比一月份增加了 吨？增加到 吨。三月份比二月份增产10％，则三月份比二月份增加了 吨？增加到 吨。
2、某农场去年的粮食产量是100万吨，今年预计比去年增产x,则今年比去年增加了
万吨 ,增加到 万 吨。
钢铁厂去年某种钢的产量为 a 吨，今年比去年多y,则今年比去年增加了
吨 ,增加到 吨。
学生探究出答案后进行分析
三、大家谈谈：
在师生交流探究的过程中总结出两个等量关系：
增加的产量=产量基数×增长率
增加后的产量=产量基数（1＋增长率）
我们总结出这些等量关系有什么用处，
------- 为的是更好的解决实际问题。
下面我们将根据这些等量关系解决实际问题。
四、一起探究：
利用教师多媒体演示文稿 ( 教师演示文稿：用一元二次方程解决实际问题.ppt )中的具体实例，在教师引导和屏幕提示的基础上，根据总结出的两个等量关系正确列出一元二次方程解决实际问题。
具体实例为：2003年我国政府工作报告指出：为解决农民负担过重问题，在近两年的税费改革中，我国政府采取了一系列政策措施．2001年中央财政用于支持这项改革试点的资金约为180亿元，2003年达到304.2亿元．2001年到2003年，中央财政每年投入支持这项改革资金的平均增长率是多少？
如果设平均每年的增长率为x，则中央财政用于支持这项改革试点的资金：
（1）2002年比2001年增长了_________亿元，增长到_________亿元．
（2）2003年比2002年增长了_________亿元，增长到_________亿元．
（3）根据题意，列方程得_____________________．
（4）解方程，并与同学交流所得的结果．
（5）在上面的问题中，两年的增长率相同，列方程时有无规律可循？
注意：认真审题，弄清基数，增长了，增长到等词语的关系．
（设计说明）学生先独立思考，然后合作交流，最后师生一起归纳总结此类问题的解决策略和建立方程的一般方法．
五、大家谈谈：
（设计说明）根据前面总结的等量关系，结合实例的特征，师生互动，生生互动，总结出如果连续增幅相同的情况下增长后的产量、原产量和增长率之间的关系，
增长后的产量 = 原产量（1+增长率）2
可以进一步延伸，如果将增长次数改为3、4或更多次我们能得到什么规律。
如果产量减少呢？………
师生合作探讨得到：利用这些这些等量关系能更好的解决实际问题。
下面我们根据这些等量关系解决实际问题。
六、师生交流
某农场粮食产量是：2003年1200万千克，2004年为1452万千克。如果平均每年的
增长率为x，则可得方程 ( )
A. 1200(1+x) =1452 B.1200(1+2x)=1452
C、1200(1+x)2=1452 D. 1200(1+x%)=1452
2、我国西部某县，2002年的贫困人口约为16万人，该县计划到2004年使贫困人口降至10.24万人，设贫苦人口平均每年减少的百分率为x,可得方程（ ）
A. 16(1+x) =10.24 B.16(1-2x)=10.24
C、16(1-x)2=10.24 D. 16(1-x%)=10.24
3、某经济开发区今年一月份工业产值为50亿元，第一季度总产值为175亿元、问第二月三月平均每月增长率是多少？ 设平均每月增长的百分率为x,根据题意列方程得 （ ）
A、50(1+x)2=175
B. 50+50(1+x)2=175
C. 50（1+x）+50（1+x)2=175
D. 50+50(1+x)+ 50(1+x)2=175
我们合作探究得到了连续两次等幅增长以后的量、基数和增长率之间的关系，如果连续两次增长的幅度不相等的时候，它们增长后的量，基数和两次不同的增长率这四个量又有什么关系呢，我们看一个具体的实例。
七、合作探究
（设计说明）根据方程解决实际问题的步骤，让学生将表格和总结好的等量关系结合起来，让学生自己经历探索、发现、探究、验证全过程，对解题的各个步骤有更新的认识，从而体味成功的喜悦。
具体的实例为：
太阳能是无污染的天然能源，具有极大的开发和利用价值。某企业生产一种新型太阳能热水器，前年获利1000万元，今年获利1560万元，今年的利润增长率比去年利润增长率多10个百分点去年和今年的利润增长率各是多少？
分析：根据等量关系“增长利润率=利润基数×利润增长率”，如果设去年利润增长率为x，则有下表：
时间 利润基数/万元 利润增长率 利润/万元
去年 1000 x 1000（1+x）
今年 1000（1+x） x+0.1 1000（1+x）（1+x+0.1）
再根据今年获利1560万元，就可以列出方程
解：设去年利润增长率为x，则今年利润增长率是x+0.1，根据题意，得
1000（1+x）（1+x+0.1）=1560 整理，得x2+2.1x-0.46=0
解这个方程，得x1=0.2，x2=-2.3（不合题意，舍去）
x+0.1=0.2+0.1=0.3
答：去年的利润增长率是20%，今年的利润增长率是30%
教师引导，点拨、，学生板书回答．
八、探究升级
利用教师多媒体演示文稿 ( 教师演示文稿：用一元二次方程解决实际问题.ppt )中的具体实例， 具体的实例为：
某工程队在某市棚户区改造过程中承包一项拆迁工程原计划每天拆迁1250 m2,因为准备工作不足，第一天少拆迁了20％ ，从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440 m2 如果设该工程队第二天和第三天两天每天拆迁面积比前一天增长的百分比相同，设这个百分比为x,则根据题意列方程得 （ ）
A.1250(1－20％)（1+x) =1440 B.1250(1＋20％)（1+x) =1440
C、1250(1+x)2 = 1440 D. 1250(1－20％）(1+x）2 =1440
九、今天学了什么：
1、列方程解决实际问题步骤。
2、合作探究了三个重要的等量关系:
增长的产量=基数×增长率
增长以后的产量=基数×（1+增长率）
连续两次等幅度增长后的产量=基数×（1+增长率）2
十、作业
十一、板书设计
用一元二次方程解实际问题等量关系 增长的产量=基数×增长率增长以后的产量=基数×（1+增长率）连续两次等幅度增长后的产量=基数×（1+增长率）2