因式分解

(共74张PPT)
第 1课时
第2 3课时
第 4课时
复习回顾
口答：
问题：630可以被哪些整数整除？
解决这个问题，需要对630进行分解质因数
630 = 2×32×5×7
类似地，在式的变形中，
有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式
以便于更好的解决一些问题
新课引入
试试看
(将下列多项式写成几个整式的乘积)
回忆前面整式的乘法
　　上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式 ，也叫做把这个多项式 。
分解因式
因式分解
因式分解
整式乘法
因式分解与整式乘法是逆变形
依照定义，判断下列变形是不是因式分解
（把多项式化成几个整式的积）
创设情景
学校打算把操场重新规划一下，分为绿化带、运动场、主席台三个部分，如下图，计算操场总面积。
a
b
c
m
a
b
c
m
方法一：S = m ( a + b + c )
方法二：S = ma + mb + mc
m
m
方法一：S = m ( a + b + c )
方法二：S = ma + mb + mc
m ( a + b + c ) = ma + mb + mc
下面两个式子中哪个是因式分解？
在式子ma + mb + mc中，m是这个多项式中每一个项都含有的因式，叫做 。
公因式
ma + mb + mc = m ( a + b + c )
ma + mb + mc = m ( a + b + c )
在下面这个式子的因式分解过程中，先找到这个多项式的公因式，再将原式除以公因式，得到一个新多项式，将这个多项式与公因式相乘即可。
这种方法叫做提公因式法。
提公因式法一般步骤：
1、找到该多项式的公因式，
2、将原式除以公因式，得到一个新多项式，
3、把它与公因式相乘。
如何准确地找到多项式的公因式呢？
1、系数
所有项的系数的最大公因数
2、字母
应提取每一项都有的字母，
且字母的指数取最低的
3、系数与字母相乘
例题精讲
最大公因数为3
= 3
a的最低指数为1
a
b的最低指数为1
b
(3a–5bc)
= – 4
s
t2
(3s2–2t+1)
p
q
(5q+7p+3)
=
做一做
按照提公因式法因式分解。
提高训练(一)
提高训练(二)
第 3课时
第 2课时
复习回顾
还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？
平方差公式：
完全平方公式：
计算：
= (999+1)(999–1)
此处运用了什么公式
新课引入
试计算：9992 – 1
12
= 1000×998 = 998000
平方差公式
逆用
因式分解:（1）x2 – ;（2）y2 –
4 25
22 52
= (x+2)(x–2)
= (y+5)(y–5)
这些计算过程中都逆用了平方差公式
即：
此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。
尝试练习(对下列各式因式分解)：
① a2 – 9 = ___________________
② 49 – n2 = __________________
③ 5s2 – 20t2 = ________________
④ 100x2 – 9y2 =_______________
(a+3)(a–3)
(7+n)(7–n)
5(s+2t)(s–2t)
(10x+3y)(10x–3y)
① x2 + 4
② – 4x2 + y2
③ x4 – 1
④ x2 – x6
⑤ 6x3 – 54xy2
⑥ (x+p)2 – (x–q)2
= y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x)
= (x2)2 – 12 = (x2+1) (x2–1)
② – 4x2 + y2
③ x4 – 1
(x2–1)
= – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)
(x+1)(x–1)
因式分解一定要分解彻底 !
④ x2 – x6
= x2 – (x3)2
= (x+x3)(x–x3)
= x·(1+x2)·x·(1–x2)
= x2(1+x2)(1+x)(1–x)
④ x2 – x6
= x2 (1–x4)
= x2 (1+x2)(1–x2)
= x2 (1+x2)(1+x)(1–x)
在我们现学过的因式分解方法中，先考虑提取公因式，再考虑用公式法。
⑤ 6x3 – 54xy2
= 6x (x2–9y2)
= 6x (x+3y)(x–3y)
⑥ (x+p)2 – (x–q)2
= [ (x+p)+(x–q) ]·[ (x+p)–(x–q) ]
= (2x+p–q)(p+q)
Y
X
Y
X
Y
X
做一做
利用平方差公式因式分解。
提高训练(一)
④ 设m、n为自然数且满足关系式12+92+92+22+m2=n2，则m = ____，n = ____。
提高训练(二)
3、n是自然数，代入n3 – n中计算时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的只可能是( )。
A. 421800 B. 438911 C. 439844 D. 428158
复习回顾
还记得前面学的完全平方公式吗？
计算：
新课引入
试计算：9992 + 1998 + 1
2×999×1
= (999+1)2 = 106
此处运用了什么公式
完全平方公式
逆用
就像平方差公式一样，完全平方公式也可以逆用，从而进行一些简便计算与因式分解。
即：
这个公式可以用文字表述为：
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
牛刀小试(对下列各式因式分解)：
① a2+6a+9 = _________________
② n2–10n+25 = _______________
③ 4t2–8t+4 = _________________
④ 4x2–12xy+9y2 = _____________
(a+3)2
(n–5)2
4(t–1)2
(2x–3y)2
① 16x2 + 24x + 9
② – 4x2 + 4xy – y2
③ x2 + 2x – 1
④ 4x2 – 8xy + 4y2
⑤ 1 – 2a2 + a4
⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36
形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式。
完全平方式一定可以利用完全平方公式因式分解
完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的）
2、有两个同号的平方项
3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
① 16x2 + 24x + 9
② – 4x2 + 4xy – y2
④ 4x2 – 8xy + 4y2
= (4x+3)2
= – (4x2–4xy+y2)
= – (2x–y)2
= 4 (x2–2xy+y2)
= 4 (x–y)2
– 2a2 +
⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36
a4
1
= (a2–1)2
= (a+1)2 (a–1)2
= [(a+1) (a–1)]2
= (p+q–6)2
X
X
X
做一做
用完全平方公式进行因式分解。
做一做
用恰当的方法进行因式分解。
备选方法：
提公因式法
平方差公式
完全平方公式
提高训练(一)
④ 给4x2+1加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，这个单项式可以是 ________。
提高训练(二)
提高训练(三)
知识结构
因式分解常用方法
提公因式法
公式法
十字相乘法
分组分解法
拆项添项法
配方法
待定系数法
求根法
……
一、提公因式法
只需找到多项式中的公因式，然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。
