贵州省安龙一中2013届高三上学期8月月考文科数学试题

贵州省安龙一中2013届高三上学期8月月考文科数学试题
I 卷
一、选择题
1．若与在区间1，2上都是减函数，则的取值范围是（ ）
A． (0，1) B． (0，1
C． (-1,0）∪(0，1) D． (-1，0) ∪(0，1
【答案】B
2．已知集合，则集合N的真子集个数为（ ）
A．3；B．4
C．7
D．8
【答案】B
3．已知函数f(x)＝|lgx|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围
是(　　)
A．(1，＋∞) B．1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．2，＋∞)
【答案】C
4．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝2x－x，则有(　　)
A．fB．fC．fD．f【答案】B
5．函数的值域为 ( ）
A． B． C． D．
【答案】A
6．f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，对 x1∈－1,2， x0∈－1,2，使g(x1)＝f(x0)，则a的取值范围是(　　)
A． B．
C．3，＋∞)
D．(0,3
【答案】A
7．若定义在R上的二次函数在区间［0，2］上是增函数，且，则实数的取值范围是 ( ）
A． B． C． D．或
【答案】A
8．已知则等于
A B C D
【答案】D
9．已知函数在区间2，+上是增函数，则的取值范围是（ ）
A．（ B．（ C．（ D．（
【答案】C
10．设，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
11．函数的零点所在的区间是（ ）
A．（0，1） B．(1，2） C．（2，3） D．（3，10）
【答案】C
12．已知函数构造函数，定义如下：当，那么（ ）
A．有最小值0，无最大值 B．有最小值-1，无最大值
C．有最大值1，无最小值 D．无最小值，也无最大值
【答案】B
II卷
二、填空题
13．在实数集上定义运算 ，并定义：若存在元素使得对，有，则称为上的零元，那么，实数集上的零元之值是
【答案】；根据“零元”的定义，，故
14．已知函数　若，则a= ．
【答案】或
15．设偶函数满足，则不等式＞0的解集为_____.
【答案】
16．定义在上的偶函数，对任意的均有成立，当时，，则直线与函数的图像交点中最近两点的距离等于 ．
【答案】1
三、解答题
17．已知定义在区间上的函数为奇函数且
(1）求实数m，n的值；
(2）求证：函数上是增函数。
(3）若恒成立，求t的最小值。
【答案】（1）对应的函数为，对应的函数为
(2） 理由如下：
令，则为函数的零点。
，
方程的两个零点
因此整数
(3）从图像上可以看出，当时，
当时，

18．设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．
(1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；
(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在1，＋∞)上的最小值．
【答案】∵f(x)是定义域为R上的奇函数，∴f(0)＝0，
∴k－1＝0，即k＝1.
(1)∵f(1)>0，∴a－>0.又a>0且a≠1，
∴a>1，f(x)＝ax－a－x.
∵f′(x)＝axlna＋a－xlna＝(ax＋a－x)lna>0，
∴f(x)在R上为增函数，
原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)．
∴x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0.
∴x>1或x<－4.
∴不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．
(2)∵f(1)＝，∴a－＝，即2a2－3a－2＝0.
∴a＝2或a＝－(舍去)．
∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)
＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2.
令t(x)＝2x－2－x(x≥1)，
则t(x)在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，
即t(x)≥t(1)＝，
∴原函数变为w(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2.
∴当t＝2时，w(t)min＝－2，此时x＝log2(1＋)．
即g(x)在x＝log2(1＋)时取得最小值－2.
19．已知：函数.
(1) 若，且在上的最大值为，最小值为，令，求的表达式；
(2) 在(1)的条件下，求证：；
(3）设，证明对任意的，.
【答案】（1）∵
由得 ∴.
当，即时，,故；
当，即时，，故.
∴
(2）∵当时，，∴函数在上为减函数；
当时，，∴函数在上为增函数，
∴当时，取最小值，,
故.
(3）∵当时，抛物线开口向上，对称轴为，
∴函数在上为增函数，
(或由得，∴函数在上为增函数）
不妨设，由得
∴
令，
∵抛物线开口向上，对称轴为，且
∴函数在上单调递增，∴对任意的，
有，即
20．设是定义在上的函数，且对任意，当时，都有；
(1）当时，比较的大小；（2）解不等式；
(3）设且，求的取值范围。
【答案】（1）由对任意，当时，都有可得: 在上为单调增函数,因为,所以, .
(2）由题意及(1)得:解得,所以不等式
的解集为
(3）由题意得: 即:
又因为,所以,
所以,的取值范围是
解析:通过是定义在上的函数，且对任意，当时，都有考查对函数单调性定义的理解,通过解不等式考查函数单调性的转化,通过 且考查对函数定义域问题的转化以及求集合的交的运算以及分类讨论,属于中档题.
21．已知函数是定义在R上的单调函数满足，且对任意的实数有恒成立
(Ⅰ）试判断在R上的单调性,并说明理由.
(Ⅱ）解关于的不等式
【答案】（Ⅰ）是R上的减函数
由可得在R上的奇函数，
在R上是单调函数，
由，所以为R上的减函数。
(Ⅱ）由，又由于
又由（Ⅰ）可得
即：
解得：
不等式的解集为
22．当时，求函数的最小值。
【答案】对称轴
当，即时，是的递增区间，；
当，即时，是的递减区间，；
当，即时，。