贵州省普安二中2013届高三上学期8月月考文科数学试题

贵州省普安二中2013届高三上学期8月月考文科数学试题
I 卷
一、选择题
1．若与在区间1，2上都是减函数，则的取值范围是（ ）
A． (0，1) B． (0，1
C． (-1,0）∪(0，1) D． (-1，0) ∪(0，1
【答案】B
2． 下列判断正确的是（ ）
A．函数是奇函数； B．函数是偶函数
C．函数是非奇非偶函数 D．函数既是奇函数又是偶函数
【答案】C
3．如图1，当参数时，连续函数 的图像分别对应曲线和 , 则( )
A B
C D
【答案】B
4．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　)
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
【答案】B
5． 已知且 的值（ ）
A．一定小于0 B．等于0 C．一定大于0 D．无法确定
【答案】A
6．已知函数f(x)＝|lgx|，若0A．(2，＋∞) B．2，＋∞)
C．(3，＋∞) D．3，＋∞)
【答案】B
7．已知函数是偶函数，上是单调减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
8． 设为偶函数，对于任意的的数都有，已知，那么等于 ( ）
A．2 B．-2 C．．8 D．-8
【答案】C
9． 函数的定义域是 ( ）
A． B． C． D．
【答案】B
10．已知是函数的一个零点，若，则
A． B．
C． D．
【答案】D
11．在函数的图象上有一点，此函数图象与轴、直线围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则S与的函数关系图象可表示为 ( ）
【答案】B
12．函数的图象关于x轴对称的图象大致是（ ）
【答案】B
II卷
二、填空题
13．设，定义P※Q＝，则P※Q中元素的个数为 .
【答案】12
14．若函数在区间上的最大值为4，则的值为_________.
【答案】1或–1
15．已知函数，若，则的取值范围为 。
【答案】
16．若则5 .
【答案】
三、解答题
17．已知函数定义域为，若对于任意的，，都有，且>0时，有>0.
⑴证明: 为奇函数;
⑵证明: 在上为单调递增函数;
⑶设=1,若<,对所有恒成立,求实数的取值范围.
【答案】（1）令，
令，，为奇函数
(2）
在上为单调递增函数;
(3）在上为单调递增函数，，使对所有恒成立,只要>1,即>0
令
18．如果函数f(x)的定义域为{x|x>0}，且f(x)为增函数，f(x·y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f()＝f(x)－f(y)；
(2)已知f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求a的取值范围．
【答案】(1)证明：∵f(x)＝f(·y)＝f()＋f(y)，
∴f()＝f(x)－f(y)．
(2)∵f(3)＝1，f(a)>f(a－1)＋2，
∴f(a)－f(a－1)>2.
∴f()>2＝f(3)＋f(3)＝f(9)．
∵f(x)是增函数，
∴>9.又a>0，a－1>0，∴1∴a的取值范围是119．已知函数f(x)＝x3－x2＋ax－a(a∈R)．
(1)当a＝－3时，求函数f(x)的极值；
(2)求证：当a≥1时，函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点．
【答案】(1)　当a＝－3时，f(x)＝x3－x2－3x＋3，
∴f′(x)＝x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)．
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
当x<－1时，f′(x)>0，则f(x)在(－∞，－1)上单调递增；
当－1当x>3时，f′(x)>0，f(x)在(3，＋∞)上单调递增．
∴当x＝－1时，f(x)取得极大值为
f(－1)＝－－1＋3＋3＝；
当x＝3时，f(x)取得极小值为
f(3)＝×27－9－9＋3＝－6.
(2)　∵f′(x)＝x2－2x＋a，
∴Δ＝4－4a＝4(1－a)．
由a≥1，则Δ≤0，∴f′(x)≥0在R上恒成立，
∴f(x)在R上单调递增．
∵f(0)＝－a<0，f(3)＝2a>0，
∴当a≥1时，函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点．
20．已知函数
(1)若在区间［1，+）上是增函数，求实数的取值范围
(2）若是的极值点，求在［1，］上的最大值
(3）在（2）的条件下，是否存在实数b,使得函数的图象与的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.
【答案】（1）
在是增函数，
在上恒有，即
在［1，+）上恒成立，
则必有且
(2）依题意，
即
令，
得.
则当经变化时，与变化情况如下表
1 (1,3) 3 (3,4) 4
- 0 +
-6 -18 -12
在［1，4］上的最大值是.
C．函数的图象与函数的图象恰有3个交点，即方程恰有3个不等实根.
有两个非零不等实根.
是其中一个根，
且.
存在满足条件的b的值，b的取值范围是且.
21．某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500（1+）万元（n为正整数）．
(Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元（须扣除技术改造资金），求、的表达式；
(Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
【答案】（Ⅰ）依题意知，数列是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以，
=
＝
=
　(Ⅱ）依题意得，，即，
可化简得，
可设，
又，可设是减函数，是增函数，
又
则时不等式成立，即4年
22．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中(a>0且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)．
(1)求函数h(x)的定义域；
(2)判断h(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)若f(3)＝2，求使h(x)>0成立的x的集合．
【答案】(1)由对数的意义，分别得1＋x>0，1－x>0，即x>－1，x<1.∴函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，函数g(x)的定义域为(－∞，1)，
∴函数h(x)的定义域为(－1,1)．
(2)∵对任意的x∈(－1,1)，－x∈(－1,1)，
h(－x)＝f(－x)－g(－x)
＝loga(1－x)－loga(1＋x)
＝g(x)－f(x)＝－h(x)，
∴h(x)是奇函数．
(3)由f(3)＝2，得a＝2.
此时h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，
由h(x)>0即log2(1＋x)－log2(1－x)>0，
∴log2(1＋x)>log2(1－x)．
由1＋x>1－x>0，解得0故使h(x)>0成立的x的集合是{x|0