提公因式法随堂练习：
1）15(m–n)+13(n–m)
2）4(x+y)+4(x–3y)
二、公式法
只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。
接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。
常用公式
1、(a+b)(a–b)=a2–b2
（平方差公式）
2、(a±b)2=a2±2ab+b2
（完全平方公式）
3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)
及 a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)
（立方和、差公式）
5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
（完全立方和公式）
6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导
这是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推导过程
不要与(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆
公式法随堂练习：
1）(a2–10a+25)(a2–25)
2）x3+3x2+3x+1
二、公式法
只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。
三、十字相乘法①
前面出现了一个公式：
(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）
例1：因式分解x2+4x+3
可以看出常数项 3 = 1×3
而一次项系数 4 = 1 + 3
∴原式=(x+1)(x+3)
暂且称为p、q型因式分解
例2：因式分解x2–7x+10
可以看出常数项10 = (–2)×(–5)
而一次项系数 –7 = (–2) + (–5)
∴原式=(x–2)(x–5)
这个公式简单的说，
就是把常数项拆成两个数的乘积，
而这两个数的和刚好等于一次项系数
十字相乘法①随堂练习：
1）a2–6a+5 2）a2–5a+6
3）x2–(2m+1)x+m2+m–2
三、十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。
(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。
= 17
3 x2 + 11 x + 10
6 x2 + 7 x + 2
2
3
1
2
4
+ 3
= 7
∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
1
3
5
2
2
+ 15
= 11
1
3
2
5
5
+ 6
∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)
= –6
5 x2 – 6 xy – 8 y2
试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。
1
5
–2
4
4
– 10
∴5x2–6xy–8y2 =(x–2y)(5x+4y)
简记口诀：
首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
十字相乘法②随堂练习：
1）4a2–9a+2
2）7a2–19a–6
3）2(x2+y2)+5xy
四、分组分解法
要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。
例1：因式分解 ab–ac+bd–cd 。
解：原式 = (ab – ac) + (bd – cd)
= a (b – c) + d (b – c)
= (a + d) (b – c)
还有别的解法吗？
四、分组分解法
要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。
例1：因式分解 ab–ac+bd–cd 。
解：原式 = (ab + bd) – (ac + cd)
= b (a + d) – c (a + d)
= (a + d) (b – c)
例2：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。
解：原式 = (x5+x4+x3)+(x2+x+1)
= (x3+1)(x2+x+1)
= (x+1)(x2–x+1)(x2+x+1)
立方和公式
分组分解法随堂练习：
1）xy–xz–y2+2yz–z2
2）a2–b2–c2–2bc–2a+1
回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。
另解：原式 = (x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)
= (x+1)(x4+x2+1)
= (x+1)(x4+2x2+1–x2)
= (x+1)[(x2+1)2–x2]
= (x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)
五*、拆项添项法
怎么结果与刚才不一样呢？
因为它还可以继续因式分解
拆项添项法对数学能力有着更高的要求，需要观察到多项式中应拆哪一项使得接下来可以继续因式分解，要对结果有一定的预见性，尝试较多，做题较繁琐。
最好能根据现有多项式内的项猜测可能需要使用的公式，有时要根据形式猜测可能的系数。
五*、拆项添项法
因式分解 x4 + 4
解：原式 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2
= (x2+2)2 – (2x)2
= (x2+2x+2)(x2–2x+2)
都是平方项
猜测使用完全平方公式
完全平方公式
平方差公式
拆项添项法随堂练习：
1）x4–23x2y2+y4
2）(m2–1)(n2–1)+4mn
配方法
配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配成完全平方式，再用平方差公式进行分解。
因式分解 a2–b2+4a+2b+3 。
解：原式 = (a2+4a+4) – (b2–2b+1)
= (a+2)2 – (b–1)2
= (a+b+1)(a–b+3)
配方法 (拆项添项法)分组分解法
完全平方公式
平方差公式
六*、待定系数法
试因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。
通过十字相乘法得到 (2x–3y)(x+3y)
设原式等于(2x–3y+a)(x+3y+b)
通过比较两式同类项的系数可得：
解得： ，∴原式 = (2x–3y+4)(x+3y+5)
= 3
= 14
10
+ 4
2 x2 + 3 xy – 9 y2 + 14 x – 3 y + 20
双十字相乘法
双十字相乘法适用于二次六项式的因式分解，而待定系数法则没有这个限制。
因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。
2
1
–3
3
6
– 3
4
5
= –3
12
– 15
∴原式 = (2x–3y+4)(x+3y+5)
七*、求根法
设原多项式等于零，解出方程的解 x1、x2……，则原式就可以分解为(x–x1)(x–x2)(x–x3)……
更多的方法需要同学们自己去寻找 !
多练才能拥有自己的解题智慧 !
综合训练(一)
综合训练(二)
2、x2y–y2z+z2x–x2z+y2x+z2y–2xyz因式分解后的结果是( )。
A. (y–z)(x+y)(x–z) B. (y–z)(x–y)(x+z)
C. (y+z)(x–y)(x+z) D. (y+z)(x+y)(x–z)
3、因式分解 x3 + 6x2 + 11x + 6 。
综合训练(三)
总结训练(一)
总结训练(二)